二元一次方程组的图象解法

经典例题透析

类型一：求二元一次方程的解

1．写出二元一次方程4x＋y＝20的所有正整数解.

思路点拨：要把4x＋y＝20变形，再根据代数式的特点求解.

解析：由原方程得y＝20－4x.因为x、y都是正整数，

所以当x＝1,2，3,4时，y＝16,12,8，4.

所以方程4x＋y＝20的所有正整数解为：， ， ， .

总结升华：(1)可以把二元一次方程中的一个未知数看成已知数，先解关于另一个未知数的一元一次方程，然后两个未知数取正整数值即可.(2)对题意理解，要注意两点：①要正确；②不重、不漏. 两个未知数的取值均为正整数才符合题意的解.

举一反三：

【变式1】在方程3x＋4y－2＝0中，若y分别取2、、0、－1、－4，求相应的的值.

【答案】将3x＋4y－2＝0变形得.

把已知y值依次代入方程的右边，计算相应值，如下表：

2 0 －1 －4

－2 2 6

【变式2】求二元一次方程2x＋y＝9在自然数范围内的解。

思路点拨：首先明确自然数的概念，自然数是指0,1，2, 3，…，也就是非负整数，最小的自然数是0。再把二元一次方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，可变为y＝9－2x，这样再让未知数x按顺序0,1，2，3，…取值，即可获得所求的自然数范围内的解。

解析：原方程变形为y＝9－2x

当x＝0时，y＝9，当x＝1时，y＝7，当x＝2时，y＝5

当x＝3时，y＝3，当x＝4时，y＝1，当x＝5时，y＝－1

所以方程在自然数范围内的解为，，，，。

类型二：确定方程的待定系数

2．若是关于的二元一次方程，求的值.

思路点拨：根据二元一次方程的定义，a－3≠0，即a≠3；|a|－2＝1，即a＝±3，所以a＝－3.

解析：由题意得|a|－2＝1，所以a＝±3.

而a－3≠0，即a≠3，所以a＝－3.

1

7.2 二元一次方程组的解法

2 加减消元法

【教学目标】

1.掌握用加减法解二元一次方程组。

2.使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法。

3.体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立学好数学的信心.

【教学重点】

用加减法解二元一次方程组

【教学难点】

两个方程组相加减消元时符号的问题

【教学过程】

（一）课前预习，明确目标

1、解二元一次方程组的基本思路是什么？

2、什么是加减消元法？

3、什么条件下用加法、什么条件下用减法?

（二）生成问题，自主探究

做一做:

合并同类项

（1） 3x+(-3x) =_____ （2） 2y-2y=______

（3） 9x+_____= 0 （4） 7y-_____ = 0

2

想一想：在一个方程组里，如果某个未知数的系数是相同或互为相反数，我们可不可以用加减法消去这个未知数?

探究学习：

例1 解方程组：

②22①7yxyx

解：①+②得：

3x=9

x=3

把x=3 带入方程①得：

3+y=7

y=4

34xy

（三）展示提升，相互释疑

例2 解方程组：

②2343①553yxyx

解：①-②得：

9y=-18 3

y=-2

把y=-2 带入方程①得：

3x-10=5

x=5

52xy

思 考:

从上面的解答过程中，你发现了二元一次方程组的新解法吗？

通过将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的.这种解法叫做加减消元法,简称加减法.

结论：利用加减消元法解方程组时,在方程组的两个方程中:

(1)某个未知数的系数互为相反数，则可以直接把这两个方程中的两边分别相加，消去这个未知数;

(2)如果某个未知数系数相等，则可以直接把这两个方程中的两边分别相减,消去这个未知数;

第4讲：二元一次方程组及其解法

上课时间：_____________

【教学目标】

考点1. 二元一次方程和二元一次方程组的概念

考点2．二元一次方程的解和二元一次方程组的解的意义

考点3．二元一次方程组的解法

【教学过程】

一、检查与测试

【检查上次作业完成情况】

【上次上课掌握情况测试】

1．二元一次方程x－2y＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是( )

A． x＝0，y＝－12 B． x＝1，y＝1 C． x＝1，y＝0 D． x＝－1，y＝－1

2．(2012重庆)关于x的方程2x＋a－9＝0的解是x＝2，则a的值为( )

A．2 B．3 C．4 D．5

3．(2012山东临沂)关于x，y的方程组 3x－y＝m，x＋my＝n的解是 x＝1，y＝1，则|m－n|的值是( )

A．5 B．3 C．2 D．1

4．(2012甘肃兰州)兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则可列方程为( )

A．x(x－10)＝200 B．2x＋2(x－10)＝200 C．2x＋2(x＋10)＝200 D．x(x＋10)＝200

5．(2012广东湛江)请写出一个二元一次方程组__________，使它的解是 x＝2，y＝－1.

二、考点突破

考点1、二元一次方程和二元一次方程组的概念

【配套例题】

例1、已知下列方程2xm－1＋3yn＋3＝5是二元一次方程，则m＋n＝ .

【方法归纳】解二元一次方程必须同时具备三个条件：

⑴这个方程中有且只有两个未知数；

⑵含未知数的次数是1；

⑶对未知数而言，构成方程的代数式是整式.

【配套测试】

01．请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，并说明理由.

⑴2x＋5y＝16 (2)2x＋y＋z＝3 (3)x1＋y＝21 (4)x2＋2x＋1＝0 (5)2x＋10xy＝5

二、整体代入法　例２解方程组：　（计ｙ）＝１，　①　３　＋吾（　＋　）＝５．②　解：由①，得　＋ｙ：　③，　：　将③代入②，得寻　＋吾×　＝５．　：　解得ｘ＝４．　：　将ｘ＝４代入③，得ｙ：一　１０．　：　＝４，　：　所以原方程组的解为｛　１０　：　一一了‘　点评：将方程组中相同的部分看做一个整　体（如本例题中的　＋ｙ）代入进行消元，往往有　意想不到的效果．　．　三、消常数项法　例３解方程组：｛２　５ｘ＋４６２ｙ：＝　１７６．，富　解：由①一②．得　一４ｙ＝０，　．・．　＝　ｙ．③　．　把③代入①．　’　得　ｙ＋４２ｙ＝１７６．　解得ｙ＝３．　把ｙ＝３代入③，得ｘ＝２．　：　所以原方程组的解为｛　＝＝＝ｚ，　／ｙ＝３．　，　点评：方程组中两个方程的常数项相等或　互为相反数时，都可以采用消去常数项的方法　来解，我们把这种方法称为“消常数项法”．若消　赣去常数项后，得到一个较为简单的二元一次方　程，则将其变形后用一个未知数表示出另一个　帮未知数，从而转化为一般的代入法．　四、整体加减法　例４解方程组：ｆ７　＋　＝２３，　Ｉ８ｘ＋７ｙ＝２２．　解：由①＋②，得　＋ｙ＝３，③　由②一①，可得　—ｙ＝一１，④　再将③④联立方程组。易解得原方程组的　解为｛　一　Ｌｙ＝２．　点评：当方程组中的两个方程的相同未知　数的系数的和或差的绝对值相等，或差的绝对　值较小时。可考虑用此方法来解．　五、换元法　例５解方程组：　｛翠３：ｘ＋　２ｙ＿￣　则原方程组可化为　①　②　＋旦＝２，③　２。５　一’　一　３ｍ：　一３．④　，）　。一　再把詈，号看成一个整体，易解得｛　’　所以｛２ｘｔ３ｙ：：＝２，　【ｊ　十２ｙ＝５．　：　，　易解得原方程组的解为｛　．　Ｉｙ＝＝＝一　・　点评：从形式上看这个方程组比较复杂，应　该先将每一个方程都进行化简，化成二元一次　方程组的一般形式，然后再选择代入法或加减　法求解．但是通过观察可以发现。两个未知数出　现的形式只有（　＋３ｙ）和（３　＋２ｙ）两种，所以可　以把它们分别看成一个整体，利用换元法解．　。。　ｏ。④。　。　④　。。。ｏ。Ｏ　０　０　ｏ　０　０　０　④　０　①