二元一次方程组的图像解法

经典例题透析

类型一：求二元一次方程的解

1．写出二元一次方程4x＋y＝20的所有正整数解.

思路点拨：要把4x＋y＝20变形，再根据代数式的特点求解.

解析：由原方程得y＝20－4x.因为x、y都是正整数，

所以当x＝1,2，3,4时，y＝16,12,8，4.

所以方程4x＋y＝20的所有正整数解为：， ， ， .

总结升华：(1)可以把二元一次方程中的一个未知数看成已知数，先解关于另一个未知数的一元一次方程，然后两个未知数取正整数值即可.(2)对题意理解，要注意两点：①要正确；②不重、不漏. 两个未知数的取值均为正整数才符合题意的解.

举一反三：

【变式1】在方程3x＋4y－2＝0中，若y分别取2、、0、－1、－4，求相应的的值.

【答案】将3x＋4y－2＝0变形得.

把已知y值依次代入方程的右边，计算相应值，如下表：

2 0 －1 －4

－2 2 6

【变式2】求二元一次方程2x＋y＝9在自然数范围内的解。

思路点拨：首先明确自然数的概念，自然数是指0,1，2, 3，…，也就是非负整数，最小的自然数是0。再把二元一次方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，可变为y＝9－2x，这样再让未知数x按顺序0,1，2，3，…取值，即可获得所求的自然数范围内的解。

解析：原方程变形为y＝9－2x

当x＝0时，y＝9，当x＝1时，y＝7，当x＝2时，y＝5

当x＝3时，y＝3，当x＝4时，y＝1，当x＝5时，y＝－1

所以方程在自然数范围内的解为，，，，。

类型二：确定方程的待定系数

2．若是关于的二元一次方程，求的值.

思路点拨：根据二元一次方程的定义，a－3≠0，即a≠3；|a|－2＝1，即a＝±3，所以a＝－3.

解析：由题意得|a|－2＝1，所以a＝±3.

而a－3≠0，即a≠3，所以a＝－3.

解二元一次方程组的几种方法

二元一次方程组是由两个未知数的一次方程组成的方程组。解这类方程组是数学中的基础问题之一，有着广泛的应用。本文将介绍解二元一次方程组的几种常用方法，以帮助读者更好地理解和解决这类问题。

一、图解法

图解法是一种直观且易于理解的方法。通过将方程组转化为直线的几何表示，可以通过图像求解方程组的解。

1. 绘制直线

根据方程组中的每个方程，我们可以得到对应的直线。以方程组为例，假设方程为：

a₁x + b₁y = c₁

a₂x + b₂y = c₂

其中，a₁、a₂、b₁、b₂、c₁、c₂为已知系数。

通过选择合适的x取值，我们可以计算得到相应的y值，然后按照坐标轴上的点进行画图。

2. 求解交点

我们将两个直线在坐标系中画出来后，通过观察它们的交点来确定方程组的解。交点即为方程组的解。 二、代入法

代入法是一种常用的解二元一次方程组的方法。通过将其中一个方程的未知数表示成另一个方程的未知数的表达式，再代入到另一个方程中，从而得到一个只有一个未知数的方程，进而求解。

以方程组为例，假设方程为：

a₁x + b₁y = c₁

a₂x + b₂y = c₂

1. 解得其中一个未知数

选取其中一个方程，例如方程a₁x + b₁y = c₁，以y为例，将其表示成y的表达式：

y = (c₁ - a₁x) / b₁

2. 代入另一个方程

将表达式代入另一个方程a₂x + b₂y = c₂中，即：

a₂x + b₂((c₁ - a₁x) / b₁) = c₂

通过整理上述方程，消去未知数y，得到只含有一个未知数x的方程。

3. 求解未知数

解得方程中的未知数x后，再通过将求得的x值代入方程a₁x +

b₁y = c₁中，即可求得对应的y值。 三、消元法

消元法是一种通过对方程组中的方程进行线性组合，消去其中一个未知数，从而得到只含有一个未知数的方程，进而求解的方法。

以方程组为例，假设方程为：

1 二元一次方程组的图象解法（第2课时）教学设计

教材：沪科版《数学》八年级上册第13章第4节，

教材分析:

本节内容共安排2个课时完成，本节课为第2课时．该节内容是二元一次方程（组）与一次函数及其图像的综合应用．通过探索“方程”与“函数图像”的关系，培养学生数学转化的思想，通过二元一次方程方程组的图像解法，使学生初步建立了“数”（二元一次方程）与“形”（一次函数的图像（直线））之间的对应关系，进一步培养了学生数形结合的意识和能力．本节要注意的是由两条直线求交点，其交点的横纵坐标为二元一次方程组的近似解，要得到准确的结果，应从图像中获取信息，确立直线对应的函数表达式即方程，再联立方程应用代数方法求解，其结果才是准确的．重点是让学生学会二元一次方程组的图像解法，解有三种情况，并注意书写过程的规范性。

学情分析:

学生已有了解方程（组）的基本能力和一次函数及其图像的基本知识，学习本节知识困难不大，关键是让学生通过理解二元一次方程和一次函数之间的内在联系，体会“数”和“形”间的相互转化，从中使学生进一步感受到“数”的问题可以通过“形”来解决，“形”的问题也可以通过“数”来解决．

教学目标：

(一) 知识与能力目标：

1. 了解二元一次方程组和一次函数的关系 .

2. 掌握二元一次方程组的图象解法

(二) 过程与方法目标：

1. 使学生理解二元一次方程组与一次函数的关系 .

2. 通过学生的思考和操作，经历探索二元一次方程组与一次函数之间关系，引入二元一次方程组的图象解法 . 同时培养了学生数形结合的意识和能力 。

(三) 情感与态度目标：

1、通过学生的自主探索，提示出方程和图象之间的对应关系，加强了新旧知识的联系，培养了学生的创新意识，激发了学生学习数学的兴趣 .

2、经历观察、思考、操作、探究、交流等数学活动，培养学生抽象思维能力，并体会数形结合思想和学生分析和解决问题的方法的多样化。

初中数学 如何用图像法解二元一次方程组

图像法是解二元一次方程组的一种直观方法。通过将两个方程的关系表示为直线的交点，我们可以通过观察直线的交点来求解方程组的解。下面将详细介绍如何使用图像法解二元一次方程组。

假设有如下二元一次方程组：

方程一：a₁x + b₁y = c₁

方程二：a₂x + b₂y = c₂

为了使用图像法解方程组，我们可以按照以下步骤进行：

步骤1：将方程一和方程二转化为斜截式方程，即将y表示为x的函数：

方程一的斜率截距形式：y = -(a₁ / b₁)x + (c₁ / b₁)

方程二的斜率截距形式：y = -(a₂ / b₂)x + (c₂ / b₂)

步骤2：绘制方程一和方程二的图像。使用坐标轴上的点来表示方程中的变量。以方程一为例，我们可以根据斜率截距形式，从y轴上的截距开始，根据斜率的正负决定线的走向。同样，我们也可以绘制方程二的图像。

步骤3：观察图像上的交点。交点的横坐标表示x的值，纵坐标表示y的值。如果方程组有解，那么交点就是方程组的解。

步骤4：读取交点的坐标，即x和y的值。这些值就是方程组的解。

通过以上步骤，我们可以使用图像法解出二元一次方程组的解。需要注意的是，如果两条直线平行，那么方程组没有解；如果两条直线重合，那么方程组有无穷多解。

总结起来，图像法是解二元一次方程组的一种直观方法。通过将方程转化为斜截式方程形式，绘制方程的图像，观察图像上的交点，我们可以求解方程组的解。图像法在解决实际问题中具有广泛的应用，能够帮助我们直观地理解和解决多个未知量的关系和求解方程组的问题。