2014届高考数学总复习 4.3平面向量的数量积及平面向量应用举例提高分课时作业(含2013年模拟题) 新人教A版

【题组设计】2014届高考数学（人教版）总复习“提高分”课时作业 4.3平面向量的数量积及平面向量应用举例（含2013年模拟题）课时作业【考点排查表】共线与垂直1．(2013²聊城模拟)已知a ＝(2,1)，a ²b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( ) A. 5 B.10 C ．5D ．25【解析】 因(a ＋b )2＝a 2＋2a ²b ＋b 2，故5＋20＋b 2＝50，得|b |＝5. 【答案】 C2．(2012²重庆高考)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10【解析】 因为a ⊥c ，b ∥c ，所以有2x －4＝0且2y ＋4＝0，解得x ＝2，y ＝－2，即a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，所以a ＋b ＝(3,1)，|a ＋b |＝10，选B.【答案】 B3．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值和最小值分别是( )A ．42，0B ．4,2 2C ．16,0D ．4,0【解析】 由于|2a －b |2＝4|a |2＋|b |2－4a ²b ＝8－4(3cos θ－sin θ)＝8－8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，易知0≤8－8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6≤16，故|2a －b |的最大值和最小值分别为4和0. 【答案】 D4．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )A ．27B ．2C ．2 5D ．6【解析】 因为力F 是一个向量，由向量加法的平行四边形法则知F 3的大小等于以F 1、F 2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F 3|2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1|²|F 2|²cos 60°＝4＋16＋8＝28，∴|F 3|＝27.【答案】 A5．已知在△ABC 中，若A B →2＝AB →²AC →＋BA →²BC →＋CA →²CB →，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形【解析】 由AB →2－AB →²AC →＝BA →²BC →＋CA →²CB →⇒AB →²(AB →－AC →)＝BC →²(BA →－CA →)， 即AB →²CB →＝BC →²BC →， ∴AB →²BC →＋BC →²BC →＝0， ∴BC →²(AB →＋BC →)＝0， 即AC →²BC →＝0，即AC →⊥BC →， ∴△ABC 是直角三角形． 【答案】 C6．设非零向量a ＝(x,2x )，b ＝(－3x,2)，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ C ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ 【解析】 ∵a ，b 的夹角为钝角，∴a ²b ＝x ²(－3x )＋2x ²2＝－3x 2＋4x ＜0， 解得x ＜0或x ＞43，又由a ，b 共线且反向可得x ≠－13，故x 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞. 【答案】 D 二、填空题7．在边长为1的正三角形ABC 中，AB →²BC →＋BC →²CA →＋CA →²AB →的值为________． 【解析】 AB →²BC →＋BC →²CA →＋CA →²AB →＝|AB →||BC →|cos 120°＋|BC →||CA →|cos 120°＋ |CA →||AB →|²cos 120° ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32. 【答案】 －328．(2013²青岛模拟)在△ABC 中，AB ＝4，∠ABC ＝30°，D 是BC →上一点，且AD →²AB →＝AD →²AC →，则AD →²AB →＝________.【解析】 由AD →²AB →＝AD →²AC →可得AD →²(AB →－AC →)＝0，即AD →⊥CB →，故AD ＝2，∠BAD ＝60°，所以AD →²AB →＝4³2³12＝4.【答案】 49．(2012²北京高考)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →²CB →的值为________，DE →²DC →的最大值为________．【解析】 根据平面向量的数量积公式DE →²CB →＝DE →²DA →＝ |DE →|²|DA →|cos θ，由图可知， |DE →|²cos θ＝|DA →|，因此DE →²CB →＝|DA →|2＝1，DE →²DC →＝|DE →|²|DC →|cos α＝|DE →|²cos α，而|DE →|²c os α就是向量DE 在DC →边上的射影，要想让DE →²DC →最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为DC →，所以长度为1.【答案】 1,1 三、解答题10．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝7. (1)求a ，b 夹角的大小； (2)求|3a ＋b |的值．【解】 (1)设a 与b 夹角为θ，(3a －2b )2＝7,9|a |2＋4|b |2－12a ²b ＝7，而|a |＝|b |＝1，∴a ²b ＝12，∴|a ||b |cos θ＝12，即cos θ＝12又θ∈[0，π]，∴a ，b 所成的角为π3.(2)(3a ＋b )2＝9|a |2＋6a ²b ＋|b |2＝9＋3＋1＝13， ∴|3a ＋b |＝13.11．设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α＜360°)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小． 【解】 (1)证明：因为(a ＋b )²(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34＝0，故a ＋b 与a －b 垂直．(2)由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得 3|a |2＋23a ²b ＋|b |2＝|a |2－23a ²b ＋3|b |2， 所以2(|a |2－|b |2)＋43a ²b ＝0， 而|a |＝|b |，所以a ²b ＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫－12³cos α＋32³sin α＝0，即cos(α＋60°)＝0， ∴α＋60°＝k ²180°＋90°， 即α＝k ²180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α＜360°，则α＝30°或α＝210°.12．(文)已知向量a ＝(1sin x ，－1sin x )，b ＝(2，cos2x )．(1)若x ∈(0，π2]，试判断a 与b 能否平行？(2)若x ∈(0，π3]，求函数f (x )＝a²b 的最小值．【解】 (1)若a 与b 平行，则有1sin x ²cos2x ＝－1sin x ²2.因为x ∈(0，π2]，sin x ≠0，得cos2x ＝－2，这与|cos2x |≤1相矛盾，故a 与b 不能平行．(2)由于f (x )＝a²b ＝2sin x ＋－cos2x sin x ＝2－cos2xsin x＝1＋2sin 2x sin x ＝2sin x ＋1sin x，又因为x ∈(0，π3]，所以sin x ∈(0，32]，于是2sin x ＋1sin x ≥22sin x ²1sin x＝22，当2sin x ＝1sin x ，即sin x ＝22时取等号． 故函数f (x )的最小值等于2 2.(理)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4.(1)若m ²n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ²n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cosB ＝b cosC ，求函数f (A )的取值范围．【解】 (1)∵m ²n ＝1， 即3sin x 4cos x4＋c os 2x4＝1，即32sin x 2＋12 cos x 2＋12＝1， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝2²⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1＝－12.(2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C .由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B －cos B sin C ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )， ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0， ∴cos B ＝12，B ＝π3.又∵f (x )＝m ²n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.∵B ＝π3，∴0<A <2π3，π6＜A 2＋π6＜π2，12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＜1. 故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.四、选做题13.已知△OFQ 的面积为S ，且OF →²FQ →＝1，建立直角坐标系(如图)．(1)若S ＝12，|OF →|＝2，求直线FQ 的方程；(2)设|OF →|＝c (c ≥2)，S ＝34c ，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆过点Q ，求当|OQ →|取得最小值时椭圆的方程．【解】 (1)∵|OF →|＝2，∴F (2,0)，OF →＝(2,0)． 设Q (x 0，y 0)，则FQ →＝(x 0－2，y 0)． 由OF →²FQ →＝2(x 0－2)＝1，得x 0＝52.由S ＝12|OF →|²|y 0|＝|y 0|＝12，得y 0＝±12.∴Q (52，±12)．∴FQ 所在的直线方程为y ＝x －2或y ＝－x ＋2. (2)设Q (x 0，y 0)，∵|OF →|＝c (c ≥2)， ∴FQ →＝(x 0－c ，y 0)．由OF →²FQ →＝c (x 0－c )＝1，知x 0＝c ＋1c.又S ＝12c ²|y 0|＝34c ，∴y 0＝±32.∴Q (c ＋1c ，±32)，|OQ →|2＝(c ＋1c )2＋94.易知当c ＝2时，|OQ →|最小，此时Q (52，±32)．由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝4，254a 2＋94b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝10，b 2＝6.∴椭圆方程为x 210＋y 26＝1.。