协偏度和协峰度

矩在物理、数学以及图像处理中的意义

2

矩在物理、数学以及图像处理中的意义

一、 物理意义：（点表示质量）

1、零点矩：总质量；

2、一阶矩：重心；

3、二阶矩：转动惯量。

二、 矩的数学意义：

1、 矩：

一组点组成的模型的特定的数量测度，定义在实数域的实函数相对于值C的n阶矩为：

归一化n阶中心矩或者说标准矩，是n阶中心矩除以标准差 σn,归一化n阶中心矩为：

2、 一阶矩：

就是期望值、平均数；

4、 二阶矩：就是方差； 矩在物理、数学以及图像处理中的意义

2

5、三阶（中心）矩：

随机变量的偏态（衡量分布不对称性），表示偏斜度。

注：

①任何对称分布的随机变量的偏态为0；

② 偏态：

6、四阶（中心）矩：峰度加3。

注：

①一般随机变量的峰度定义为其四阶矩与方差平方的比值减3，减3是为了让正态分布峰度为0，这也被称为超值峰度；

②峰度：

7、混合矩：

多个变量的矩，如协方差，协偏度，协峰度。协方差只有一个，协峰度和协偏度存在多个。

8、样本矩：

通过样本来估计，不需要先估计其概率分布；

（均值）

注：

① 对于任何样本大小，原始样本矩的期望值等于群体的k阶矩。 矩在物理、数学以及图像处理中的意义

2

② 矩通常通过样本矩估计

※中心转换：

∵

∴

矩在物理、数学以及图像处理中的意义

2

三、在图像处理中的意义：

1、背景知识：

①图像被概括为具有几个较低阶矩的函数。面积（二值图）或灰度和（灰度图）：M00

② 质心：

③ 唯一性定理：如果f（x ,y）是分段连续并且仅在x y平面的有限部分中具有非零值，则存在所有阶的矩，并且矩序列Mpq由f（x, y）唯一确定。反之中心矩Mpq唯一确定f（x, y）。

④ 图像看成概率密度计算：

2、图像矩：

图像像素强度的某个特定加权平均（矩），或是这样的矩的函数，通常选一些具有吸引力的特性或解释。

3、原点矩：

对于一个二维连续函数f（x,y）,第（p+q）个点的矩被定义为

用偏度和峰度检验正态分布的方法

引言

正态分布是统计学中最常见的分布之一，也是许多统计推断和假设检验的基础。在实际应用中，我们常常需要检验数据是否符合正态分布。偏度（skewness）和峰度（kurtosis）是常用的两个统计量，可以用来判断数据的分布形态。

本文将介绍偏度和峰度的概念，并详细说明如何使用这两个统计量来检验数据是否符合正态分布。

1. 偏度

偏度是描述数据分布对称性的统计量。它衡量了数据分布的左右偏斜程度，可以判断数据是左偏、右偏还是近似对称。偏度的定义如下：

𝑆𝑘𝑒𝑤𝑛𝑒𝑠𝑠=∑(𝑋𝑖−𝑋‾)3𝑛𝑖=1/𝑛𝜎3

其中，𝑋𝑖 是样本观测值，𝑋‾ 是样本均值，𝜎 是样本标准差，𝑛 是样本容量。

偏度的取值范围为负无穷到正无穷。当偏度为0时，表示数据分布近似对称；当偏度大于0时，表示数据分布右偏；当偏度小于0时，表示数据分布左偏。

2. 峰度

峰度是描述数据分布尖锐程度的统计量。它衡量了数据分布的峰态，可以判断数据是平顶、尖峭还是扁平。峰度的定义如下：

𝐾𝑢𝑟𝑡𝑜𝑠𝑖𝑠=∑(𝑋𝑖−𝑋‾)4𝑛𝑖=1/𝑛𝜎4

其中，𝑋𝑖 是样本观测值，𝑋‾ 是样本均值，𝜎 是样本标准差，𝑛 是样本容量。

峰度的取值范围为负无穷到正无穷。当峰度为0时，表示数据分布为正态分布；当峰度大于0时，表示数据分布比正态分布更尖峭；当峰度小于0时，表示数据分布比正态分布更平顶。

3. 检验方法

3.1 偏度检验

偏度检验的原假设（H0）是数据分布的偏度等于0，即数据分布近似对称。备择假设（H1）是数据分布的偏度不等于0，即数据分布不对称。

常用的偏度检验方法有两种：Shapiro-Wilk检验和Jarque-Bera检验。 3.1.1 Shapiro-Wilk检验

Shapiro-Wilk检验是一种基于排序的统计检验方法，适用于小样本和大样本。它的原假设是数据来自正态分布。

偏度与峰度

偏度这⼀指标，⼜称偏斜系数、偏态系数，是⽤来帮助判断数据序列的分布规律性的指标。 在数据序列呈对称分布（正态分布）的状态下，其均值、中位数和众数重合。且在这三个数的两侧，其它所有的数据完全以对称的⽅式

左右分布。 如果数据序列的分布不对称，则均值、中位数和众数必定分处不同的位置。这时，若以均值为参照点，则要么位于均值左侧的数据较

多，称之为右偏；要么位于均值右侧的数据较多，称之为左偏；除此⽆它。 考虑到所有数据与均值之间的离差之和应为零这⼀约束，则当均值左侧数据较多的时候，均值的右侧必定存在数值较⼤的“离群”数据；同

理，当均值右侧数据较多的时候，均值的左侧必定存在数值较⼩的“离群”数据。 ⼀般将偏度定义为三阶中⼼矩与标准差的三次幂之⽐。

在上述定义下，偏度系数的取值⽆⾮三种情景：

1.当数据序列呈正态分布的时候，由于均值两侧的数据完全对称分布，其三阶中⼼矩必定为零，于是满⾜正态分布的数据序列的偏度系

数必定等于零。 2.当数据序列⾮对称分布的时候，如果均值的左侧数据较多，则其右侧的“离群”数据对三阶中⼼矩的计算结果影响⾄巨，乃⾄于三阶中⼼

矩取正值。因此，当数据的分布呈右偏的时候，其偏度系数将⼤于零。 3.当数据序列⾮对称分布的时候，如果均值的右侧数据较多，则其左侧的“离群”数据对三阶中⼼矩的计算结果影响⾄巨，乃⾄于三阶中⼼

矩取负值。因此，当数据的分布呈左偏的时候，偏度系数将⼩于零。 在右偏的分布中，由于⼤部分数据都在均值的左侧，且均值的右侧存在“离群”数据，这就使得分布曲线的右侧出现⼀个长长的拖尾；⽽

在左偏的分布中，由于⼤部分数据都在均值的右侧，且均值的左侧存在“离群”数据，从⽽造成分布曲线的左侧出现⼀个长长的拖尾。 可见，在偏度系数的绝对值较⼤的时候，最有可能的含义是“离群”数据离群的程度很⾼（很⼤或很⼩），亦即分布曲线某侧的拖尾很

长。 但“拖尾很长”与“分布曲线很偏斜”不完全等价。例如，也不能排除在数据较少的那⼀侧，只是多数数据的离差相对于另⼀侧较⼤，但不存

２０１０年第１期　

（总第９５期）　福州大学学报（哲学社会科学版）　

Ｊ０ＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＦＵＺＨＯＵ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（Ｐｈｉｌｏｓｏｐｈｙ　ａｎｄ　Ｓｏｃｉａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）　Ｎｏ．１　２０ｌ０　

Ｓｅｒｉａｌ　Ｎｏ．９５　

基于高阶矩的金融资产定价和配置　

黄文彬　郑振龙　

（１．福州大学数学与计算机科学学院，福建福州３５０１０８；２．厦门大学经济学院，福建厦门３６１００５）　

摘要：金融资产对数收益常呈现不对称性和厚尾性，一般不是正态分布，而均值一方差ＣＡＰＭ模型中的系统性　风险只考虑二阶矩风险即波动率，忽略了高阶矩风险，可能使资产定价和资产配置存在严重的误差。考　察偏度和峰度在我国金融资产配置和资产定价中的作用后，发现加入系统性协偏度和协峰度的高阶矩　ＣＡＰＭ模型能够重新解释我国金融资产风险与收益间的平衡关系，比均值一方差ＣＡＰＭ模型更适合我国　

的金融市场。　。　

关键词：高阶矩；资产定价；资产配置　中图分类号：Ｆ８３０．９　文献标识码：Ａ文章编号：１００２—３３２１（２０１０）Ｏ１—００２３—０６　

一、前言　

均值一方差ＣＡＰＭ模型是金融领域最重要的　

理论模型之一。均值一方差ＣＡＰＭ模型只关心均　

值和方差，隐含着收益分布是正态分布或者投资　

者的效用函数是二次效用函数的假定。但众多文　

献研究表明大部分金融资产的对数收益并非正态　

分布，特别是近十几年对新兴市场的研究发现，新　

兴市场的金融资产具有高收益和高波动特征，以　

致收益分布呈现不对称性和厚尾性（常存在负偏　

度和高峰度）。负偏度使得收益下降概率超过上　

升概率，从而增大投资者蒙受损失的可能性；高峰　

度又使得极值事件发生的概率增加，然而投资者　

对于具有相同概率、相同值的收益和损失感受却　

完全不同。投资者愿意对与市场具有正协偏度和　

负协峰度的资产付出风险溢价，当收益分布具有　

正协偏度（负协峰度）时，投资者要求较低的收益。　

同时，二次效用函数是递增的绝对风险厌恶型效