变化率问题

- 1 - 1. 1.1变化率问题

课前预习学案

预习目标：“变化率问题”，课本中的问题1,2。知道平均变化率的定义。

预习内容：

问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢？

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是334)(rrV

如果将半径r表示为体积V的函数,那么343)(VVr

在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为__________

当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为__________________

当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率为_____________

问题2 高台跳水

在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v粗略地描述其运动状态?

在5.00t这段时间里，v=_________________

在21t这段时间里，v=_________________

问题3 平均变化率

已知函数xf，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数xf从1x到2x___________.习惯上用x表示12xx，即x=___________,可把x看做是相对于1x的一个“增量”，可用1xx代替2x，类似有)(xf__________________,于是，平均变化率可以表示为_______________________

提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点 疑惑内容

课内探究学案

学习目标 1.理解平均变化率的概念;

2.了解平均变化率的几何意义;

3.会求函数在某点处附近的平均变化率. h

t o - 2 - 学习重点： 平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.

学习难点：

平均变化率的概念.

学习过程

一：问题提出

问题1气球膨胀率问题：

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是__________.

如果将半径r表示为体积V的函数,那么___________.

⑴ 当V从0增加到1时,气球半径增加了___________.

气球的平均膨胀率为___________.

⑵ 当V从1增加到2时,气球半径增加了___________.

气球的平均膨胀率为___________.

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

___________.

问题2 高台跳水问题：

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在怎样的函数关系？

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系___________.

）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t≤０.5，1≤t≤2，1.8≤t≤2，2≤t≤2.2，时间段里的平均速度.

思考计算：5.00t和21t的平均速度v

在5.00t这段时间里，___________.；

在21t这段时间里，___________.

探究：计算运动员在49650t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，)0()4965(hh，

所以___________.虽然运动员在49650t这段时间里的平均速度为)/(0ms，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

（1）计算和思考，展开讨论；

（2）说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.

（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；

二平均变化率概念:

1．上述问题中的变化率可用式子

1212)()(xxxfxf表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化h

t o - 3 - 率

2．若设12xxx, )()(12xfxff (这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2,同样)()(12xfxfyf)

3． 则平均变化率为xfxy___________.

思考：观察函数f(x)的图象

平均变化率xf1212)()(xxxfxf表示什么?

（1） 一起讨论、分析，得出结果；

（2） 计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x2-x1；②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)；③求平均变化率2121()()fxfxfxxx.

注意：①Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘；

②x2= x1+Δx；

③Δf=Δy=y2-y1；

三．典例分析

例1．已知函数f(x)=xx2的图象上的一点)2,1(A及临近一点)2,1(yxB,则xy ．

解：

例2．求2xy在0xx附近的平均变化率。

解：

四．有效训练

1．质点运动规律为32ts，则在时间)3,3(t中相应的平均速度为 ．

2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.

3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.

反思总结：1、平均变化率的概念

2、如何求函数在某点附近的平均变化率

当堂检测

1、函数2xxf在区间3,1上的平均变化率是（ ）

A、4 B、2 C、41 D、43

2、经过函数22xy图象上两点A、B的直线的斜率（1,5.1BAxx）为_______;函数 - 4 - 22xy在区间[1，1.5]上的平均变化率为_________________

3、如果质点M按规律23ts运动，则在时间[2，2.1]中相应的平均速度等于______

课后练习与提高

1、 已知函数1)(2xxf，分别计算xf在下列区间上的平均变化率

（1）[1，1.01] (2)[0.9,1]

2、 已知一次函数)(xfy在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式。

3、已知函数12)(2xxfy的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x，1(fx）），求xy

4、将半径为R的球加热，若球的半径增加R，则球的体积增量________________)(34)(432RRRV - 5 - 1.1.1 变化率问题

教学目标：

1.理解平均变化率的概念;

2.了解平均变化率的几何意义;

3.会求函数在某点处附近的平均变化率.

教学重点：

平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.

教学难点：

平均变化率的概念.

教学过程：

一、创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;

三、求已知函数的最大值与最小值;

四、求长度、面积、体积和重心等.

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.

导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.

二、新课讲授

(一)问题提出

问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是334)(rrV

如果将半径r表示为体积V的函数,那么343)(VVr

分析: 343)(VVr

(1)当V从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dmrr

气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(Ldmrr

(2)当V从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dmrr

气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(Ldmrr

可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了. - 6 - 思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 1212)()(VVVrVr

问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系105.69.4)(2ttth.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?

思考计算: 5.00t和21t的平均速度v

在5.00t这段时间里,)/(05.405.0)0()5.0(smhhv

在21t这段时间里,)/(2.812)1()2(smhhv

探究: 计算运动员在49650t这段时间里的平均速度,并思考以下问题:

(1)运动员在这段时间内使静止的吗？

(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程:

如图是函数105.69.4)(2ttth的图像,

结合图形可知,)0()4965(hh,所以)/(004965)0()4965(mshhv

虽然运动员在49650t这段时间里的平均速度为)/(0ms,

但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,

可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.

(二)平均变化率概念

1.上述问题中的变化率可用式子1212)()(xxxfxf表示,

称为函数)(xf从1x到2x的平均变化率.

2.若设12xxx, )()(12xfxff(这里x看作是对于1x的一个“增量”可用xx1代替2x,同样)()(12xfxfyf)

则平均变化率为xfxyxxfxxfxxxfxf)()()()(111212

思考: 观察函数)(xf的图象

平均变化率xf1212)()(xxxfxf表示什么?

三、典例分析

例1 已知函数xxxf2)(的图象上的一点)2,1(A及

临近一点)2,1(yxB则xy . h

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