重庆市第八中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学(理)试题(解析版)
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重庆八中2017—2018学年度（下）期末考试高一年级
数学试题（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.设，且，则下列说法正确的是（ ）A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
∵，当c≤0时，A 显然不成立；a=1，b=-2
时，,故B不正确；y=x3在R上为增函数，故C正确；当
a=1，b=0时，D显然不正确.
故选C.
【思路点睛】判断两个式子的大小关系方法：
（1）作差作商法，（2）不等式性质法、（3）函数的单调性、（4）中间量法、（5）特殊值法、（6）数形结合法等.
2.
设集合，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先分别求出集合，根据集合交集的运算，即可求解。
【详解】由题意，集合
，，
所以，故选C。
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合和集合交集的运算是解答的关键，着重考
查了推理与运算能力，属于基础题。
3.
已知
是椭圆
的两个焦点，过的直线与椭圆交于
两点，则的周长为（ ）
A. 16 B. 8 C. 25 D. 32
【答案】A【解析】
因为椭圆的方程我，
所以 ，
由题意的定义可得的周长 ，故选A.
4.已知，若直线与直线平行，则的值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】
由两直线平行的条件计算值，同时要检验是否重合．
【详解】直线的斜率显然存在，因此由题意有
，解得．
故选B．
【点睛】两直线
和
平行的条件是
且（
或），在
均不为0
时，条件可写为．
一般可由求出参数值，然后检验是否重合即可．
5.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问
尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，
共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
设塔顶有
盏灯，则由等比数列的前
项公式列出方程可解得．
【详解】设塔顶有
盏灯，由题意得
，解得．
故选D．
【点睛】本题考查考查等比数列的应用．关键是由实际问题抽象出数学概念，题中“红光点点倍加增”，说明每层
灯盏数依次成系数，从而利用等比数列的前项和公式可计算．
6.下列函数中，既是偶函数，又在内单调递增的为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
可先根据奇偶性确定奇偶性，现对其中的偶函数判断单调性．
【详解】根据奇偶性的定义知A即不是奇函数也不是偶函数，C是奇函数，B、D
是偶函数，在上B是减函
数，D是增函数．
故选D．
【点睛】本题考查奇偶性与单调性，掌握奇偶性与单调性是解题关键．此类问题一般比较简单，记住基本初等函
数的奇偶性与单调性可以很快得出结论．
7.
已知平面向量
的夹角为
且
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量的数量积的运算，化简，即可计算，得到答案。
【详解】因为平面向量
的夹角为
且
，，
则，
故选B。
【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关
键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。8.已知实数
满足约束条件，则的最大值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
作出可行域及目标函数对应的直线，平移直线可得最值．
【详解】作出可行域，如图内部（含边界）
，作直线
，向下平移直线
，当直线过点时，
取得最大值3．
故选B．
【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域，
作出目标函数对应的直线，平移直线
过可行域的边界点后可得最优解．
9.若正数满足：
，则的最小值为（ ）
A. 16 B. 9 C. 4 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
由对数的运算法则，得出
的关系式，再把凑配成可用基本不等式的形式后求得最小值．
【详解】
∵
，∴
，∴
，即
，由题意，
∴
，当且仅当
，即时，等号成立．
故选C．
【点睛】本题考查用基本不等式求最值，基本不等式的应用关键是“一正二定三相等”的条件必须
满足，否则求出的一定不是最值．解题中常用凑配法配出定值形式，或用“1”的代换变出定值形式．本题只要已
知条件代入即得积为定值形式．
10.已知函数的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）
A.
函数
的最小正周期为
B.
函数
的图象关于直线对称
C.
函数
在区间上单调递增
D.
函数
的图象可由
的图象向右平移个单位得到
【答案】C
【解析】
【分析】
可根据“五点法”求出函数的周期，根据图象得出一个对称轴，再由周期得出其它的对称轴，从而可判断单调性，
也可求出函数解析式，从而判断平移的结论．
【详解】由题意函数周期为，A正确；
由图象知其一条对称轴为
，而也是其对称轴，B正确；
又
，所以
是最低点，但
，因此函数在上不是单调递增的，C错误；
，
，，
，而把
图象向右平移个单位得图象的解析式为
，D正确．
故选C．
【点睛】函数
的图象中，关键是五点，是与正弦函数图象中的五点对
应的五点，一定要记住，它们能反映
的性质．另外函数图象平移，是解析式中加减平移的单位，
如
向右平移
个单位，得解析式为．
11.在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当
变化时，的最大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
利用几何意义求解，点P
在单位圆上，直线是过定点的直线，求出圆心到直线距离的最大值，然后加上半径1
即可．
【详解】由题意
是单位圆上的点，而直线
是过定点
的直线（不含轴），原点（即圆心）
到直线的距离的最大值为3，
∴
到直线的距离的最大值为3＋1＝4．
故选D．
【点睛】本题考查点到直线的距离，但在求最大值时，不用点到直线距离公式求出距离，而借助几何意义求解，
点P
在单位圆上，直线是过定点的直线，求出圆心到直线距离的最大值，然后加上半径1即可．而圆心到定点
的距离就是当直线变化时，圆心到直线距离的最大值，这可由直角三角形的性质直接得出．这种方法简单易行，
值得提倡．
12.
已知正项数列的前
项和为
，首项
且，则以下说法中正确的个数是（ ）
①；
②当
为奇数时，；
③
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
因为
，故
，即
；当
时，，
故
；当
时，，所以
，即
，又，所以
，所以
，所以当
为奇数时，
；，
所以；综上所述，①②③都正确.选D.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卷上）
13.
已知向量
，若，则__________
【答案】5
【解析】
【分析】
利用向量垂直，其数量积为0
，可求得参数．
【详解】由已知，
∵，
∴
，．
【点睛】本题考查向量垂直的坐标运算．运用的结论是，这是平面向量中的重要结论之一，一定熟
记．
14.
直线
与圆相交于两点，则弦的长度等于________
【答案】【解析】
的圆心为.
半径，
圆心到直线的距离
弦长
故答案为
15.在中，角的对边分别为
，且，若
的面积，则的最小值为___________
【答案】
【解析】
【分析】
利用三角形面积公式和余弦定理建立的等量关系，再由不等式的性质求解．
【详解】由题意
，即，
∴，
又，
∴
，时等号成立．
∴
，故
的最小值为．
【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是利用三角形面积公式和余弦定理建立的等量关系，然后再由基
本不等式得出不等关系，从而求得最值．这种方法也是求最值的常用方法之一．
16.设点
是椭圆上的点，以点为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于不同的
两点,
且满足,则椭圆的离心率为________。
【答案】
【解析】
【分析】
由向量加法的平行四边形法则知由于
，则以为邻边的平行四边形是矩形，再由对称性知其
为正方形，从而易得
的关系式，变形后可求得离心率．
【详解】
∵，
由向量加法的平行四边形法则知以
为邻边的平行四边形是矩形，又，
因此此四边形是正方形．以点
为圆心的圆与
轴相切于椭圆的焦点
，则
轴，∴
，，∴
，∴，
即
，∴
（舍去）
，∴．
【点睛】求椭圆的离心率问题，关键是建立的等量关系，而结合图形，利用椭圆的几何性质可以容易得出所要
结论．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.
已知等比数列
中，。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若
分别是等差数列的第8项和第20
项，试求数列
的通项公式及前
项和。
【答案】（Ⅰ
）（Ⅱ
）
【解析】
【分析】
