小学数学牛顿问题专题辅导

牛顿问题（牛吃草问题）“一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛吃几天？”这道题太简单了，同学们一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。

如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。

这类工作总量不固定（均匀变化）的问题最初是由英国物理学家牛顿提出的，所以叫做牛顿问题,俗称牛吃草问题。

例1牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。

这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。

问：可供25头牛吃几天？分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量。

总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。

牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。

下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。

设1头牛一天吃的草为1份。

那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃150份，草也被吃完。

前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者是原有的草加 20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草。

200－150＝50（份），20—10＝10（天），说明牧场10天长草50份，1天长草5份，50÷10=5（份）。

也就是说，5头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。

由此得出，牧场上原有草（l0—5）× 20＝100（份）或（15—5）×10＝100（份）。

200-5×20=100（份）或 150-5×10=100（份）现在已经知道原有草100份，每天新长出草5份。

当有25头牛时，其中的5头专吃新长出来的草，剩下的20头吃原有的草，吃完需100÷20＝5（天）。

也可以这样想：知道了牧场上原有的草量为100份，每天新生长出的草量是5份，现在要供给25头牛吃，这25头牛1天要吃1×25＝25（份）草，每天新生长出5份草，实际一天消耗掉牧场上原有草量的（25－5）＝20（份），共可以吃100÷20＝5（天）所以，这片草地可供25头牛吃5天。

《用牛顿运动定律解决问题》讲义一、牛顿运动定律的回顾牛顿运动定律是经典力学的基础，由艾萨克·牛顿在 1687 年于《自然哲学的数学原理》一书中总结提出。

牛顿第一定律，也被称为惯性定律，指出一切物体在没有受到外力作用的时候，总保持匀速直线运动状态或静止状态。

牛顿第二定律表明，物体的加速度跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，其数学表达式为 F ＝ ma，其中 F 是合力，m 是物体的质量，a 是加速度。

牛顿第三定律则阐述了两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，且作用在同一条直线上。

这三个定律构成了力学的基石，为我们解决各种与物体运动相关的问题提供了强大的理论工具。

二、常见的问题类型1、已知受力情况求运动情况当我们知道物体所受的力，就可以利用牛顿第二定律求出加速度，然后结合运动学公式，如位移公式、速度公式等，来确定物体的运动状态，比如位移、速度、时间等。

例如，一个质量为 5kg 的物体，受到水平向右的 20N 的拉力，忽略摩擦力，求物体在 5s 内的位移。

首先，根据牛顿第二定律 F ＝ ma，可求出加速度 a ＝ F ／ m ＝ 20 ／ 5 ＝ 4 m/s²。

然后，利用位移公式 s ＝ 1/2 at²，可得位移 s ＝ 1/2 × 4 × 5²＝ 50m。

2、已知运动情况求受力情况如果我们知道物体的运动状态，比如速度、位移随时间的变化关系，就可以通过运动学公式求出加速度，再利用牛顿第二定律求出物体所受的合力。

比如，一个物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为 2m/s²，质量为 3kg，求物体所受的合力。

由牛顿第二定律 F ＝ ma，可得合力 F ＝ 3 × 2 ＝ 6N。

3、多力作用下的物体平衡问题当物体处于静止或匀速直线运动状态时，所受合力为零。

这时我们需要对物体进行受力分析，建立直角坐标系，将各个力分解到坐标轴上，然后根据合力为零列出方程求解。

牛吃草问题（一）1. 理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路.2. 初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：① 草的每天生长量不变；② 每头牛每天的食草量不变；③ 草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值④ 新生的草量=每天生长量⨯天数．同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数)； ⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)；⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．模块一、一块地的“牛吃草问题”【例 1】 牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为(239276)(96)15⨯-⨯÷-=，原有草量为(2715)672-⨯=，可供72181519÷+=（头）牛吃18周【答案】19头牛【巩固】 有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20天？【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么251015-=天生长的草量为1225241060⨯-⨯=，所以每天生长的草量为60154÷=；原有草量为：()24410200-⨯=．20天里，草场共提供草200420280+⨯=，可以让2802014÷=头牛吃20天．【答案】14头牛【巩固】 牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则 头例题精讲 知识精讲教学目标牛96天可以把草吃完．【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】湖北省，创新杯，对比思想方法【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天新生长的草量为()()103060702460243⨯-⨯÷-=，牧场原有草量为10306016003⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，要吃96天，需要10160096203÷+=(头)牛． 【答案】20头牛【巩固】 一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完．假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完?【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 设1头牛1天的吃草量为1个单位，则每天生长的草量为：(509587)(97)22⨯-⨯÷-=，原有草量为：509229252⨯-⨯=，(252226)664+⨯÷=(头)【答案】64头牛【例 2】 青青一牧场，牧草喂牛羊； 放牛二十七，六周全吃光。

小学数学牛吃草问题知识点总结:牛吃草问题：牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场;是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的..典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变;不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同;求若干头牛吃这片草地可以吃多少天..由于吃的天数不同;草又是天天在生长的;所以草的存量随牛吃的天数不断地变化..小升初冲刺第2讲牛吃草问题基本公式:1 设定一头牛一天吃草量为“1”2草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷吃的较多天数－吃的较少天数；3原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`4吃的天数＝原有草量÷牛头数－草的生长速度；5牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度..例1、牧场上长满了牧草;牧草每天匀速生长;这片牧草可供10头牛吃20天;可供15头牛吃10天..问：这片牧草可供25头牛吃多少天解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的生长量：200-150÷20-10=5份10×20=200份……原草量+20天的生长量原草量：200-20×5=100 或150-10×5=100份15×10=150份……原草量+10天的生长量 100÷25-5=5天自主训练牧场上长满了青草;而且每天还在匀速生长;这片牧场上的草可供9头牛吃20天;可供15头牛吃10天;如果要供18头牛吃;可吃几天解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的生长量：180-150÷20-10=3份9×20=180份……原草量+20天的生长量原草量：180-20×3=120份或150-10×3=120份15×10=150份……原草量+10天的生长量 120÷18-3=8天例2、由于天气逐渐冷起来;牧场上的草不仅不长大;反而以固定速度在减少..已知某块草地上的草可供20头牛吃5天;或可供15头牛吃6天..照此计算;可供多少头牛吃10天解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的减少量：100-90÷6-5=10份20×5=100份……原草量-5天的减少量原草量：100+5×10=150 或90+6×10=150份15×6=90份……原草量-6天的减少量 150-10×10÷10=5头自主训练由于天气逐渐寒冷;牧场上的牧草每天以均匀的速度减少;经测算;牧场上的草可供30头牛吃8天;可供25头牛吃9天;那么可供21头牛吃几天解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的减少量：240-225÷9-8=15份30×8=240份……原草量-8天的减少量原草量：240+8×15=360份或220+9×15=360份25×9=225份……原草量-9天的减少量 360÷21+15=10天例3、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着;两位性急的孩子要从扶梯上楼..已知男孩每分钟走20级梯级;女孩每分钟走15级梯级;结果男孩用了5分钟到达楼上;女孩用了6分钟到达楼上..问：该扶梯共有多少级男孩：20×5 =100级自动扶梯的级数-5分钟减少的级数女孩;15×6=90级自动扶梯的级数-6分钟减少的级数每分钟减少的级数= 20×5-15×6 ÷6-5=10级自动扶梯的级数= 20×5+5×10=150级自主训练两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走;男孩每秒可走3级阶梯;女孩每秒可走2级阶梯;结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒;女孩走了300秒..问该扶梯共有多少级3×100=300自动扶梯级数+100秒新增的级数2×300=600自动扶梯级数+300秒新增的级数每秒新增的级数：2×300-3×100÷300-100=1.5级自动扶梯级数= 3×100-100×1.5=150级1. 有一片牧场;操每天都在匀速生长每天的增长量相等;如果放牧24头牛;则6天吃完草;如果放牧21头牛;则8天吃完草;设每头牛每天的吃草量相等;问：要使草永远吃不完;最多只能放牧几头牛假设1头1天吃1个单位246=144218=168168-144=24每天长的草可供24/2=12头牛吃最多只能放12头牛2;有一片草地;草每天生长的速度相同..这片草地可供5头牛吃40天;或6供头牛吃30天..如果4头牛吃了30天后;又增加2头牛一起吃;这片草地还可以再吃几天假设1头1天吃1个单位540=200；630=180200-180=20每天长的草:20/40-30=2原有草：200-240=120430=120 ;302=60 60/4=15天3;假设地球上新增长资源的增长速度是一定的;照此推算;地球上的资源可供110亿人生活90年;或可供90亿人生活210年;为了人类不断繁衍;那么地球最多可以养活多少亿人假设1亿人头1天吃1个单位11090=9900；90210=1890018900-9900=90009000/210-90=754;一游乐场在开门前有100人排队等候;开门后每分钟来的游客是相同的;一个入口处每分钟可以放入10名游客;如果开放2个入口处20分钟就没人排队;现开放4个入口处;那么开门后多少分钟后没人排队22010=400400-100=300300/20=15100+154=160160/410=41因为草量=原有草量+新长出的草量;而且草量是均匀增长的..所以“对应的牛头数×吃的较多天数”就代表了第一次情况下的总草量; 即为：吃的较多天数时的总草量=草地原有草量+草的生长速度较多天数时的时间..同理“相应的牛头数×吃的较少天数”代表了第二次情况下的总草量;即为：吃的较少天数时的总草量=草地原有草量+草的生长速度较少天数时的时间..两个一做差;式子中的“原有草量”就被减掉了;等号的左边就是两次情况之下总草量的差;右边等于草的生长速度两次情况下的时间差;所以直接把时间差除到左边去;就得到了草的生长速度了..2牛吃的草的总量包括两个方面;一是原来草地上的草;而是新增长出来的草..所以“牛头数×吃的天数”表示的就是牛一共吃了多少草;牛在这段时间把草吃干净了;所以牛一共吃了多少草就也表示草的总量..当然草的总量减去新增长出来的草的数量;就剩下原来草地上面草的数量了..牛吃草问题概念及公式问题又称为消长问题或牛顿牧场;是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的..典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变;不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同;求若干头牛吃这片草地可以吃多少天..由于吃的天数不同;草又是天天在生长的;所以草的存量随牛吃的天数不断地变化..解决牛吃草问题常用到四个基本公式;分别是︰1 设定一头牛一天吃草量为“1”1草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷吃的较多天数－吃的较少天数；2原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；` 3吃的天数＝原有草量÷牛头数－草的生长速度；4牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度..这四个公式是解决消长问题的基础..由于牛在吃草的过程中;草是不断生长的;所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量..牧场上原有的草是不变的;新长的草虽然在变化;但由于是匀速生长;所以每天新长出的草量应该是不变的..正是由于这个不变量;才能够导出上面的四个基本公式..牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草;这块地既有原有的草;又有每天新长出的草..由于吃草的牛头数不同;求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天..解题关键是弄清楚已知条件;进行对比分析;从而求出每日新长草的数量;再求出草地里原有草的数量;进而解答题总所求的问题..这类问题的基本数量关系是：1.牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数÷吃的较多的天数-吃的较少的天数=草地每天新长草的量..2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草..解多块草地的方法多块草地的“牛吃草”问题;一般情况下找多块草地的最小公倍数;这样可以减少运算难度;但如果数据较大时;我们一般把面积统一为“1”相对简单些..“牛吃草”问题分析华图公务员考试研究中心数量关系资料分析教研室研究员姚璐华图名师姚璐例1有一块牧场;可供10头牛吃20天;15头牛吃1 0天;则它可供25头牛吃多少天A.3B.4C.5D.6华图名师姚璐答案C华图名师姚璐解析设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天;这片草场可供25头牛吃Y天根据核心公式代入200-150/20-10=5 1020-520=100 100/25-5=5天璐例2有一块牧场;可供10头牛吃20天;15头牛吃10天;则它可供多少头牛吃4天A.20B.25C.30D.35华图名师姚璐答案C华图名师姚璐解析设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天;根据核心公式代入20×10-15×10=5 10×20-5×20=100 100÷4+5=30头华图名师姚璐例3如果22头牛吃33公亩牧场的草;54天后可以吃尽;17头牛吃28公亩牧场的草;84天可以吃尽;那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草;需要多少头牛A.50B.46C.38D.35华图名师姚璐答案D华图名师姚璐解析设每公亩牧场每天新长出来的草可供X头牛吃1天;每公亩草场原有牧草量为Y ;24天内吃尽40公亩牧场的草;需要Z头牛根据核心公式：;代入;因此 ;选择D华图名师姚璐注释这里面牧场的面积发生变化;所以每天长出的草量不再是常量..下面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法;在真题中的应用..华图名师姚璐例4有一个灌溉用的中转水池;一直开着进水管往里灌水;一段时间后;用2台抽水机排水;则用40分钟能排完；如果用4台同样的抽水机排水;则用16分钟排完..问如果计划用10分钟将水排完;需要多少台抽水机广东2006上A.5台B.6台C.7台D.8台华图名师姚璐答案B华图名师姚璐解析设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水量;共需Y台抽水机有恒等式：解 ;得 ;代入恒等式华图名师姚璐例5有一水池;池底有泉水不断涌出;要想把水池的水抽干;10台抽水机需抽8小时;8台抽水机需抽12小时;如果用6台抽水机;那么需抽多少小时北京社招2006A.16B.20C.24D.28华图名师姚璐答案C华图名师姚璐解析设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水量;共需Y小时有恒等式：解 ;得 ;代入恒等式华图名师姚璐例6林子里有猴子喜欢吃的野果;23只猴子可在9周内吃光;21只猴子可在12周内吃光;问如果有33只猴子一起吃;则需要几周吃光假定野果生长的速度不变浙江2007A.2周B.3周C.4周D.5周华图名师姚璐答案C华图名师姚璐解析设每天新生长的野果足够X只猴子吃;33只猴子共需Y周吃完有恒等式：解 ;得 ;代入恒等式华图名师姚璐例7物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款;每一个收银台每小时能应付80名顾客付款..某天某时刻;超市如果只开设一个收银台;付款开始4小时就没有顾客排队了;问如果当时开设两个收银台;则付款开始几小时就没有顾客排队了浙江20 06A.2小时B.1.8小时C.1.6小时D.0.8小时华图名师姚璐答案D华图名师姚璐解析设共需X小时就无人排队了..例题：1、旅客在车站候车室等车;并且排队的乘客按一定速度增加;检查速度也一定;当车站放一个检票口;需用半小时把所有乘客解决完毕;当开放2个检票口时;只要10分钟就把所有乘客OK了求增加人数的速度还有原来的人数设一个检票口一分钟一个人1个检票口30分钟30个人2个检票口10分钟20个人30-20÷30-10=0.5个人原有1×30-30×0.5=15人或2×10-10×0.5=15人2、有三块草地;面积分别是5;15;24亩..草地上的草一样厚;而且长得一样快..第一块草地可供10头牛吃30天;第二块草地可供28头牛吃45天;问第三块地可供多少头牛吃80天这是一道牛吃草问题;是比较复杂的牛吃草问题..把每头牛每天吃的草看作1份..因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份所以45－30＝15天;每亩面积长84－60＝24份所以;每亩面积每天长24÷15＝1.6份所以;每亩原有草量60－30×1.6＝12份第三块地面积是24亩;所以每天要长1.6×24＝38.4份;原有草就有24×12＝288份新生长的每天就要用38.4头牛去吃;其余的牛每天去吃原有的草;那么原有的草就要够吃80天;因此288÷80＝3.6头牛所以;一共需要38.4＋3.6＝42头牛来吃..两种解法：解法一：设每头牛每天的吃草量为1;则每亩30天的总草量为：1030/5=60；每亩45天的总草量为：2845/15=84那么每亩每天的新生长草量为84 -60/45-30=1.6每亩原有草量为60-1.630=12;那么24亩原有草量为1 224=288;24亩80天新长草量为241.680=3072;24亩80天共有草量3 072+288=3360;所有3360/80=42头解法二：10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩;根据28头牛4 5天吃15亩;可以推出15亩每天新长草量28×45-30×30/45-30=24；15亩原有草量：1260-24×45=180；15亩80天所需牛180/80+24头2 4亩需牛：180/80+2424/15=42头。

奥数十二讲牛吃草问题(一）牛吃草问题也叫牛顿问题或是消长问题，因由牛顿提出而得名，也有人称这一类问题叫做牛吃草问题。

英国著名的物理学家学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。

这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃,可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？解题关键牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草,草每天在不断均匀生长.解题环节主要有四步：1、求出每天长草量;2、求出牧场原有草量；3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-- 生长的草量= 消耗原有草量)；4、最后求出可吃天数想：这片草地天天以匀速生长是分析问题的难点。

把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22—16×10=60，是60头牛一天吃的草，平均分到（22—10）天里,便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。

求出了这个条件，把所有头牛分成两部分来研究,用其中头吃掉新长出的草，用其余头数吃掉原有的草，即可求出全部头牛吃的天数.设一头牛1天吃的草为一份。

那么10头牛22天吃草为1×10×22=220份，16头牛10天吃草为1×16×10=160份（220-160)÷（22-10）=5份,说明牧场上一天长出新草5份。

220-5×22=110份，说明原有老草110份。

综合式:110÷（25-5）=5.5天，算出一共多少天。

牛顿曾提出的问题牛顿在其著作《普遍的算术》（1707年出版)中提出如下问题：”12条公牛在四个星期内吃掉了三又三分之一由格尔的牧草;21条公牛在9星期吃掉10由格尔的牧草,问多少条公牛在18个星期内吃掉24由格尔的牧草？"（由格尔是古罗马的面积单位,1由格尔约等于2,500平方米）.这个著名的公牛问题叫做“牛顿问题".牛顿曾说过：“如果我看得比别人更远些,那是因为我站在巨人的肩膀上”。

用牛顿定律解决问题教案一、教学目标：1. 让学生了解并掌握牛顿定律的基本概念和原理。

2. 培养学生运用牛顿定律解决实际问题的能力。

3. 培养学生进行科学探究和团队协作的能力。

二、教学内容：1. 牛顿定律的基本概念和原理。

2. 运用牛顿定律解决实际问题的方法和步骤。

三、教学过程：1. 导入：通过一个简单的例子，引导学生思考物体运动的原因。

2. 讲解：介绍牛顿定律的基本概念和原理，解释物体运动的原因。

3. 实践：让学生通过实验或模拟，体验物体在力的作用下运动的变化。

4. 应用：引导学生运用牛顿定律解决实际问题，如计算物体的加速度、制动距离等。

四、教学评价：1. 学生对牛顿定律的基本概念和原理的理解程度。

2. 学生运用牛顿定律解决实际问题的能力。

3. 学生进行科学探究和团队协作的能力。

五、教学资源：1. 教材或教辅资料。

2. 实验器材或模拟软件。

3. 教学PPT或黑板。

4. 作业和练习题。

六、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，通过提出问题和解决问题的方式，激发学生的学习兴趣和探究欲望。

2. 利用实验和模拟软件，让学生亲身体验和观察物体在力的作用下运动的变化，增强学生对牛顿定律的理解。

3. 提供丰富的实际问题案例，让学生分组讨论和合作解决，培养学生的团队协作能力和科学探究能力。

4. 采用多元化的评价方式，包括学生口头报告、实验报告和作业练习，全面评估学生对牛顿定律的掌握程度。

七、教学实施：1. 在课堂上，教师提出一个问题，如“为什么物体在推力的作用下会加速运动？”引导学生思考和讨论。

2. 教师接着讲解牛顿定律的基本概念和原理，解释物体运动的原因。

3. 学生分组进行实验或使用模拟软件，观察和记录物体在力的作用下运动的变化。

4. 学生分组讨论和合作解决实际问题，如计算物体在给定推力下的加速度和制动距离。

5. 学生进行口头报告，分享他们的解题过程和结果。

八、教学反馈：1. 教师通过观察学生的实验操作和讨论过程，了解学生对牛顿定律的理解程度和运用能力。

《用牛顿运动定律解决问题》讲义一、牛顿运动定律概述牛顿运动定律是物理学中的基本定律，由艾萨克·牛顿在 1687 年出版的《自然哲学的数学原理》一书中提出。

它们是经典力学的基础，对于理解和解决物体的运动问题具有极其重要的意义。

牛顿第一定律，也称为惯性定律，指出任何物体都要保持匀速直线运动或静止的状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。

这一定律揭示了物体具有惯性，即保持原有运动状态的性质。

牛顿第二定律表明，物体的加速度与作用在它上面的合外力成正比，与物体的质量成反比，其数学表达式为 F ＝ ma，其中 F 表示合外力，m 是物体的质量，a 是加速度。

这一定律建立了力、质量和加速度之间的定量关系。

牛顿第三定律指出，两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反，且作用在同一条直线上。

二、运用牛顿运动定律解决问题的一般步骤当我们面对一个物体的运动问题时，运用牛顿运动定律解决通常遵循以下步骤：1、确定研究对象首先，需要明确我们要研究的是哪个物体或物体系统。

2、进行受力分析仔细分析研究对象受到的所有力，画出受力示意图。

要注意不能遗漏任何一个力，同时也要明确每个力的大小、方向和作用点。

3、建立坐标系根据问题的特点，选择合适的坐标系，通常可以选择直角坐标系或自然坐标系。

4、列方程求解根据牛顿第二定律，在所选坐标系中列出动力学方程。

如果涉及多个物体，还需要考虑牛顿第三定律。

5、求解方程对列出的方程进行求解，得到所需的物理量，如加速度、速度、位移等。

6、检验结果检查求解结果是否合理，是否符合实际情况。

三、常见的问题类型及解决方法1、已知受力情况求运动情况这类问题中，物体所受的力是已知的，要求出物体的运动状态，如加速度、速度、位移等。

例如，一个质量为 m 的物体，受到水平向右的拉力 F 作用，已知物体与地面之间的摩擦力为 f，求物体的加速度。

首先，对物体进行受力分析，水平方向受到拉力 F 和摩擦力 f。

应用题-经典应用题-牛吃草问题基本知识-2星题课程目标知识提要牛吃草问题基本知识•概述牛吃草问题：又称为消长问题，是英国伟大的科学家牛顿在他的<普遍算术>一书中提出的一个数学问题，所以也称为“牛顿问题”，俗称“牛吃草问题”．解决该问题要抓住两个关键量：草的生长速度和草原的原草量•公式：设定1头牛1天吃草量为“1”；（1）草的生长速度=（对应牛的头数×吃的较多的天数-对应牛的头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数-吃的较少天数）（2）原有草量=牛的头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数（3）吃的天数=原有草量÷（牛的头数-草的生长速度）（4）牛的头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。

•牛吃草的变型“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．精选例题牛吃草问题基本知识1. 有一块草地，每天都有新的草长出．这块草地可供9头牛吃12天，或可供8头牛吃16天．开始只有4头牛在这块草地上吃草，从第7天起又增加了若干头牛来吃草，又吃了6天吃完了所有的草．假设草的生长速度每天都相同，每头牛每天的吃草量也相同，那么从第7天起增加了头牛来吃草．【答案】10【分析】设每头牛每天的吃草量为1份．每天长草：(8×16−9×12)÷(16−12)=5(份)原有草：108−5×12=48(份)共吃12天，后6天需要牛的头数：[48+(5−4)×6]÷6+5=14(头)增加牛的头数：14−4=10(头)．2. 一片草地，草每天生长量相同，17头牛30天可将草吃完，19头牛24天可将草吃完．现有若干头牛吃了6天后，卖掉4头牛，余下的牛再吃2天将草吃完．原来共有头牛．【答案】40【分析】设每头牛每天的吃草量为1份，草的生长速度：(17×30−19×24)÷6=9原有草量=(17−9)×30=240(份)．若干头牛吃6天，设是x头牛吃6天(x−9)×6+(x−4−9)×2=240得x=40．所以原来有40头牛．3. 李大爷在草地上放养一群牛，草地每天均匀生长，如果他再买进 3 头牛，则会提前 2 天将草吃完，如果他卖出 3 头牛，则会推迟 4 天才能将草吃完，那么这片草地放养原来那群牛，会用 天将草吃完．【答案】 8【分析】 设一头牛一天吃一份草．设原有 x 头牛，y 天吃完，原有草量 a ，每天长 b ． 可得方程：{xy =a +by(x +3)(y −2)=a +b(y −2)(x −3)(y +4)=a +b(y +4)可得 y =8．4. 若 2 台收割机 3 天可以收割小麦 450 亩，则用 7 台收割机收割 2100 亩小麦需要 天．【答案】 4【分析】 由题意，知 1 台收割机 1 天可收割小麦450÷2÷3=75(亩),所以用 7 台收割机收割 2100 亩小麦需要2100÷7÷75=4(天).5. 牧场上的青草每天都匀速生长，这片青草可供 27 头牛吃 6 周，或者供 23 头牛吃 9 周．那么，这片青草可供 21 头牛吃 周．【答案】 12【分析】 将 1 头牛 1 周吃的草看做 1 份，则 27 头牛 6 周吃 162 份，23 头牛 9 周吃 207 份，这说明 3 周时间牧场长草 207−162=45(份)，即每周长草 15 份，牧场原有草 162−15×6=72(份)．21 头牛中的 15 头牛吃新长出的草，剩下的 6 头牛吃原有的草，吃完需 72÷6=12(周)．6. 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多．从开始检票到等候检票的队伍消失，若同时开 5 个检票口则需 30 分钟，若同时开 6 个检票口则需 20 分钟．如果要使队伍 10 分钟内消失，至少需同时开 个检票口．【答案】 9【分析】将1个检票口1分钟通过的人看做1份，则5个检票口30分钟通过人150份，6个检票口20分钟通过人120份，这说明10分钟来人150−120=30(份)，即每分钟来人3份．原有人数150−3×30=60(份)，要使队伍10分钟消失，至少需要60÷10+3=9(个)检票口．7. 《火星救援》中，马克不幸没有跟上其他5名航天员飞回地球，独自留在了火星，马克必须想办法生存，等待救援．马克的居住舱内留有每名航天员5天的食品和50千克的非饮用水，还有一个足够大的菜园，马克计划用来种植土豆，30天后每平方米可以收获2.5千克，但是需要灌溉4千克的水．马克每天需要吃1.875千克土豆，才可以维持生存，则食品和土豆可供马克最多可以支撑天．【答案】130【分析】马克拥有的食品可以支撑：5×6=30(天);马克有水：50×6=300(千克);这些水可以种土豆：300÷4×2.5=187.5(千克);这些土豆可以供马克吃：187.5÷1.875=100(天),则马克可以支撑：30+100=130(天).8. 一个蓄水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速注入，当池中有一半的水时，如果打开9个出水口，9小时可以把水排空；如果打开7个出水口，18小时可以把水排空．如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过时分水池刚好被排空．【答案】7；12【分析】设每个出水口每小时的出水量为1，则进水口每小时的进水量为：(7×18−9×9)÷(18−9)=5,半池水的量为：(9−5)×9=36,所以一池水的量为72．如果打开全部15个出水口，排空水池所需要的时间为：72÷(15−5)=7.2(小时),即7小时12分钟．9. 有一片草场，10头牛8天可以吃完草场上的草；15头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以5天吃完．那么草场上每天长出来的草够头牛吃一天．【答案】 5【分析】 设每头牛每天吃的草是 1 份，则前 8 天 10 头牛共吃了8×10=80(份);15 头牛每天减少一头 5 天共吃了15+14+13+12+11=65(份),所以一天草场长草(80−65)÷3=5(份),够 5 头牛吃一天．10. 11 头牛 10 天可吃完 5 公顷草地上的草，12 头牛 14 天可吃完 6 公顷草地上的草．假设每公顷草地上的草量相等，每头新生长的草量的相等，每头牛每天的吃草量也相等，那么 8 公顷草地可供 19 头牛吃 天．【答案】 8【分析】 关键是先求出每公顷地原有的草和每天每公顷地新长出的草．假设 1 头牛 1 天吃草量为“1”．根据“11 头牛 10 天可吃完 5 公顷草地上的草”可以分別求出：① 5 公顷草地原有的草和 10 天中新长出的草量共 11×10=110；② 每公顷草地原有的草及 10 天中新长出的草量 11×10÷5=22．根据“12 头牛 14 天可吃完 6 公顷草地上的牧草”可以求出每公顷地中原有草及 14 天新长出的草量 12×14÷6=28．再次求出每公顷草地中每天新长出的草量 (28−22)÷(14−10)=1.5求出 8 公顷草地可供 19 头牛吃的天数 (22−1.5×10)×8÷(19−1.5×8)=8(天)．11. 某超市平均每小时有 60 人排队付款，每个收银台每小时能应付 80 人，某天某时段内，该超市只有一个收银台工作，付款开始 4 小时就没有顾客排队了；如果叫当时有两个收银台工作，那么付款开始 小时就没人排队了．【答案】 0.8【分析】 设 1 个收银员 1 小时处理 1 份（80 人）则每小时新增人：6080=34份原有人数：1×4−34×4=1 份从 2 个收银台中分出 34 来专门处理“新增草量”则 1÷(2−34)=0.8(小时) 所以 0.8 小时后就无人排队．12. 一个水池有一根进水管不间断地进水，还有若干根相同的抽水管．若用24根抽水管抽水，6小时即可把池中的水抽干；若用21根抽水管抽水，8小时可把池中的水抽干．若用16根抽水管，需要小时可把水池中的水抽干．【答案】18【分析】设1根抽水管1小时抽1份水．每小时新进水量：(21×8−24×6)÷(8−6)=12(份),水池中原有水量：(21−12)×8=72(份),如果用16根抽水管，抽干水需要：72÷(16−12)=18(小时).13. 有三块草地，面积分别是5、15、25亩．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，则第三块草地可供头牛吃60天．【答案】45【分析】设每头牛每天的吃草量为1份．第一块草地，5苗原有草量+5亩30天长的草=10×30=300(份)，则每亩草量=原有草量+每亩面积30天长的草=300÷5=60(份)：第二块草地，15亩原有草量+15亩45天长的草=28×45=1260(份)，即每亩面积原有草量+每亩面积45天长的草=1260÷15=84(份)．所以每亩面积每天长草量(84−60)÷(45−30)=1.6(份)．每亩原有草量=60−30×1.6=12(份)．第三块草地面积是25亩，60天新生长的草量为：1.6×60×25=2400(份)，(2400+12×25)÷60=45(头)，所以第三块草地可供45头牛吃60天．14. 一只船被发现漏水时．已经进了一些水，水均匀进入船内．如果10人淘水，3小时淘完；如果5人淘水，8小时淘完．如果要求2小时淘完，需要安排人淘水．【答案】14【分析】将1人1小时淘的水看做1份，则10人3小时淘30份，5人8小时淘40份，这说明5小时船进水40−30=10(份)，即每小时进水2份，船里原有水30−2×3=24(份)．要求2小时淘完，则需要24÷2+2=14(人)．15. 一片草地，有15头牛吃草，8天可以把全部草吃完．如果起初这15头牛吃了两天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完．如果起初这15头牛吃了两天后，又来了5头牛，则需要多少天才能吃完？【答案】4【分析】设1头牛1天吃的草量为1份，本题可以把15头牛吃了两天忽略不看，只看后边的情况，则题目变为15牛吃6天，17头牛吃5天，20头牛吃几天，所以每天生长的草量为(15×6−17×5)÷(6−5)=5(份)，原草量为(15−5)×6=60(份)，天数为60÷(20−5)=4(天)．16. 有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20天？【答案】14头【分析】设1头牛1天的吃草量为1份．每天生长的草量为：(12×25−24×10)÷(25−10)=4(份);原有草量为：(24−4)×10=200(份).20天里，草场共提供草200+4×20=280(份),可以让280÷20=14(头)牛吃20天．17. 林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果要4周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假设野果生长的速度不变）【答案】33只【分析】设一只猴子一周吃的野果为1份，野果的生长速度是(21×12−23×9)÷(12−9)=15(份),原有的野果为(23−15)×9=72(份),如果要4周吃光野果，则需有72÷4+15=33(只)猴子一起吃．18. 某个售票处在卖票之前，就已经有人排队，到开始卖票时，已经排了75人．卖票后，由于每分钟来买票的人数一样多，因此，一个窗口花15分钟才不再有人排队．如果开两个窗口，则经过5分钟不再有人排队．如果开三个窗口，则经过几分钟不再有人排队？【答案】3分钟【分析】设每个窗口每分钟买票的人数为1份，则15−5=10(分钟)内前来检票的人数为：1×15−2×5=5(份)，所以每分钟前来检票的人数为：5÷10=0.5(份)；开始检票前等待的人数为：(1−0.5)×15=7.5(份)．要开3个窗口，经过7.5÷(3−0.5)=3(分钟)就不再有人排队．19. 一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库，5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干．若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？【答案】12台【分析】设每台抽水机每天的抽水量为1份，则每天流入的水为(20×5−6×15)÷(20−15)=2(份);原有的水量为5×20−20×2=60(份),若6天抽完，共需抽水机(60+6×2)÷6=12(台).20. 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．那么这片牧场可供几头牛吃25天？【答案】9头【分析】设1头牛1天的吃草量为1份，每天新长的草量：(10×20−15×10)÷(20−10)=5(份),原有草量为：(15−5)×10=100(份),25天里草场共提供草：100+5×25=225(份),可以让225÷25=9(头)牛吃25天．21. 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供27头牛吃6天，可供23头牛吃9天．那么，可供21头牛可吃几天？【答案】12天【分析】设1头牛1天的吃草量为1份，根据题意可得：27头牛吃6天共吃：27×6=162(份)是原有草量和6天新生草，23头牛吃9天共吃：23×9=207(份)是原有草量和9天新生草，每天新长的草量：(207−162)÷(9−6)=15(份),原有草量：162−15×6=72(份),派15头牛去吃每天新生草，则吃完原有草需要：72÷(21−15)=12(天),即可供21头牛吃12天．22. 一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库．5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干．（1）水库原有的水与20天流入的水可供多少台抽水机抽1天？（2）水库原有的水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天？（3）每天流入的水可供多少台抽水机抽1天？（4）原有的水可供多少台抽水机抽1天？（5）若6天抽完，共需抽水机多少台？【答案】（1）100；（2）90；（3）2；（4）60；（5）12【分析】（1）20×5=100(台)；（2）6×15=90(台)；（3）(100−90)÷(20−15)=2(台)；（4）100−20×2=60(台)；（5）60÷6+2=12(台)．23. 有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养18头牛，那么10天能把草吃完；如果只放养24头牛，那么7天就把草吃完了．请问：（1）如果放养32头牛，多少天可以把草吃完？（2）要放养多少头牛，才能恰好14天把草吃完？【答案】（1）5；（2）14【分析】（1）设1头牛1天吃1份草，则草的生长速度为(18×10−24×7)÷(10−7)= 4，原有草量为24×7−4×7=140，如果放养32头牛最多吃140÷(32−4)=5(天)．（2）恰好14天把草吃完，要放养140÷14+4=14(头)牛．24. 牧场上有一片匀速生长的草地，可借27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？【答案】19头【分析】设1头牛1周的吃草量为1份，草的生长速度为每周生长(23×9−27×6)÷(9−6)=15(份),原有草量为：(27−15)×6=72(份),可供72÷18+15=19(头)牛吃18周．25. 一块匀速生长的草场，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？【答案】8天【分析】设1头牛1天的吃草量为1份，由于1头牛1天吃草量等于5只羊一天的吃草量，所以100只羊吃12天相当于20头牛吃12天．那么每天生长的草量为：(16×20−20×12)÷(20−12)=10(份),原有草量为：(16−10)×20=120(份).10头牛和75只羊1天一起吃的草量，相当于25头牛一天吃的草量，25头牛中，若有10头牛去吃每天生长的草，那么剩下的15头牛需要120÷15=8(天)可以把原有草量吃完，即这块草地可供10头牛和75只羊一起吃8天．26. 由于环境恶化、气候变暖，官厅水库的水在匀速减少，为了保证水库的水量，政府决定从上游的壶流河水库以及册田水库分别向官厅水库进行调水，已知这两个水库的每个闸门放水量是相同的，如果同时打开壶流河水库的5个闸门30小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果同时打开册田水库的4个闸门40小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果24小时使官厅水库水量达到原来的标准，问需同时打开两个水库的几个闸门？【答案】6【分析】设1个闸门1小时的放水量为“1”，那么每小时自然减少的水量为：(40×4−30×5)÷(40−30)=1，实际注入水量为：(5−1)×30=120；24小时蓄水需要打开的闸门数是：120÷24+1=6(个)．27. 有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养24头牛，那么6天就把草吃完了；如果只放养21头牛，那么8天才把草吃完．请问：要使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？【答案】12头【分析】设1头牛1天吃1份草，则草的生长速度为(21×8−24×6)÷(8−6)=12(份),要使得草永远吃不完，那么就要保证原草不被吃掉，放养的牛每天只吃新生长的草量，因此最多放养12头牛．28. 一片均匀生长的草地，如果有15头牛吃草，那么8天可以把草全部吃完；如果起初这15头牛在草地上吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完．如果起初这15头牛吃了2天后，又来了5头牛，再过多少天可以把草吃完？【答案】4天【分析】设1头牛1天吃1份草，则15头牛吃8天一共吃草：15×8=120(份),15头牛在草地上吃了2天后来了2头牛总共吃了7天，这时的吃草量一共是：15×2+17×5=115(份),所以草的生长速度为：(120−115)÷(8−7)=5(份),草地上原有草量为：15×8−5×8=80(份),起初这15头牛吃了2天后，原有的草量还剩下：80−(15−5)×2=60(份),又来了5头牛，共有20头牛，派5头牛吃每天新长的草，再过60÷(20−5)=4(天)可以把草吃完．29. 某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派250个工人砌砖墙，6天可以把砖用完，如果派160个工人，10天可以把砖用完，现在派120名工人砌了10天后，又增加5名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？【答案】4【分析】工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当于“牛在吃草”．所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，那么每天运来的砖为(160×10−250×6)÷(10−6)=25，原有砖的数量为：(250−25)×6=1350．如果120名工人砌10天，将会砌掉10天新运来的砖以及950原有的砖，还剩1350−950= 400的原有的砖未用，变成120+5=125（人）来砌砖，还需要：400÷(125−25)=4(天)．30. 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少．如果某块草地上的草可供25头牛4天，或可供16头牛吃6天．照此计算，可以供多少头牛吃12天？【答案】7头【分析】设1头牛1天的吃草量为1份，牧场上的草每天自然减少(25×4−16×6)÷(6−4)=2(份),原来牧场有草(25+2)×4=108(份),12天吃完需要牛的头数是：108÷12−2=7(头).31. 画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队．求第一个观众到达的时间．【答案】8:15【分析】设每一个入场口每分钟通过的人数为1份，每分钟来的人为：(3×9−5×5)÷(9−5)=0.5(份),原有的人为：(3−0.5)×9=22.5(份),这些人来到画展，所用时间为：22.5÷0.5=45(分),所以第一个观众到达的时间为8点15分．32. 一个露天水池底部有若干同样大小的进水管．这天蓄水时恰好赶上下雨，每分钟注入水池的雨水量相同．如果打开24根进水管，5分钟能注满水池；如果打开12根进水管，8分钟能注满水池；如果打开8根进水管，多少分钟能将水池注满？【答案】10分钟【分析】设1根进水管1分钟进水1份，则雨水的注水速度为每分钟(24×5−12×8)÷(8−5)=8(份),水池容量为24×5+8×5=160(份),如果打开8根进水管160÷(8+8)=10(分钟)能将水池注满．33. 一片草地，可供5头牛吃30天，也可供4头牛吃40天，如果4头牛吃30天，又增加了2头牛一起吃，还可以再吃几天？【答案】6【分析】1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为(4×40−5×30)÷(40−30)=1，原有草量为：(5−1)×30=120．如果4头牛吃30天，那么将会吃去30天的新生长草量以及90原有草量，此时原有草量还剩120−90=30，而牛的头数变为6，现在就相当于：“原有草量30，每天生长草量1，那么6头牛吃可以30÷(6−1)=6(天)吃完．34. 有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可以吃完．现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完．问：原来有多少头牛吃草（草均匀生长）？【答案】 40【分析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为 (17×30−19×24)÷(30−24)=9，原有草量为：(17−9)×30=240．现有若干头牛吃了 6 天后，卖掉了 4 头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完，如果不卖掉这 4 头牛，那么原有草量需增加 4×2=8 才能恰好供这些牛吃 8 天，所以这些牛的头数为 (240+8)÷8+9=40(头)．35. 有一片草场，草每天的生长速度相同．若 14 头牛 30 天可将草吃完，70 只羊 16 天也可将草吃完（4 只羊一天的吃草量相当于一头牛一天的吃草量）．那么，17 头牛和 20 只羊多少天可将草吃完？【答案】 10 天【分析】 “4 只羊一天的吃草量：相当于 1 头牛一天的吃草量”，所以可以设一头牛一天的食量 为 1 份，那么，14 头牛 30 天吃了 14×30=420(份)，而 70 只羊 16 天吃了 16×70÷4=280(份)．所以草场在 (30−16) 天内增加了 (420−280) 份，每天增加 10 份，原来的草量为 420−10×30=120(份)，所以如果安排 17 头牛和 20 只羊，即每天食草 17+20÷4=22(份)，经过 120÷(22−10)=10(天)，可将草吃完．36. 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天．如果供 25 头牛可吃几天？【答案】 5【分析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，10 头牛吃 20 天共吃了 10×20=200 份；15 头牛吃 10 天共吃了 15×10=150 份．第一种吃法比第二种吃法多吃了 200−150=50 份草，这 50 份草是牧场的草 20−10=10 天生长出来的，所以每天生长的草量为 50÷10=5，那么原有草量为：200−5×20=100．供 25 头牛吃，若有 5 头牛去吃每天生长的草，剩下 20 头牛需要 100÷20=5(天) 可将原有牧草吃完，即它可供 25 头牛吃 5 天．37. 一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛 27 头，6 天把草吃尽，同样一片牧场，牛 23 头，9 天把草吃尽．如果有牛 21 头，几天能把草吃尽？【答案】 12 天【分析】 把一头牛每天吃草量当作 1 份，设原来有的草为 x 份，每天长出来的草为 y份，．那么可以列方程：\[ \left\{ \begin{gathered} x + 6y = 27 \times 6 \hfill \\ x + 9y = 23 \times 9 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]解得 {x =72y =15如果 21 头牛吃草，这片草可以吃72÷(21−15)=12(天).38. 一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，则30分钟能把水池的水排完，如果同时打开进水阀及两个排水阀，则10分钟把水池的水排完．问：关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要多少分钟才能排完水池的水？【答案】5分钟【分析】设一个排水阀1分钟排水量为1份，进水阀1分钟进水量为：(1×30−2×10)÷(30−10)=0.5(份),水池原有水量为：(1−0.5)×30=15(份),关闭进水阀并且同时打开三个排水阀需要15÷3=5(分钟)排完水．39. 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，问可供25头吃几天？【答案】5天【分析】设1头牛1天的吃草量为1份，根据题意可得：10头牛吃20天共吃了10×20=200(份),15头牛吃10天共吃了15×10=150(份),草的生长速度是每天新长：(200−150)÷(20−10)=5(份),那么原有草量为：200−5×20=100(份),供25头牛吃，若有5头牛去吃每天新长的草，剩下20头牛需要100÷20=5(天)可将原有牧草吃完，即牧场上的牧草可供25头牛吃5天．40. 由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少．经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天．那么，可供11头牛吃几天？【答案】8天【分析】设1头牛1天的吃草量为1份，每天牧场本身减少的草量为：(20×5−16×6)÷(6−5)=4(份),原有草量为：(20+4)×5=120(份),若有11头牛来吃草，每天草一共减少11+4=15(份)，可供11头牛吃120÷15=8(天)．41. 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少．如果某块草地上的草可供25头牛4天，或可供16头牛吃6天．那么可供10头牛吃多少天？【答案】9天【分析】设1头牛1天的吃草量为1份，牧场上的草每天自然减少(25×4−16×6)÷(6−4)=2(份),原来牧场有草(25+2)×4=108(份),可供10头牛吃的天数是：108÷(10+2)=9(天).42. 有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么可供29头牛吃几天？【答案】8天【分析】设1头牛1天的吃草量为1份，根据题意可得：每天新长的草量：(12×25−24×10)÷(25−10)=4(份),原有草量为：(24−4)×10=200(份),因为每天新长出4份草，可以让4头每天专门吃新长出的草，而剩下的29−4=25(头)牛每天都吃草场上原有的草，需要200÷25=8(天)．所以草场可供29头牛吃8天．43. 有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃24天，或可供15头牛吃12天，那么它可供几头牛吃18天？可供21头牛吃几天？【答案】13头；6天．【分析】设1头牛1天吃的草量为1份，每天生长的草量为(12×24−15×12)÷(24−12)=9(份)，原有草量为：12×24−9×24=72(份)，则(72+18×9)÷18=13(头)，所以它可供13头牛吃18天；而9头牛每天专吃新长的草，剩下的21−9=12(头)牛每天都吃原有的草．72÷12=6(天)后就没有草了，所以草场可供21头牛吃6天．44. 一片青草，每天长草的速度相等，可供10头牛单独吃20天，供60只羊单独吃10天．如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么，10头牛与60只羊一起吃草，这片草可以吃天．【答案】5．【分析】 把 1 只羊每天的吃草量当作单位“1”，则 1 头牛每天的吃草量为 4，设原有草量为 x ，每天的长草量为 y ，那么\[ \left\{ \begin{gathered} x + 20y = 4 \times 10 \times 20 \hfill \\ x + 10y = 1 \times 60 \times 10 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]解得{x =400y =20如果 10 头牛与 60 只羊一起吃草，这片草可以吃400÷(4×10+1×60−20)=5(天).45. 把一片均匀生长的大草地分成三块，面积分别为 5 公顷、15 公顷和 24 公顷．如果第一块草地可以供 10 头牛吃 30 天，第二块草地可以供 28 头牛吃 45 天，那么第三块草地可以供多少头牛吃 80 天？【答案】 42【分析】 方法一：列方程组，设 1 公顷草地的原有草量为 x 份，1 公顷草地的生长速度为 y 份，$\left\{\begin{gathered}5x + 5y \times 30 &= 10 \times 30 \hfill \\15x + 15y \times 45 &= 28 \times 45 \hfill \\\end{gathered} \right.$，解得 $\left\{\begin{gathered}x = 12 \hfill \\y = 1.6 \hfill \\\end{gathered} \right.$，所以第三块草地 80 天吃完可供 (12×24+1.6×24×80)÷80=42(头) 牛．方法二：设 1 头牛 1 天吃 1 份草，则 1 公顷草的生长速度为 (28×45÷15−10×30÷5)÷(45−30)=1.6，1 公顷草地的原有草量为 28×45÷15−1.6×45=12，要把第三块草地 80 天吃完可供 (12×24+1.6×24×80)÷80=42(头) 牛．46. 2006 年夏天，我国某地遭遇了严重干旱，政府为了解决村民饮水问题，在山下的一眼泉水旁修了一个蓄水池，每小时有 40 立方米泉水注人池中．第一周开动 5 台抽水机 2.5 小时就 把一池水抽完，接着第二周开动 8 台抽水机 1.5 小时就把一池水抽完．后来由于旱情严重，开动 13 台抽水机同时抽水．请问几小时可以把这池水抽完？【答案】 0.9 小时【分析】 设一台抽水机一小时的抽水量为 1 份，则泉水的注水速度是(5×2.5−8×1.5)÷(2.5−1.5)=0.5(份)池水的原有水量为 2.5×5−2.5×0.5=11.25(份)．所以，使用 13 台抽水机，抽完池水需要的时间为 11.25÷(13−0.5)=0.9(小时)．47. 仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多．用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完．仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完？【答案】18天【分析】设1辆汽车1天运货为1份，进货速度为(9×4−5×6)÷(9−6)=2(份),原有存货为(4−2)×9=18(份),仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要18÷1=18(天).48. 进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀地减少．现在开始在这片牧场上放羊，如果有38只羊，把草吃完需要25天；如果有30只羊，把草吃完需要30天．如果有20只羊，这片牧场可以吃多少天？【答案】40【分析】设1头羊1天吃1份草，则草的减少速度为(38×25−30×30)÷(30−25)=10，原有草量为38×25+10×25=1200，如果放养20头羊最多吃1200÷(20+10)=40(天)．49. 一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草16头牛可吃15天，或者可供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相当于1头牛的吃草量，那么8头牛与48只羊一起吃，可以吃多少天？【答案】9【分析】1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析：16头牛 15天 16×15＝240：原有草量+15天生长的草量100只羊（25头牛） 6天 25×6＝150：原有草量+6天生长的草量从上易发现：1天生长的草量＝10；那么原有草量：150−10×6=90；8头牛与48只羊相当于20头牛的吃草量，其中10头牛去吃新生草，那么剩下的10头牛吃原有草，90只需9天，所以8头牛与48只羊一起吃，可以吃9天．50. 一片牧草，每天生长的速度相同．现在这片牧草可供20头牛吃12天，或供60只羊吃24天．如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一起吃可以吃几天？【答案】5天。

小学数学必会经典应用题——“牛吃草”问题讲解“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。

这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数解这类题的关键是求出草每天的生长量。

牧场上长满牧草，每天匀速生长。

这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，供25头牛吃几天？解题思路：牧草的总量不定，它是随时间的增加而增加。

但是不管它怎样增长，草的总量总是由牧场原有草量和每天长出的草量相加得来的。

10头牛20天吃的总草量比15头牛10天吃的草量多，多出部分相当于10天新长出的草量。

第一步：计算10头牛20天吃的草可供多少牛吃一天？10×20=200(头)第二步：计算15头牛10天吃的草可供多少头牛吃一天？15×10=150(头)第三步：计算(20–10)天新长出的草可供多少头牛吃一天？50÷10=5(头)第四步：计算每天新长出的草可供多少头牛吃一天？50÷10=5(头)第五步：计算20天(或10天)新长出的草可供多少头牛吃一天？5×20=100(头)第六步：计算原有的草可供多少头牛吃一天？200–100=100(头)第七步：计算每天25头牛中，如果有5头牛去吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，可吃几天？100÷(25–5)=5(天)答：供25头牛吃5天。

有一水井，连续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。

如果用3 台抽水机抽水，36分钟可以抽完；如果用5台抽水机抽水，20分钟可以抽完。

现在12分钟要抽完井水，需要抽水机多少台？解题思路：随着时间的增长涌出的泉水也不断增多，但原来水量和每分钟涌出的水量不变。

综合算式：第一步：计算3台抽水机的抽水量是多少？3×36=108(台/分)第二步：计算5台抽水机的抽水量是多少？5×20=100(台/分)第三步：计算使用3 台抽水机比用5台抽水机多用多少分钟？36–20=16(分)第四步：使用3台抽水机比用5台抽水机少抽的水量是多少？108–100=8(台/分)第五步：计算泉水每分钟涌出的水量，算出需要抽水机多少台？8÷16=1/2(台)第六步：计算水井分钟涌出的水量是多少？1/2×36=18(台/分)第七步：计算水井原有的水量是多少。