高考数学一轮复习第九章计数原理概率随机变量及其分布列第一节计数原理与排列组合课时规范练理含解析新人

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- 1 - 第一节 计数原理与排列组合

〖A组 基础对点练〗

1．一个学习小组有6个人，从中选正、副组长各一个，则不同的选法种数为( )

A．C26 B．A26

C．62 D．26

〖解 析〗问题可转化为从6个元素中任选两个元素的排列问题，共有A26 种不同的选法．

〖答 案〗B

2．已知集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( )

A．9 B．14

C．15 D．21

〖解 析〗因为P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，且P⊆Q，

所以x∈{y，2}，

所以当x＝2时，y＝3，4，5，6，7，8，9，共有7种情况；

当x＝y时，x＝3，4，5，6，7，8，9，共有7种情况．

故共有7＋7＝14(种)情况，即这样的点的个数为14.

〖答 案〗B

3．教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有( )

A．10种 B．25种

C．52种 D．24种

〖解 析〗共分4步：一层到二层有2种，二层到三层有2种，三层到四层有2种，四层到五层有2种，一共有24种．

〖答 案〗D

4．把标号为1，2，3，4，5的同色球全部放入编号为1～5号的箱子中，每个箱子放一个球且要求偶数号的球必须放在偶数号的箱子中，则所有的放法种数为( ) 高中数学教学、学习精品资料

- 2 - A．36 B．20

C．12 D．10

〖解 析〗依题意，满足题意的放法种数为A22 ·A33 ＝12.

〖答 案〗C

5．有2名男生，3名女生，排成一排照相，甲既不在中间也不在两端的不同排法种数为( )

A．36 B．48

C．60 D．120

〖解 析〗先排甲，有2种排法，再排其余4人，有A44 种排法，故共有2A44 ＝48(种)不同的排法．

〖答 案〗B

6．市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随机坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是 ( )

A．48 B．54

C．72 D．84

〖解 析〗根据题意，先把3名乘客进行全排列，有A33 ＝6(种)排法，排好后有4个空，再将2个连续的空座位“捆绑”和余下的1个空座位插入形成的4个空中，则有A24 ＝12(种)排法，所以共有6×12＝72(种)候车方式．

〖答 案〗C

7．(2021·河南洛阳模拟)从10名大学毕业生中选3人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )

A．72 B．56

C．49 D．28

〖解 析〗分两类：甲、乙中只有1人入选且丙没有入选，甲、乙均入选且丙没有入选，计算可得所求选法种数为C12 C27 ＋C22 C17 ＝49.

〖答 案〗C

8．如图所示，在五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，高中数学教学、学习精品资料

- 3 - 相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有( )

A．24种 B．48种

C．72种 D．96种

〖解 析〗分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有4×3×2×1＝24(种)；②A，C同色，先涂A，C有4种，再涂E有3种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48(种)，故不同的涂色方法有48＋24＝72(种).

〖答 案〗C

9．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )

A．36种 B．24种

C．22种 D．20种

〖解 析〗第一类：男生分为1，1，1，女生全排，男生全排有A33 ·A22 ＝12(种)，第二类：男生分为2，1，所以男生两队全排后女生全排有C23 A22 ·A22 ＝12(种)，不同的推荐方法共有12＋12＝24(种).

〖答 案〗B

10．(2020·河南郑州模拟)《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成A，B，C，D，E，F六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求，重点任务A必须排在前三位，且任务E，F必须排在一起，则这六项任务完成顺序的不同安排方案共有( )

A．240种 B．188种

C．156种 D．120种

〖解 析〗因为任务A必须排在前三位，任务E，F必须排在一起，所以可把A的位置固高中数学教学、学习精品资料

- 4 - 定，E，F捆绑后分类讨论．

当A在第一位时，有A44 A22 ＝48(种)；

当A在第二位时，第一位只能是B，C，D中的一个，E，F只能在A的后面，故有C13 A33

A22 ＝36(种)；

当A在第三位时，分两种情况：①E，F在A之前，此时应有A22 A33 (种)，②E，F在A之后，此时应有A23 A22 A22 (种)，故而A在第三位时有A22 A33 ＋A23 A22 A22 ＝36(种).

综上，共有48＋36＋36＝120(种)不同的安排方案．

〖答 案〗D

11．如图所示，要让电路从A处到B处接通(只考虑每个小并联单元只有一个开关闭合的情况)，可有________条不同的路径．

〖解 析〗分以下三种情况计数：

①第一层有3×2＝6条路径；

②第二层有1条路径；

③第三层有2条路径．

由分类加法计数原理知，共有6＋1＋2＝9条路径．

〖答 案〗9

12．在一次8名运动员参加的百米成绩测试中，甲、乙、丙三人要求在第三、四、五跑道上，其他人随意安排，则安排这8人进行百米成绩测试的方法的种数为________．

〖解 析〗分两步安排这8名运动员：

第一步：安排甲、乙、丙三人，共有三、四、五三条跑道可安排，所以安排方式有3×2×1＝6(种)；

第二步：安排另外5人，可在余下的5条跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1高中数学教学、学习精品资料

- 5 - ＝120(种).

所以安排这8名运动员的方式有6×120＝720(种).

〖答 案〗720

〖B组 素养提升练〗

1．(2020·安徽合肥模拟)某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B、任务C不能相邻，则不同的执行方案共有( )

A．36种 B．44种

C．48种 D．54种

〖解 析〗由题意知任务A、E必须相邻，且只能安排为AE，分三类：

①当A，E分别排在第一、二位置时，有A22 A23 ＝12(种)执行方案；

②当A，E分別排在第二、三位置时，有A12 A33 ＋A12 A22 ＝12＋4＝16(种)执行方案；

③当A，E分别排在第三、四位置时，有C12 C12 A22 A22 ＝16(种)执行方案．

根据分类加法计数原理得不同的执行方案有12＋16＋16＝44(种).

〖答 案〗B

2．(2021·河北武邑中学模拟)在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生进行家庭问卷调查．若这3名教师每名至少到一名学生家中进行问卷调查，这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为( )

A．36 B．72

C．24 D．48

〖解 析〗根据题意，分2步进行分析：①先把4名学生分成3组，其中1组2人，其余2组每组各1人，有C24 C12 C11

A22 ＝6(种)分组方法；②将分好的3组对应3名教师，有A33 ＝6种情况，则一共有6×6＝36(种)不同的问卷调查方案．

〖答 案〗A 高中数学教学、学习精品资料

- 6 - 3．现有12张不同的扑克牌，其中红桃、方片、黑桃、梅花各3张，现从中任取3张，要求这3张牌不能是同一种且黑桃至多—张，则不同的取法种数为________．

〖解 析〗分类完成，含有一张黑桃的不同取法有C13 C29 ＝108(种)；不含黑桃时，有C39

－3C33 ＝81(种)不同的取法．故共有108＋81＝189(种)不同的取法．

〖答 案〗189

4．现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张．若甲、乙分得的电影票连号，则共有________种不同的分法．(用数字作答)

〖解 析〗电影票号码相邻只有4种情况，则甲、乙两人在这4种情况中选一种，共C14 种选法，2张票分给甲、乙，共有A22 种分法，其余3张票分给其他3个人，共有A33 种分法，根据分步乘法计数原理，可得共有C14 A22 A33 ＝48(种)不同的分法．

〖答 案〗48