勾股定理的应用举例(2)

勾股定理的运用一、梯子问题【典型例题】例1 如图1-1，一个梯子AB长5米，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为3米，梯子沿墙滑动后停在DE的位置上，如图1-2所示，测得BD长为1米，求梯子顶端A下落了多少米？二、两点间的距离问题例2 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？例3-1 机场入口的铭牌上说明，飞机的行李架是一个56cm ×36cm ×23cm 的长方体空间。

一位旅客携带一件长60cm 的画卷，这件画卷能放入行李架吗？例3-2 如图，有一长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（ ） A ．cm 41 B ．cm 34 C ．cm 25 D ．cm 35【典型例题】例4 一艘轮船以32海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以24海里/时的速度向西南方向航行，则一个小时后两船相距多远？例5 某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时到达，到达后必须立即卸货，此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A 向北偏西 60方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到台风影响。

（1）问：B 处是否会受到台风的影响？请说明理由。

（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？（结果精确到0.1小时）* 例6 阅读材料并解答问题：我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”。

关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”。

关于勾股定理的八大应用
对于勾股定理的八大应用，具体如下：
1)判断是否超速：利用勾股定理可以判断司机是否超速。

2)求旗杆高度：利用勾股定理可以求旗杆高度。

3)折叠问题：利用勾股定理可以解决折叠问题，例如折叠矩形
纸张的问题。

4)求树高：利用勾股定理可以求树的高度。

5)求梯子最省力的位置：利用勾股定理可以求梯子最省力的位
置。

6)求面积问题：利用勾股定理可以解决一些求面积的问题。

7)求台风问题：利用勾股定理可以解决台风问题，例如台风眼
里是否有平地的问题。

8)九章算术问题：利用勾股定理可以解决九章算术中的一些问
题。

勾股定理的实际应用案例分析勾股定理是数学中的重要定理之一，也是人们在实际生活中常用的数学工具。

本文将通过分析一些实际应用案例，展示勾股定理在解决问题中的作用和价值。

1. 建筑领域中的勾股定理应用在建筑领域，勾股定理是测量和设计中不可或缺的工具之一。

例如，当建筑师设计一个直角形房间时，他们需要使用勾股定理来确保房间的墙壁是垂直的。

通过测量房间两个相对角的长度，并应用勾股定理计算斜边的长度，建筑师可以确保墙壁是垂直的，从而确保房间的稳定性和安全性。

2. 地理测量中的勾股定理应用地理测量中的三角测量法是一种常用的测量方法，其中就包括利用勾股定理来计算距离和角度。

例如，当测量两个地点之间的直线距离时，测量员可以使用勾股定理，通过测量两个直角边的长度计算出斜边的长度，从而得到两地之间的距离。

3. 航空航天领域中的勾股定理应用在航空航天领域，勾股定理也起到重要的作用。

例如，飞机在空中导航时会使用仪表着陆系统（ILS）来进行着陆。

这个系统包括一个地面引导系统和一个飞机上的接收机。

通过利用勾股定理，地面引导系统可以计算出飞机与跑道之间的距离和高度，从而为飞行员提供准确的导航和着陆指引。

4. 电子设备制造中的勾股定理应用在电子设备制造过程中，勾股定理也常被应用于检测和排除设备中的故障。

例如，在制造电视机时，工程师可能要使用勾股定理来测量电视屏幕的对角线，以确保屏幕大小符合规格要求。

如果测量出的对角线长度不符合预期结果，就可能意味着设备存在问题，需要进行进一步检查和修复。

综上所述，勾股定理在实际生活中有着广泛的应用。

无论是在建筑领域、地理测量、航空航天还是电子设备制造等领域，勾股定理都是不可或缺的工具和方法。

通过分析勾股定理的实际应用案例，我们可以更加深入地理解这个数学定理的重要性，并通过它解决问题和改进现有技术。

勾股定理的应用的例子：
一、圆柱侧面上两点间的最短距离圆柱侧面的展开图是一个矩形，圆柱上两点之间最短距离的求法，是把圆柱展开成平面图形，依据两点之间线段最短，以最短路线为构造直角三角形，利用勾股定理求解.
二、长方体(或正方体)表面上两点间的最短距离长方体每个面都是平面图形，所以计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，若计算不同平面上的两点之间的距离，就变成了两个面之间的问题，必须将它们转化到同一平面内，即把四棱柱设法展开成一个平面图形，再构造直角三角形利用勾股定理解决，正方体的展开图从哪一面上展开都一样，而长方体的展开图一定要注意打开哪一个侧面，并且向上、下与向左、右展开会出现长度不的路线，应通过尝试从几条路线中选一条符合要求的.
三、折叠问题关于折叠问题的解题步骤：(1)利用重叠的图形传递数据(一般不用重叠的图形进行计算)；(2)选择或构造直角三角形，这个直角三角形一般一边已知，另两边可通过重叠图形找到数量关系，从而利用勾股定理列方程求解.。

用勾股定理解决实际问题勾股定理是数学中的基本定理之一，它描述了一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

这个定理在实际生活中有着广泛的应用，特别是在计算机图形学、建筑设计、地理测量和航天航空等领域。

本文将通过几个实际问题的例子，探讨如何运用勾股定理解决实际问题。

一、房屋设计中的勾股定理应用在房屋设计中，为了保证建筑的结构稳定和美观，需要进行精确的测量和计算。

勾股定理在房屋设计中起着重要的作用。

例如，在设计一个三角形屋顶的平面布置时，我们需要测量斜边的长度。

假设一栋楼房的两个直角边分别为6米和8米，请问斜边的长度是多少？根据勾股定理，斜边的长度可以通过以下公式计算：斜边长度= √(直角边1的长度² + 直角边2的长度²)代入已知数值，斜边长度= √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10米因此，该三角形屋顶的斜边长度为10米。

二、地理测量中的勾股定理应用在地理测量中，勾股定理可以帮助我们计算两个点之间的距离、角度和方位。

例如，假设我们需要测量两个山顶之间的直线距离，我们只能在地面上进行测量。

假设山顶A和山顶B之间的两个直角边长度分别为300米和400米，请问山顶A和山顶B之间的直线距离是多少？根据勾股定理，直线距离可以通过以下公式计算：直线距离= √(直角边1的长度² + 直角边2的长度²)代入已知数值，直线距离= √(300² + 400²) = √(90000 + 160000) =√250000 = 500米因此，山顶A和山顶B之间的直线距离为500米。

三、建筑设计中的勾股定理应用在建筑设计中，勾股定理可以用于计算斜面的长度和倾斜角度。

例如，在设计一个斜坡道时，我们需要计算斜坡的长度和倾斜角度。

假设斜坡的水平距离为10米，垂直高度为2米，请问斜坡的长度和倾斜角度分别是多少？根据勾股定理，斜坡的长度可以通过以下公式计算：斜坡长度= √(水平距离² + 垂直高度²)代入已知数值，斜坡长度= √(10² + 2²) = √(100 + 4) = √104 ≈ 10.20米因此，斜坡的长度约为10.20米。

勾股定理的应用勾股定理的应用十分广泛，下面举例说明如下.一、求边长例1 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，CD ⊥AB 于D ，求CD 的长.分析 本题考查勾股定理的应用，先勾股定理求AC ，再运用三角形面积公式得到CD AB AC BC S ABC ∙=∙=∆2121，于是不难求CD.即本题的解题关键是先用勾股定理求AC ，再用“面积法”求CD.解：∵△ABC 是直角三角形，AB ＝5，BC ＝3，由勾股定理有∴∠2＝∠C∴∴CD 的长是2.4cm.二、求面积例2 （1）观察图形思考并回答问题（图中每个小方格代表一个单位面积）①观察图1－1.正方形A 中含有__________个小方格，即A 的面积是__________个单位面积； 正方形B 中含有__________个小方格，即B 的面积是__________个单位面积； 正方形C 中含有__________个小方格，即C 的面积是__________个单位面积. ②在图1－2中，正方形A ，B ，C 中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？③你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？（2）做一做：①观察图1－3、图1－4，并填写下表：②三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？（3）议一议：①你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？②你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？③分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，②中的规律对这个三角形仍然成立吗？分析注意到图中每个小方格代表一个单位面积，通过观察图形不能得到答案：①99991818；②A中含4个，B中含4个，C中含8个，面积分别为4，4，8；③A与B的面积之和等于C，图1－2中也是A与B的面积之和等于C.（2）①答案：②答案：.（3）答案：①设直角三角形三边长分别为a，b，c（如图）；②，.③成立.三、作线段例3.分析作法：1.作直角边长为1（单位长）的等腰直角三角形ACB（如图）；2.以斜边AB为一直角边，作另一直角边长为1的直角三角形ABB1；3.顺次这样作下去，最后作到直角三角形AB2B3，这时斜边AB、AB1、AB2、AB32证明：根据勾股定理，在Rt△ACB中，∵AB>0，∴其他同理可证.∴22222222CD BE BD AE CD DE AE AC --+=-+=.又∵CD BD =，∴222BE AE AC -=.点评 证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理；若无直角三角形，则可通过作垂线的方法，构成直角三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件.五、实际应用例5 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？分析 （1）由点A 作AD ⊥BC 于D ，则AD 就为城市A 距台风中心的最短距离在Rt △ABD 中，∠B=30º，AB ＝220，∴AD=21AB=110. 由题意知，当A 点距台风（12－4）20＝160（千米）时，将会受到台风影响.故该城市会受到这次台风的影响.（2）由题意知，当A 点距台风中心不超过60千米时，将会受到台风的影响，则AE ＝AF ＝160.当台风中心从E 到F 处时，该城市都会受到这次台风的影响.由勾股定理得DE =∴EF ＝2DE ＝6015.因为这次台风中心以15千米/时的速度移动，所以这次台风影响该城市的持续时间为154151560=小时. （3）当台风中心位于D 处时，A 城市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－20110＝6.5级. 点评 本例中提供了实际应用问题的情境，如何构造不同的直角三角形是解决此问题的关键，解题的出发点，首先应选择关键点，构造直角三角形模型.。