新教材高考数学全程一轮总复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第一节计数原理与排列组合学生用书

第一节 计数原理与排列组合

【课标标准】 1.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列组合解决简单的实际问题．

必备知识·夯实双基

知识梳理

(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．

(2)完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．

2．排列与组合的概念

(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

3．排列数与组合数公式

(1)排列数公式

＝________＝________(n，m∈N*，且m≤n)．规定0！＝1.

(2)组合数公式

＝________＝________(n，m∈N*，且m≤n)．规定＝1.

4．排列数与组合数的性质 ；＝；；＝.

[常用结论]

1．两个计数原理的区别与联系

分类加法计数原理 分步乘法计数原理

相同点 用来计算完成一件事的方法种数

不同点 分类、相加 分步、相乘

每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)

注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，缺一不可

2.解受条件限制的排列、组合问题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．

夯实双基

1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )

(2)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )

(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( )

(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )

2．(教材改编)从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是( )

A．12 B．24 C．64 D．81

3．(教材改编)用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．

4．(易错)6名同学争夺3项冠军，不同的结果有________种．(用具体数字作答)

5．(易错)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________．

关键能力·题型突破

题型一 两个计数原理

例 1 (1)[2023·广东广州模拟]如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为( )

A．480 B．600 C．720 D．840

(2)有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)

①每人恰好参加一项，每项人数不限；

②每项限报一人，且每人至多参加一项；

③每项限报一人，但每人参加的项目不限．

题后师说

2．涂色问题常用的两种方法

巩固训练1

(1)从数字1，2，3，4中取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为( )

A．7 B．9

C．10 D．13

(2)[2023·河南安阳模拟]为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目．现安排甲、乙两所高校与三家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则不同的对接方案共有( )

A．15种 B．16种

C．17种 D．18种

题型二 排列问题

例 2有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．

(1)选其中5人排成一排；

(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；

(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；

(4)全体排成一排，女生必须站在一起；

(5)全体排成一排，男生互不相邻；

(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；

(7)体体排成一排，甲必须排在乙前面；

(8)全体排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．

题后师说

求解排列问题的主要方法

直接法 直接列式计算符合条件的排列数

优先法 优先安排特殊元素或特殊位置

捆绑法 把某些元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列

插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中

消序法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列

间接法 正难则反，等价转化的方法

巩固训练2

(1)[2023·江西临川一中模拟]为了贯彻落实党史学习教育成果，临川一中名师“学史力行”送教井冈山中学．现有理科语文、数学、英语、物理、化学、生物6名理科老师要安排在该中学理科1到6班上一节公开示范课，每个班级只安排一名老师上课且每个老师只在一个班上课，要求数学老师不能安排在1班，化学老师不能安排在6班，则不同的安排上课的方法数为( )

A．720 B．504

C．480 D．360

(2)[2023·黑龙江哈九中模拟]习近平总书记在全国教育大会上发表重要讲话，称教育是国之大计，党之大计．哈九中落实讲话内容，组织研究性学习．在研究性学习成果报告会上，有A、B、C、D、E、F共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A、C、D按先后顺序汇报(不一定相邻)，那么不同的汇报安排种数为( )

A．100 B．120

C．300 D．600

(3)[2023·河南安阳模拟]甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为( )

A．240 B．192

C．96 D．48

(4)[2023·广东佛山模拟]“五经”是儒家典籍《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则《诗经》《春秋》分开排的情况有________种．

题型三 组合问题

例 3 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？

(1)只有一名女生当选；

(2)两队长当选；

(3)至少有一名队长当选；

(4)至多有两名女生当选；

(5)既要有队长，又要有女生当选．

题后师说

组合问题的两类题型

巩固训练3

(1) [2023·安徽十校联考]如图，“天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分. 假设有6名航天员(4男2女)在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，且两名女航天员不在一个舱内，则不同的安排方案种数为( )

A．14 B．18 C．30 D．36

(2)[2023·河南安阳模拟]教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市3所高校的校长计划拜访当地企业，共有4家企业可供选择．若每名校长拜访3家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有( )

A．60种 B．64种 C．72种 D．80种

(3)[2023·山西师大附中模拟]现有16个不同小球，其中红色、黄色、蓝色、绿色小球各4个，从中任取3个，要求这3个小球不能是同一颜色，且红色小球至多1个，不同的取法为________．

(4)[2023·黑龙江大庆模拟]某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有________．

专题突破10 分组、分配问题

微专题1不等分问题

例 1(1)[2023·安徽淮南一中模拟]为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有( )

A．18种 B．36种 C．68种 D．84种

(2)若将6名教师分到3所中学任教，其中一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．

题后师说

对于不等分问题，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．

微专题2整体均分问题

例 2(1)已知有6本不同的书，平均分成三堆，有________种不同的分配方法？

(2)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生，将其平均分到3所学校去任教，有________种不同的分配方法．