高中数学 第四章 圆与方程 4.1.1 圆的方程教案 新人教A版必修2(2021年最新整理)

第四章 圆与方程

4.1 圆的方程

4．1.1 圆的标准方程

[目标] 1.明确圆的基本要素，能用定义推导圆的标准方程；2.会求圆的标准方程，能够判断点与圆的位置关系．

[重点] 求圆的标准方程．

[难点]

圆的标准方程及应用．

知识点一 圆的标准方程

[填一填]

1．圆的定义

(1)条件：平面内到定点的距离等于定长的点的集合．

(2)结论：定点是圆心，定长是半径．

2．圆的标准方程

(1)圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

(2)圆心在原点，半径长为r的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.

[答一答]

1．若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a吗？圆心坐标是(m，n)吗？

提示：圆的半径不一定是a，当a>0时，半径是a；当a<0时，半径是－a.圆心坐标不是(m，n)，应是(－m，－n)，因为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2化为标准结构是[x－(－m)]2＋[y－(－n)]2＝|a|2.

2．判一判．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．( × )

(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．( √ )

(3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是2.( × )

知识点二 点与圆的位置关系

[填一填]

设点P到圆心的距离为d，半径为r，则点在圆内⇔dr.

[答一答]

3．判断点和圆的位置关系的依据是什么？

提示：判断点与圆的位置关系的依据是圆心到该点的距离和圆的半径的大小关系．

4．点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是( B )

A.在圆上 B.在圆外

C.在圆内 D.以上都不对

类型一 求圆的标准方程

[例1] 已知圆过两点A(3,1)，B(－1,3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，求此圆的方程．

4.1.1《圆的标准方程》导学案

【学习目标】

知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方

程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

【重点难点】

学习重点： 圆的标准方程

学习难点： 会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

【学法指导】

1、先阅读教材118—120页，然后仔细审题，认真思考、独立规范作答。2、不会的，模棱两可的问题标记好。3、对小班学生要求完成全部问题，实验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上

【知识链接】：

1．两点间的距离公式？

2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？

平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径.

【学习过程】(自主探究)

A问题1阅读教材118页内容，回答问题

已知在平面直角坐标系中，圆心A的坐标用（a，b）来表示，半径用r来表示，则我们如何写出圆的方程？

问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？

例1：1写出下列各圆的方程：

(1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5

(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；

2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：

(1) (x-1)2 + y2 = 6 (2) (x+1)2+(y-2)2= 9

(3) 222()()xaya

例2：写出圆心为(2,3)A半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(5,1)MM是否在这个圆上。

问题3点M0(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上、内、外的条件是什么？

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4.2.1 直线与圆的位置关系

[学习目标] 1.理解直线和圆的三种位置关系.2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系.

知识点一 直线与圆的位置关系及判断

位置关系 相交 相切 相离

公共点个数 2个 1个 0个

判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2 dr

代数法：由 Ax＋By＋C＝0x－a2＋y－b2＝r2消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0

图形

思考 用代数法与几何法判断直线与圆的位置关系时，二者在侧重点上有什么不同？

答 代数法与几何法都能判断直线与圆的位置关系，只是角度不同，代数法侧重于“数”的计算，几何法侧重于“形”的直观.

知识点二 圆的切线问题

1.求圆的切线的方法

(1)求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：

先求切点与圆心的连线的斜率k，则由垂直关系，知切线斜率为－1k，由点斜式方程可求得切线方程.如果k＝0或k不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0.

(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：

几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半

第2页 共11页 径，可求得k，切线方程即可求出.并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线.

代数法：设切线方程y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出.并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线.

2.切线段的长度公式

(1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则P到切点的切线段长为

d＝x0－a2＋y0－b2－r2.

(2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的切线，则P到切点的切线段长为

- 1 - 第四章 圆 与 方 程

4.1 圆 的 方 程

4.1.1 圆的标准方程

圆的标准方程

圆心为C(x0，y0)，半径为r的圆的标准方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，特别地，圆心在原点时，圆的标准方程为x2＋y2＝r2．

(1)如果圆的标准方程为(x＋x0)2＋(y＋y0)2＝a2(a≠0)，那么圆的圆心、半径分别是什么？

提示：圆心为(－x0，－y0)，半径为|a|.

(2)如果点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，那么x20 ＋y20 ＝r2，若点P在圆内呢？圆外呢？

提示：若点P在圆内，则x20 ＋y20 ＜r2；若点P在圆外，则x20 ＋y20 ＞r2.

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)

(1)圆的标准方程由圆心、半径确定．( √ )

(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．( × )

(3)原点在圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2上，则x20 ＋y20 ＝r2.( √ )

提示：(1)如果圆的圆心位置、半径确定，圆的标准方程是确定的．

(2)当m＝0时，表示点(a，b). - 2 - (3)原点在圆上，则(0－x0)2＋(0－y0)2＝r2，即x20 ＋y20 ＝r2.

2．圆(x－1)2＋y2＝3的圆心坐标和半径分别是( )

A．(－1，0)，3 B．(1，0)，3

C．()－1，0，3

D．()1，0 ，3

【解析】选D.根据圆的标准方程可得，(x－1)2＋y2＝3的圆心坐标为(1，0)，半径为3 .

3．到原点的距离等于3 的点的坐标所满足的方程是________．

【解析】设点的坐标为(x，y)，根据到原点的距离等于3 以及两点间的距离公式，得（x－0）2＋（y－0）2 ＝3 ，两边平方得x2＋y2＝3，是半径为3

的圆．

答案：x2＋y2＝3

类型一 圆的标准方程的定义及求法(数学抽象、数学运算)