2022版高考数学大一轮复习第3章导数及其应用第3讲导数的综合应用2

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第三章 导数及其应用

第二讲 导数的综合应用

1.[2021惠州市二调]若函数f(x）=ex（x2-2x+1-a)—x恒有2个零点,则a的取值范围是 ( ）

A。(-1e，+∞） B.(—∞，1)

C.（0，1e) D.(—∞，—1e)

2。［2021陕西百校联考］已知锐角x1,x2满足sin x1-cos x2〈x1+x2-π2，则下列结论一定正确的是 ( )

A。sinx1〈sin（x1+x2)

B。tanx1>tan 𝑥1+𝑥22

C.sinx1+cos x1〉sin x2+cos x2

D。sinx1+sin x2>cos x1+cos x2

3.[2021大同市调研测试]已知函数f（x）=ax3—3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0<0,则a的取值范围是( )

A。（2,+∞) B.(—∞，—2）

C。(1，+∞) D。(—∞,—1)

4.［2020广东七校第二次联考］设定义在R上的函数y=f(x)满足∀x∈R,f(x+2）=1𝑓(𝑥)，且x∈(0,4］时,f’(x）>𝑓(𝑥)𝑥,则6f（2 017),3f(2

018)，2f(2 019）的大小关系是( )

A.6f(2 017)〈3f（2 018）〈2f(2 019)

B。3f（2 018)〈6f(2 017）〈2f(2 019)

C.2f（2 019)〈3f(2 018)〈6f(2 017） 2022332

D.2f(2 019)<6f（2 017)<3f(2 018)

5。[2020郑州市三模]设函数f'（x）是奇函数f(x）（x∈R)的导函数，当x>0时,f’(x）ln x〈-1𝑥f(x）.则使得（x2—4）f(x)〉0成立的x的取值范围是 ( )

A。（-2，0)∪(0，2)

B。（—∞,-2）∪（2，+∞)

C。(-2,0)∪(2,+∞)

D.（-∞，-2）∪（0,2）

6.已知函数f(x)=（a-12)x2+ln x,若函数f(x)在区间（1,+∞）上的图象恒在直线y=2ax的下方，则实数a的取值范围是 .

7。[2021晋南高中联考］已知函数f(x）=ex-ax,g（x)=1+xln x。

(1)讨论函数f（x）的单调性;

(2)若当x>0时,方程f(x）=g（x）有实数解，求实数a的取值范围.

8.[2020贵阳市高三模拟]［交汇题]已知f(x)=ex，g（x)=x+1.(e为自然对数的底数）

(1）求证:f(x）≥g(x）恒成立.

(2)设m是正整数，对任意的正整数n,（1+13）（1+132）·…·（1+13𝑛）

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9.[2021江西红色七校第一次联考］若存在两个正实数x,y使得等式x（2+ln x）=xlny-ay成立，则实数a的取值范围是 （ )

A。(0,1e2) B.（—∞,1e2]

C.（0，1e3) D.(-∞,1e3］

10.[2021洛阳市统考］已知函数f（x）=𝑥e𝑥-2—tx—t有2个零点a，b，且在区间(a,b)上有且仅有2个正整数,则实数t的取值范围是 （ )

A。[23，e2） B.（23，e2）

C。［34e，23) D.(34e,23）

11。［2021江西红色七校联考］已知函数f(x)=ax2+bx-ln x.

（1）当a=—2时,函数f（x)在(0,+∞）上是减函数,求b的取值范围；

(2)若方程f（x）=0的两个根分别为x1，x2（x1

12。［2021济南名校联考］已知f(x）=ln𝑥+𝑎𝑥,g（x)=ex+2𝑥—1。

(1)若函数f（x)的图象在x=e处的切线与直线2x—y+8=0垂直，求f（x）的极值; 2022332

（2）当x>0时,g（x)≥f(x)恒成立，求实数a的取值范围.

13。已知函数f(x)=ln x，g(x)=x—m.

（1)当m=0时，求函数y=𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)的最大值；

(2)设h(x）=f（x)—g（x),若x1〈x2且h(x1)=h(x2)=0,求证：ln(em+x1—x2)+m〉0.

答 案

第三章 导数及其应用

第三讲 导数的综合应用

1。A 由f(x）=0,得x2-2x+1—a=𝑥e𝑥.令g(x）=𝑥e𝑥,则函数f(x)=ex(x2—2x+1-a）-x恒有2个零点等价于函数y=x2-2x+1-a与y=g(x)的图象有2个交点，g’（x)=1-𝑥e𝑥,令g'(x）>0，得x<1,令g’(x）<0，得x〉1,所以g(x）在（—∞,1）上单调递增，在(1，+∞）上单调递减，所以g(x)max=g（1)=1e.作出函数y=x2—2x+1—a=(x-1）2-a与y=g(x）的图象，如图D 3—3—2所示,数形结合可得—a<1e,解得a〉−1e，故选A. 2022332

图D 3-3—2

2.D 解法一 因为sin x1—cos x2

x1—x1

x2,故选D。

解法二 取x1=x2=π3，则sin x1-cos x2=√3-12

x1=sin(x1+x2），tan x1=tan 𝑥1+𝑥22，sin x1+cos x1=sin x2+cos x2,排除选项A、B、C,故选D。

3。A 由题意易知x=0不是函数f（x）的零点,则f（x）=ax3-3x2+1=0⇔a=3𝑥2-1𝑥3（x≠0）,令y=3𝑥2-1𝑥3−a（x≠0)，因此f(x）的零点与y=3𝑥2-1𝑥3−a（x≠0）的零点相同.设g(x)=3𝑥2-1𝑥3(x≠0），则g'(x)=−3(𝑥-1)(𝑥+1)𝑥4,则当x∈(—∞，-1)∪（1,+∞）时，g’（x）〈0;当x∈(-1，0)∪(0,1)时,g'(x)>0，故g(x)在（-1，0)，(0，1）上单调递增，在(-∞,-1),（1,+∞)上单调递减,又g(-1）=—2，g(1）=2，当g(x)=0时,x=±√33,当x→+∞时,g(x)→0，当x→-∞时，g(x)→0，所以可画出函数g(x)的大致图象,如图D 3-3-3所示,f(x）存在唯一的零点x0且x0〈0等价于直线y=a与函数y=g(x）的图象存在唯一的交点,且交点的横坐标小于零,由图可得a的取值范围为(2,+∞）.故选A。 2022332

图D 3-3—3

4。A 因为f(x+2)=1𝑓(𝑥),所以f（x）是以4为周期的周期函数,故6f(2 017)=6f(1),3f（2 018)=3f（2)，2f(2 019)=2f(3)。令g（x)=𝑓(𝑥)𝑥（x∈（0,4］),则g'（x）=𝑥𝑓'(𝑥)-𝑓(𝑥)𝑥2,因为x∈（0，4］时,f'(x）〉𝑓(𝑥)𝑥,所以g’（x)〉0,所以g（x)在（0，4］上单调递增，故𝑓(1)1<𝑓(2)2<𝑓(3)3，整理可得6f（1）〈3f(2)〈2f（3),即6f（2 017）〈3f(2 018)〈2f(2

019)，故选A。

5。D 设函数g（x)=f（x）ln x，则g'(x）=f'（x)ln x+1𝑥f（x）.于是，当 x〉0时,由f’（x)ln x<−1𝑥f（x）可得g'（x）〈0，所以函数g（x）在(0，+∞）上单调递减。从而,当x〉1时，有g(x)〈g(1)=0,即f（x）ln x〈0,又ln x>0，所以此时f（x)〈0;当0〈x<1时,有g(x)>g（1）=0，即f(x)ln x〉0，又ln x<0，所以此时f(x）<0。对于不等式f'(x)ln x〈−1𝑥f(x），取x=1可得f’(1)ln 1<−11f（1),化简得f(1）〈0，即当x=1时,f(x）<0.于是,由上述讨论可知，当x〉0时，f（x)<0，故由(x2-4)f(x)〉0(x>0)得x2—4<0,解得00，故由（x2-4）f（x)〉0（x<0）得x2—4>0,解得x<—2。2022332

易知f(0)=0,所以x=0不满足（x2-4）f（x）〉0。综上，x的取值范围是(-∞,—2）∪（0，2)。故选D.

【解后反思】 一般地,若题设中出现了与导数有关的不等式,则很可能是根据导数的运算法则提前计算后而精心设计的,所以应多从这个角度考虑如何构造函数,以便顺利解决问题.

6.［−12,12] 由题意知,对于任意x∈（1，+∞），f（x）〈2ax，即（a−12）x2+ln x—2ax<0在(1，+∞）上恒成立。设g（x)=(a−12）x2+ln x-2ax,x∈（1,+∞），则g(x）的最大值小于0,g'（x)=（x—1)(2a-1−1𝑥）。

①当a≤12时，g'(x)<0，∴g(x）在(1，+∞)上单调递减,∴g(x)〈—a−12≤0,即a≥−12，∴−12≤a≤12.

②当a≥1时,g'（x)〉0,∴g(x）在(1，+∞）上单调递增,最大值可无穷大,不满足题意。

③当12

综上，实数a的取值范围是[−12,12]。

7.（1)函数f（x）的定义域为R,f'(x)=ex-a,

当a≤0时，f'（x)〉0，则f（x）在（—∞,+∞）上单调递增;

当a>0时,令f'(x）=ex—a=0,得x=ln a，

则f（x）在（—∞,ln a)上单调递减，在(ln a，+∞)上单调递增.

综上,当a≤0时，f（x）在R上单调递增，当a〉0时,f(x)在(-∞，ln a）上单调递减,在（ln a,+∞)上单调递增。

(2)由f（x）=g（x),得ax=ex-xlnx—1，

因为x>0,所以a=e𝑥𝑥−ln x−1𝑥。