北师大版九年级数学上册第4章 图形的相似

新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北师）

第四章 图形的相似

1.了解线段的比、成比例线段,掌握比的性质及平行线分线段成比例的基本事实.

2.了解相似多边形和相似比.

3.探索并理解三角形相似的条件和性质.

4.了解相似三角形判定定理的证明.

5.了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小.

6.探索并了解多边形的各顶点坐标(有一个顶点为原点,有一条边在横轴上)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形的位似关系.

7.了解黄金分割的意义,以及相似图形在现实生活中的应用.

在研究与图形相似有关的问题中,经历观察、操作、类比、归纳、交流等过程,进一步发展几何直观和推理能力,发展发现问题、提出问题、解决问题的能力,积累数学活动经验.

在探索问题、合作交流的过程中,进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系和数学的价值,增强应用意识.

基于《标准》的要求和学生的基础,本章设计的总体思路是以数形结合为基本方法,以合情推理能力与演绎推理能力的培养为主线,在生动的问题情境和丰富的数学活动中,了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段;掌握平行线分线段成比例的基本事实;类比三角形全等,探索三角形相似的条件;了解相似三角形的判定定理和性质定理;了解图形的位似,体会多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形的位似关系;会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.

第1节“成比例线段”、第2节“平行线分线段成比例”,教科书从观察生活中的图案到观察几何图形,进而认识形状相同的图形.通过引导学生思考如何描述形状相同的图形的不同之处,引出学习线段的比的必要性和线段的比的概念,在此基础上,结合图形引出成比例线段、比例的性质,以及平行线分线段成比例等内容,从而为后面研究相似三角形做好准备.第3节“相似多边形”,教科书结合具体的形状相同的图形,明确对应角、对应边的概念,继而给出相似多边形、相似比的概念,接着通过若干具体活动进一步巩固对相似多边形概念的理解.第4节“探索三角形相似的条件”,根据相似多边形的定义,顺势引出相似三角形的概念,接着,类比三角形全等条件的探索,展现三角形相似条件的探索,明确给出相似三角形的三个判定定理,另外,本节借助相似三角形,介绍了黄金分割、黄金比及其计算过程.考虑到相似三角形判定定理的证明是《标准》规定的选学内容,教科书在得出三角形相似的条件之后,设计了第5节“相似三角形判定定理的证明”,将相似三角形判定定理的证明单独成节,是为了方便教师在教学中根据学情灵活安排.在相似三角形判定定理之后,设计了一节活动课,即第6节“利用相似三角形测高”,介绍了利用相似三角形测量旗杆高度的几种方法.第7节“相似

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三角形的性质”,研究相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比与相似比的关系,以及周长比、面积比与相似比的关系.第8节“图形的位似”,介绍位似图形的概念,利用位似图形将一个图形放大或缩小,研究多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形的位似关系.

【重点】

1.成比例线段的性质.

2.相似三角形的判定和性质.

3.相似形知识在生活中的应用.

【难点】

1.比例的性质.

2.相似多边形的判定.

1.数学教学是数学活动的教学,因此建议设置丰富的问题情境,展现知识的发生、发展过程.因此,本章在研究的过程中应注重知识内容与研究方法上的联系与区别,应关注“对应”关系的确定(对应边的关系、对应角的关系等),注重基本模型的识别与应用.

2.应注重站在系统的高度,突显类比的方法,梳理相关知识,帮助学生建立知识体系;重视渗透研究几何图形的基本问题和方法,进一步把握“特殊与一般”的关系,进一步明确“性质定理与判定定理”的互逆关系,进一步发展学生合情推理与演绎推理的能力.

3.注重数学思想的教学,关注对证明思路的启发,学会数学的思考,提倡证明方法的多样性;关注数学教学的生活意义与模型价值,培养学生应用意识,提倡采用数学实践活动的方式让学生用数学,感受数学的应用价值.

1

成比例线段 2课时

2 平行线分线段成比例 1课时

3 相似多边形 1课时

4 探索三角形相似的条件 4课时

*5 相似三角形判定定理的证明 1课时

6 利用相似三角形测高 1课时

7 相似三角形的性质 2课时

8 图形的位似 2课时

1 成比例线段

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通过现实情境了解线段的比和成比例线段的概念,理解并掌握比例的性质.

通过现实情境,进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力,培养学生的数学应用意识,体会数学与自然、社会的密切联系.

学会与他人合作交流,通过有关比的计算,让学生懂得数学的作用,从而增强学生学习数学的信心.

【重点】 线段的比和成比例线段,以及比例线段的基本性质.

【难点】 比例线段的基本性质的运用.

第课时

1.了解线段的比和成比例线段的概念.

2.理解比例线段的基本性质.

通过生活情境理解相关概念.

增强学生对数学知识来源于生活的认识.

【重点】 成比例线段的概念.

【难点】 比例线段的基本性质.

【教师准备】 课堂教学用的投影图片.

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【学生准备】 测量长度的直尺,放大镜等.

导入一:

出示如图所示的两面大小不同的国旗,让学生比较这两面国旗有什么不同.

[设计意图] 以接近学生生活实际的国旗为背景,对学生进行爱国主义教育,同时提出国旗中蕴含着数学知识,激发学生的学习积极性,从而自然引入本节课内容.

导入二:

埃及法老阿美西斯想要测量金字塔的实际高度,可是没有一个埃及人能测出来.古希腊学者泰勒斯对法老阿美西斯说:“我只需找一个特殊的时刻,就能测出金字塔的高度.”泰勒斯在金字塔前竖立一根1 m长的木棒,他不断测量木棒的影长,当木棒的影子的长正好是1 m时,特殊时刻来了,如图所示,设金字塔的塔基宽为2b m,在塔外的影长为a m,落在塔内的影长恰为塔基宽的一半,这意味着金字塔的影长为a+b,因为木棒的高度与影长的比为1∶1,所以在同一时间同一地点的金字塔的高度与影长之比也应为1∶1,所以金字塔的高度为(a+b)m.

[过渡语] 形状相同、大小不同的两个图形之间存在着怎样的对应关系呢?

一、两条线段的比

(1)学生测量两面国旗对角线的长度后,教师总结:描述两面国旗大小之间的关系,我们可以借助于两条线段的比来说明.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么这两条线段的比就是它们长度的比,即AB∶CD=m∶n,或写成𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑚𝑛.其中线段AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项,如果把𝑚𝑛表示成比值k,那么𝐴𝐵𝐶𝐷=k,或AB=k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比.如图所示,五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'形状相同,AB=5 cm,A'B'=3 cm,AB∶A'B'=5∶3,53就是线段AB和线段A'B'的比,这个比值刻画了这两个五边形的大小关系.

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(2)问题思考:AB∶A'B'=5∶3,这时线段A'B'与线段AB的比是多少呢?

[知识拓展] (1)求线段的比时,线段的长度单位要统一.

(2)线段的比没有单位,所以线段的比与所采用的长度单位无关.

(3)两条线段的比有先后顺序,前项和后项不能颠倒.

二、成比例线段

[过渡语] 如果两个图形完全一样,只是大小不同,这两个图形上的对应线段之间存在什么关系呢?

思路一

如图所示,设小方格的边长为1,四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上.

(1)AB,AD,EF,EH的长度分别是多少?

(2)𝐴𝐵𝐸𝐹,𝐴𝐷𝐸𝐻,𝐴𝐵𝐴𝐷,𝐸𝐹𝐸𝐻的值相等吗?

【总结】 四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即𝑎𝑏=𝑐𝑑,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.

【思考】 上图中还有哪些线段是比例线段?

[知识拓展] 在理解比例线段时,应注意三点:

(1)比例线段是特指四条线段之间的关系,两条线段不能是比例线段,三条线段中的任意一条线段都不能重复使用时,三条线段也不能是比例线段,而五条或五条以上的线段中,只能判断其中的某四条线段能否是成比例线段.

(2)成比例线段是有顺序的.即若a,b,c,d是成比例线段,则a∶b=c∶d,而不能写成a∶b=d∶c.

(3)为了讨论问题方便,我们再给出两个相关的定义:①比例的内项与外项:如果四条线段a,b,c,d是比例线段,那么把线段b,c叫做比例内项,把线段a,d叫做比例外项.②第四比例项:如果四条线段a,b,c,d是成比例线段,那么线段d叫做线段a,b,c的第四比例项.

下列四组线段中,是成比例线段的是 ( )

A.5 cm,6 cm,7 cm,8 cm

B.3 cm,6 cm,2 cm,5 cm

C.2 cm,4 cm,6 cm,8 cm

D.12 cm,8 cm,15 cm,10 cm

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〔解析〕 ∵56≠78,∴不是成比例线段,故选项A错误;∵36≠25,∴不是成比例线段,故选项B错误;∵24≠68,∴不是成比例线段,故选项C错误;∵128=1510,∴是成比例线段,故选项D正确.故选D.

思路二

【活动1】 建立比例线段的概念.

【投影图片】 如图所示,AB=50,BC=25,A'B'=20,B'C'=10,求证𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐴'𝐵'𝐵'𝐶'.

证明:∵𝐴𝐵𝐵𝐶=5025=2,𝐴'𝐵'𝐵'𝐶'=2010=2,

∴𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐴'𝐵'𝐵'𝐶'.

引导学生分析得出四条线段AB,BC,A'B',B'C'是成比例线段.

(1)题目的已知中共有几条线段?分别是哪几条?

(2)其中的线段AB,BC的比是多少?线段A'B',B'C'的比是多少?其中线段AB与BC的比与线段A'B'与B'C'的比有何关系?

(3)我们称AB,BC,A'B',B'C'这四条线段是成比例线段,简称比例线段.

(4)请同学们根据这个例子想一想,什么样的四条线段叫做成比例线段?

(5)学生叙述,教师板书比例线段的定义:

在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.

【活动2】 熟悉比例线段的概念.

(1)定义告诉我们判定四条线段是成比例线段的方法:

(其中的一个比例式)𝑎𝑏=𝑐𝑑⇒a,b,c,d四条线段成比例;