重庆市第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题
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【全国百强校】重庆市第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．i是虚数单位，计算122ii 的结果为（ ）
A．i B．i C．1 D．1
2．极坐标方程2cos所表示的图形是
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
3．用数学归纳证明：1221321,nnnnnnnN时，从nk到1nk时，左边应添加的式子是 （ ）
A．21k B．23k C．221k D．223k
4．设随机变量服从正态分布2(1,)N，若(2)0.8P，则(01)P的值为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
5．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为
A．100 B．200 C．300 D．400
6．通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：
做不到“光盘” 能做到“光盘”
男 45 10
女 30 15
则有（ ）以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’与性别有关”，附表及公式
20PKk 0.100 0.050 0.010 0.001
0k 2.706 3.841 6.635 10.828
22nadbcKabcdacbd
A．90% B．95% C．99% D．99.9%
7．若2018220180122018(13)xaaxaxax ,则20181222018333aaa 的值为（ ）
A．2
B．0 C．﹣1 D．﹣2
8．已知函数3221()13fxxaxbx，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（ ）
A．79 B．13 C．59 D．23
9．小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为
A．60 B．72 C．84 D．96
10．某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的PK赛，,AB两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK，比赛四局.除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为( )
A．1627 B．5281 C．2027 D．79
11．将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（ ）
A．16种 B．12种 C．9种 D．6种
12．已知函数()123,()2ln,fxxgxx 对任意12,,3x 都存在20,,x 使得121()(),4fxgx 则12xx 的最大值为（ ）
A．2548 B．2348 C．1ln23 D．1ln32
二、填空题
13．62xx展开式中，常数项是__________． 14．甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制（分为,,ABC三个层次），得A的同学直接进入第二轮考试．从评委处得知，三名同学中只有一人获得A．三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下：
甲说：看丙的状态，他只能得B或C；
乙说：我肯定得A；
丙说：今天我的确没有发挥好，我赞同甲的预测．
事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得A的同学是_____．
15．袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次任取1个球，取2次，则事件“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率为_____．
16．已知椭圆2222:1(0)xyCabab，12,FF为其左、右焦点,P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，G为12FPF内一点，满足123PGPFPF,12FPF的内心为I，且有12IGFF（其中为实数），则椭圆C的离心率e=_____
三、解答题
17．已知曲线1C的参数方程为2cos3sinxy（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴简历极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2,([0,],为极角）
（1）分别写出曲线1C的普通方程和曲线2C的参数方程；
（2）已知M为曲线1C的上顶点，P为曲线2C上任意一点，求||PM的最大值.
18．已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，090BACACD，060EAC，ABACAE.
（1）若P是BC的中点，求证：//DP平面EAB；
（2）求平面EBD与平面ACDE所成的锐二面角的余弦值.
19．一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内与温度x有关, 现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表： 温度x/℃ 21 23 24 27 29 32
产卵数y/个 6 11 20 27 57
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(1)若用线性回归模型，求y关于x的回归方程ˆy=ˆbx+ˆa（精确到0.1）；
(2)若用非线性回归模型求y关x的回归方程为ˆy 0.23030.06,xe且相关指数20.9522R
( i )试与 (1)中的线性回归模型相比，用2R 说明哪种模型的拟合效果更好.
( ii )用拟合效果好的模型预测温度为035C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.
附：一组数据(x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn), 其回归直线ˆy=ˆbx+ˆa的斜率和截距的最小二乘估计为121()ˆniiiniixxyybxx，ˆˆaybx，相关指数22121ˆ()1()niiiniiyyRyy．
16()557,iiixxyy126()3930,iiyy126()2364ˆ6.,iiiyy8.06053167e．
20．在平面直角坐标系中，点P是直线:1lx上的动点，定点(1,0),F 点Q为PF的中点，动点M满足·0,()MQPFMPOFR.
（1）求点M的轨迹C的方程
（2）过点F的直线交轨迹C于,AB两点，T为C上任意一点，直线,TATB交l于,CD两点，以CD为直径的圆是否过x轴上的定点？ 若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由．
21．已知函数1xfxaxe，曲线yfx在原点处的切线为2yx.
（1）证明：曲线yfx与x轴正半轴有交点；
（2）设曲线yfx与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线为直线l，求证：曲线yfx上的点都不在直线l的上方；
（3）若关于x的方程fxm（m为正实数）有不等实根1212,xxxx，求证：21324mxx.
参考答案
1．B
【解析】
分析：根据复数的除法法则计算即可．
详解：由题意得12(12)(2)52(2)(2)5iiiiiiii．
故选B．
点睛：本题考查复数的除法运算法则，考查学生的运算能力，属于容易题．
2．D
【解析】
分析：将极坐标方程化为直角坐标方程后再进行判断．
详解：∵2cos，
∴22cos．
把222,ρcosθxxy代入上式可得2220xyx,
即2211xy，
∴极坐标方程表示的是以（1,0）为圆心，半径为1的圆．
故选D．
点睛：本题考查极坐标和直角坐标间的互化，考查学生运用所学知识解决问题的能力，解题的关键是灵活运用极坐标和直角坐标间的转化公式进行求解．
3．C
【解析】
分析：分别求出nk时左边的式子，1nk时左边的式子，用1nk时左边的式子，除以nk时左边的式子，即得结论.
详解：当nk时，左边等于
12...12...2kkkkkkk，
当1nk时，左边等于
23...2122kkkkkk，
故从“k”到“1k”的证明，左边需增添的代数式是 21222211kkkk，故选C.
点睛：项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.
4．B
【分析】
根据正态密度曲线的对称轴得出110.5PP，然后利用正态密度曲线的对称性得出011221PPPP可得出答案．
【详解】
随机变量服从正态分布21,N，所以，110.5PP，
12210.80.50.3PPP，
01120.3PP，故选B．
【点睛】
本题考查正态分布的应用，意在考查正态密度曲线的对称性，属于基础题．
5．B
【详解】
试题分析：设没有发芽的种子数为，则(1000,0.1)B，2X，所以()2()210000.1200EXE
考点：二项分布
【方法点睛】
一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X～B（n，p）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E（X）＝np）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.
6．A
【解析】
