高三数学一轮课件 第四章 三角函数与解三角形 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式

1 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式

[基础达标]

1．计算：sin 116π＋cos 103π＝( )

A．－1 B．1

C．0 D．12－32

解析：选A.原式＝sin2π－π6＋cos3π＋π3

＝－sin π6＋cosπ＋π3＝－12－cos π3

＝－12－12＝－1.

2．已知tan(α－π)＝34，且α∈π2，3π2，则sinα＋π2＝( )

A．45 B．－45

C．35 D．－35

解析：选B.由tan(α－π)＝34⇒tan α＝34.

又因为α∈π2，3π2，

所以α为第三象限的角，sinα＋π2＝cos α＝－45.

3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|

A．－π6 B．－π3

C．π6 D．π3

解析：选D.因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，

所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝3.

因为|θ|

4．已知sin(3π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α等于( )

A．－25 B．25 2 C．25或－25 D．－15

解析：选A.因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，所以sin α＝－2cos

α，所以tan α＝－2，

当α在第二象限时，sin α＝255cos α＝－55，

所以sin αcos α＝－25；

当α在第四象限时，sin α＝－255cos α＝55，

所以sin αcos α＝－25，

综上，sin αcos α＝－25，故选A.

5．已知sin α＋3cos

α3cos α－sin α＝5，则sin2α－sin αcos α的值为(

)

A．－15 B．－25

C．15 D．25

解析：选D.依题意得tan α＋33－tan α＝5，所以tan α＝2.

第2讲 同角三角因数的基本关糸与诱导衣式

【2013年高考会这样考】

1. 考查同角三角函数的基本关系式.

2. 考杏诱导公式在三角函数化简求值中的运用.

【复习指导】

本讲复习时应紧扌II三角函数的定义，理解记忆同角三角函数的基本关系式和诱导公式；特

别是对诱导公式的记忆口诀要理解透彻，可通过适量训练加强理解，掌握其规律.

基础梳理

1. 同角三角函数的基本关系

(1) 平方关系：sir?a+cos2a=l；

(2)

商数关系：

cos a

2•诱导公式

公式一：sin（a+2H）=sina, cos（a+2k兀）=cos_a、其中 kWZ. 公工弋二：sin（7i+a） = _sin_g,

cos（兀+a） = — cos_cc, tan（兀+a） = tan a.

公式三：sin（~a） = _sin_q, cos（ — a） = cos_a. 公式四：sin（7r—a） = sin a, cos（^—a） =

—cos_a.

诱导公式可概括为k^±a的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看 象限.》考基自主导学 必考必记［敬学相长

― sin_ot. 01

cos号+a 公式六: 其屮的奇、偶是指号的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化.若是奇数

倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把

a看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号.

^=助彥做博

一个口诀

逐导公•式的迅忆旦诔.为…奇变僵丕变?…笹号看彖.限:…

三种方法

在求值当化简丄丈,…當用丈法直二.

QI n （1） 弦切互化法：主要利用公式tana = —化成正、余弦.

（2） 亜.积转挟法:;…利甩（蚯卫空必.01二!垃旦卫ggg伏畋羞系遡行变涉.'…转化.•….

⑶生用二1二的变操二丄二加％二。亍工更欣］土坦丘型二用请=二.：

三个防范

⑴利甩诱.*公武选彳亍化.简求值肘…先別甩公:或化任意於的二角亟数为魏角二J..函数入.甚

专题4.2同角三角函数的基本关系与诱导公式

【考情分析】

1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x

＋cos2x

＝1，sinx

cosx＝tanx

．

2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π

2±α

，π±α

的正弦、余弦、正切的诱导公式．

【重点知识梳理】

知识点一同角三角函数的基本关系

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α

＋cos2α

＝1(α

∈R)．

(2)商数关系：tanα

＝sinα

cos

αα

≠k

π＋π

2，k

∈Z

.

2．同角三角函数基本关系式的应用技巧

技巧解读适合题型

切弦互化主要利用公式tanθ

＝sinθ

cosθ化成正

弦、余弦，或者利用公式sinθ

cosθ＝tanθ

化成正切表达式中含有sinθ

，cosθ

与tanθ

“1”的变

换1＝sin2

θ

＋cos2

θ

＝cos2

θ

(1＋

tan2

θ

)＝(sinθ

±cosθ

)2

∓2sin

θ

cosθ

＝tanπ

4表达式中需要利用“1”转化

和积转换利用关系式(sinθ

±cosθ

)2

＝

1±2sinθ

cosθ

进行变形、转化表达式中含有sinθ

±cosθ

或sinθ

cosθ知识点二三角函数的诱导公式

组数一二三四五六

角2k

π＋α

(k

∈

Z)π＋α

－α

π－απ

2－απ

2＋α

正弦sinα

－sin_α－

sin_αsin_α

cos_α

cos_α

余弦cosα

－cos_α

cos_α

－cos_α

sin_α

－sin_α

正切tanα

tan_α－

tan_α－tan_α

【典型题分析】

高频考点一三角函数的诱导公式

【例1】（2020·福建省惠安三中模拟）化简：tan（π＋α

）cos（2π＋α

）sin（α

－3π

2）

cos（－α

－3π）sin（－3π－α）＝________．

【答案】－1

【解析】原式＝tanα

cosα

sin[－2π＋（α

＋π

2）]

cos（3π＋α

）[－sin（3π＋α

）]

＝tanα

cosα

sin（π

2＋α）

（－cosα

）sinα＝tanα

cosα

cosα

（－cosα

）sinα

＝－tanα

cosα

sinα＝－sinα

第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式

1理解同角三角函数的基本关系式：sin2＋cos2＝1，＝tan．

±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．

突破点一 同角三角函数的基本关系

1．同角三角函数的基本关系

1平方关系：sin2α＋cos2α＝1α∈R．

2商数关系：tanα＝

2．同角三角函数基本关系式的应用技巧

技巧 解读 适合题型

切弦互化 主要利用公式tanθ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tanθ化成正切 表达式中含有sinθ，cosθ与tanθ

“11＝sin2θ＋cos2θ＝表达式中需要利用”的变换 cos2θ1＋tan2θ＝sinθ±cosθ2∓2sinθcosθ＝tan “1”转化

和积转换 利用关系式sinθ±cosθ2＝1±2sinθcosθ进行变形、转化 表达式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ

一、判断题对的打“√”，错的打“×”

1若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1

2若α∈R，则tanα＝恒成立．

答案：1× 2×

二、填空题

1．已知α∈，sinα＝，则tanα＝________

解析：∵α∈，sinα＝，∴cosα＝－，于是tanα＝－

答案：－

2．已知tanα＝2，则的值为________．

解析：原式＝＝＝3 答案：3

考法一 知弦求弦、切或知切求弦

利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．

[例1] 12022·成都龙泉中学月考设cos－80°＝，那么tan100°等于

B．－

D．－

22022·甘肃诊断已知tan＝，且角的终边落在第三象限，则cos＝

B．－

D．－

[解析] 1∵cos－80°＝cos80°＝，∴sin80°＝＝，∴tan100°＝－tan80°＝－故选B