R-K法求解常微分方程

练习题与答案练习题一练习题二练习题三练习题四练习题五练习题六练习题七练习题八练习题答案练习题一一、是非题1.–作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限。

()2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。

()3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。

()4.用近似表示cos x产生舍入误差。

( )5.和作为的近似值有效数字位数相同。

( )二、填空题1.为了使计算的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为；2.–是x舍入得到的近似值，它有位有效数字，误差限为，相对误差限为；3.误差的来源是；4.截断误差为；5.设计算法应遵循的原则是。

三、选择题1．–作为x的近似值，它的有效数字位数为( ) 。

(A) 7； (B) 3；(C) 不能确定 (D) 5.2．舍入误差是( )产生的误差。

(A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值(C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值3．用 1+x近似表示e x所产生的误差是( )误差。

(A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入4．用s*=g t2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g为重力加速度)，s t是在时间t内的实际距离，则s t s*是（）误差。

(A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断5．作为的近似值，有( )位有效数字。

(A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。

四、计算题1．，，分别作为的近似值，各有几位有效数字？2．设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？3．利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确：(1)， (2)(3) ， (4)4．真空中自由落体运动距离s与时间t的关系式是s=g t2，g为重力加速度。

现设g是精确的，而对t有秒的测量误差，证明：当t增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。

5*. 采用迭代法计算，取k=0,1,…,若是的具有n位有效数字的近似值，求证是的具有2n位有效数字的近似值。

常微分方程的数值解法专业班级：信息软件 姓名：吴中原 学号：120108010002 一、实验目的1、熟悉各种初值问题的算法，编出算法程序；2、明确各种算法的精度与所选步长有密切关系；通过计算更加了解各种 算法的优越性。

二、实验题目1、根据初值问题数值算法，分别选择二个初值问题编程计算；2、试分别取不同步长，考察某节点j x处数值解的误差变化情况； 3、试用不同算法求解某初值问题，结果有何异常； 4、分析各个算法的优缺点。

三、实验原理与理论基础（一） 欧拉法算法设计对常微分方程初始问题(6-1)(6-2)用数值方法求解时，我们总是认为(6-1)、(6-2)的解存在且唯一。

欧拉法是解初值问题的最简单的数值方法。

从(6-2)式由于y (x 0) = y 0已给定，因而可以算出),()('000y x f x y =。

设x 1 = h 充分小，则近似地有：),()(')()(00001y x f x y hx y x y =≈-(6-3)记 ,n ,,i x y y i i 10 )(== 从而我们可以取),(0001y x hf y y ==作为)(1x y 的近似值。

利用1y 及f (x 1, y 1)又可以算出)(2x y 的近似值：),(1112y x hf y y +=一般地，在任意点()h n x n 11+=+处)(x y 的近似值由下式给出),(1n n n n y x hf y y +=+(6-4)这就是欧拉法的计算公式，h 称为步长。

⎪⎩⎪⎨⎧==)( ),(d d 00y x y y x f x y（二）四阶龙格-库塔法算法设计：欧拉公式可以改写为：()111,i i i i y y k k hf x y +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，它每一步计算(),f x y 的值一次，截断误差为()2o h 。

改进的欧拉公式可以改写为：()()()11212112,,i i i i i i y y k k k hf x y k hf x h y k +⎧=++⎪⎪=⎨⎪=++⎪⎩，它每一步要计算(),f x y 的值两次，截断误差为()3o h 。

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求解化学非平衡NS方程组的隐式R-K方法及其并行实现李芳刘鑫张娟陆林生（江南计算技术研究所无锡214083）(lifang56@)摘要本文建立了一种求解非定常化学非平衡NS方程组的空间全隐式R-K方法，给出了并行程序框架，讨论了多块网格预处理技术和通信优化技术。

在神威集群上进行算例考核，验算了算法的可行性、正确性和较高的并行效率。

关键字化学非平衡、隐式、Runge-Kutta方法、并行中图法分类号TN401Research on the Implicit Runge-Kutta Scheme for the ReactiveNonequilibrium NS Equations and Its Parallel ComputingLI Fang, LIU Xin ZHANG Juan, LU Linsheng(JiangNan Institute of Computing Technology Wuxi 214083)Abstract In this paper, the implicit Runge-Kutta Scheme is derivated to solve the unsteady reactive nonequilibrium NS equations, and its parallel frame is presented. The technique of mulit- physical-blocks and of communication optimization are discussed . Some benchmark cases are calculated on the SUNWAY cluster to validate the capabilities of the numerical program.The results show that the implicit R-K method gived in this paper has high feasibility, high precision and high efficiency.Key Words reactive nonequilibrium, implicit, Runge-Kutta, parallel1引言包含化学非平衡流的CFD计算涉及到空气动力学、燃烧化学、扩散传质、数值计算方法和并行算法等多门学科，在复杂的流动过程中充满着激波、膨胀波、燃烧波、各种涡系、附面层及其相互之间的干扰，其物理、化学模型和计算方法都非常复杂。

开课学院：软件学院 实验室： DS1421 实验时间 ： 07年 12月 16日 课程名称数值分析 实验项目 名 称 验证四阶经典R-K 法 实验项目类型 验证 演示 综合 设计 其他 指导教师 何光辉 成 绩 √实验标题：验证四阶经典R-K 法实验目的1、验证四阶经典R-K 法2、通过实验加深对四阶经典R-K 法的理解3、熟悉Matlab 软件的基本使用实验过程本实验属于验证性实验，主要验证四阶经典R-K 法。

利用四阶经典R-K 法的公式求常微分方程初值()()011212343112342222220126() (,), ,, ,,,k x i i i i i i i i y y a K f x y hK h K f x y hK h K f x y K f x h y hK h y y K K K K i +=⎧⎪=⎪⎪⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎨⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪=++⎪⎪=++++=⎪⎩例如：取h =0.2,用四阶经典R －K 法计算20101 ()x y y x y y ⎧=-≤≤⎪⎨⎪=⎩直接编写程序完成后直接可以运行得到结果。

程序：%四阶R-K 方法%输入函数f(x,y)和求解区间[a,b]fun='y-2*x./y'a=0;b=1;y0=1;h=0.2;%四阶R-K 方法n=(b-a)/h;X=a:h:b;Y=zeros(1,n+1);X(1)=a;Y(1)=y0;for i=1:nx=X(i);y=Y(i);k1=eval(fun);x=X(i)+h/2;y=Y(i)+h*k1/2;k2=eval(fun);y=Y(i)+h*k2/2;k3=eval(fun);x=X(i)+h;y=Y(i)+h*k3;k4=eval(fun);Y(i+1)=Y(i)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;end[X',Y']运行结果：ans =0 1.00000.2000 1.18320.4000 1.34170.6000 1.48330.8000 1.61251.0000 1.7321调试过程(四号黑体加粗)因为没有在M文件编程序，所以程序编完后直接按回车键即可显示结果。