种群逻辑斯谛方程

华南师范大学实验报告学生姓名 学 号 专 业 年级、班级 课程名称生态学实验 实验项目 种群的逻辑斯蒂增长模型 实验类型 验证 □设计□综合 实验时间 年 月 日 实验指导老师 实验评分种群的逻辑斯蒂增长模型1 实验目的1.1 了解种群在有限环境中的增长方式，理解环境对种群增长的限制作用；1.2 学习种群密度的检测，种群增长模型的建立，参数的估计以及种群增长曲线的拟合等实验技术； 1.3 加深对逻辑斯蒂增长模型的特征及其模型中两个参数r 、k 的理解。

2 材料与方法2.1 材料与试剂草履虫、干稻草、鲁哥氏固定液2.2 实验仪器六孔培养皿、量筒、解剖镜、锥形瓶、烧杯、锥形瓶2.3 实验方法2.3.1 配制人工海水 按表1配制30‰人工海水的人工海水，再将30‰人工海水加矿泉水稀释为20‰的人工海水。

表1 30‰人工海水配方（1升水） 药品 含量 NaCL 28.000g KCL 0.800g MgCl 2·6H 2O 25.000g CaCl 2·H 2O1.200g2.3.2 接种红色伪角毛虫 在六孔平板中的两个孔滴加5ml20‰人工海水，两个孔滴加5ml30‰人工海水→做好标记→每孔分别放两粒米粒→分别在解剖镜中吸取50只红色伪角毛虫→常温下培养→实验开始的7天内，每天定时对培养液中的草履虫密度进行检测。

（每次计数至少重复3次）2.3.3 Logistic 增长模型的拟合 种群在有限环境中的连续增长表现为Logistic 增长，其增长曲线呈S 型。

Logistic 增长数学模型为：）（K N K N N -r dt d =或）（KNN N -1r dt d = 式中：dtd N为种群的增长；N 为种群大小；t 为时间；r 为种群的瞬时增长率；K 为环境容纳量； ）（KN-1为“剩余空间”。

因此，Logistic 模型的积分公式为：rt-a e 1+=KN式中：a 与初始数量0N 有关的常数；e 为自然对数的底。

关于逻辑斯谛方程关于逻辑斯谛方程000摘要：逻辑斯谛方程即微分方程：dN/dt=rN（K-N）/K。

当一个物种迁入到一个新生态系统中后，其数量会发生变化。

假设该物种的起始数量小于环境的最大容纳量，则数量会增长。

该物种在此生态系统中有天敌、食物、空间等资源也不足（非理想环境），则增长函数满足逻辑斯谛方程，图像呈S形，此方程是描述在资源有限的条件下种群增长规律的一个最佳数学模型。

在以下内容中将具体介绍逻辑斯谛方程的原理、生态学意义及其应用。

关键词：逻辑斯谛方程；原理；生态学意义；应用1 前言1938年一位比利时的数学家Verhulst首先将营养关系反映到种群数学模型方面，是它首先导出了后来被广泛称为逻辑斯谛的方程。

但在当时并没有引起大家的注意，直到1920年两位美国人口学家Pearl和Reed在研究美国人口问题时，再次提出这个方程，才开始流行，故现在文献中通常称之为Verhulst-Pearl阻碍方程。

其所以又称为逻辑斯谛方程是因为其有某种逻辑推理的含义。

按现在的用语来说，它是一个说理模型，实际上是反映营养对种群增长的一种线性限制关系的说理模型。

1963年，洛伦兹发现确定性系统的随机性为，并且发现了这种随机行为对初值的敏感性。

1975年，美籍华人学者李天岩和数学家约克发表“周期中蕴含着混沌”的著名文章，揭示从有序到混沌的演化过程。

这些内容都包含在逻辑斯谛差分方程中。

1976年R.梅在英国《自然》杂志上发表了研究逻辑斯谛方程的成果—《表现非常复杂的动力学的简单数学模型》，引起学术界极大关注，内容已远远超越了生态学领域，揭示出逻辑斯谛方程深处蕴藏的丰富内涵。

2 逻辑斯谛方程的原理在种群增长早期阶段，种群大小N很小，N/K值也很小，因此1-N/K接近于1，所以抑制效应可以忽略不计，种群增长实质上为r/N，成几何增长。

然而，当N变大时，抑制效应增加，直到当N=K时，（1-N/K）变成了（1-K/K），等于0，这时种群的增长为零，种群达到了一个稳定的大小不变的平衡状态。

草履虫种群在有限环境中的逻辑斯谛增长测定一、实验课题名称:草履虫种群在有限环境中的逻辑斯谛增长测定二、文献综述教科书常用“s”曲线表示逻辑斯谛增长模型导致的种群动态。

[1].逻辑斯蒂曲线又称“s” 曲线，是种群在一个有线的环境中增长时，种群的密度变化曲线。

因为环境条件是有限的，大多数种群的指数增长都是暂时的，一般仅发生在早起阶段，种群密度很低，资源丰富的情况下，随着种群密度增大，资源匮乏，代谢产物积累等，增长曲线也渐渐由"J"型变成“s”型[2]。

草履虫(Paramccium caodatum)取材培养方便，繁殖迅速，体型大，易于观察，是常用的实验动物。

在动物学与生态学教学中，“种群在有限环境中的逻辑斯蒂增长实验”普遍选取草履虫作为实验材料，一般采用锥形瓶培养法。

[3][1]赵苹贾林柏逻辑斯蒂曲线中的1/2K J《高考(理化生)》2007年04期G634.91 [2]周玉田春华等逻辑斯蒂增长导致的复杂种群动态及其实验验证 J 生物学通报2010年07期Q145[3]仲倩用微量培养法改进尾草履虫种群逻辑斯蒂增长实验 J 《潍坊学院学报》 2010年02期 Q-4三、实验目的和要求1.了解种群在有限环境中的增长方式，理解环境对种群增长的限制作用。

2.学习种群大小的检验、种群增长模型的建立、参数的估计以及种群增长曲线的拟合等实验技术。

四、实验条件1.实验材料:纯培养的草履虫(Paramecium caudatum).2.波氏固定液:75ml饱和苦味酸清液，25ml福尔马林，3ml冰乙酸。

3.恒温培养箱，体视显微镜，计数器，250ml烧杯，5ml移液管，培养皿等。

五、实验原理与方法世代重叠种群在无限环境中呈现J,型增长。

但在现实生态环境中，种群不可能长期而连续地按指数增长，往往受到有限的环境资源和其它必要生活条件的限制。

随着密度的上升，种内竞争加剧，必然会影响种群的出生率和死亡率，使种群每员瞬时增长率随着密度上升而下降，一直到种群停止增长，甚至使种群数量下降，增长曲线呈现S,型。

逻辑斯蒂增长模型逻辑斯蒂增长模型(Logistic growth model)逻辑斯蒂增长模型又称自我抑制性方程。

用植物群体中发病的普遍率或严重度表示病害数量(x)，将环境最大容纳量k 定为1(100%)，逻辑斯蒂模型的微分式是：dx/dt=rx(1-x) 式中的r为速率参数，来源于实际调查时观察到的症状明显的病害，范。

德。

普朗克(1963)将r称作表观侵染速率(apparent infection rate)，该方程与指数模型的主要不同之处，是方程的右边增加了(1-x)修正因子，使模型包含自我抑制作用。

逻辑斯蒂曲线通常分为5个时期：1.开始期，由于种群个体数很少，密度增长缓慢。

2.加速期，随个体数增加，密度增长加快。

3.转折期，当个体数达到饱和密度一半（K/2),密度增长最快。

4.减速期，个体数超过密度一半（K/2)后，增长变慢。

5.饱和期，种群个体数达到K值而饱和。

逻辑斯蒂方程有几种不同的表达形式；三中通用形式，外加一种积分形式，如下：dN/dt=rN*(K-N)/K或dN/dt=rN-(r*N^2)/K或dN/dt=rN(1-N/K)和积分形式Nt=K/[1+e^(a-n)]其中dN/dt是种群增长率（单位时间个体数量的改变），r是比增长率或内禀增长率，N是种群的大小（个体的数量），a是积分常数，它决定曲线离原点的位置，K是可能出现的最大种群数（上渐近线）或承载力。

Lotka-Volterra模型20世纪40年代，Lotka（1925）和Volterra（1926）奠定了种间竞争关系的理论基础，他们提出的种间竞争方程对现代生态学理论的发展有着重大影响。

Lotka-Volterra模型（Lotka-Volterra种间竞争模型）是对逻辑斯蒂模型的延伸。

现设定如下参数：N1、N2：分别为两个物种的种群数量K1、K2：分别为两个物种的环境容纳量r1、r2 ：分别为两个物种的种群增长率依逻辑斯蒂模型有如下关系：dN1 / dt = r1 N1（1 - N1 / K1）其中：N/K可以理解为已经利用的空间（称为“已利用空间项”），则（1-N/K）可以理解为尚未利用的空间（称为“未利用空间项”）当两个物种竞争或者利用同一空间时，“已利用空间项”还应该加上N2种群对空间的占用。

种群logistic 增长模型生命科学院 09科五 卢春燕 20092501092一、实验原理logistic 增长模型 ：种群在有限环境下的“S ”型增长曲线拟合的方程称为logistic 方程：其积分式为：K ——环境容纳量；N ——种群的数量； r ——种群的瞬时增长率；t ——时间。

二、实验步骤1、制备草履虫培养液；2、确定培养液中草履虫的初始密度；3、定期观测和记录；4、方程参数的估计（1）K 值的估计（均值法） K=111（2）a 、r 的估计求出K 值后，将logistic 方程的积分式变形为： 两边取对数，即为： 设 , b=-r ，x=t ，则logistic 方程的积分式变为： y=a+bx ，利用直线回归方法求得a 、b （则r = -b ） (3) 曲线的拟合1） 将求得的K 、a 和 r 代入logistic 方程，建立logistic 增长模型。

2） 计算得到各个增长时间种群大小的理论估计值，依照理论估计值绘制logistic 方程的理论曲线。

3）可以进一步将理论估计值与实验观测值进行显著性检验，确定无显著性差异。

三、实验结果与讨论rt a e K N -+=1rt a N N K e--=)(rta NN K -=-)ln()ln(N NK y -=rt a N NK -=-)ln(表1 草履虫在培养液中增长实验数据统计分析表天数重复1(只 /mL)重复2 (只/mL)重复3 (只/mL)平均值(只/mL)(K-N)/N ln[(K-N)/N)] a-rt exp logistic0 3 3 3 3 36 3.583519 1.346 3.8 22.92429 1 10 7 10 911.333332.427748 1.29813.7 23.80783 2 19 11 28 19.333334.741379 1.556328 1.2502 3.5 24.71587 3 27 16 31 24.66667 3.5 1.252763 1.2023 3.3 25.64836 4 5 61 81 49 1.265306 0.235314 1.1544 3.2 26.60518 5 66 179 87 110.6667 0.003012 -5.80513 1.1065 3.0 27.58616 6 35 40 15 302.70.993252 1.0586 2.9 28.59106 7 12 13 28 17.66667 5.283019 1.664498 1.0107 2.7 29.61956 8 11 10 19 13.33333 7.325 1.991293 0.9628 2.6 30.67129 9 13 8 23 14.66667 6.568182 1.882237 0.9149 2.5 31.7458 10 73189.333333 10.892862.3881070.8672.432.84256K 的估计值为111(只/mL)将logistic 方程的积分式变形为： 两边取对数，即为：设 , b=-r ，x=t ， 则logistic 方程的积分式变为： y=a+bx ，利用直线回归方法求得a 、b （则r = -b ） 求得a=1.3460 ,b=-0.0479,代入逻辑斯蒂方程111求得 N = 1+e 1.3460-0.0479r)ln(N NK y -=rta NN K e --=)(rt a N NK -=-)ln(rta e KN -+=1图1 草履虫观察值散点图及拟合增长曲线图表2 草履虫实验数据理论估计值与实验观测值显著性检验分析表天数观察值（只/mL）理论值（只/mL) X2X21，0.01显著性0 3 23 16.45865 6.63 极显著差异1 9 24 8.5986 6.63 极显著差异2 19 25 0.96453 6.63 无差异3 25 26 0.009047 6.63 无差异4 49 27 18.01841 6.63 极显著差异5 111 28 247.2087 6.63 极显著差异6 30 29 0.028896 6.63 无差异7 18 30 4.428451 6.63 显著差异8 13 31 9.24372 6.63 极显著差异9 15 32 8.658394 6.63 极显著差异10 9 33 16.12007 6.63 极显著差异根据表2可知本次试验拟合曲线不成功。

简述种群增长的逻辑斯谛模型及其主要参数的生物学意义在一定条件下，生物种群增长并不是按几何级数无限增长的。

即开始增长速度快，随后速度慢直至停止增长（只是就某一值产生波动），这种增长曲线大致呈“S”型，这就是统称的逻辑斯谛（Logistic）增长模型。

意义当一个物种迁入到一个新生态系统中后,其数量会发生变化.假设该物种的起始数量小于环境的最大容纳量,则数量会增长.增长方式有以下两种：（1） J型增长若该物种在此生态系统中无天敌,且食物空间等资源充足(理想环境),则增长函数为N(t)=n(p^t).其中,N(t)为第t年的种群数量,t为时间,p为每年的增长率(大于1).图象形似J形。

（2） S型增长若该物种在此生态系统中有天敌,食物空间等资源也不充足(非理想环境),则增长函数满足逻辑斯谛方程。

图象形似S形.逻辑斯谛增长模型的生物学意义和局限性逻辑斯谛增长模型考虑了环境阻力，但在种群数量较小时未考虑随机事件的影响。

比较种群指数增长模型和逻辑斯谛增长模型指数型就是通常所说的J型增长，是指在理想条件下，一个物种种群数目所呈现的趋势模型，但其要求食物充足，空间丰富，无中间斗争的情况，通常是在自然界中不存在的，当然，科学家为了模拟生物的J型增长，会在实验室中模拟理想环境，不过仅限于较为简单的种群（如细菌等）逻辑斯谛型是指通常所说的S型曲线，其增长通常分为五个时期1.开始期，由于种群个体数很少，密度增长缓慢。

2.加速期，随个体数增加，密度增长加快。

3.转折期，当个体数达到饱和密度一半（K/2),密度增长最快。

4.减速期，个体数超过密度一半（K/2)后，增长变慢。

5.饱和期，种群个体数达到K值而饱和自然界中大部分种群符合这个规律，刚开始，由于种群密度小，增长会较为缓慢，而后由于种群数量增多而环境适宜，会呈现J型的趋势，但随着熟练进一步增多，聚会出现种类斗争种间竞争的现象，死亡率会加大，出生率会逐渐与死亡率趋于相等，种群增长率会趋于0，此时达到环境最大限度，即K值，会以此形式达到动态平衡而持续下去。

一、实验课题：草履虫种群在有限环境中的逻辑斯谛增长测定二、文献综述：在自然条件，因受空间、食物等必需资源的限制，动物种群不可能连续的按几何级数增长，个体间对资源的竞争相应增加，以致影响种群的出生率和存活率，使种群增长率下降，种群数量停止增加甚至下降。

逻辑斯蒂方程是描述在资源有限的条件下种群增长规律的一个最佳数学模型。

①在18~20℃环境中，草履虫每天分裂一次。

②当培养液有限时，至一定时间，草履虫的分裂即受到限制。

如果不补充营养液，种群密度将饱和甚至下降，其种群增长规律符合逻辑斯蒂模型。

其微分公式是：dN/dt=rN(1-N/K) N为种群大小；K为环境最大容纳量；t为时间；r为瞬时增长率。

①牛翠娟，娄安如，孙儒泳等..基础生态学.2版.北京：高等教育出版社，2007.②孙儒泳.动物生态学原理3版.北京：高等教育出版社，2005.③牛翠娟，娄安如，基础生态学实验指导.3版.北京：高等教育出版社，2005.三、实验目的和要求：1.了解种群在有限环境中的增长方式，理解环境对种群增长的限制作用。

2.学习种群大小的检验、种群增长模型的建立、参数的估计以及种群增长曲线的拟合等实验技术。

3、通过逻辑斯谛增长模型实验，认识到环境资源是有限的，任何种群数量的动态变化都受到环境条件的制约。

4、加深对逻辑斯谛增长模型的理解与认识，深刻领会该模型中生物学特性参数r与环境因子参数—生态学特性参数K的重要作用。

5、学会如何通过实验估计出这两个参数和进行曲线拟合。

四、实验条件：实验材料：纯培养的草履虫（Paramecium caudatum）.实验试剂：鲁哥氏固定液实验器材：光照培养箱，实体显微镜，凹玻片，1 000 mL烧杯，100 ml量筒，移液管（0.1 ml，5ml），洗耳球、1kw电炉，普通天平，干稻草，50 mL锥形瓶，纱布，橡皮筋，自胶布条，封口膜，标记笔，细胞计数器，自制的观测数据记录表格。

五、实验原理及方法：世代重叠种群在无限环境中呈现J－型增长。

种群在资源有限环境中的逻辑斯谛增长姓名：学号：系别：生命科学学院生物科学专业班号：2实验日期：4月5日同组同学：实验目的1）认识到任何种群数量的动态变化都受到环境条件的制约（2）领会logistic model 生物学特性参数r与环境因子参数K的重要作用（3）学会通过实验估算这两个参数和进行曲线拟合实验原理•离散种群增长和连续种群增长•种群在有限资源环境下的连续增长的一种最简单的形式就是逻辑斯谛增长逻辑斯谛增长模型是建立在以下两个假设基础上的：①有一个环境容纳量（carrying capacity）（通常以K表示），当Nt=K时，种群为零增长，即dN／dt=0；②增长率随密度上升而降低的变化是按比例的。

最简单的是每增加一个个体，就产生1／K的抑制影响。

例如K=100，每增加一个体，产生0.01影响，或者说，每一个体利用了1／K的“空间”，N个体利用了N／K的“空间”，而可供种群继续增长的“剩余空间”只有（1-N ／K）。

逻辑斯蒂增长的数学模型dN/dT=rN[（K-N）/K]dN/dT=rN（1-N/K）dN/dT···························种群在单位时间内的增长率N·······························种群大小t································时间r································种群的瞬时增长率K·······························环境容纳量1-N/K····························剩余空间逻辑斯蒂增长的数学模型的积分式：N=K/[1+EXP（a-rt）]S”型曲线有两个特点：①曲线渐近于K值，即平衡密度；②曲线上升是平滑的。

逻辑斯蒂方程中用来描述种群增长的缺点标题：逻辑斯蒂方程中用来描述种群增长的缺点在生态学和生物学中，逻辑斯蒂方程是一种常用的数学模型，用来描述种群的增长。

逻辑斯蒂方程最初由比利时数学家皮埃尔·弗朗索瓦·鲁吉耶·德·洛吉斯蒂（Pierre François Verhulst）在19世纪提出，被广泛应用于描绘生物种群在资源有限的环境中的增长趋势。

然而，尽管逻辑斯蒂方程在某些情况下能够较好地描述种群增长的特征，但它也存在一些缺点和局限性。

一、什么是逻辑斯蒂方程？逻辑斯蒂方程是一种用来描述生物种群增长的数学模型，它考虑了种群的增长率随着种群密度的变化而发生改变的情况。

逻辑斯蒂方程通常采用以下的微分方程形式来表示：$$\frac{dN}{dt} = rN(1-\frac{N}{K})$$其中，$$\frac{dN}{dt}$$表示种群数量随时间的变化率，r是种群的固有增长率，N是种群的数量，K是环境的容纳量。

二、逻辑斯蒂方程的优点逻辑斯蒂方程能够很好地描述种群在资源有限的环境中的增长趋势。

相比于指数增长模型，逻辑斯蒂方程考虑了环境容量对种群增长的限制，更贴合自然界中的实际情况。

逻辑斯蒂方程还可以帮助科学家们预测和理解种群的数量如何随时间变化，对生态系统的管理和保护具有一定的指导意义。

三、逻辑斯蒂方程的缺点尽管逻辑斯蒂方程在某些方面能够较好地描述种群的增长，但它也存在一些缺点和局限性。

其中一大缺点在于逻辑斯蒂方程假设了种群数量的增长率在任何时刻都取决于种群密度，而忽略了环境因素的影响。

在自然界中，种群增长往往受到多种环境因素的综合影响，如食物供应、天敌的存在、疾病的传播等，这些因素都没有被逻辑斯蒂方程考虑进去。

逻辑斯蒂方程也假设了种群的增长率是连续变化的，但在现实生态系统中，种群增长往往会受到不连续的外部冲击，如自然灾害、人类活动等，这些冲击都会影响种群的增长趋势，而逻辑斯蒂方程并不能很好地描述这些非连续性的变化。

简述种群增长的逻辑斯谛模型及其主要参数的生物学意义种群增长的逻辑斯谛模型是一种描述物种生长的统计模型。

它基于两个关键假设：一是种群的增长率取决于种群数量，二是种群的增长率会随着种群数量的增加而减缓。

这个模型可以通过几个主要参数来描述，包括种群增长率、最大种群容量和饱和度。

种群增长率是指单位时间内种群数量的平均增加量。

在逻辑斯谛模型中，种群增长率通常被表示为种群数量与最大种群容量的差异的函数。

当种群数量接近零时，增长率接近最大增长率，随着种群数量的增加，增长率逐渐减缓，最终趋近于零。

这种模型反映了种群增长受到资源限制的生物学过程。

最大种群容量是指在给定环境条件下，种群可以达到的最大数量。

在逻辑斯谛模型中，最大种群容量是一个重要的参数，它代表了生态系统承载能力的上限。

当种群数量逐渐接近最大种群容量时，资源变得越来越有限，种群增长率受到阻碍，从而导致增长率减缓。

饱和度是指种群数量与最大种群容量之间的比值。

它是种群增长动力学的关键指标之一，用来描述种群数量相对于最大种群容量的相对大小。

当饱和度接近零时，种群数量较小，增长率较高；当饱和度接近于1时，种群数量接近最大种群容量，增长率趋近于零。

饱和度反映了种群增长受到资源限制的程度。

逻辑斯谛模型的主要参数具有生物学意义。

首先，最大种群容量可以反映生态系统的承载能力。

当最大种群容量较小时，表明这个生态系统的资源供应有限，种群数量不太可能达到很大；而当最大种群容量较大时，表明这个生态系统的资源供应相对充足，种群数量有较大的增长潜力。

其次，种群增长率是解释种群数量动态变化的重要指标。

当种群数量远离最大种群容量时，增长率较高，种群数量有较大的增长潜力；当种群数量接近最大种群容量时，增长率减缓，种群数量达到动态平衡。

这提醒我们要关注种群数量变化的趋势，及时采取措施来调节种群数量。

最后，饱和度是评估种群数量相对于最大种群容量的相对大小的重要参数。

饱和度越高，种群数量接近最大种群容量，资源供应越有限，增长率减缓；饱和度越低，则种群数量较小，资源供应相对充足，增长率较高。

1）逻辑斯蒂(Logistic)方程方程性质(1) 曲线有两条渐近线y ＝A 和y ＝y0，其中A 是树木生长的极限值。

(2) y 是关于t 的单调递增函数，由阻滞方程(1)式，得树木生长速度为：(3) 曲线存在一个拐点，令：解得其拐点坐标：方程适用性• 逻辑斯蒂曲线是具有初始值的典型的对称型“S”形生长曲线。

• 但是，该方程拐点在y 最大值的一半（A/2）处，方程的生长率随其大小呈线性下降，这些性质比较适合于生物种群增长，但对树木生长却不合适。

• 一些研究均表明，用Logistic 方程比较适合于描述慢生树种的树木生长，而对生长较快的其他树种其精度较低。

2,ln A y r m t I I ==4max Ar dt dy =⎪⎭⎫ ⎝⎛2) 单分子(Mitscherlich) 式方程性质(1) 单分子式满足生长方程的初始条件，即t＝0时，y0＝0。

它有一条渐近线y＝A，A为树木生长的极限值ymax。

(2) y是关于t(3) 方程不存在拐点，因为：方程适用性•单分子式比较简单，它无拐点，相当于理想的生长曲线，曲线形状类似于“肩形”，是一种近似的“S”形。

•因此，单分子式不能很好地描述典型的“S”型生长曲线，比较适合于描述一开始生长较快、无拐点的阔叶树或针叶树的生长过程。

3）坎派兹（Gompertz,1825）方程方程性质(1) Gompertz 方程有两条渐近线y ＝A 和y ＝y0，其中A 是树木生长的极限值。

(2) y 是关于t 的单调递增函数。

对Gompertz 式求一阶导数，可得到树木生长速率为：解得拐点坐标为：• 该方程存在拐点，约位于最大值三分之一处(A/e)，Gompertz 方程是具有初始值的典型“S”形生长曲线。

• 许多研究者发现，Gompertz 方程在生物学工作中适用性较大，•同样也比较适合于描述树木生长，但其精度不及Richards 方程和Korf 方程。

()01222=-=--rt rt be ye br dt y d4）考尔夫（Korf,1939）方程（3）方程性质(1) Korf方程有两条渐近线y＝A和y＝0。

种群增长的逻辑斯蒂（Logistic）方程原理的详细说明
王宝山
【期刊名称】《青海草业》
【年(卷),期】1995(000)002
【摘要】种群增长的逻辑斯蒂（Ｌｏｇｉｓｔｉｃ）方程原理的详细说明王宝山（青海省湟源畜牧兽医学校草原组８１００２１）了解种群增长的规律，对草原专业工作者来说，是必须具备的基础知识，但种群增长的逻辑斯蒂方程的原理，由于涉及到许多数学知识，有很多本专业读者不甚了解...
【总页数】4页(P29+40-42)
【作者】王宝山
【作者单位】青海省湟源畜牧兽医学校草原组
【正文语种】中文
【中图分类】S812
【相关文献】
1.逻辑斯蒂方程研究及应用 [J], 徐荣辉
2.基于逻辑斯蒂方程的商品销售预测研究 [J], 徐荣辉
3.描述有界变化现象的逻辑斯蒂方程之解析 [J], 武伟国
4.与年龄相关的Logistic种群增长方程的局部稳定性 [J], 黄思训
5.时滞脉冲微分方程的比较原理及其在单种群增长模型中的应用 [J], 刘靖;王炯琦因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

实验五种群在有限环境中的逻辑斯谛增长一、实验目的通过本实验，了解种群增长是受条件限制的。

二、实验材料1、实验器材：普通光学显微镜，血球计数板、三角烧瓶或烧杯、量筒、煤气喷灯、干稻草、普通天平、移液管、面粉、玻璃滴管、纱布、砷汞饱和液。

2、实验动物：草履虫，拟谷盗等。

三、一般说明种群不可能长期而连续地按几何级数增长，往往因为受到环境资源和其他必要的生活条件限制。

当种群增长到一定时候，种群增长率随着种群的密度上升而下降。

种群增长曲线呈“S”形，可用逻辑斯谛（Logistic）方程来描述。

关于逻辑斯谛增长的内容请参考教材相关内容。

种群在有限环境中增长的实验动物，可采用拟谷盗、果蝇、草履虫等。

本实验以草履虫为实验动物。

草履虫在18℃—20℃环境中，每天分裂一次。

草履虫主要以细菌为食，也取食有机质。

在实验室，一般以稻草煮出液为培养基（液）。

当培养液有限时，种群增长至一定时间，草履虫的分裂就会受到抑制，其种群密度达到饱和。

如果不补充培养液，种群密度就会下降。

活的草履虫在显微镜下计数是较困难的，因此需要砷汞饱和液固定，然后在显微镜下计数。

四、实验步骤：1、准备草履虫原液。

2、准备草履虫培养液，取稻草10g，剪成一寸左右，放入1000ml水中煮沸5-10分钟，冷却备用。

3、确定草履虫最初密度，从培养的草履虫原液（大约400个/ml）中取10ml，放在200ml稻草培养液中，然后每次抽样1ml计数，连续计数两次，其平均值即为种群初始密度。

计数方法：用移液管取1ml培养液分别垂直滴于10张载玻片上，液滴直径4mm为宜。

4、已确定草履虫种群密度的第一天的培养液，用清洁纱布罩上，放入18-20℃恒温箱中培养。

5、每天定时观测一次。

如果不补充培养液，草履虫种群增长的密度一般在5～6天即达到顶点。

以后种群数量将会逐渐下降。

如果要把观察草履虫种群增长时间延长几天，则需要在实验中途（第3天或第5天）加入适量的培养液（大概是种群培养初始培养液的1/15～1/20），这样，草履虫种群增长就可以延长至8～9天。

种群增长逻辑斯蒂方程
种群增长逻辑斯蒂方程是一种数学模型，用于描述生物种群的增长规律。

它是由比利时数学家皮埃尔·弗朗索瓦·韦洛德·罗吉斯提（Pierre François Verhulst）在19世纪提出的。

逻辑斯蒂方程的形式为：
dN/dt = rN[(K-N)/K]
其中，N表示种群数量，t表示时间，r表示种群增长率，K表示环境容纳量。

这个方程的含义是，种群数量的变化率是种群数量和环境容纳量的函数，当种群数量接近环境容纳量时，增长率会逐渐减小，最终趋于稳定。

逻辑斯蒂方程的应用范围非常广泛，可以用于研究各种生物种群的增长规律，包括人口、动物、植物等。

例如，人口学家可以用逻辑斯蒂方程来预测人口增长趋势和稳定水平，生态学家可以用它来研究物种数量的动态变化。

逻辑斯蒂方程的优点是比较简单易懂，可以用来预测种群数量的未来趋势。

但它也有一些缺点，比如忽略了环境变化对种群数量的影响，以及种群内部个体之间的相互作用等。

为了弥补逻辑斯蒂方程的不足，生态学家还发展了其他种群增长模型，比如洛特卡-沃尔特拉方程、罗森韦格方程等。

这些模型在考虑
更多因素的基础上，对于复杂的生态系统具有更好的适用性。

种群增长逻辑斯蒂方程是描述生物种群增长规律的一种数学模型，虽然它有一些局限性，但是在一定的范围内仍然有广泛的应用价值。

随着科技的不断进步，未来还会有更加精细、全面的种群增长模型被提出，进一步推动生态学的发展。

姓名 班级 学号 同组者 科目 生态学实验 题目 种群在资源有限环境中的逻辑斯蒂增长 组别 *****种群在资源有限环境中的逻辑斯蒂增长【实验目的】1. 认识到环境资源是有限的，任何种群数量的动态变化都受到环境条件的制约。

2. 加深对逻辑斯蒂增长模型的理解与认识，深刻领会该模型中生物学特性参数r 与环境因子参数——生态学特性参数K 的重要作用。

3. 学会如何通过实验估计出r 、K 两个参数和进行曲线拟合的方法。

【实验原理】逻辑斯蒂方程增长是种群在资源有限环境下连续增长的一种最简单形式，又称为阻滞增长。

种群在有限环境下的增长曲线是S 型的，它具有两个特点：（1）S 型增长曲线有一个上渐近线，即S 型增长曲线逐渐接近于某一个特定的最大值，但不会超过这个最大值的水平，此值即为种群生存的最大环境容纳量，通常用K 表示。

当种群大小达到K 值的时候，将不再增长。

（2）S 型曲线是逐渐变化的，平滑的，不是骤然变化的。

逻辑斯蒂增长的数学模型：)(K N K rN dt dN -= 或 )1(K NrN dt dN -= 式中：dtdN——种群在单位时间内的增长率；N ——种群大小； t ——时间；r ——种群的瞬间增长率； K ——环境容纳量； （KN-1)——“剩余空间”，即种群还可以继续利用的增长空间。

逻辑斯蒂增长模型的积分式：rta e KN -+=1式中：a ——常数；e ——常数，自然对数的底。

【实验器材】 坐标纸、笔 【操作步骤】1.老师给出草履虫培养的种群数目，将下面的表格填好。

姓名 班级 学号 同组者 科目 生态学实验 题目 种群在资源有限环境中的逻辑斯蒂增长 组别 *****2.将7天内的草履虫种群大小数据，标定在以时间为横坐标、草履虫种群数量为纵坐标的平面坐标系中，从得到的散点图中不仅可以看出草履虫种群大小随时间的变化规律，还可以得到此环境下可以容纳草履虫的最大环境容纳量K 。

通常从平衡点以后，选取最大的一个N ，以防止在计算)(NNK In -的过程中真数出现负值。