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03刘4第三章扭转

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新扭转3刘鸿文第四版材料力学的PPT课件

新扭转3刘鸿文第四版材料力学的PPT课件

max
Tmax Wt
（2）设计截面
Wt
Tmax
（3）确定载荷
Tmax Wt
§3.4 圆轴扭转时的应力
例3.2 由无缝
钢管制成的汽
d 0.945 车解传：动（轴1），外
径计D算=抗89扭mm截、壁 D
Wt 0.2D3 (1 4 ) 0.2 8.93 (1 0.9454 ) 29 cm3
D3(1 4 )[ ]
16
(90)3 (1
0.9444 )[
]
若两轴强大度的应为相空力[心同]轴时强，度两 D13 (90)3(10.9444) 等，则T =相T同，，试确定 1
D1 53.1mm 0.0531m
2
§3.4 圆轴扭转时的应力
实心轴和空
A1
D12
pq
x
Me
pq
Me
x
pq
线间距离不 圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后 变，只是绕 仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直
线；且相邻两截面间的距离不变。
§3.4 圆轴扭转时的应力
Me
pq
Me
pq
pq
d
a
d
c
a' O b
R
b′
p dx q
_扭转角（r x d _ dx微段两
边aa' 缘相Rd上对 adx扭点转的角
边缘 R上d a点的 dx
发生在垂直于
§3.4 圆轴扭转时的应力
pq
d c
a
e a ' e′b
d
O
R
b′
p dx q
R dx
d
d
距距 周ddx 圆圆上—心e心扭点为为转的角处的错 的圆d沿dx 切xcc轴'也半应的d发径变变生的：dx化在平率

材料力学第四版课件 第三章 扭转

材料力学第四版课件 第三章 扭转
2
例1：图示空心圆轴外径D=100mm,内径 图示空心圆轴外径D=100mm,内径 d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变 =6kN· 模量 G=80GPa. （1） 试画轴的扭矩图； 试画轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力,并指出其位置. 求轴的最大切应力,并指出其位置.
平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。
横截面上无σ 1）横截面上无σ 2）横截面上只有τ
F O1 a d dφ d1 dx O2
dd1 ρdφ γ ρ ≈ tanγ ρ = = ad dx
4
πd
3 0
(
)
16T ∴d0 ≥ 3 = 76.3mm 4 π (1−α )[τ ]
取 d0 = 76.3mm、 、 (3)比较空心轴与实心轴的重量 比较空心轴与实心轴的重量 积之比： 二者重量之比等于横截面 积之比：
π (d − di ) 4 = 0.395 β= 2 4 πd
2 0 2
可见空心轴比实心轴的重量轻 可见空心轴比实心轴的重量轻
任一点处的切应变 切应变与到 距圆心为 ρ 任一点处的切应变与到 成正比。 圆心的距离ρ成正比。
2. 物理方面
dφ γρ = ρ dx
dφ τ ρ = Gρ dx
3. 静力学方面
dφ 2 T = ∫ ρτ ρ dA = G ∫ ρ dA dx A A
Ip = ∫ ρ dA 称为极惯性矩
2 A
ρ
dA
MB
1
MC
MA
2 2
A
3
MD

第三章 扭转正式第二讲

第三章 扭转正式第二讲

A
B
l
11
解：1）列平衡方程
Me
Me
Mx 0
Ma Mb Me
这是一次超静定问题. Me
A
B
l
Mb
Ma
12
变形相容条件是内、外杆 的扭转变形应相同.
Me
Me
A
B
2）变形几何方程：
l
Me Ma
A B
3）物理关系：
Ma l A Ga I pa Mbl B Gb I pb
0
ds
20
2.外力做的功 当弹簧的变形为 l 时，外力所做的功为 F
1 W Fl 2
3.功能原理 Vε = W
1 4F D n Fl 2 Gd 4
2
3
O
l
l
8FD 3 n l Gd 4
Gd 4 令C 8D 3n
得l
F C
21
C—弹簧刚度
例题3-10 某柴油机的气阀弹簧,簧圈平均半经R=59.5 mm,簧丝横
1 b 3
狭长矩形截面的 Ip 和 Wt：
δ
1 3 I p hd 3
1 2 Wt hd 3
27
例题3-11 一矩形截面的等直钢杆, 其横截面尺寸 h=100mm, b = 50mm, 长度 l = 2m, 在杆两端作用一对扭转力偶矩M = 4 kN· m. 钢的许用切应力[] = 100 MPa , 切变模量 G = 80GPa, 许
[ ] 称作许可单位长度扭转角 对于精密机器的轴[']≈0.15~0.30 (°)/m；
对于一般的传动轴[']≈2 (°)/m。
1
例题 3-5
图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1 592 N· m， M2 = 955 N· m，M3 = 637 N· m，lAB = 300 mm，lAC = 500 mm，d = 70 mm ，钢的切变模量G = 80 GPa。试求横截面C 相对于B的扭转角BC 。

材料力学工科3#第三章扭转

材料力学工科3#第三章扭转
*§3-8 开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转 (Free torsion of open and closed thin-walled
members)
§3-1 扭转的概念及实例 (Concepts and example problem of torsion )
一、工程实例（Example problems)
x
dx
Me
② 各纵向线均倾斜了同一微小角度 ；
③ 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.
3、推论（Inference) 1) 横截面上无正应力，只
Me
Me
有切应力；
2) 切应力方向垂直半径或与
圆周相切.
圆周各点处切应力的方向于圆周相切，
A
D
且数值相等，近似的认为沿壁厚方向
各点处切应力的数值无变化.
负。
m
T
T
正
m
(a)
m
负
T
T
m
(b)
无论保留左段还是右段，得到的扭矩大小、符号均相同
3、扭矩图（ Torque diagram)
用平行于杆轴线的坐标 x 表示横截面的位置；用 垂直于杆轴线的坐标 T 表示横截面上的扭矩，正 的扭矩画在 x 轴上方，负的扭矩画在 x 轴下方.
T
+
_
x
例题1 一传动轴如图所示，其转速 n = 300 r/min ，主动轮A输 入的功率为P1 = 500 kW . 若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从 动轮输出的功率分别为P2 = 150 kW 、P3 = 150 kW 及 P4 = 200 kW. 试做扭矩图.
薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶 Me 在某一范围内时，与 Me （在数值上等于 T ）成正比.

第3章 扭转《材料力学》教学课件

第3章 扭转《材料力学》教学课件

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第3章 扭转
T M e A rd A 0 2 πrr td 2 π r2 t
由此得到，薄壁圆筒扭转的切应力公式为
Me 2πr 2t
(3-4)
3.3 薄壁圆筒的扭转
图3-8
3.3 薄壁圆筒的扭转
【例1-3】
3.3 薄壁圆筒的扭转
3.3.2 切应力与互等定理
用相邻的两个横截 面和直径截面取出边长分 别为dx、d y和厚度为d z 的微小单元体，如图所示。
3.4 圆轴扭转时的应力
在图3-12(a)中，用相邻横截面m1—m1和n1—n1从轴中 截取长为dx的微段。设两截面间的相对扭转角为dφ，则根据
平面假设，横截面n1—n1像刚性平面一样，相对于m1—m1绕 轴线旋转角度dφ，半径O2C转至O2C′，如图3-12(b)所示。于
是，表面小矩形ABCD的CD边相对于AB边发生微小错动，错
(1)圆周线的形状、大小、间距不变，两圆周线发生相对 转动。
(2)各纵向线仍然平行，但都倾斜了一个微小角度，所有 微小矩形均变为同样大小的平行四边形，如图3-8（b）所示。
3.3 薄壁圆筒的扭转
这些现象表明，当薄壁圆筒发生扭转时，横截面上没 有正应力σ，只有切应力τ。由于筒壁很薄，可认为切应力 沿壁厚均匀分布。又因同一圆周上各点的情况相同，故应力 也相同，如图3-8（c)所示。横截面上所有切应力τ组成力系 的合效果为该截面的扭矩T，即
3.3 薄壁圆筒的扭转
3.3.3 切应变与剪切胡克定律
纯剪切单元体的相对两侧面将 发生微小的相互错动［见图3-10］， 使原来互相垂直的两棱边的夹角改 变了一个微量γ，即 切应变 。从图 3-8(b)可以看出，γ就是表面纵向线 变形后的倾角。若φ为圆筒两端的相 对扭转角，l为圆筒长度，则切应变 的计算公式为

3第三章扭转PPT课件

3第三章扭转PPT课件
11
三、扭矩图:
T
1
3T 2
T
3T
1
2
A T1
B
C
Mx1
1
T
1
3T 2
1
T
1
Mx2
2
3T 2 T
1
2
A
B
C
3
D Mx1 = T
Mx2 =T-3T= -2T
3T
Mx3
3
Mx3 =T-3T+T= -T
3
Mx3
3
或Mx3=-T
12
扭矩随截面位置的改变而变化的图形---扭矩图。
T
1
3T
2
T
3T
1
A
B
2
C
D 4 1 4 32
( d )
D
dρ ρ
d D
Wp
Ip
D
2
D 3 1 4 16
24
3、薄壁圆环截面 r0>>δ
D=2r0 + d=2r0 -
δ r0
I p 2 r03
d
D
Wp 2 r02
Wp 2A0
A0——中线包围的面积 25
推广：任意形状的薄壁截面
Wp 2A0
φ
纵线
dx
相对转动。
B、所有纵线转过同一角度γ。
矩形 平行四边形
（2）假 设
横截面变形后仍为平面，并象刚片一样只绕杆 轴线旋转过一个角度——刚性平面假设。
15
（3）应变分布规律
O1 a
γ
b
Mx
O2 c
c′
dφ
d d′
dx
周线
T

第三章扭转轴(1-4节)

§3-1 扭转的概念和实例
工 程 实 例
工 程 实 例
攻丝丝锥
工 程 实 例
对称扳手拧紧镙帽
一、扭转的概念
1．受力特征：在杆件两端垂直于杆轴线 的平面内作用一对大小相 等，方向相反的外力偶。
2．变形特征：横截面形状大小未变，只 是绕轴线发生相对转动。
轴：以扭转为主要变形的构件称为轴
Me
Me
计算简图：
二轴长度相同。
求: 实心轴的直径 d1和空心轴的外直 径D2；确定二轴的 重量之比。
计算外力偶矩
P＝7.5kW, n=100r/min，最大切应力不
得超过40MPa, = 0.5。二轴长度相同。
z 纯剪切单元体
dy dz
y

τ
τx

dx
单元体四个侧面上只有切应力而无正应力，则称为 纯剪切单元体.
三、切应变
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动，
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
A
D

B
C

dx δ
四、剪切胡克定律
由图所示的几何关系得到
Me
tan r
五、剪切应变能
若从薄壁圆筒中取出受纯剪切的
a
´ b
单元体，由于变形的相对性，可 设单元体左侧面不动，右侧面上
dy

的剪力由零逐渐增至
´
dydz
c
右侧面因错动沿切应力向下错动的距离 z
d t
dx
dx
因此剪力总共完成的功为
dW 1dydz ddx 0
单位体积内的剪切变形能密度
Me
Me
§3-2、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图

材料力学 第三章扭转


O2 dυ
dx
Mx
O1 a γ b c c′ O2 dυ
o γρ a b
dυ
o' e f
γ
c c' d
d
d′
dx
d'
dx
γρ ——切应变
o γρ
dυ
o' e f
ef d tan dx dx
a b
γ
c c' d
——（a）
d —单位长度相对扭转角 dx
dx
d'
260MPa
显然，最大切应力发生在AB段的各个横截面
的周边各点处。其值为τmax= 270MPa。
三、切应力互等定理
T A T
无限小的长方体
——单元体
y τ'
o c
o'
dy τ dz x
a b
dx
d
z
dx
纯剪切应力状态
ΣMzi = 0 （τdydz）dx =（τ'dxdz）dy
z
y τ'
dy
T1 =7.0kN.m
T2 =3.5kN.m
T3 =3.5kN.m
A
B
C
解: 1、求扭矩、 画扭矩图。
M xmax 7kN m
T1 =7.0kN.m T2 =3.5kN.m T3 =3.5kN.m
2、由强度条件求 直径。
A 7.0 Mx
/kN· m
B
+
C 3.5
Wp
d3
16

M x max
500 Mx (N.m)
+
300
D13

第3章扭转


2
C
D
T1 M A 1.91kN m
2 2
MA
T2
T2 M A M B 5.73kN m
T3
3 3
A
MD D
T3 M D 5.73kN m
（3）作扭矩图 MA A
MB B
MC
MD
D
C 5.73
1.91 5.73
T 图(kN· m)
|Tmax| = 5.73 kN· m
F
t'
t'
n
0
e
t
b
s
n
解得

t
f
x
t
s t sin 2
t'
t t cos 2
t' t smax smin t' smin t smax
x
讨论：
0 1. 90 45 2. 45
t max t
t 45

s max t s min t t 45 0
T R0tdA
A
τ R0 dA
A
t dA
τ R0 A
R0
O
dA
dq
q
tR0 2R0
T t 2 2R0 T 2 A0
T
A0 — 壁厚中线所围的圆面积
二、切应力互等定理
自动满足 F 0 y
y
t'
dy
τ dxdδ
M
z
0 存在t '
t
O t'
a b
T
a A O1
T
d
dd1 g r t ang r ad rd dx

材料力学 第 三 章 扭转

扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
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确定许可载荷
解： （一）外力偶矩计算
（二）作4轴的扭矩图
（三）设计4轴直径
所以：选定D=30mm
例 ：图示轴，已知[τ] = 70MPa，[θ] = 1°/m，G = 80MPa，试 选择轴径
解： （一）绘扭矩图
（二）选轴径d 1、根据强度条件：
m1=7024Nm m2 m3=4214Nm L T x 7024Nm 4214Nm
max
T 16T 3 [ ] Wt d
T
F
m
m2 F
L
m
16T 3 16 80 得： d 3 21.7mm 6 [ ] 40 10
-
+
m
m
x
四、求传动时齿轮间切向力F
由 0.2 F 2 0.4 P 2 得 F 0.4 200 80 N 0.2
16T
T 16T 3 Wt 2 D2 (1 4 )
16 716.2 3 (1 0.5 4 ) 40 106
0.046 m 46 mm
D2 3
(1 4 ) max
d 2 0.5D2 23mm
45 10 m A1 d 1 2 1.28 2 3 2 A2 D2 (1 ) 46 10 m 1 0.5
称单位长度扭转角，相对扭转角

TL
d T dx GI P
[ ]
[ ]
φ ’： 单位：弧/米
扭转刚度设计准则需单位换 [φ ’]： 单位：°/m 算
Tmax 180 max [ ] GI P
刚度校核 解决如下问题： 选择轴径
（3.20） ——扭转轴刚度条件
（二）物理关系 由 G
d G dx
— ②
D′
——横截面上任一点切应变分布规律
d dx d G dx

— ① — ②
T
(三)静力关系
（dA = 2πρdρ）
T dA
A
d d 2 T G dA GI p dx A dx
Wn 0.282a 3 I n 0.159a 4
Wn 0.144a 3 I n 0.07a 4
软件编制： 马 群 佟晓君 武春廷 刘廷权 监 制：张茂斌
责任编辑：多明明
注：按鼠标右键调出菜单，选结束放映便可退出
解：
7.5 T M e 9549 N m 716.2 N m 100
实心圆轴:
T 16T max 3 Wt1 d1
16 716.2 40 106
3
d1 3
16T
max
0.045 m 45mm
空心圆轴:
max
第三章 扭转
§3-1 扭转的概念与实例
§3—2
外力偶矩的计算 扭矩与扭矩图
一、外力偶矩的计算
(一）直接计算
二 按输入功率和转速计算
由功率P的定义： P M e 2n t
P 60 P t Me 2n 2n
Me
PKW nr / minMe
P 9.545 n P 9549 n
TL GI p
当轴各横截面的G、IP、T 均为常量时：
（3.16）
当轴各横截面的G、IP、T 分段为常量时：
GIP —截面抗扭刚度
Ti Li i 1 GI pi
n
二、圆轴扭转时的刚度条件 变形计算；
GI P Tdx L GI P
d —— φ 沿轴向的变化率， φ ’ （可反映扭转变形的程度） dx
x x
dx dx
dy dx t
dx
2、横截面上切应力分布规律 ∵壁厚很小 ∴认为切应力沿壁厚均布且切应力方 向与圆周相切. 3、横截面上切应力计算表达式
m 2rt r
m 2 2r t
二、切应力互等定律
( tdy)dx ( tdx)dy （3.2）
2 1 3 2
二、强度计算: 1、扭转许用应力: 塑材材料: [ ] 脆性材料: [ ]
s b
nb ns
强度指标:
塑材材料: s , b
脆性材料: b
T max [ ] 2、强度条件: max [ ] Wt T max [ ] 强度校核 Wt
M eA L M eA M e L M eB L 0 GI P GI P GI P
2M eA M e M eB 0 — ②
①、② 联立：ห้องสมุดไป่ตู้M eA M eB
1 Me 3
§3—6 非圆截面杆扭转的概念 一、有关概念： 横截面变形特点：
横截面发生翘曲，不再是平面
T T
五、确定最大起重量 由卷筒平衡条件有：
0.25Q 0.35F
0.35 得 Q 800 1120 N 0.25
F F
§3—5
d T dx GI p
得：
圆轴扭转时的变形
T d dx GI p
一、圆轴的扭转变形与相对转角
Tdx d L L GI p
（3.3）
G----剪切弹性模量
五、E、μ、G 之间的关系
E G 2(1 )
（3.4）
§ 3 —4
圆轴扭转时的应力
A 一、圆轴扭转时横截面上的应力 （一）几何关系方面 x 1、实验现象 2、平面假设：圆轴受扭后，其横截面仍 C A 保持为平面，只是绕轴线发生刚性转动 D B dx 3、变形规律 ρ Rd tg R γρ ①轴表面 dφ dx C A γ d C′ — ① ②轴内部 B dx γ D dx
① 当τ＜τρ ② 等直圆杆（近似用于小锥度杆） 计算Wt： 圆截面：
Wt I p 32 d d 2 2

d4


16
d
d3
环形面：
d
4
D 4
Wt 32
1
D 2

D 3
16
1
4
D
例： 实心与空心圆轴通过牙嵌式离合器 已知 n = 100r/min， 相联，并传递功率。 P = 7.5kW。 若要求二者截面上的最 大切应力等 于40MPa，且已知空心 圆轴的内、外径之比α=0.5，试确定实心圆轴的直径和空心 圆轴的外径。
截面设计（选择） 确定许可载荷
Wt
Tmax
Wt
Tmax
1. 等截面圆轴：
t 2. 阶梯形圆轴：
max
t
t
解： 一、
max
T [ ] Wt
二、
解：由已知
例：(习题3-9）图示绞车同时由两人操作， 若每人加在手柄上的力都是P=200N,已知轴 的许用切应力[τ] = 40MPa，试按强度条件初 步估算AB轴的直径，并确定最大起重量Q. 解：一、取AB轴为研究对象，画受力图 AB轴外力偶矩： m 0.4P 0.4 200 80Nm 二、画AB轴扭矩图 三、按强度条件估算AB轴直径
kN m
Nm
kNm 1kW 秒
M e Nm 9549 PKW nr / min
（3.1）
Me
PKW nr / minMe
P M e Nm 7024 马力 nr / min
（3.2）
Me
P马力 nr / minMe
二、扭矩 T: -----轴横截面上的内力分量 。
---（1）
二、变形协调条件： 三、补充方程： ---（2） 四、求解： T1
T2
（1）、（2）式联立求解
例：求解图示轴约束反力矩 有效静力方程： m 0 : x
M eA M e M e M eB 0 — ①
变形协调方程：
BA 0 :
BA CA DC BD
解（一）求T1：
m
2 2 T2 x
2m 1 1
m
Σmx= 0，T1 = m
（二）求T2：
m T
T1
m
x
Σmx= 0，T2 =- m
三：扭矩图 横坐标—— 表示横截面沿杆轴线的位置 纵坐标—— 表示相应截面上的扭矩
m
+
m
x

§3—3
纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的切应力 （一）、横截面上应力 1、实验现象： ①各纵向线倾斜了一个相同的 角度； ②各圆周线仅绕轴线发生相对转 动，而其形状、大小和间距均未改变 推论： ① 横截面上只有切应力而无正应力 在包含半径的纵截面上无正应力
T max 32 180 4 7024 32 180 d 4 2 6 [ ]G 1 80 10 0.0846m 84.6mm
[d ] 85mm
T x 4214Nm m1=7024Nm m2 m3=4214Nm L
7024Nm
T2
T1
解：一、受力平衡分析： 设轴所受扭矩为T1 平衡方程： 这是一次超静定问题 设筒所受扭矩为T2
自由扭转—— 两相邻横截面翘曲程度完全相同，横 截面上只有切应力，没有正应力 约束扭转——
非圆截面杆扭转时，由于端部有约 束，使得各横截面翘曲程度不同的扭转。 这时横截面上有切应力及正应力。
二、矩形截面杆扭转公式 Me 1、 横截面τ分布 2、 应力、应变计算公式
max
T T Wn hb2
Tmax Tmax max 3 [ ] W p d 16 Tmax 16 d3 [ ]
7024 16 d 3 0.07995m 79.95mm 6 70 10