旋转与相似

相似三角形的旋转与翻转变换在几何学中，相似三角形是指具有相似形状但大小不同的三角形。

它们之间存在着一种特殊的关系，可以通过旋转和翻转进行变换。

本文将探讨相似三角形的旋转和翻转变换，以及它们在几何学中的应用。

一、相似三角形的基本定义相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。

根据相似三角形的定义，我们可以得出如下结论：1. 相似三角形的对应角度是相等的。

2. 相似三角形的对应边长之比是相等的。

基于以上结论，我们可以利用旋转和翻转变换来研究相似三角形的性质和应用。

二、相似三角形的旋转变换旋转是指将一个图形绕着某一点或某一直线进行转动的变换。

对于相似三角形来说，旋转变换可以使一个三角形绕着某一中心点进行旋转，从而得到一个相似但不同大小的三角形。

以三角形ABC为例，设旋转中心为点O，旋转角度为θ。

通过旋转变换，我们可以得到一个新的三角形A'B'C'。

根据相似三角形的性质，我们知道∠ABC = ∠A'B'C'，且AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A'。

因此，通过旋转变换后的三角形A'B'C'与原始三角形ABC是相似的。

三、相似三角形的翻转变换翻转是指将一个图形绕着一条直线进行对称的变换。

对于相似三角形来说，翻转变换可以将一个三角形翻转得到一个相似但不同大小的三角形。

以三角形ABC为例，设翻转直线为l。

通过翻转变换，我们可以得到一个新的三角形A''B''C''。

根据相似三角形的性质，我们知道∠ABC = ∠A''B''C''，且AB/A''B'' = BC/B''C'' = CA/C''A''。

相似三角形的旋转与缩放变换相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。

在几何学中，旋转和缩放是常用的几何变换方式。

本文将介绍如何通过旋转和缩放变换来得到相似三角形，并探讨其应用。

一、旋转变换旋转是指将物体按照一定角度绕着旋转中心旋转的几何变换方式。

对于相似三角形的旋转变换，我们先来看一个具体的例子。

假设有两个相似三角形ABC和XYZ，其中∠A = ∠X，∠B = ∠Y，∠C = ∠Z。

现在我们要将三角形ABC绕着某个点O旋转一定角度使得与三角形XYZ重合。

1. 确定旋转中心和旋转角度首先，我们需要确定旋转的中心。

一般来说，可以选择相似三角形的一个顶点作为旋转中心，这里我们选择顶点A作为旋转中心。

然后，我们需要确定旋转的角度。

根据题目要求，我们已知∠A = ∠X，因此旋转角度就是∠A。

2. 进行旋转变换接下来，我们将三角形ABC绕着点A逆时针旋转∠A的角度。

通过旋转变换，三角形ABC将会与三角形XYZ重合。

旋转变换的数学表达式为：(x', y') = (x - a) × cos(θ) - (y - b) × sin(θ) + a(y', x') = (y - b) × cos(θ) + (x - a) × sin(θ) + b其中，(x, y)是旋转前的点坐标，(x', y')是旋转后的点坐标，(a, b)是旋转中心的坐标，θ是旋转的角度。

二、缩放变换缩放是指将物体按照一定比例放大或缩小的几何变换方式。

对于相似三角形的缩放变换，我们同样来看一个具体的例子。

假设有两个相似三角形ABC和XYZ，其中AB/XY = AC/XZ =BC/YZ = k。

现在我们要将三角形XYZ按照比例因子k缩放，得到与三角形ABC相似的三角形。

1. 确定缩放中心和比例因子首先，我们需要确定缩放的中心。

一般来说，可以选择相似三角形的一个顶点作为缩放中心，这里我们选择顶点X作为缩放中心。

相似形模型（四十三）——旋转相似模型◎结论1：如图△BAC，△BDE 为等腰直角三角形，∠BAC＝∠BDE＝90°，CE 与AD 相交于点P，则①△ABD∽△CBE，相似比为1∶2，②AD 与CE 的夹角为45°①AD 与CE 的夹角为45º。

【结论2】如图，Rt△AOB∽Rt△COD ，则①△AOC∽△BOD，②AC⊥BD,③AD 2＋BC ²＝CD ²＋AB 2【证明】∵∠AOP＝90°＋∠COB∠BOD＝90°＋∠COB∴∠AOP＝∠BOD∵△AOB∽△COD，∴AO CO ＝OB OD ，∴AO OB ＝CO OD ∴△AOC∽△BOD∴∠OAC＝∠OBD∵∠AMO＝∠BMP∴∠AOM＝∠BPM＝90°即AC⊥BD∵AD ²＝PA ²＋PD ²，BC ²＝PB ²＋PC 2,CD ²＝PC ²＋PD 2,AB ²＝PA ²＋PB 2,∴AD ²＋BC ²＝CD ²＋AB2①旋转前有一对相似三角形，旋转后新产生一对相似三角形;②证明新三角形相似采用"SAS 判定法"③若看不出相似三角形，则需作辅助线构造相似三角形.1．（2021·全国·九年级专题练习）已知正方形DEFG 的顶点F 在正方形ABCD 的一边AD 的延长线上，连结AG ，CE 交于点H ，若3AB =，DE =，则CH 的长为________.○巧○记○口○诀∴3131DM =+，解得：DM=34，∴MC=94，AM=223174AD DM +=，∵∠ADM+∠MDG=∠EDG+∠CDG ，∴∠ADG=∠EDC ，在△ADG 和△CDE 中，AD CD ADG CDE DG DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△CDE （SAS ），∴∠DAG=∠DCE ，∵∠AMD=∠CMH ，∴∠ADM=∠CHM=90°，∴△ADM ∽△CHM ，∴AD AM CH CM =，即3173494CH=，解得：CH=91717.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，综合性较强，解题的关键是找到合适的全等三角形和相似三角形，通过其性质计算出CH 的长.2．（2022·全国·九年级专题练习）【问题发现】如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为斜边BC 上一点（不与点B ，C 重合），将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到AE ，连接EC ，则线段BD 与CE 的数量关系是______，位置关系是______；【探究证明】如图2，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE ，将△ADE 绕点A 旋转，当点C ，D ，E 在同一条直线上时，BD 与CE 具有怎样的位置关系，说明理由；【拓展延伸】如图3，在Rt △BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝2CD ＝4，过点C 作CA ⊥BD 于A ．将△ACD 绕点A 顺时针旋转，点C 的对应点为点E ．设旋转角∠CAE 为α（0°＜α＜360°），当C ，D ，E 在同一条直线上时，画出图形，并求出线段BE 的长度．【答案】BD ＝CE ，BD ⊥CE ；BD ⊥CE ，理由见解析；图见解析，125，根据全等三角形的判定和性质以及垂直的定义即可得到结论；根据题意可知，Rt △ABC ∴AB AC =，∴AB AE =4AC AD ⋅45h ==，22CE CF AC ==1．（2022·全国·九年级专题练习）在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A 为公共顶点，90BAC AED ∠=∠=︒．如图②，若△ABC 固定不动，把△ADE 绕点A 逆时针旋转，使AD 、AE 与边BC 的交点分别为M 、N 点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合．【探究】求证：BAN CMA ∽△△．【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．(1)BN CM ⋅的值为______．(2)若BM CN =，则MN 的长为______．【答案】(1)8(2)424-【探究】利用三角形外角的性质可证BAN AMC ∠=∠，又由45B C ∠=∠=︒，可证明结论；【应用】（1）首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由BAN CMA ∽△△，得2222BN CM=，则8BN CM ⋅=；（2）由BM CN =，得BN CM =，由（1）知8BN CM ⋅=，得22BN CM ==，从而得出答案．（1）∵△ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，∴45B C ∠=∠=︒，同理，45DAE ∠=︒，∵45BAN BAM DAE BAM ∠=∠+∠=∠+︒，45AMC BAM B BAM ∠=∠+∠=∠+︒，∴BAN AMC ∠=∠，∴BAN CMA ∽△△；（2）（1）∵等腰直角三角形的斜边长为4，∴22AB AC ==，∵BAN CMA ∽△△，∴BN BA AC CM =，∴2222BN CM =，∴8BN CM ⋅=，故答案为：8；（2）∵BM CN =，∴BN CM =，∵8BN CM ⋅=，∴22BN CM ==，∴424MN BN CM BC =+-=-，故答案为：424-．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键.1．（2020·广西贵港·模拟预测）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则BQAQ的值为（）A2B3C．22D3【答案】A【分析】根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出AD＝DC ＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，进而求出∠C、∠B的度数，求出其他角的度数，可得AQ＝AC，将BQAQ转化为BQAC，再由相似三角形和等腰直角三角形的边角关系得出答案．【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∵∠ADC＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝22 AD，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∴AD＝CD＝BD，由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，∴AC′＝AQ＝AC，由△AEC∽△BDQ得：BQAC＝BDAE，∴BQAQ＝BQAC＝ADAE＝2AEAE＝2．故选：A．【点睛】考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理的转化是解决问题的关键．2．（2022·河北保定·二模）几何探究：【问题发现】（1）如图1所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形，BD、CE的关系是_______（选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案）【类比探究】（2）如图2所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的含有30°角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗?请说明理由；【拓展延伸】（3）如图3所示，△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1:2的两个等腰直角三角形，将△ADE绕点A自由旋转，若BC=B、D、E三点共线时，直接写出BD的长．14；。

旋转与相似（2）1．如图，已知正方形ABCD，将一块等腰直角三角板的锐角顶点与A重合，并将三角板绕A点旋转，如图1，使它的斜边与BD交于点H，一条直角边与CD交于点G．（1）请适当添加辅助线，通过三角形相似，求出的值；（2）连接GH，判断GH与AF的位置关系，并证明；（3）如图2，将三角板旋转至点F恰好在DC的延长线上时，若AD＝3，AF＝5．求DG的长．2．将一副三角尺如图①摆放（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°．Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠E ＝45°）．点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，且BC＝2．（1）求证：△ADC∽△APD；（2）求△APD的面积；（3）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否会随着α的变化而变化，如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．3．问题背景：如图1，△ABC为等边三角形，作AD⊥BC于点D，将∠ABC绕点B顺时针旋转30°后，BA，BC边与射线AD 分别交于点E，F，求证：△BEF为等边三角形．迁移应用：如图2，△ABC为等边三角形，点P是△ABC外一点，∠BPC＝60°，将∠BPC绕点P逆时针旋转60°后，PC 边恰好经过点A，探究PA，PB，PC之间存在的数量关系，并证明你的结论；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将∠ABC绕点B顺时针旋转到如图所在的位置得到∠MBN，F是BM 上一点，连接AF，DF，DF交BN于点E，若B，E两点恰好关于直线AF对称．（1）证明△BEF是等边三角形；（2）若DE＝6，BE＝2，求AF的长．4．（1）问题发现：如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝36°，连接AC，BD 交于点M．①的值为；②∠AMB的度数为；（2）类比探究如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数．（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．5．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC 绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，= ．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．6．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8．点D、E分别为BC、AB上一点，且DB＝AB，BE＝6．连接DE，将△BDE绕着点B逆时针旋转得到△BD'E'．（1）如图1，E'D'⊥AB于点F，交ED于点G．求EG的长度；（2）如图2，E'在CB的延长线上，延长DE交AE'于点H，连接HB，求证：HE+HE'＝BH；（3）如图3，点P为D'E'的中点，过点P作PM⊥ED于点M，交AC于点N．若CD＝1，当PM取得最大值时，直接写出四边形CDMN的面积．7．如图（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，点D为边BC上一点（不与点B，C重合），过点D作DE⊥AB于点E，取AD的中点M，连接CM，ME．（1）填空：CM与ME的数量关系为，∠CME的度数为．（2）将△BDE绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），请判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请就图（2）给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将△BDE绕点B在平面内自由旋转，且BC＝3，BD＝1，请直接写出线段CM的最大值和最小值．8．在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，将边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α．分别过A，C作直线BB′的垂线，垂足分别是E，F，连接B′C交直线AF于点Q．（1）如图1，当α＝45°时，△AEF的形状为；（2）当0°＜α＜360°时，①（1）中的结论是否成立？如果成立，请就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②在旋转过程中，当线段AE＝1时，请直接写出CF的长．9．特例感知（1）如图1，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证BE＝AF；探索发现（2）如图2，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长；类比迁移（3）如图3，已知在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长．10．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜ON＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．（1）如图1，连AM，BN，求证：△AOM≌△BON；（2）若将△AOM绕点O顺时针旋转，①如图2，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2+AN2＝2ON2；②填空：当点A，M，N在同一条直线上时，若OB＝4，ON＝3，BN＝．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D为AB的中点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段ED，且ED交线段BC于点G．（1）如图1，线段ED与BD的数量关系是，＝．（2）如图2，作∠CDE的平分线DM交BC于点H，过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF，BE．①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；②求出的值．12．如图①，B是线段AC上一点，△ABD与△BCE均为等边三角形，连接AE、CD．（1）求证：AE＝CD；（2）如图②，若△BCE′与△BCE关于AC所在直线对称，连接AE′，AE′与CD还相等吗？请说明理由；（3）在（2）的条件下，AE′与BD相交于点F，CD与BE′相交于点G，连接FG．试判断△FBG的形状，并说明理由．。

有关旋转相似知识点总结一、旋转相似的定义旋转相似是指两个图形之间通过旋转而得到的相似图形。

在几何学中，相似图形是指形状相同但大小不同的两个图形。

旋转相似是通过以一个点为中心、一个角度为旋转角的旋转变换，把一个图形变成另一个相似图形的过程。

二、旋转相似的性质1. 旋转相似的两个图形具有相同的形状，只是大小不同。

2. 旋转相似的两个图形之间的角度是相等的，只是大小不同。

3. 旋转相似的两个图形之间的长度比例是相等的。

三、旋转相似的判定条件判定两个图形是否通过旋转相似变换而得到的可以通过以下条件来判定：1. 两个图形之间的形状相同，只是大小不同；2. 两个图形之间的角度相等，即对应的顶点和边的角度相等；3. 两个图形之间的长度比例相等；4. 两个图形之间的对应边平行。

四、旋转相似的应用旋转相似在几何的计算和解决问题中有着重要的应用，以下是旋转相似的几个典型应用场景：1. 直角三角形的旋转相似在直角三角形中，通过旋转相似的变换，可以得到很多相似的三角形，从而方便我们计算和解决几何问题。

2. 图形的旋转相似在图形的计算和解决问题中，通过旋转相似的变换可以得到相似的图形，从而方便我们计算和解决问题。

3. 旋转相似的直角坐标系应用在直角坐标系中，通过旋转相似的变换可以对图形进行变换和计算。

五、旋转相似的例题以下是几个关于旋转相似的例题：例题1：已知ΔABC与ΔA’B’C’是旋转相似，有AB=3，BC=4，\angle B=120^\circ, A’B’=2, B’C’=3, 求AC的长。

解析：通过已知条件，可以计算出A’B’C’的长度和角度。

然后求出AC的长。

例题2：已知图中ABCD是一个正方形，O是AB的中点，求图形ABCD经过旋转相似变换得到的图形A'B'C'D'。

解析：ABCD经过旋转相似变换得到的图形A'B'C'D'，其中A'O=A'B'，AO=MC，即A'O+AO=AM。

“胡不归”“阿氏圆”及旋转相似一、胡不归型【背景知识】有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。

然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。

人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。

（如下图）A是出发地，B是目的地；A C是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。

为了急切回家，小伙子选择了直线路程A B 。

但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。

如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。

那么，这应该是那条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在A C上选定一点D ，小伙子从A走到D ，然后从D折往B ，可望最早到达B 。

用现代的科学语言表达，就是：若在驿道上行走的速度为，在沙地上行走的速度为，即求的最小值.例题1、如图，P 为正方形A B C D对角线B D上一动点，若A B ＝2，则A P ＋B P ＋C P 的最小值为_______解析：∵正方形A B C D为轴对称图形∴A P =P CAB CD P∴A P+B P+C P=2A P+B P=∴即求的最小值接下去就是套路我们要构造一个出来连接A E，作∠D B E=30°，交A C于E，过A作A F⊥B E，垂足为F 在R t△P B F中，∵∠P B F=30°∴由此我们把构造出来了∴的最小值即为A F线段的长∵∠B A E=45°，∠A E B=60°∴解直角△A B E，得A O=B O=，O E=，O B=根据面积法，·=·求出A F=（此外本题费马点亦可）例题2图1图2总结步骤：第一步：将所求线段和改写为的形式（＜1）第二步：在P B的一侧，P A的异侧，构造一个角度，使得s i n=第三步：过A作第二步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值第四步：计算即可模型具体归纳如下：练习1如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经______小时可到达居民点B.(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.)练习2练习4如图，△A B C在直角坐标系中，A B=A C，A（0，2），C（1，0），D为射线A O上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在A D上的运动速度是在C D上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为_______练习5如图，菱形A B C D的对角线A C上有一动点P，B C=6，∠A B C=150°，则线段A P+B P+P D的最小值为．练习6如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a x2+b x+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接P D，则P B+P D的最小值为；练习7如图，在△A C E中，C A=C E，∠C A E=30°，⊙O经过点C，且圆的直径A B在线段A E上．（1）试说明C E是⊙O的切线；（2）若△A C E中A E边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径A B；（3）设点D是线段A C上任意一点（不含端点），连接O D，当C D+O D的最小值为6时，求⊙O的直径A B的长．二、阿氏圆型阿氏圆也是形如的形式（＜1）最终还是化分为整。

平面几何中的相似变换与旋转相似变换和旋转是平面几何中常见的两种基本变换方式，它们在几何形状的变化和推导中起着重要的作用。

本文将介绍相似变换和旋转的基本概念、性质以及它们在实际问题中的应用。

一、相似变换的概念和性质相似变换是指在平面上保持形状相似的一种变换。

在相似变换中，相似的两个图形之间对应部分的边长比值相等，并且对应的角度相等或相似。

相似变换包括平移、缩放和旋转这三种基本形式。

1. 平移变换平移变换是指以一个向量为基础，将平面上的点移动到另一个位置的变换方式。

平移变换保持图形的大小和形状不变，只改变了位置。

平移变换的向量表示为T(x, y) = (x + a, y + b)，其中a和b分别是平移向量在x轴和y轴上的分量。

2. 缩放变换缩放变换是指通过改变图形的尺寸来进行形状变换。

缩放变换可以使图形变大（放大）或变小（缩小），但不改变图形的形状。

缩放变换的中心可以是任意一点，缩放比例可以是正数也可以是负数。

3. 旋转变换旋转变换是指以某个点为中心，按照一定的角度将平面上的点旋转到另一个位置的变换方式。

旋转变换保持图形的大小和形状不变，只改变了方向。

旋转变换的角度表示为θ，旋转变换的中心可以是任意一点。

相似变换具有以下性质：a. 保持图形的大小和形状不变；b. 保持两个相似图形之间的距离比值不变。

二、相似变换的应用相似变换在实际问题中具有广泛的应用，下面以几个具体的例子来说明。

1. 地图测绘在地图测绘中，常常需要将现实中的三维地貌转化为二维平面地图。

这个过程就是通过相似变换将地球表面上的点映射到平面上的点。

在相似变换中，地球表面上不同地点之间的相对位置、距离和形状关系都能够得到保持。

2. 建筑设计在建筑设计中，相似变换用于设计图纸的制作。

通过缩放变换，可以将实际尺寸较大的建筑物缩小到合适的比例尺，使之能够在图纸上表示清楚。

同时，建筑物的不同层次也可以通过缩放变换进行调整，以展现建筑物的整体效果。

3. 几何推导在几何推导中，相似变换是一种重要的思维方式。

相似三角形折叠旋转在初中数学的学习中，相似三角形是一个重要的知识点，而其中涉及到折叠和旋转的问题更是让许多同学感到困惑。

但别担心，今天咱们就来好好捋一捋相似三角形折叠旋转的那些事儿。

先来说说折叠。

当一个三角形被折叠时，会产生一些相等的线段和角。

比如说，沿着某条直线折叠后，对应点重合，那么这条折痕就是对应点连线的垂直平分线。

而且，折叠前后的图形是全等的，对应边相等，对应角也相等。

那折叠和相似三角形有什么关系呢？咱们来看一个例子。

有一个三角形 ABC，沿着某条直线折叠后得到三角形 A'B'C'，假设折叠后的三角形与原三角形相似。

那么，我们就可以利用相似三角形的性质来求解一些未知的量。

比如说，如果知道了原三角形的边长和角度，以及相似比，就能通过比例关系求出折叠后三角形的边长和角度。

再说说旋转。

三角形的旋转是指将三角形绕着一个定点按照一定的方向旋转一定的角度。

在旋转过程中，三角形的形状和大小都不会改变，只是位置发生了变化。

当相似三角形与旋转结合在一起时，问题可能会变得更加复杂，但也有一定的规律可循。

比如，一个三角形 ABC 绕着点 O 旋转一定角度得到三角形 A'B'C'，如果这两个三角形相似，那么我们同样可以利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等的性质来解决问题。

为了更好地理解相似三角形的折叠和旋转，咱们来做几道例题。

例 1：在三角形 ABC 中，∠A ＝ 90°，AB ＝ 6，AC ＝ 8。

将三角形 ABC 沿着斜边 BC 的中线 AD 折叠，使点 C 落在点 C'处。

求 AC'的长。

解：因为 AD 是斜边 BC 的中线，所以 BD ＝ DC。

根据勾股定理，BC ＝√（AB²＋ AC²) ＝√（6²＋ 8²) ＝ 10，所以BD ＝ DC ＝ 5。

因为折叠前后的三角形全等，所以 AC' ＝ AC ＝ 8。

专题7类比探究—图形旋转中三角形相似题型知识归纳图形的类比探究常以三角形、四边形为背景，与翻折、旋转相结合，考查三角形全等或相似的性质与判定，难度较大．此类题目第一问相对简单，后面的问题需要结合第一问的方法进行类比解答．根据其特征大致可分为：几何变换类比探究问题、旋转综合问题、翻折类问题等。

本专题主要对类比探究—图形旋转中三角形相似题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。

知识点睛（1）类比探究属于几何综合题，类比（类比字母，类比辅助线，类比思路）是解决此问题的主要方法，做好类比需要把握变化过程中的不变特征．（2）类比探究问题中常见结构举例①旋转结构②中点结构（类）倍长中线平行夹中点中位线方法总结（1）类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主．（2）解决类比探究问题的一般方法：①根据题干条件，结合分支条件先解决第一问；②用解决第一问的方法类比解决下一问，整体框架照搬．整体框架照搬包括照搬字母，照搬辅助线，照搬思路。

（3）用铅笔做讲义第1，2题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．常考题型专练一、解答题1.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．（1）如图1，当α＝60°时，①求证：PA＝DC；②求∠DCP的度数；（2）如图2，当α＝120°时，请直接写出PA和DC的数量关系．（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP=31，请直接写出点D到CP的距离为．2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D．（1）如图1，当A′B′∥AC时，过点B作BE⊥A′C，垂足为E，连接AE．①求证：AD＝BD；②求S△ACE S△ABE的值；（2）如图2，当A′C⊥AB时，过点D作DM∥A′B′，交B′C于点N，交AC的延长线于点M，求DN NM的值．3.（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：①的值为；②∠AMB的度数为．（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．4．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察猜想如图1，当α＝60°时，的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．5.已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，点D为BC边中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，把线段CE 绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD．（1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出BFAE的值；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；（3）如图3，当点E在AD上移动时，请直接写出点E运动到什么位置时DFDC的值最小．最小值是多少？（用含α的三角函数表示）6．在ABC ∆中，CA CB =，(0180)ACB αα∠=<<．点P 是平面内不与A ，C 重合的任意一点，连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，CP 点M 是AB 的中点，点N 是AD 的中点．（1）问题发现,如图1，当60α=时，MN PC 的值是，直线MN 与直线PC 相交所成的较小角的度数是；（2）类比探究，如图2，当120α=时，请写出MN PC的值及直线MN 与直线PC 相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由；（3）解决问题，如图3，当90α=时，若点E 是CB 的中点，点P 在直线ME 上，MN =请直接写出点B ，P ，D 在同一条直线上时PD 的长．7.如图(1)，在矩形ABCD中，AD＝nAB，点M，P分别在边AB，AD上(均不与端点重合)，且AP＝nAM，以AP和AM为邻边作矩形AMNP，连接AN，CN.【问题发现】（1）如图(2)，当n＝1时，BM与PD的数量关系为，CN与PD的数量关系为.【类比探究】（2）如图(3)，当n＝2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD，则CN与PD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图(3)给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图(3)说明理由.【拓展延伸】（3）在(2)的条件下，已知AD＝4，AP＝2，当矩形AMVP旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段CN的长8.(1)问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，点D是线段AB上一动点，连接BE.填空:①BEAD的值为；②∠DBE的度数为.(2)类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，点D是线段AB上一动点，连接BE.请判断BEAD的值及∠DBE的度数，并说明理由.(3)拓展延伸如面3，在(2)的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE的中点M，连接BM、CM，若AC=2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少?请直接写出答案.。

用几何画板探究旋转相似相似模型资料编号:202210261505旋转相似模型如图1所示,在△ABC 中,BC DE //,以点A 为旋转中心,将△ADE 旋转到图2的位置,连结BD 、CE ,则有下面的结论:（1）△ADE ∽△ABC ;（2）△ABD ∽△ACE .模型证明证明: 在图1中,∵BC DE //∴△ADE ∽△ABC∴AC AEAB AD =,BAC DAE ∠=∠∴AEADAC AB =∴在图2中,有DACBAC DAC DAE ∠-∠=∠-∠∴BAD CAE ∠=∠（也可直接由旋转的性质说明CAE BAD ∠=∠）∵AEADAC AB =,CAE BAD ∠=∠∴△ABD ∽△ACE .当△ADE 旋转到不同位置时,如下页图3、图4、图5所示,上述结论仍然成立.请你根据不同的图形尝试证明模型结论.模型推论设射线BD 、CE 交于点F,则有BAC BFC ∠=∠.下面,利用图6、图7证明该推论.图 2图 1证明:∵△ABD ∽△ACE ∴ACEABD ∠=∠∵BFC ACE BAC ABD AGF ∠+∠=∠+∠=∠（“8”字模型）∴BAC BFC ∠=∠.模型说明若△ADE 和△ABC 均为直角三角形时,如图8、图9、图10、图11所示.其中,射线BD 与CE 的夹角为︒90,如图12、13、14所示.这是一种常见的旋转相似模型.图 3图 4图 5图 6图 7图 8图 9在△ADE 旋转的过程中,有两个位置能使点B 、D 、E 三点共线,点C 、D 、E 共线.当点B 、D 、E 三点共线时,如图15所示;当点B 、E 、D 三点共线时,如图16所示.在图（15）中,DE CE BC DE BE BD --=-=22,在图（16）中,DEBE BD +==DE CE BC +-22.模型制作1.打开几何画板,在“线段直尺工具”中选择“线段”工具,按住“shift ”键不图10图11图 14图 15图 16放在作图区单击两次,作出一条水平的线段BC .2.在“线段直尺工具”中选择“射线”工具,单击点B 作为射线的端点,在线段BC 的上方再单击一次,作出一条射线BM ,且使射线BM 与BC 的夹角为锐角.选中点C ,依次单击“构造”、“垂线”,作出射线BM 的垂线,单击射线BM 与其垂线的交点处,得到垂足,标签为改为A .如图17所示.3.选中点M 、射线BM 和垂线AC ,依次单击“显示”、“隐藏对象”.选中点A 、B 、C ,依次单击“构造”、“线段”,作出直角三角形ABC .如图18所示.4.单击“点工具”，在AB 边上任取一点P ,选中点P 和BC 边,依次单击“构造”、“平行线”,作出一条与BC 边平行的直线,单击直线与AC 边的交点处,出现交点,标签为Q ,选中直线PQ 并隐藏.如图19所示.5.依次选中点A 、P ,依次单击“构造”、“以圆心和圆周上的点绘圆”,作出⊙A .在“线段直尺工具”中选择“线段”工具,单击点A ,把线段的另一个端点拖动到圆周上再单击一次,作出⊙A 的一条半径AD .如图20所示.6.选中⊙A ,单击“编辑”,在“操作类按钮”中单击“隐藏/显示”,制作一个“隐藏圆”按钮.依次选中点A 、Q ,依次单击“构造”、“以圆心和圆周上的点绘圆”,作出⊙A .选中点A 和线段AD ,依次单击“构造”、“垂线”,作出AD 边的垂线,交⊙A 于点E.图 18AC图 19AC图 207.依次选中点A 、D 、E ,依次单击“构造”、“线段”,作出△ADE .选中点P 、Q 和垂线AE 并隐藏.如图21所示.8.选中⊙A ,选中⊙A ,单击“编辑”,在“操作类按钮”中单击“隐藏/显示”,制作第二个“隐藏圆”按钮.选中点B 、D ,构造线段BD ,选中点C 、E ,构造线段CE .如图22所示.9.依次选中点A 、B 、D ,依次单击“构造”、“三角形的内部”,修改颜色为浅蓝色,用同样的方法构造△ACE 的内部,颜色为粉红色.选中点D ,修改点的颜色为浅蓝色,表示该点为可拖动的点.如图23所示.经此一步,完成作图.模型探索拖动点D ,在△ADE 旋转的过程中,△ADE 与△ABC 始终相似,且射线BD 与CE 的夹角始终为︒90.如图8～图14所示.模型应用例1.如图25,在矩形ABCD 和矩形DEFG 中,DG AB DE AD 2,2==,DG AD =.连结AE 、CG ,交于点P .（1）求CGAE的值;图 21C图22A图23A图 24图 27（2）求证:CG AE ⊥.（1）解:∵四边形ABCD 和四边形DEFG 都是矩形∴︒=∠=∠90EDG ADC ∴ADG EDG ADG ADC ∠+∠=∠+∠∴ADE CDG ∠=∠∵DGAB DE AD 2,2==∴21===CD DG AB DG AD DE ∴CDADDG DE =∴△ADE ∽△CDG∴CDADCG AE =∵DG AD =∴21===CD DG CD AD CG AE .（2）证明:由（1）可知:△ADE ∽△CDG ∴CGD AED ∠=∠∴︒=∠=∠90GDE GPE （如图27所示）∴CG AE ⊥.例2.（1）问题发现如图（1）,在△OAB 和△OCD 中,OD OC OB OA ==,,︒=∠=∠40COD AOB ,连结AC 、BD 交于点M .填空:图 25图 26①BDAC的值为_________;②AMB ∠的度数为_________.（2）类比探究如图（2）,在△OAB 和△OCD 中,︒=∠=∠90COD AOB ,︒=∠=∠30OCD OAB ,连结AC ,交BD 的延长线于点M ,请判断BDAC的值及AMB ∠的度数,并说明理由.（3）拓展延伸在（2）的条件下,将△OCD 绕点O 在平面内旋转,AC 、BD 所在直线交于点M .若7,1==OB OD ,请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长.说明 本题为2018年河南省中考数学试卷第22题.解:（1）① 1 ; ②︒40.提示 如图28所示,根据“手拉手全等模型”可知: △AOC ≌△BOD （SAS ）∴BD AC =,∴1=BDAC;如图29所示,由“8”字模型可知:︒=∠=∠40AOB AMB （OBD OAC ∠=∠）.图（1）备用图（M ）（2）3=BDAC,︒=∠90AMB .理由如下:∵︒=∠=∠90COD AOB ∴AOD COD AOD AOB +∠=∠+∠∴AOC BOD ∠=∠∵︒=∠=∠30OCD OAB ∴︒=∠=∠60ODC OBA ∴360tan =︒==OBOAOD OC ∴△AOC ∽△BOD ∴3==ODOCBD AC ,OBD OAC ∠=∠（如图30、图31所示）∴︒=∠=∠90AOB AMB .（3）32或33.提示 如图32所示,易知此时B 、D 、C 三点共线,△ABC 为直角三角形.设x BD =,则x AC 3=,2+=x BC 由勾股定理得:222AB BC AC =+∴()()()2227223=++x x （722==OB AB 解之得:3,221-==x x （不符合题意,舍去）∴32=AC ;如图33所示,易知此时B 、C 、D 三点共线,且2-=x BC 由勾股定理得:222AB BC AC =+∴()()()2227223=-+x x 解之得:2,321-==x x （不符合题意,舍去）∴33=AC ∴AC 的长为32或33.例3.在△ABC 中,α=∠=ACB CB CA ,.点P 是平面内不与点A 、C 重合的任意一点,连结AP ,将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ,连结AD 、BD 、CP .（1）观察猜想如图（1）,当︒=60α时,CPBD的值是_________,直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是_________.（2）类比探究当︒=90α时,请写出CPBD的值及直线BD 直线CP 相交所成的较小角的度数,并就图（2）的情形说明理由.（3）解决问题当︒=90α时,若点E 、F 分别是CA 、CB 的中点,点P 在直线EF 上,请直接写出点C 、P 、D 在同一直线上时CPAD的值.解:（1）1 , ︒60;提示 如图34所示,易证: △APC ≌△ADB （SAS ）图（1）图（2）图（3）图 38∴BD CP =,ABD ACP ∠=∠∴1=CPBD.由“8”字模型可知:︒=∠=∠60BAC BEC .即直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是︒60.如图35所示.（2）2=CPBD,直线BD 直线CP 相交所成的较小角的度数是︒45.理由如下:由题意可知:△ABC 和△ADP 都是等腰直角三角形∴2,45==︒=∠=∠APADAC AB DAP BAC ∴CAD DAP CAD BAC ∠+∠=∠+∠∴CAPBAD ∠=∠∴△ABD ∽△ACP （如图36所示）∴2==ACABCP BD ,ACP ABD ∠=∠∴︒=∠=∠45BAC BEC ;（3）22+或22-.分为两种情况:①当点P 在线段EF 上时设x CP =,则xCP BD 22==图 34图35图 36图37图 39易知︒=∠=∠90ADB APC x DF DB x PF PC 2,====∴()xPF DF PD 12+=+=∴()x PD AD 222+==∴()2222+=+=xxCP AD ;②当点P 在线段FE 的延长线上时,如图39所示.设y DP AP ==,则yAD 2=易知ABEF //∴︒=∠=∠45BAC PEA 可得︒=∠=∠5.22DCA DAC ∴y CD AD 2==∴()y CP 12+=∴()22122-=+=yyCPAD.综上所述,CPAD的值为22+或22-.模型练习1. 问题发现（1）如图（1）,在Rt △ABC 中,︒=∠==90,12,6ABC BC AB ,点D 、E 分别在AB 、AC 边上,且︒=∠=90,4ADE AD ,设BD 、CE 所在直线的夹角为α.填空:BD 与CE 的比值为_________,=αtan _________;拓展探究（2）将Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转,连结BD 、CE ,在旋转的过程中,（1）中的结论是否仍然成立?若成立,请仅就图（2）中的情形给出证明;若不成立,请说明理由;问题解决在Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转的过程中,当E 、C 、B 三点共线时,请直接写出点D 到EC 的距离.提示 （1）BD 、CE 所在直线的夹角为α,即α=∠A ∴2612tan ===AB BC α,24==DEAD DE ∴8=DE 由勾股定理可得:54842222=+=+=DE AD AE ∵︒=∠=∠90ABC ADE ∴BC DE //∴CEAEBD AD =∴55544===AE AD CE BD ;（2）成立.理由如下:由旋转的性质得:CAE BAD ∠=∠在Rt △ABC 中,由勾股定理得:561262222=+=+=BC AB AC ∴AEADAC AB ===55566∴△ABD ∽△ACE ∴55==AC AB CE BD ,ACE ABD ∠=∠∴α=∠=∠BAC BFC ∴2612tan tan ===∠=AB BC BAC α∴（1）中的结论仍然成立;图（1）ED CBA图（2）ED CBA备用图CBA（3）511424+或511424-提示 分为两种情况:①当点E 在BC 边上时,如图40所示,作BC DF ⊥.由前面可知,BD 、CE 所在直线的夹角（锐角）为α∴α=∠=∠BAC DBF ∴2tan tan ===∠αBFDFDBF ∴BF DF 2=,设x BF =,则xDF 2=在Rt △BDF 中,由勾股定理得:()xx x DF BF BD 522222=+=+=∵55=CE BD ∴555=CE x ,∴x CE 5=∴x x x BF BE EF x BE 412512,512-=+-=+=-=在Rt △DEF 中,由勾股定理得:222DE EF DF =+∴()()22284122=-+x x 解之得:511212,51121221+=-=x x 当511212+=x 时,0<BE ,不符合题意,舍去.∴511212-=x ,5114242-==x DF ;图 40D 图 41②当点E 在CB 的延长线上时,如图42所示.此时,124125-=--=--=x x x BF BC CE EF 在Rt △DEF 中,由勾股定理得:222DE EF DF =+∴()()22281242=-+x x 解之得:511212,51121221-=+=x x （不符合题意,舍去）∴511212+=x ,5114242+==x DF .综上所述,当E 、C 、B 三点共线时,点D 到EC 的距离为511424+或511424-.点评 利用图41可以证明α=∠=∠BAC DBF ,证明如下:∵△ABD ∽△ACE ∴ACEABD ∠=∠∴︒+∠=∠=︒+∠9090BAC ECG DBF ∴α=∠=∠BAC DBF .图 42图 41。