2019-2020学年重庆市沙坪坝区南开中学八年级(下)期末数学试卷

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2019-2020学年重庆市沙坪坝区南开中学八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）

1. 下列代数式中属于分式的是( )

A. 2021

B. 5𝑥4 C. 3𝑥𝑥+𝑦 D. 2𝑎+𝑏3

2. 如图，下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )

A. B. C. D.

3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )

A. 𝑎(𝑥−𝑦)=𝑎𝑥−𝑎𝑦 B. 𝑥2−1=(𝑥+1)(𝑥−1)

C. (𝑥+1)(𝑥+3)=𝑥2+4𝑥+3 D. 𝑥2+2𝑥+1=𝑥(𝑥+2)+1

4. 若𝑥=−1是关于x的一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥−1=0的一个根，则2020+2𝑎−2𝑏的值为( )

A. 2018 B. 2020 C. 2022 D. 2024

5. 下列说法正确的是( )

A. 对角线相等的四边形是平行四边形

B. 对角线互相垂直的四边形是菱形

C. 对角线互相平分的四边形是矩形

D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

6. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴(2,4)以原点为位似中心，将△𝐴𝐵𝐶缩小后得到△𝐷𝐸𝐹，若𝐷(1,2)，△𝐷𝐸𝐹的面积为4，则△𝐴𝐵𝐶的面积为( )

A. 2

B. 4

C. 8

D. 16

7. 若点(−6,𝑦1)，(2,𝑦2)，(3,𝑦3)都是反比例函数𝑦=−𝑎2−1𝑥的图象上的点，则下列各式中正确的是( )

A. 𝑦1<𝑦3<𝑦2 B. 𝑦2<𝑦3<𝑦1 C. 𝑦3<𝑦2<𝑦1 D. 𝑦1<𝑦2<𝑦3 第2页，共27页 8. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E为BC的中点，连接AE交BD于点F，若𝑂𝐹=1，则BF的长为( )

A. 2 B. 3 C.

32

D.

4

9.

某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为( )

A. 1080𝑥=1080𝑥−15+6 B. 1080𝑥=1080𝑥−15−6

C. 1080𝑥+15=1080𝑥−6 D. 1080𝑥+15=1080𝑥+6

10. 若m，n是一元二次方程𝑥2+𝑥−2=0的两个根，则𝑚+𝑛−𝑚𝑛的值是( )

A. −3 B. 3 C. −1 D. 1

11. 如果关于x的不等式组{𝑥−𝑚3≤1𝑥−4>3(𝑥−2)的解集为𝑥<1，且关于x的分式方程21−𝑥+𝑚𝑥𝑥−1=3有非负数解，则所有符合条件的整数m的值之和是( )

A. −2 B. 0 C. 3 D. 5

12. 如图，在矩形ABCD中，𝐴𝐷=√2𝐴𝐵，∠𝐵𝐴𝐷的平分线交BC于点E，𝐷𝐻⊥𝐴𝐸于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：

①∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐶𝐸𝐷；②𝑂𝐸=𝑂𝐷；③𝐵𝐻=𝐻𝐹；④𝐵𝐶−𝐶𝐹=2𝐻𝐸；⑤𝐴𝐵=𝐻𝐹，

其中正确的有( )

A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

13. 已知𝑥3=𝑦4，则𝑥−𝑦𝑥=______．

14. 因式分解：3𝑎3𝑏−12𝑎𝑏= ______ ．

15. 在同一副扑克牌中，取出牌面数字为6、7、8、9的4张牌，洗匀后背面朝上放在桌上，现从中随机摸出两张牌，则这两张牌上的数字之和为偶数的概率为______ ． 第3页，共27页 16. 我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有Y国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图所示.若此时眼睛到食指距离l约为63cm，食指AB长约为7cm，旗杆CD高度为28米，则对方与我军距离d约为______ 米.

17. 已知关于x的一元二次方程(𝑚+2)𝑥2−3𝑥+1=0有实数根，则m的取值范围是______ ．

18. 如图，线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且△𝐴𝐵𝑂的面积为6，若双曲线𝑦=𝑘𝑥(𝑘<0)恰好经过线段AB的中点M，则k的值为______ ．

19. 某天上午，北关物流公司安排甲、乙两辆货车，各自运送抗疫物资从重庆前往西安，乙车出发半小时后，甲车才出发.甲车在行驶1.5小时后到达接货点，停下来装货.1个小时后，满载物资的甲车在原速基础上，降速20千米/小时继续前进，直到西安.已知甲、乙两车全程以各自的速度匀速行驶，两车相距的路程𝑦(千米)与乙车行驶的时间𝑥(小时)之间的关系如图所示，则甲车到达西安时，乙车距离西安还有______

千米．

20. 相传在很久以前，北关城外的津南村里有一户做宽面生意的吴姓财主，为了考察两个儿子的数学能力，某日上午各给了兄弟俩一笔相同的款项，让他们分别去同一家瓷器店里买大、中、小三种不同规格的碗，要求三种碗都要买，而且钱必须刚好花完.中午时分，两兄弟带着碗陆续回到家里，管家检查发现都符合要求，吴财主大喜过望.管家点数之后接着汇报：兄弟俩买回来的碗总数是一个两位数，且各自买回来的相同规格的碗数量之差小于4，其中小碗的总数超过23个，总价是中碗总第4页，共27页 价的13，同时是大碗总价的14，已知中碗的单价是小碗的2倍，大碗的单价是小碗的3倍，则哥哥所买的中碗比小碗多______ 个.

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）

21. 化简下列各式：

(1)(𝑚−1)2−(𝑚+3)(𝑚−3)；

(2)𝑎−21+2𝑎+𝑎2÷(𝑎−3𝑎𝑎+1).

22. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且𝐴𝐸=𝐶𝐹．

(1)求证：△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹；

(2)若∠𝐴𝐷𝐶=150°，∠𝐶𝐷𝐹=50°，求∠𝐸𝐷𝐵的度数．

23. 《中学生体质健康标准》规定的等级标准为：90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格.某校为了解七、八年级学生的体质健康情况，现从两年级中各随机抽取10名同学进行体质健康检测，并对成绩进行分析.成绩如表： 第5页，共27页 七年级 80 74 83 63 90 91 74 61 82 62

八年级 74 61 83 91 60 85 46 84 74 80

整理数据：

优秀 良好 及格 不及格

七年级 2 3 5 0

八年级 1 4 a 1

分析数据：

年级

平均数 众数 中位数

七年级 76 74 77

八年级 74 b c

应用数据：

(1)填空：𝑎= ______ ，𝑏= ______ ，𝑐= ______ ；

(2)目前该校七年级和八年级共有500人，试估计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有多少人？

(3)结合上述数据信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好，并说明理由．

24. 阅读材料：用均值不等式求最值．

已知x、y为非负实数，∵𝑥+𝑦−2√𝑥𝑦=(√𝑥)2+(√𝑦)2−2√𝑥𝑦=(√𝑥−√𝑦)2≥0，∴𝑥+𝑦≥2√𝑥𝑦，当且仅当“𝑥=𝑦”时，等号成立.我们把不等式𝑥+𝑦≥2√𝑥𝑦(𝑥≥0,𝑦≥0)叫做均值不等式，利用均值不等式可以求一些函数的最值．

例：已知𝑥>0，求函数𝑦=2𝑥+2𝑥的最小值．

解：𝑦=2𝑥+2𝑥≥2√2𝑥⋅2𝑥=4，当且仅当2𝑥=2𝑥，即𝑥=1时，“=”成立．

∴当𝑥=1时，函数有最小值𝑦=4

根据以上材料，解决下列问题： 第6页，共27页 (1)当𝑥>0时，求函数𝑦=𝑥+9𝑥+1的最小值；

(2)若函数𝑦=4𝑥+𝑎𝑥(𝑥>0,𝑎>0)，当且仅当𝑥=3时取得最小值，求实数a的值．

25. 描点画图是探究未知函数图象变化规律的一个重要方法，下面是通过描点画图感知函数𝑦=𝑥√𝑥+4图象的变化规律的过程：

x −4 −154 −3 −2 −1 0 1 2 …

y 0 −158 m −2√2 −√3 0 √5 2√6 …

请根据学习函数的经验，利用上述表格所反映的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行探究．

(1)函数𝑦=𝑥√𝑥+4的自变量x的取值范围是______ ；

(2)表中是y与x的对应值，则𝑚= ______ ；

(3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请你先描出点(−3,𝑚)，然后画出该函数的图象；

(4)若关于x的不等式𝑘𝑥+𝑏>𝑥√𝑥+4的解集是−3<𝑥<1，则𝑘−𝑏的值为______ ．

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26. 疫情未退，学生到校仍需随身携带口罩等个人防护用品，某商家推出了“经济型”和“豪华型”两种便携式防疫包，“经济型”的售价是“豪华型”的34．

(1)六月第一周该商家两种防疫包的总销售额为3600元，“豪华型”的销售额是“经济型”的2倍，销售量比“经济型”多40个，求“经济型”防疫包销售了多少个？

(2)为增加销量，该商家第二周决定将“豪华型”的售价下调12𝑎%，“经济型”的售价保持不变，结果与第一周相比，“豪华型”便携式防疫包的销量增加了2𝑎%，“经济型“的销量增加了𝑎%，最终第二周的销售额比第一周的销售额增加了1615𝑎%，求a的值．

27. 在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段OC上，点F在线段AB上，连接BE，连接EF交BD于点M，已知∠𝐴𝐸𝐵=∠𝑂𝑀𝐸．

(1)如图1，求证：𝐸𝐵=𝐸𝐹；

(2)如图2，点N在线段EF上，𝐴𝑁=𝐸𝑁，AN延长线交DB于H，连接DF，求证：𝐷𝐹=√2𝐴𝐻；

(3)如图3，在(2)的条件下连接OF，当𝑂𝐹//𝐵𝐸，𝐴𝐵=6√2时，直接写出线段OH的长．