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⎨ 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题～第 20 题，共 20 题）。
本卷满分为 160 分， 考试时间为 120 分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
4．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等加黑、加粗。
江苏省 2019 年普通高等学校统一招生考试数学模拟试题（二）数 学 试 题数学Ⅰ（本部分满分 160 分，时间 120 分钟）一、填空题：本题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答．题．卡．上．． 1．已知集合 A = {1 , 2}， B = {1 , 3, a } ，且 A B = B ，则实数 a 的值是 ▲ ． 2．设复数 z 满足 z +|z | = 2 + i ( i 为虚数单位) ，则 z 的实部为 ▲ ． 3．用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为30 的样本，其中高一年级抽12 人，高三年级抽8 人，若该校高二年级共有学生500 人，则该校学生总数为 ▲ ． 4．一个口袋中装有大小与形状相同但颜色不同的 3 个球，现随机有放回地摸取 2 次，每次摸出 1 个球，则 2 次所摸出球的颜色相同的概率是 ▲ ． 5．已知双曲线 ax 2- y 2= 1 的离心率为 开始，则实数 a 的值为 ▲ ．6．右图是一个算法流程图，则输出 S 的值是 ▲ ． ⎧ x + y ≤17．若 x , y 满足不等式组 ⎪x + 1≥0 , 则3x + 2 y 的最大值为 ▲ ． ⎪⎩ x - y ≤1 S ← 2, n ← 1n ← n + 1S ← 1 - 1S8．底面边长为 2，高为 1 的正四棱锥的侧面积为 ▲ ． n > 8N9．在正项等比数列{a n }中， a 5 - a 1 = 15, a 4 - a 2 = 6 ，则 a 3 = ▲ ． Y 10．已知| a |= 1,| b |= 2, a + b = (1, 2 ) ，则向量 a , b 的夹角为 ▲ ．11．直线 ax + y + 1 = 0 被圆 x 2- 2ax + y 2+ a = 0 截得的弦长为 2 ，则实数 a 的值是 ▲ ．输出 S结束（第 6 题图）51 212．当 a > b > c 时， a - c +a - b的最小值是 ▲ ． a - b b - c13．已知 ∆ABC 的面积为 10，点 P 满足 PA + PC = mAB ，则 ∆ABP 的面积为 ▲ ．14．已知函数 f ( x ) = e x -1 + x - 2 ( e 为自然对数的底数)与 g ( x ) = x 2 - ax - a + 3 ，若存在 x , x ， 使得 f ( x 1 ) = g ( x 2 ) = 0 ，且| x 1 - x 2 |≤1 ，则实数 a 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分 14 分)在锐角 ∆ABC 中，角 A , B ,C 所对的边分别为 a , b , c ，b ＝4，c ＝6，且 a sin B = 2 3 . (1)求角 A 的大小；(2)若 D 为 BC 的中点，求 AD 的长.16．(本小题满分 14 分)如图，在四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，底面 ABCD 是菱形，对角面 BDD 1B 1 为矩形，点 Ｍ为 AA 1 的中点.(1)求证： AC // 平面 BMD 1 ；(2)求证： CM ⊥ BD .D 1 C 1A 1B 1M DCA B (第 16 题图)n 17．(本小题满分 14 分) 已知正项数列{a }的前 n 项和为 S ， 2S = a 2+ a , n ∈ N * ．nn(1) 求数列{a n }的通项公式；nnn(2) 如果实数c 使得 ∑ 1< c 对所有正整数 n 都成立，求c 的取值范围.i =1 a i a i +218．(本小题满分 16 分)某类导弹的制导是通过导弹上的雷达接收控制方发出的回波信号来控制的，其回波信 号由函数 f ( x ) = A sin(ωx + φ) ( A ≥ 0, ω > 0 )实现．我们把函数f (x )称为载波，载波的振幅A 称为回波信号的强度，两个函数解析式相加称为载波的叠加.(1)已知强度相同的两个载波 f 1 ( x ) = A sin(ωx + α) 与 f 2 ( x ) = A sin(ωx + β) ( A ≠ 0 )叠加后，其回波信号的强度不变，求| α - β | 的最小值；(2)已知敌方导弹的载波是 g ( x ) = 2sin x ，为干扰该导弹的制导系统，我方确定发射与之强度相同的两个载波(强度、频率相同，初相不同)，使敌方导弹接收到的回波信号(三个 载波的叠加)的强度最小．请你给出我方发射的两个载波的函数解析式，并说明理由．yAPOFx19．(本小题满分 16 分)x 2 y 2如图，椭圆Ｃ: a 2 + = 1(a > b > 0) 的上顶点为 A ，右焦点为 F ，点 P 在椭圆 C 上．b2 (1) 若存在点 P ，使线段 OP 被直线 AF 平分，求椭圆Ｃ的离心率的取值范围； (2) 证明：存在椭圆Ｃ，使线段 OP 被直线 AF 垂直平分．(第 19 题图)20．(本小题满分 16 分)已知函数 f (x )=cos x +ax 2-1,a ∈R. (1) 求证：函数 f (x )是偶函数；(2) 当 a =1 时，求函数 f (x )在[-π，π]上的最值； (3) 若 f (x )≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围．江苏省 2019 年普通高等学校统一招生考试数学模拟试题（二）数 学 试 题数学Ⅱ（附加题）注意事项1． 本试卷共 2 页，均为非选择题（第 21 题～第 23 题，共 4 题）。
江苏省2019年普通高等学校统一招生考试数学模拟试题（二）数学试题参考答案与评分标准数学Ⅰ部分一、填空题：1．22．343．15004．135．46．1-7．38．9．410．2π311．－212．313．514．[2,3]二、解答题：15.解：(1)由正弦定理，得sin sina Bb A=……………………………２分因为b＝4，sina B=所以sin2A=，……………………………４分又π2A<<，所以π3A=．………………………………６分(2)若b＝4，c＝6，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝16＋36－2×24×12＝28，所以a＝………………………………８分因为D为BC的中点，所以BD＝DC．在ABD∆与ACD∆中，分别由余弦定理，得2222222cos,2cos,AB BD AD BD AD ADBAC CD ADCD AD ADC⎧=+-⋅⋅∠⎪⎨=+-⋅⋅∠⎪⎩即22367cos,167cos,AD ADBAD ADC⎧=+-⋅∠⎪⎨=+-⋅∠⎪⎩………………………………12分又πADB ADC∠+∠=，两式相加得,52=14＋22AD，解得，AD=．………………………………14分16．证明：(1)连结1交1BD于N，则N为1AC中点，又因为点M为1AA的中点，所以//MN AC，……………3分又MN⊂平面1BMD，AC⊄平面1BMD，∴//AC平面1BMD.……………………………7分(2) 四边形11BDD B为矩形，∴1BD BB⊥，又11//BB AA，∴1BD AA⊥底面ABCD是菱形，∴AC BD⊥，………………9分又1AC AA A⋂=，∴BD⊥平面1A AC．………12分MC⊂平面1A AC，∴BD MC⊥，………………14分17．解：⑴当1n=时，21112S a a=+，解得11a=，或1a= MADBA1D1C1B1C(第16题图)N（舍）.……………１分当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+，则有2211122()()n n n n n n S S a a a a ----=+-+，即22112()()n n n n n a a a a a --=-+-，2211n n n n a a a a --+=-，………………………………………4分因为0n a >，所以11n n a a --=．所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，数列{}n a 的通项公式为,*n a n n N =∈．………………………………………7分(2)因为111211111((2)22nn ni i i i i a a i i ii ===+==-++∑∑∑………………………………………9分＝1111(1)2212n n +--++………………………………………12分＝31113()42124n n -+<++．故c 的取值范围为3[,)4+∞．………………………………………14分18．解：(1)12()()sin(ωα)sin(ωβ)f x f x A x A x +=+++＝(cosαcosβ)sin ω(sin αsinβ)cosωA x A x +++，……………2分叠加后强度为A A ⋅1，即1cos(αβ)2-=-，……………………………5分故|αβ|-的最小值2π3．………………………………………7分(2)设我方两个载波为1122()2sin(φ),()2sin(φ)g x x g x x =+=+，则1212()()()2sin 2sin(φ)2sin(φ)g x g x g x x x x ++=++++＝12122[(1cos φcosφ)sin (sin φsin φ)cos ]x x ++++．…………9分因为强度的最小值为零，所以12121cos φcosφ0,sin φsin φ0,++=⎧⎨+=⎩……………………………………12分即2121cosφ1cos φ,sin φsin φ,=--⎧⎨=-⎩，消去2φ得11cosφ2=-,………………………………14分若取12πφ3=，可取24πφ3=(或22πφ3=-等)，则122π4π()2sin(),g ()2sin()33g x x x x =+=+(或22π()2sin()3g x x =-等)．此时1211()()()2[sin (sin cos )(sin cos )]02222g x g x g x x x x x x ++=+-++--=．…………………………16分19．(1)解：设P (x 0,y 0),则2200221x ya b+=，①又OP 的中点在直线AF :1x yc b +=上,所以002x y c b+=，②……………2分②代入①，得22002(2)1,x xa c+-=即2220022430a c x x a c c +⋅-⋅+=．………………………………………4分所以△＝222221612()0a c c a c +-≥，即223a c ≥，故离心率的取值范围为(0，3．………………………………………7分(2)证明：若线段OP 垂直AF ，则直线OP 的方程为cxy b=，…………………………8分与直线AF 的方程1x y c b +=联立,解得两直线交点的坐标(2222,b c bc a a)．因为线段OP 被直线AF 平分，所以P 点坐标为(222222,b c bc a a)，………………11分由点P 在椭圆上，得4224642441b c b c a a b +=，又222b ac =-,设22c t a=，得224[(1)]1t t t -⋅+=．(＊)……………13分令2232()4[(1)]14()1f t t t t t t t =-⋅+-=-+-，则2()4(321)0f t t t '=-+>/，所以()f t 在区间(0,1)上单调递增，因为(0)10,(1)30f f =-<=>,由函数零点存在性定理，知()0f t =在区间(0,1)上有解，即(＊)式方程有解，故存在椭圆Ｃ，使线段OP 被直线AF 垂直平分．…………………………16分20．(1)证明：函数f (x )的定义域为R ，因为f (-x )=cos(-x )+a (-x )2-1=cos x +ax 2-1=f (x ),所以函数f (x )是偶函数.……………………………………3分(2)解：当a =1时，f (x )=cos x +x 2-1，则f ´(x )=-sin x +2x ,令g (x )=f ´(x )=-sin x +2x ,则g ´(x )=-cos x +2>0,所以f ´(x )是增函数，又f ´(0)=0，所以f ´(x )≥0，所以f (x )在[0，π]上是增函数，又函数f (x )是偶函数，故函数f (x )在[-π，π]上的最大值是π2-2，最小值为0.…………………………8分(3)解：f ´(x )=-sin x +2ax ,令g (x )=f ´(x )=-sin x +2ax ,则g ´(x )=-cos x +2a ,①当a ≥12时,g ´(x )=-cos x +2a ≥0,所以f ´(x )是增函数，又f ´(0)=0，所以f ´(x )≥0，所以f (x )在[0，+∞)上是增函数，而f (0)=0，f (x )是偶函数，故f (x )≥0恒成立．………………………………………12分②当a ≤-12,g ´(x )=-cos x +2a ≤0,所以f ´(x )是减函数，又f ´(0)=0，所以f ´(x )≤0，所以f (x )在(0，+∞)上是减函数，而f (0)=0，f (x )是偶函数，所以f (x )<0，与f (x )≥0矛盾，故舍去．………………14分③当-12<a <12时，必存在唯一x 0∈(0，π)，使得g ´(x 0)=0，因为g ´(x )=-cos x +2a 在[0，π]上是增函数，所以当x ∈(0,x 0)时，g ´(x )<0,即f ´(x )在(0,x 0)上是减函数，又f ´(0)=0，所以当x ∈(0,x 0)时f ´(x )≤0，即f (x )在(0，x 0)上是减函数，而f (0)=0，所以当x ∈(0,x 0)时f (x )<0，与f (x )≥0矛盾，故舍去．综上，实数a 的取值范围是[12，+∞)．………………………………………16分数学Ⅱ部分21．【选做题】A ．(选修4—2：矩阵与变换)解:由题意知111111a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,即11,11,a b +=⎧⎨+=-⎩,解得0,2.a b =⎧⎨=-⎩所以1021M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，………………………………………5分()()0,2,1,3A C 在变换T 作用下变为()10,2A ，()11,1C ,故△111A B C 的面积为1.………………………………………10分B ．(选修4—4：坐标系与参数方程)解：曲线Ｃ的普通方程为22(2)4x y -+=，直线l 的方程为y x =，………………………………………5分所以直线l 被曲线C 截得的弦长π4cos 4=分C ．(选修4—5：不等式证明选讲)证明：因为0,0,x y x y >>>，所以0x y ->，因为()()()()()221123x y x y x y x y x y -+=-+-+--≥，当且仅当1x y -=时等号成立，………………………………8分所以2212(1)12x y x xy y --+-+≥．…………………………………10分【必做题】22．解:(1)设X 为射手在3次射击中击中目标的次数,则X ～在3次射击中,恰有2次击中目标的概率P (X ＝2)＝C 23＝49.………………………………………5分(2)由题意可知0,1,2,3,6.P (X ＝0)＝127；P (X ＝1)＝123212()339C =；P (X ＝2)＝2×1×23＝427；P (X ＝3)×13＋13×＝827；P (X ＝6)＝827.X 的分布列是X01236P12729427827827…………………………………8分所以X 的数学期望()E X ＝2488861236927272727⨯+⨯+⨯+⨯=．………………10分23．解：设1122(,),(,)A x y B x y (120y y ≠)，因为OA OB ⊥，所以12120x x y y +=，又2211222,2y x y x ==，所以22121204y y y y +=，解得124y y =-．………………………………………2分(1)当12x x =时，直线AB 方程为2x =，AB 与x 轴的交点坐标为(2,0)．当12x x ≠时，直线AB 方程为212112212()222y y y y y x y y --=--，令0y =，得1222y yx =-=，故线段AB 与x 轴的交点坐标(2,0)．………………………………………5分(2)设点A 处的切线方程为11()x―x m y―y =，代入22y x =，得2211220y ―my my ―y +=，由△22114840m ―my y +=＝，得1m y =，所以点A 处的切线方程为11y y x x =+，………………………………………7分同理点B 处的切线方程为22y y x x =+所以两条切线交点P 的横坐标为1221121222x y x y y y x y y -===--，故P 点的轨迹方程为2x =-．………………………………………10分。
(绝密★启用前B 卷2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)数学Ⅱ(附加题)注意事项：1. 附加题供选修物理的考生使用．2. 本试卷共40分，考试时间30分钟．3. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 共3小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A . 选修4-2：矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 2－1，若矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. (1) 求a 的值；(2) 求矩阵A 的另外一个特征值．B . 选修4-4：坐标系与参数方程(本小题满分10分)在极坐标系中，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2(cosθ＋sinθ)．(1) 将曲线C 的方程化为直角坐标方程；(2) 设M 为曲线C 上任意一点，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，5π4，求MP 的取值范围．C . 选修4-5：不等式选讲(本小题满分10分)设x ＋y ＋z ＝25，若x 2＋ty 2＋z 2的最小值为8，求正数t 的值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)现有两个质地均匀且同样大小的正四面体A，B，正四面体A的4个顶点分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色，正四面体B的4个顶点分别标有数字1，2，3，4.甲连续抛掷正四面体A 3次，若至少出现2次红色顶点朝上，则甲获得一次抽奖机会；乙连续抛掷正四面体B 4次，若至少出现3次偶数顶点朝上，则乙获得一次抽奖机会(甲、乙两人获得抽奖的机会相互独立)．(1) 求甲、乙两人各自能够获得一次抽奖机会的概率；(2) 设X为甲、乙两人获得抽奖机会的总次数，求X的分布列及数学期望．23. (本小题满分10分)在二元函数f(u，v)中，把变量u看成自变量，v看成常数，对u求导记为[f(u，v)]′u，例如，[ln(2u＋3v)]u′＝（2u＋3v）u′2u＋3v＝22u＋3v.已知f(u，v)＝e au＋bv·(cu＋dv)2.(1) 求[f(u，v)]′u；(2) 若a，b，c，d，u，v都是正数，ab<cd，求证：[f（u，v）]′u[f（u，v）]′v<cd.(这是边文，请据需要手工删加)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷) B 卷数学Ⅱ(附加题)参考答案及评分标准21. A . 【解答】(1) 因为矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 2－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，(3分) 所以1＋a ＝1，所以a ＝0.(5分)(2) 由(1)得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤102－1， 令f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－10－2λ＋1＝0，(8分) 所以(λ－1)(λ＋1)＝0，所以λ＝1或λ＝－1.所以矩阵A 的另外一个特征值为－1.(10分)B . 【解答】(1) 由ρ＝2(cosθ＋sinθ)，得ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)，(2分)因为ρcosθ＝x ，ρsinθ＝y ，所以x 2＋y 2＝2x ＋2y ，化成普通方程是(x －1)2＋(y －1)2＝2.(4分)(2) 由(1)得，曲线C 是一个圆，圆心N 的坐标为(1，1)，半径r ＝2，(6分) 点P 的极坐标化为直角坐标为(－1，－1)，(8分)因为PN ＝（1＋1）2＋（1＋1）2＝22，所以MP 的取值范围为[]PN －r ，PN ＋r ，即[]2，32.(10分)C . 【解答】设α＝(x ，ty ，z)，β＝⎝⎛⎭⎫1，1t ，1，由柯西不等式得，x·1＋ty·1t＋z·1≤x 2＋（ty ）2＋z 2·12＋⎝⎛⎭⎫1t 2＋12， 即x ＋y ＋z ≤x 2＋（ty ）2＋z 2·2＋1t， 又x ＋y ＋z ＝25，所以x 2＋（ty ）2＋z 2≥252＋1t ＝22，所以t ＝2.(10分) 22. 【解答】(1) 设“甲获得一次抽奖机会”为事件M ，“乙获得一次抽奖机会”为事件N ，则P(M)＝C 23⎝⎛⎭⎫142×34＋C 33⎝⎛⎭⎫143＝532，(2分) P(N)＝C 34⎝⎛⎭⎫123×12＋C 44⎝⎛⎭⎫124＝516.(4分) (2) X 的所有可能取值为0，1，2. P(X ＝0)＝P(M)·P(N)＝2732×1116＝297512， P(X ＝1)＝P(M)·P(N)＋P(M)·P(N)＝2732×516＋532×1116＝190512， P(X ＝2)＝P(M)·P(N)＝532×516＝25512.(8分) 所以X 的分布列为所以E(X)＝0×297512＋1×190512＋2×25512＝1532.(10分) 23. 【解答】(1) [f(u ，v)]′u ＝ae au ＋bv ·(cu ＋dv)2＋2ce au ＋bv ·(cu ＋dv)＝e au ＋bv (cu ＋dv)[a(cu ＋dv)＋2c]．(3分)(2)同理，[f(u ，v)]′v ＝e au ＋bv (cu ＋dv)·[b(cu ＋dv)＋2d]，(5分)所以[f （u ，v ）]′u [f （u ，v ）]′v ＝e au ＋bv （cu ＋dv ）·[a （cu ＋dv ）＋2c]e au ＋bv （cu ＋dv ）·[b （cu ＋dv ）＋2d]＝a b [b （cu ＋dv ）＋2d]＋⎝⎛⎭⎫2c －2ad b b （cu ＋dv ）＋2d ＝a b ＋2（bc －ad ）b[b （cu ＋dv ）＋2d](*)．(8分) 因为a ，b ，c ，d ，u ，v 都是正数，a b <c d， 所以bc －ad>0，所以(*)<a b ＋2（bc －ad ）2bd ＝c d.(10分)。
(这是边文，请据需要手工删加)绝密★启用前A 卷2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)数学Ⅱ(附加题)注意事项：1. 附加题供选修物理的考生使用．2. 本试卷共40分，考试时间30分钟．3. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 共3小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A . 选修4-2：矩阵与变换(本小题满分10分)已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤2003A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤400－3， 求矩阵A －1.B . 选修4-4：坐标系与参数方程(本小题满分10分)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝123＋sin 2θ，P(x ，y)是曲线C 上的一动点，求x 2＋y 的最小值．C. 选修4-5：不等式选讲(本小题满分10分)已知实数x，y，z满足x2＋9y2＋4z2＋m＝0(m<0)，且x＋y＋z≤21，求m的值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面是边长为23的正三角形，点A 1在底面ABC 上的射影O 恰是BC 的中点，侧棱AA 1和底面成45°角．(1) 若D 为侧棱A 1A 上一点，当A 1D DA为何值时，BD ⊥AC? (2) 求二面角A 1 AC B 的余弦值的大小．(第22题)23. (本小题满分10分)已知n ∈N *，a n ∈Z ，b n ∈Z ，且(1＋6)n ＝6a n ＋b n .(1) 求a 5＋b 5；(2) 是否存在n ∈N *，使b n ＝42 019？若存在，求出所有n 的值，若不存在，请说明理由．(这是边文，请据需要手工删加)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷) A 卷数学Ⅱ(附加题)参考答案及评分标准21. A. 【解答】设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2003A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 2b 3c 3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤400－3，(3分) 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0，c ＝0，d ＝－1，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200－1， 所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200－1.(10分) B. 【解答】对于曲线C ，去分母，得3ρ2＋ρ2sin 2θ＝12， 即3x 2＋3y 2＋y 2＝12，化简得x 24＋y 23＝1.(5分) 设x ＝2cosα，y ＝3sinα，则x 2＋y ＝cosα＋3sinα＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，故x 2＋y 的最小值为－2.(10分) C. 【解答】由柯西不等式知[x 2＋(3y)2＋(2z)2]·⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫122≥⎝⎛⎭⎫x ＋13×3y ＋12×2z 2. 因为x 2＋9y 2＋4z 2＝－m(m<0)，所以－4936m ≥(x ＋y ＋z)2，即－7－m 6≤x ＋y ＋z ≤7－m 6. 因为x ＋y ＋z≤21，所以7－m 6＝21，解得m ＝－324.(10分) 22.(第22题)【解答】以O 点为原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴，OA 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由题意知∠A 1AO ＝45°，A 1O ＝3，所以O(0，0，0)，C(3，0，0)，A(0，3，0)，A 1(0，0，3)，B(－3，0，0)．(1) 设AD ＝a ，则D ⎝⎛⎭⎫0，3－22a ，22a ，所以BD →＝⎝⎛⎭⎫3，3－22a ，22a ，AC →＝(3，－3，0)．要使BD ⊥AC ，则需BD →·AC →＝3－3⎝⎛⎭⎫3－22a ＝0，得a ＝22， 而AA 1＝32，所以A 1D ＝2，所以A 1D DA ＝222＝12.(5分) 故当A 1D DA ＝12时，BD ⊥AC. (2) 因为AA 1→＝(0，－3，3)，AC →＝(3，－3，0)，设平面ACA 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC →＝（x ，y ，z ）·（3，－3，0）＝3x －3y ＝0，n 1·AA 1→＝（x ，y ，z ）·（0，－3，3）＝－3y ＋3z ＝0. 令z ＝1，则x ＝3，y ＝1，所以n 1＝(3，1，1)．(7分) 又平面ABC 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，(8分) 所以cos 〈n 1，n 2〉＝3×0＋1×0＋1×112＋12＋（3）2×1＝55. 显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为55.(10分) 23. 【解答】(1) 当n ＝5时，(1＋6)5＝C 05＋C 156＋C 25(6)2＋…＋C 55(6)5＝[C 05＋C 25(6)2＋C 45(6)4]＋[C 156＋C 35(6)3＋C 55(6)5]＝241＋1016，故a 5＝101，b 5＝241，则a 5＋b 5＝342.(4分)(2) 方法一：(1＋6)n ＝C 0n ＋C 1n 6＋C 2n (6)2＋…＋C n n (6)n .①当n 为奇数时，b n ＝C 0n ＋C 2n (6)2＋C 4n (6)4＋…＋C n －1n (6)n －1， 当n ＝1时，b 1＝1是奇数；当n ≥3时，C 2n (6)2＋C 4n (6)4＋…＋C n －1n (6)n －1是偶数，故b n 为奇数．(8分) ②当n 为偶数时，b n ＝C 0n ＋C 2n (6)2＋C 4n (6)4＋…＋C n n (6)n ，同样可知b n 为奇数．综上可知b n 为奇数，而42 019为偶数，故不存在n ∈N *，使b n ＝42 019.(10分) 方法二：①当n ＝1时，b 1＝1是奇数．(6分)②假设n ＝k 时， (1＋6)k ＝6a k ＋b k ，其中b k 为奇数，则当n ＝k ＋1时， (1＋6)k ＋1＝(1＋6)(1＋6)k ＝(6a k ＋b k )(1＋6)＝6(a k ＋b k )＋6a k＋b k .(8分)所以b k ＋1＝6a k ＋b k ，由题设知b k 为奇数，而6a k 为偶数，故b k ＋1是奇数． 由①②知b n 为奇数，而 42 019为偶数，故不存在n ∈N *，使b n ＝42 019.(10分)。
2019年全国普通高等院校统一招生考试数学试卷（终极押题江苏卷）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效． 4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 参考公式：球体的体积公式：V ＝334R ，其中为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合，，则_________________【答案】【解析】，本题正确结果：2．已知复数满足，则________.【答案】【解析】 解：因为所以所以.3．甲、乙两位同学的5次考试成绩如茎叶图所示，则成绩较稳定的那位学生成绩的方差为______．【答案】2【解析】由茎叶图可得：甲的平均成绩为，所以方差为；乙的平均成绩为，所以方差为；因此，所以甲稳定，方差为2.故答案为24．执行如下的程序框图，最后输出结果为k=10,那么判断框应该填入的判断是,则实数的取值范围是______．【答案】（36,45]【解析】由题意，模拟程序的运行，根据循环结构的程序框图的计算公式，可得当时，求得，而当时，求得，要使的输出的结果为，判断框应该填入的判断是时，则.5．函数的定义域为______．【答案】【解析】要使原函数有意义，则：；；原函数的定义域为：．故答案为：．6．欧阳修的《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．已知铜钱是直径为3 的圆，中间有边长为1的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则油正好落入孔中的概率是________．【答案】【解析】由题意可知铜钱所在圆的半径为，所以其面积为，又由中间边长为的正方形，则正方形的面积为，由几何概型的概率公式可得概率为.7．函数的最小正周期为，则函数在内的值域为______．【答案】【解析】函数的最小正周期为，∴，，则在内，，，故答案为：．8．已知点是双曲线的右焦点，过原点且倾斜角为的直线与的左、右两支分别交于，两点，且，则的离心率为__________..【答案】【解析】解：设F'为双曲线的左焦点，连接AF'，BF'，由•0，可得AF⊥BF，可得四边形AFBF'为矩形，又∠BOF=，∴∠BF'F=∵F'F=2c，∴BF=c，BF'=由双曲线定义可知：BF'- BF=2a即∴e=故答案为：9．函数满足，且在区间（-2,2]上，，则的值为_________【答案】1【解析】因为，所以函数的最小正周期为，所以，又在区间（-2,2]上，，所以，所以.故答案为110．如图，正三棱锥的高，底面边长为4，，分别在和上，且，当三棱锥体积最大时，三棱锥的内切球的半径为________．【答案】【解析】设，，当时，取得最大值，此时为中点，经过点，且，，所以可求，，因此易求，，，，又∵，∴.11．已知，，若成立，则实数t的取值范围是______．【答案】【解析】解：根据题意，，则，则函数为偶函数，当时，，其导数，则函数在为增函数，则，解可得：，即t的取值范围为；故答案为：12．过点作圆（）的切线，切点分别为、，则的最小值为________【答案】【解析】圆C：（x m）2+（y﹣m+1）2＝1的圆心坐标为（m，m﹣1），半径为1，∴PC，PA＝PB，cos∠APC，∴cos∠APB＝2（）2﹣1＝1，∴•（PC2﹣1）×（1）＝﹣3+PC23+23+2，当且仅当PC时取等号，∴的最小值为23．故答案为：23．13．已知在中，角所对的边分别为.为上一点且则的最小值为__________ .【答案】【解析】，，，又，故即，所以.又，当且仅当，时等号成立，故的最小值为，填.14．已知集合，从集合中取出个不同元素，其和记为；从集合中取出个不同元素，其和记为．若，则的最大值为____．【答案】44【解析】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取，S=即令2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，则，由基本不等式当且仅当m=t=22时取等，∵t为奇数，∴的最大值在t=22附近取到，则t=21,m=23（舍）；t=21,m=22,成立；t=23,m=21（舍）; t=23,m=20,成立；故m+t的最大值为43，所以的最大值为44故答案为44二、解答题（本大题共6小题，计90分.解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1．设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E．求证：（1）DE∥平面ABB1A1；（2）BC1⊥平面A1B1C．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1 A1为平行四边形．又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB．又AB⊂平面ABB1 A1，DE⊄平面ABB1 A1，所以DE∥平面ABB1A1．（2）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1．又因为A1B1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1．又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1⊂平面BCC1B1，BB1∩B1C1 = B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1．又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1．又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．又A1B1∩B1C =B1，A1B1，B1C ⊂平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C．16．已知，为钝角且，．求的值；求的值．【答案】（1）-2；（2）【解析】（1）由题意，因为，为钝角，所以，所以，所以．（2）因为，为钝角，且，．，，，，，．．17．某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口沿，方向修建两条小路，休息亭与入口的距离为米（其中为正常数），过修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于、处，已知，．（1）设米，米，求关于的函数关系式及定义域；（2）试确定，的位置，使三条路围成的三角形地皮购价最低．【答案】(1) ，定义域为 (2)见解析【解析】（1）法一：由得，且由题可知所以得即所以由得定义域为法二：由得，设中，由正弦定理所以同理可得由即整理得，由得定义域为（2）设三条路围成地皮购价为元，地皮购价为元/平方米，则（为常数），所以要使最小，只要使最小由题可知定义域为令则当且仅当即时取等号所以，当时，最小，所以最小，此时y=答：当点距离点米,F距离点米远时，三条路围成地皮购价最低18．椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为A，上顶点为B，且满足向量.（1）若，求椭圆的标准方程;（2）设为椭圆上异于顶点的点，以线段PB为直径的圆经过F1，问是否存在过F2的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在满足条件的直线，斜率.【解析】（1）易知，因为，所以为等腰直角三角形，所以b=c，由可知，故椭圆的标准方程为：；（2）由已知得，设椭圆的标准方程为，的坐标为，因为,所以，由题意得,所以，又因为在椭圆上，所以,由以上两式可得，因为不是椭圆的顶点，所以，故，设圆心为，则，圆的半径假设存在过的直线满足题设条件，并设该直线的方程为，由相切可知,所以，即，解得故存在满足条件的直线.19．已知函数，其中为自然对数的底数，．（1）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；（2）已知，，若对任意都成立，求的最大值；（3）设，若存在，使得成立，求的取值范围．【答案】(1) 见解析(2) (3) 或．【解析】（1）由，知．若，则恒成立，所以在上单调递增；若，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递减；在上单调递增．综上，增区间是，无减区间，增区间是，减区间是（2）由（1）知，当时，．因为对任意都成立，所以，所以．设，（），由，令，得，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减，所以在处取最大值，且最大值为．所以，当且仅当，时，取得最大值为．（3）设，即题设等价于函数有零点时的的取值范围．① 当时，由，，所以有零点．② 当时，若，由，得；若，设h(x)=故h(x)单增，所以h(x)> h(0)=0,所以无零点．③ 当时，，又存在，，所以有零点．综上，的取值范围是或．20．设各项均为正数的数列的前项和为，且，（，），数列满足（）.（1）求数列、的通项公式；（2）设，是的前项和，求正整数，使得对任意的，均有；（3）设，且，其中（，），求集合中所有元素的和.【答案】（1），；（2）；（3）见解析.【解析】（1）①a1＝1，a n2＝S n+S n﹣1（n∈N*，n≥2），∴S n+1+S n，相减可得：a n+1+a n，化为：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）＝0，∵a n+1+a n＞0，∴a n+1﹣a n＝1，又S2+S1，可得a2﹣2＝0，a2＞0，解得：a2＝2，∴a2﹣a1＝1，∴数列{a n}设等差数列，a n＝1+n﹣1＝n．②数列{b n}满足（n∈N*）．n≥2时，b1b2•…b n﹣1，∴．（2）c n，∴T n（1）．T n+1﹣T n（）．n≤3时，T n+1≥T n．n≥4时，T n+1≤T n．当m＝4时，使得对任意的n∈N*，均有T m≥T n．（3）x＝k1b1+k2b2+…+k n b n，且x＞0，其中k1，k2，…，k n∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），①要使x＞0，则必须k n＝1．其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．证明：若k n＝﹣1，则x＝k1•2+k2•22+…+k n﹣1•2n﹣1﹣k n•2n≤2+22+……+2n﹣1﹣2n2n＝﹣2＜0，此时x恒为负数，不成立．∴k n＝1．此时：x≥﹣2﹣22﹣……﹣2n﹣1+2n2n＝2＞0，故k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．②其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．此时集合内的元素x共有2n﹣1个互不相同的正数．证明：k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n﹣1个．下面证明这2n﹣1个式子所表示的x互不相等，具体如下：证明：假如这2n﹣1个式子所表示的x存在相等的数，x1＝2n+k n﹣1•2n﹣1+……+k2•22+k1•2＝x2＝2n•2n﹣1•22•2．k i，∈{﹣1，1}（i∈N*，n﹣1≥i≥2），即满足k i∈{﹣1，1}（i∈N*，n﹣1≥i≥2）的第一组系数的下标数为m．则•2m•2m﹣1+（）•2m﹣2+……+（）•2，而|•2m﹣1+（）•2m﹣2+……+（）•2|≤2•2m﹣1+2•2m﹣2+……+2×2＝2m+1﹣4＜|•2m|＜2m+1．因此，假设不成立，即这2n﹣1个式子所表示的x互不相等．③这2n﹣1个x互不相等的正数x（每个均含k n b n＝2n）．又k i＝1或﹣1（i＝1，2，……，n﹣1）等可能出现，因此所有k i b i（i＝1，2，……，n﹣1）部分的和为0．故集合B中所有元素的和为所有k n b n＝2n的和，即2n•2n﹣1＝22n﹣1．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答．解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-1：几何证明选讲]=，BA的延长线交CD的延长线于点E.如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，BC BD∠.求证：AE平分DAF【答案】见解析【解析】借助题设条件设法证明：证明：因为四边形ABCD 是圆的内接四边形，所以.因为BC BD =，所以. 又，，所以，即AE 平分DAF ∠.B.[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10=102N ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且，求矩阵M ．【答案】40=01M ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意，，则．因为10=102N ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则．所以矩阵.C.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2{2x t y t==--（t 为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合），圆C 的方程为，求直线l 被圆C 截得的弦长． 【答案】1255【解析】将直线l 的参数方程为2{2x t y t==--化为方程：圆的方程为化为直角坐标系方程：，即，，其圆心()2,2-，半径为22∴圆心C 到直线l 的距离为∴直线l 被圆C 截得的弦长为．D.[选修4-5：不等式选讲]设123,,a a a 均为正数，且，求证：.【答案】见解析【解析】先将式子进行巧妙变形，再借助基本不等式进行推证：证明：因为123,,a a a 均为正数，且，所以，（当且仅当时等号成立）所以.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在边长为8的菱形中，，将沿折起，使点到达的位置，且二面角为.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）若点为中点，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）连接AC，交BD于点O，连接OA1，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，从而OA1⊥BD，OC⊥BD，又因为OA1∩OC＝O，所以BD⊥平面A1OC，因为A1C 平面A1OC，所以BD⊥A1C，所以异面直线A1C与BD所成角的大小为90°．（2）由（1）可知，∠A1OC即为二面角A1-BD-C的平面角，所以∠A1OC＝60°．以O为坐标原点，，为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，则B(4，0，0)，D(－4，0，0)，C(0，4，0)，A1(0，2，6)，E(0，3，3)．所以＝(－4，3，3)，＝(4，2，6)，＝(4，4，0)．设平面A1DC的法向量为＝(x，y，z)，则即取x＝3，则＝(3，－，－1)，设直线BE与平面A1DC所成角为sin＝，所以直线BE与平面A1DC所成角的正弦值为．23．在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮；方案乙：始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为，命中一次记3分，没有命中得0分；在B 点命中的概率为，命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次.（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分的分布列和数学期望.（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由.【答案】（1）数学期望为3.05，分布列见解析（2）选择方案甲【解析】（1）在A点投篮命中记作,不中记作；在B点投篮命中记作,不中记作，其中，的所有可能取值为，则，，，．的分布列为：，，，．所以，所以，的数学期望为．（2）选手选择方案甲通过测试的概率为，选手选择方案乙通过测试的概率为，因为，所以该选手应选择方案甲通过测试的概率更大．。
2019年普通高等学校招生全国统一考试（押题卷）理科数学（二）第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2340A x x x =∈--≤Z ，{}0ln 2B x x =<<，则A B 的真子集的个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．82．设复数1z =-（i 是虚数单位），则z z z ⋅+的值为（ ） A．B．C．D．3．“p q ∧为假”是“p q ∨为假”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要4．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n （n 为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（ ）盏． A ．2B ．3C ．26D ．275．已知实数x ，y 满足约束条件222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则5x z y -=的取值范围为（ ）A ．24,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．42,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．33,,24⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．33,,42⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭6．如图是一个算法流程图，若输入n 的值是13，输出S 的值是46，则a 的取值范围是（ ） A ．910a ≤<B ．910a <≤C ．1011a <≤D ．89a <≤7．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ） A ．2BC．D ．48．过抛物线()20y mx m =>的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，54PQ m =，则m =（ ） A ．4B ．6C ．8D ．109．一排12个座位坐了4个小组的成员，每个小组都是3人，若每个小组的成员全坐在一起，则不同的坐法种数为（ ） A ．()33434A AB ．()44343A AC ．121233A AD ．121244A A10．设函数1()2f x =对于任意[11] x ∈-，，都有()0f x ≤成立，则a =（ ） A ．4 B ．3 CD ．111．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A ．174πB ．214πC ．4πD ．5π12．已知点P 是曲线sin ln y x x =+上任意一点，记直线OP （O 为坐标系原点）的斜率为k ，则（ ）A ．至少存在两个点P 使得1k =-B ．对于任意点P 都有0k <C ．对于任意点P 都有1k <D ．存在点P 使得1k ≥ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(二)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则A ∩B ＝________．2. 若复数z 1＝4－3i ，z 2＝1＋i ，则复数(z 1－z 2)i 的模为________．3. 如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为________．4. 学校从参加安全知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制，均为整数，成绩≥80分记为优秀)分成6组后，得到部分频率分布直方图(如图)，则分数在[70，80)内的人数为________．5. 如图，在▱ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，∠DAB ＝π3，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，且BE →＝12EC →，DF →＝FC →，则AE →·EF →＝________．6. 从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积小于8的概率是________．7. 已知函数f (x )＝12x ＋1，则f (log 23)＋f (log 213)＝________．8. 已知锐角θ满足sin(θ2＋π6)＝45，则cos(π6－θ)的值为________.9. 若直线l1：mx＋y＋1＝0，l2：(m－3)x＋2y－1＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的________条件．10. 已知定义在R上的函数f(x)的周期为4，当x∈[0，2]时，f(x)＝x3，且函数y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称，则f(2 019)＝________．11. 设点O，P，Q是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y2＝4x的交点，O为坐标原点，若△OPQ的面积为2，则双曲线的离心率为________．12. 若a≥c>0，且3a－b＋c＝0，则acb的最大值为__________．13. 已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若S2≥4，S4≤16，则S9的最大值是________．14. 已知函数f(x)＝x3－3x在区间[a－1，a＋1](a≥0)上的最大值与最小值之差为4，则实数a的值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，三角形PCD 所在的平面与等腰梯形ABCD 所在的平面垂直，AB ＝AD ＝12CD ，AB∥CD ，CP ⊥CD ，M 为PD 的中点．求证：(1) AM ∥平面PBC ；(2) 平面BDP ⊥平面PBC .在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos 2A ＝－13，c ＝3，sin A ＝6sin C .(1) 求a 的值；(2) 若角A 为锐角，求b 的值及△ABC 的面积．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，圆O ：x 2＋y 2＝b 2，过椭圆C 的上顶点A 的直线l ：y＝kx ＋b 分别交圆O 、椭圆C 于不同的两点P ，Q .(1) 若点P (－3，0)，点Q (－4，－1)，求椭圆C 的方程；(2) 若AP →＝3PQ →，求椭圆C 的离心率e 的取值范围．某公司一种产品每日的网络销售量y(单位：千件)与销售价格x(单位：元/件)满足关系式y＝mx－2＋4(x－6)2，其中2<x<6，m为常数．已知销售价格为4元/件时，每日可售出产品21千件．(1) 求m的值；(2) 假设网络销售员工的工资、办公等所有开销折合为每件2元(只考虑销售出的件数)，试确定销售价格x的值，使公司每日销售产品所获得的利润最大．(结果保留一位小数)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧13a n ＋n ，n 为奇数，a n －3n ，n 为偶数.(1) 求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n －32是等比数列；(2) 若S n 是数列{a n }的前n 项和，求满足S n >0的所有正整数n .已知函数f (x )＝12x 2＋kx ＋1，g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，h (x )＝f (x )＋g ′(x )．(1) 若函数g (x )的图象在原点处的切线l 与函数f (x )的图象相切，求实数k 的值； (2) 若h (x )在[0，2]上单调递减，求实数k 的取值范围；(3) 若对于∀t ∈[0，e －1]，总存在x 1，x 2∈(－1，4)，且x 1≠x 2满足f (x i )＝g (t )(i ＝1，2)，其中e 为自然对数的底数，求实数k 的取值范围．已知[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.模拟试卷(二)1. {x|－1<x ≤0} 解析：由题意可得，A ＝{x|－1<x<1}，B ＝{y ∈R |y ≤0}＝{x |x ≤0}．故A ∩B ＝{x |－1<x ≤0}．2. 5 解析：∵ (z 1－z 2)i ＝(3－4i )i ＝4＋3i ， ∴ |(z 1－z 2)i |＝5.3. 154. 18 解析：分数在[70，80)内的人数为[1－(0.005＋0.010＋0.015×2＋0.025)×10]×60＝18.5. －3 解析：AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13AD →，EF →＝EC →＋CF →＝－12AB →＋23AD →，又AB ＝4，AD ＝3，∠DAB ＝π3，∴ AE →·EF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13AD →⎝⎛⎭⎫－12AB →＋23AD →＝－12AB →2＋12AB →·AD →＋29AD →2＝－12×42＋12×4×3×cos π3＋29×32＝－3.6. 13解析：从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数相乘，共有6个结果，其中乘积小于8的有2个，故所求概率为26＝13.7. 1 解析：∵ f(x)＋f(－x)＝12x ＋1＋12－x ＋1＝1，∴ f(log 23)＋f ⎝⎛⎭⎫log 213＝f(log 23)＋f(－log 23)＝1.8.2425 解析：∵ 0<θ<π2，∴ π6<θ2＋π6<5π12，∴ cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π6＝35，∴ sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝2425，∴ cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝2425. 9. 充分不必要 解析：l 1⊥l 2 的充要条件是m(m －3)＋1×2＝0，即m ＝1或m ＝2，∴ “m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．10. 1 解析：∵ 函数y ＝f(x ＋2)的图象关于y 轴对称，∴ 函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称．又函数f(x)的周期为4，∴ f(2 019)＝f(3)＝f(1)＝1.11. 5 解析：不妨设P(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则y 20＝4x 0，12x 0(2y 0)＝2，∴ x 0＝1，y 0＝2.又y 0＝b a x 0，∴ b a ＝2，∴ b 2a 2＝4，∴ c 2－a 2a 2＝4，∴ e ＝ 5.12.36解析：∵ 3a －b ＋c ＝0，则b ＝3a ＋c ，设t ＝c a ，则t ∈(0，1]，∴ ac b ＝ac 3a ＋c＝ca 3＋c a ＝t 3＋t 2＝13t＋t .∵ 3t ＋t ≥23，∴ ac b ≤123＝36，∴ ac b 的最大值为36. 13. 81 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵ S 2≥4，S 4≤16，∴ 2a 1＋d ≥4，4a 1＋6d ≤16，即2a 1＋d ≥4且2a 1＋3d ≤8.又S 9＝9a 1＋9×82d ＝9(a 1＋4d)，由线性规划可知，当a 1＝1，d ＝2时，S 9取得最大值81.14. 1或0 解析：f′(x)＝3(x ＋1)(x －1)，令f′(x)＝0，则x ＝－1或x ＝1，则f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．∵ a ≥0，x ∈[a －1，a ＋1]，∴ a －1≥－1，a ＋1≥1.① 当a －1<1即a<2时，f(x)min ＝f(1)＝－2，f(x)max ＝max {f(a －1)，f(a ＋1)}，又f(x)max－f(x)min ＝4，f(x)max ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f （a －1）＝2f （a ＋1）≤f （a －1）或⎩⎪⎨⎪⎧f （a ＋1）＝2，f （a －1）≤f （a ＋1），∴ a 的值为1或0；② 当a －1≥1即a ≥2时，f(x)min ＝f(a －1)，f(x)max ＝f(a ＋1)， ∴ f(a ＋1)－f(a －1)＝4，无解． 综上，a 的值为1或0.15. 证明：(1) 如图，取为PC 中点N ，连结MN ，BN ， ∵ M 为PD 的中点，N 为PC 中点，∴ MN ∥CD ，MN ＝12CD.又AB ∥CD ，AB ＝12CD ，∴ MN ∥AB ，MN ＝AB ，∴ 四边形ABNM 为平行四边形， ∴ AM ∥BN.又AM ⊄平面PBC ，BN ⊂平面PBC ， ∴ AM ∥平面PBC.(7分)(2) 如图，在等腰中梯形ABCD 中，取CD 中点T ，连结AT ，BT. ∵ AB ＝12CD ，AB ∥CD ，∴ AB ＝DT ，AB ∥DT ，∴ 四边形ABTD 为平行四边形．又AB ＝AD ，∴ 四边形ABTD 为菱形， ∴ AT ⊥BD.同理，四边形ABCT 为菱形，∴ AT ∥BC. ∵ AT ⊥BD ，∴ BC ⊥BD.∵ 平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，CP ⊥CD ，CP ⊂平面PCD ， ∴ CP ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ， ∴ CP ⊥BD.∵ BC ⊥BD ，BC ∩CP ＝C ，∴ BD ⊥平面PBC. 又BD ⊂平面BDP ，∴平面BDP ⊥平面PBC.(14分) 16. 解：(1) 由题知，c ＝3，sin A ＝6sin C.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得a ＝csin C ·sin A ＝3 2.(6分)(2) ∵ cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－13，且0<A<π，∴ sin A ＝63. 由于角A 为锐角，得cos A ＝33. 由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴ b 2－2b －15＝0，解得b ＝5或b ＝－3(舍去)，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝522.(14分) 17. 解：(1) 由P 在圆O ：x 2＋y 2＝b 2上得b ＝3，又点Q 在椭圆C 上，得（－4）2a 2＋（－1）232＝1， 解得a 2＝18，∴ 椭圆C 的方程是x 218＋y 29＝1.(6分) (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＋y 2＝b 2，得x ＝0或x P ＝－2kb 1＋k 2； 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x ＝0或x Q ＝－2kba 2a 2k 2＋b 2. ∵ AP →＝3PQ → ，∴ AP →＝34AQ →， ∴ 2kba 2k 2a 2＋b 2·34＝2kb 1＋k 2，即a 2a 2k 2＋b 2·34＝11＋k2，∴ k 2＝3a 2－4b 2a 2＝4e 2－1. ∵ k 2>0，∴ 4e 2>1，即e>12. 又0<e<1，∴ 12<e<1， 即离心率e 的取值范围是(12，1)．(14分) 18. 解：(1) 因为当x ＝4时，y ＝21，代入关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，得m 2＋16＝21， 解得m ＝10. (6分)(2) 由(1)可知，产品每日的销售量为 y ＝10x －2＋4(x －6)2， 所以每日销售产品所获得的利润为f(x)＝(x －2)·⎣⎡⎦⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x<6)，从而f′(x)＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x<6).令f′(x)＝0，得x ＝103，且在⎝⎛⎭⎫2，103上，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增；在⎝⎛⎭⎫103，6上，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以当x ＝103≈3.3时，函数f(x)取得最大值， 故当销售价格约为3.3元/件时，该公司每日销售产品所获得的利润最大．(16分)19. (1) 证明：设b n ＝a 2n －32，因为b n ＋1b n ＝a 2n ＋2－32a 2n －32＝13a 2n ＋1＋（2n ＋1）－32a 2n －32＝13（a 2n －6n ）＋（2n ＋1）－32a 2n －32＝13a 2n －12a 2n －32＝13， 所以数列{a 2n －32}是以a 2－32即－16为首项，以13为公比的等比数列．(6分) (2) 解：由(1)得b n ＝a 2n －32＝－16·⎝⎛⎭⎫13n －1＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ，即a 2n ＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ＋32， 由a 2n ＝13a 2n －1＋(2n －1)，得a 2n －1＝3a 2n －3(2n －1)＝－12·⎝⎛⎭⎫13n －1－6n ＋152， 所以 a 2n －1＋a 2n ＝－12·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13n －1＋⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9＝－2·⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9， 所以S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝－2⎣⎡⎦⎤13＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －6(1＋2＋…＋n)＋9n ＝－2·13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13－6·n （n ＋1）2＋9n ＝⎝⎛⎭⎫13n －1－3n 2＋6n ＝⎝⎛⎫13n －3(n －1)2＋2， 显然当n ∈N *时，{S 2n }单调递减，又当n ＝1时，S 2＝73＞0，当n ＝2时，S 4＝－89＜0， 所以当n ≥2时，S 2n ＜0；S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32·⎝⎛⎭⎫13n －52－3n 2＋6n ， 同理，当且仅当n ＝1时，S 2n －1＞0.综上，满足S n >0的所有正整数n 为1和2.(16分)20. 解：(1) 函数g(x)的定义域为(－1，＋∞)，g ′(x)＝ln (x ＋1)＋1，则g(0)＝0，g ′(0)＝1，∴ 直线l ：y ＝x.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2＋kx ＋1，y ＝x ，消去y ，得x 2＋2(k －1)x ＋2＝0.∵ l 与函数f(x)的图象相切，∴ Δ＝4(k －1)2－8＝0⇒k ＝1±2.(4分)(2) 由题意知，h(x)＝12x 2＋kx ＋1＋ln (x ＋1)＋1，h ′(x)＝x ＋k ＋1x ＋1. 令φ(x)＝x ＋k ＋1x ＋1， ∵ φ′(x)＝1－1（x ＋1）2＝x （x ＋2）（x ＋1）2>0对x ∈[0，2]恒成立， ∴ φ(x)＝x ＋k ＋1x ＋1，即h′(x)在[0，2]上为增函数， ∴ h ′(x)max ＝h′(2)＝k ＋73. ∵ h(x)在[0，2]上单调递减，∴ h ′(x)≤0对x ∈[0，2]恒成立，即h′(x)max ＝k ＋73≤0，∴ k ≤－73， 即k 的取值范围是(－∞，－73]．(8分) (3) 当x ∈[0，e －1]时，g ′(x )＝ln(x ＋1)＋1>0，∴ g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)在区间[0，e －1]上为增函数，∴ x ∈[0，e －1]时，0≤g (x )≤e 2. ∵ f (x )＝12x 2＋kx ＋1的对称轴为直线x ＝－k ， ∴ 为满足题意，必须－1<－k <4，此时f (x )min ＝f (－k )＝1－12k 2， f (x )的值恒小于f (－1)和f (4)中最大的一个．∵ 对于∀t ∈[0，e －1]，总存在x 1，x 2∈(－1，4)，且x 1≠x 2满足f (x i )＝g (t )(i ＝1，2)，∴ ⎣⎡⎦⎤0，e 2⊆(f (x )min ，min{f (－1)，f (4)})， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1<－k <4，f （x ）min<0，e 2<f （4），e 2<f （－1）⇒⎩⎪⎨⎪⎧－4<k <1，1－12k 2<0，e 2<4k ＋9，e 2<32－k ， ∴ e 8－94<k <－2， 即k 的取值范围是(e 8－94，－2)．(16分)。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）第一卷（选择题共60分）参考公式：三角函数的和差化积公式sin sin 2sincossin sin 2cossin2222cos cos 2cos coscos cos 2sinsin2222αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-+=-=+-+-+=-=-若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C p p -=-一组数据12,,,n x x x 的方差2222121()()()n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦其中x 为这组数据的平均数值一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
（1） 设集合A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3,4}，则()A B C ⋂⋃=（A ）{1,2,3} （B ）{1,2,4} （C ）{2,3,4} （D ）{1,2,3,4}（2） 函数123()xy x R -=+∈的反函数的解析表达式为（A ）22log 3y x =- （B ）23log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22log 3y x=-（3） 在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝（A ）33 （B ）72 （C ）84 （D ）189（4） 在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，AA 1=1则点A 到平面A 1BC 的距离为（A（B（C（D（5） △ABC 中，,3,3A BC π==则△ABC 的周长为（A）)33B π++ （B）)36B π++（C ）6sin()33B π++ （D ）6sin()36B π++（6） 抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（A ）1716 （B ）1516 （C ）78（D ）0 （7） 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（A ）9.4, 0.484 （B ）9.4, 0.016 （C ）9.5, 0.04 （D ）9.5, 0.016 （8） 设,,αβγ为两两不重合的平面，l ,m ,n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,αγβγ⊥⊥则α∥β；②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥,β则α∥β； ③若α∥,,l βα⊂则l ∥β；④若,,,l m n l αββγγα⋂=⋂=⋂=∥,γ则m ∥n .其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（9） 设k=1,2,3,4,5,则（x +2）5的展开式中x k 的系数不可能是（A ）10 （B ）40 （C ）50 （D ）80 （10） 若1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+= （A ）79- （B ）13- （C ）13 （D ）79（11） 点P （-3,1）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（A ）3 （B ）13 (C)2 （D ）12（12） 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0 参考答案：DACBD CDBCA AB第二卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
