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最优化方法及其matlab程序设计
最优化方法是一种利用各种技术，以提高某项工作，工程或系统
的效率为目标，并让其在某些给定基准测试中改善性能的过程。
它可
以用来提高计算机系统的性能，减少加工时间，提高生产率，等等。
Matlab是一种非常适用于最优化的程序设计语言，它拥有许多强
大的分析功能，例如数值分析、线性规划、非线性规划、二次规划、
优化算法、深度学习、图形处理和仿真等。
因此，Matlab可以帮助用
户找到最优解决方案，比如解决所谓的NP难问题，这些问题很难在
“合理”时间内找到最优解。
要在matlab中实现最优化方法，首先要定义和描述优化问题。
然后，选择合适的优化器。
一般来说，FMINCON函数可以满足大多数最优
化问题的要求，因为它可以通过求解约束和非线性问题来实现最优化。
在函数中，用户可以指定具体的约束条件、目标函数、初始解和其他
一些参数，以便更好地进行最优化。
此外，matlab中还提供了其他一些有用的优化函数，可以用于解
决更复杂的问题，包括FMINUNC、FMINBND等。
这些函数都可以实现更
高级的最优化算法，例如迭代算法、模拟退火算法、遗传算法等。
最后，用户还可以使用matlab自带的toolbox来进行最优化，例
如Optimization Toolbox。
这个工具包可以帮助用户调整参数，从而
实现最优解。
同时，它还提供了有关具体优化策略的解释，以便了解
该策略的实现方法以及它的应用范围。
总的来说，matlab可以实现各种最优化方法，无论是简单的还是
复杂的，都可以通过它找到最佳解决方案。
Matlab中的最优化问题求解方法近年来，最优化问题在各个领域中都扮演着重要的角色。
无论是在工程、经济学还是科学研究中，我们都需要找到最优解来满足特定的需求。
而Matlab作为一种强大的数值计算软件，在解决最优化问题方面有着广泛的应用。
本文将介绍一些Matlab中常用的最优化问题求解方法，并探讨其优缺点以及适用范围。
一. 无约束问题求解方法1. 最速下降法最速下降法是最简单且直观的无约束问题求解方法之一。
其基本思想是沿着梯度的反方向迭代求解，直到达到所需的精度要求。
然而，最速下降法的收敛速度通常很慢，特别是在局部极小值点附近。
2. 共轭梯度法共轭梯度法是一种改进的最速下降法。
它利用了无约束问题的二次函数特性，通过选择一组相互共轭的搜索方向来提高收敛速度。
相比于最速下降法，共轭梯度法的收敛速度更快，尤其适用于大规模优化问题。
3. 牛顿法牛顿法是一种基于二阶导数信息的优化方法。
它通过构建并求解特定的二次逼近模型来求解无约束问题。
然而，牛顿法在高维问题中的计算复杂度较高，并且需要矩阵求逆运算，可能导致数值不稳定。
二. 线性规划问题求解方法1. 单纯形法单纯形法是一种经典的线性规划问题求解方法。
它通过在可行域内进行边界移动来寻找最优解。
然而，当问题规模较大时，单纯形法的计算复杂度会大幅增加，导致求解效率低下。
2. 内点法内点法是一种改进的线性规划问题求解方法。
与单纯形法不同，内点法通过将问题转化为一系列等价的非线性问题来求解。
内点法的优势在于其计算复杂度相对较低，尤其适用于大规模线性规划问题。
三. 非线性规划问题求解方法1. 信赖域算法信赖域算法是一种常用的非线性规划问题求解方法。
它通过构建局部模型，并通过逐步调整信赖域半径来寻找最优解。
信赖域算法既考虑了收敛速度，又保持了数值稳定性。
2. 遗传算法遗传算法是一种基于自然进化过程的优化算法。
它模拟遗传操作，并通过选择、交叉和变异等操作来搜索最优解。
遗传算法的优势在于其适用于复杂的非线性规划问题，但可能需要较长的计算时间。
单目标的最优化问题是指在给定约束下寻找某一目标函数的最小值或最大值。
这样的问题在工程、经济学、金融等领域都有广泛的应用。
而粒子裙算法（Particle Swarm Optimization, PSO）是一种模拟鸟裙觅食行为的裙体智能优化算法，能够有效地解决单目标的最优化问题。
1. 粒子裙算法的基本原理粒子裙算法是由Kennedy和Eberhart在1995年提出的，其基本原理源自对鸟裙觅食行为的模拟。
在粒子裙算法中，候选解（也称为粒子）在解空间中移动，通过个体最优和裙体最优来引导搜索方向。
每个粒子的位置和速度都受到其自身历史最优位置和裙体历史最优位置的影响，通过不断迭代更新粒子的位置和速度，最终找到最优解。
2. 粒子裙算法的核心公式粒子裙算法的核心公式包括位置更新公式和速度更新公式。
位置更新公式用于更新粒子的位置，速度更新公式用于更新粒子的速度。
这两个公式是粒子裙算法的关键，通过不断迭代更新粒子的位置和速度，最终找到最优解。
3. MATLAB实现粒子裙算法MATLAB是一种功能强大的数学建模软件，广泛应用于科学计算、工程仿真、数据分析等领域。
在MATLAB中实现粒子裙算法可以借助其丰富的工具箱和编程语言，快速高效地完成算法的编写和调试。
通过编写适当的函数和脚本，可以实现对单目标的最优化问题的求解。
4. 粒子裙算法的应用粒子裙算法在实际问题中具有广泛的应用价值。
在工程优化中，可以用粒子裙算法来求解结构的最优设计，优化工艺流程等问题；在金融领域，可以利用粒子裙算法进行投资组合优化、风险管理等问题的求解；在电力系统中，可以采用粒子裙算法进行电网规划、调度优化等工作。
粒子裙算法的应用领域涉及了多个学科领域，对于解决复杂的实际问题具有重要的意义。
5. 粒子裙算法的优势和不足粒子裙算法作为一种裙体智能优化算法，具有较强的全局寻优能力和较快的收敛速度，能够处理高维、非线性、不光滑等复杂优化问题。
但与之相对应的，粒子裙算法也存在着一些不足，比如对参数的选取较为敏感、易陷入局部最优等问题。
工程最优化即最大（小）值问题1、无约束（无条件）的最优化（1）使用fminunc函数（un-condition）（2）可用于任意函数求最小值（3）将最大、最小问题统一为求最小值问题(即只能求最小值)。
如求最大值，而变成求最小值问题，最后即为函数的最大值。
）(前后都是函数y两次取反，而自变量X不要取反)（4）使用格式x=fminunc(‘程序名’, x0)左边的结果还可以写成[x,fval] 或[x,fval,exitflag] 或必须预先把函数存入到一个程序中,（所编的程序一定是只有一个参数，则当为多元函数时，则x(1),x(2),x(3)…分别代表每个自变量）其中fval为函数的最小值，x0为自变量初始向量，一般不影响结果（如有n个变量（即n元函数），则x0中就有n个元素）exitflag为退出标志，当它大于0时表示函数收敛于x,当它等于0时表示迭代次数超过，当它小于0时表示函数不收敛(所以解完题后还必须判断exitflag的值是否>0，以决定结果的正误/有效性)函数存在最值的条件：在闭区间连续，存在导数等（说明有很多函数不存在最值:有大、有小、有大小、都无）最后一定要看看exitflag．．．．．．．．的值（判断结果是否有效）---所以函数可以用内联函数inline(‘表达式’)(程序中的.* ./ .^可要可不要，一般还是不要吧)（5）y= x2+4x+5 的最小值（结果-2，1）其函数形式为：---可以@, 内联函数inline(‘x2+4x+5’),function f=a1(x)f=x^2+4*x+5;------最好不要.* .^ ./因为不是向量（一批数）的运算，初始x0就是变量的个数（调用该程序时，所提供的每个变量的初始值）函数名：’zhc1’或 @zhc1 或 inline(‘…’)>> [x,f,g]=fminunc(inline('x^2+4*x+5'),1)还有学生f=y=x^2+4*x+5;??????>> edit>> [x,fval,exitflag]=fminunc('max1',1)Warning: Gradient must be provided for trust-region method;using line-search method instead.> In fminunc at 241Optimization terminated: relative infinity-norm of gradient less than options.TolFun.x =-2.0000fval =1.0000exitflag =1>> [a,b,c]=fminunc('max1',1)Warning: Gradient must be provided for trust-region method;using line-search method instead.> In fminunc at 241Optimization terminated: relative infinity-norm of gradient less than options.TolFun.a = -2.0000b = 1.0000c = 1>> [x,fval,exitflag]=fminunc('max1',0)>> [x,fval,exitflag]=fminunc('max1',5)>> [x,fval,exitflag]=fminunc(@max1,5)>> [x,fval,exitflag]=fminunc(inline('x^2+4*x+5'),1)>> [x,fval,exitflag]=fminunc(@(x)x^2+4*x+5,1)>> a=@(x)x^2+4*x+5;>> [x,fval,exitflag]=fminunc(a,1)（6）例如：求y=1+2x-x2的最大值（结果为：x=1,y=-(-2) ）---X不要取反，两次都是函数取反其函数形式为：function f=a1(x) 命令形式[x,y,z]=fminunc('a1',3)f=-(1+2*x-x^2) 或负号展开—最后再取反------需两次取反>> a1(1)ans = -2>> a1(0)ans = -1(7)求函数f(x,y)=e2x(x+y2+2y)的最小值其函数形式为：function f=a1(r)--fmin所要求的程序一定是一个参数x=r(1);y=r(2);f=exp(2*x)*(x+y^2+2*y);----有学生写成f(x,y)=……或function f=a2(a) x=a(1);y=a(2);f= 或f中直接用x(1),x(2)命令为：[x,fval,exitflag]=fminunc('a1',[2,1])—即a1调用时的参数x =0.5000 -1.0000 ---fval =-1.3591 （即-e/2）exitflag =1此题的x0也可为[1，1]，[0，1]，[1，0]，[0，0]，但不能用[1，2]，如出问题，可尝试换一个初值----x0建议最好用[1，1，1]此题说明可对任意函数、任意n元求最小值(此题为二元，含exp函数)n元，则x视作一个向量，它的每个元素分别代表某一个自变量（可以a=x(1);b=x(2);…..）结果x也是一个向量，每个元素分别代表每个自变量此题不存在最大值。
一、引言我们需要明确什么是等式约束最优化问题。
在实际应用中，经常会遇到这样的问题：在满足一定的条件约束下，寻找一个使得某个目标函数达到最优值的解。
而等式约束最优化问题就是在满足一系列等式约束条件的前提下，求解出目标函数的最优值和对应的解向量。
在数学领域，等式约束最优化问题有着重要的理论和实际意义，对于工程、经济、管理等领域都有着广泛的应用。
二、问题描述一个典型的等式约束最优化问题可以用如下的数学形式来描述：minimize f(x)subject to:g(x) = 0其中，f(x)是目标函数，x是自变量向量，g(x)是等式约束条件函数。
三、外点罚函数法外点罚函数法是一种常用的方法，用于求解等式约束最优化问题。
它的基本思想是通过对目标函数和约束条件进行适当的变换，将等式约束问题转化为无约束问题。
具体地，外点罚函数法通过引入罚函数，将约束条件融入到目标函数中，构造出一个新的优化问题。
然后将这个新问题求解为原问题的近似解。
在优化的过程中，罚函数的惩罚项会惩罚那些违反约束条件的解，从而使得优化过程能够逼近满足约束条件的最优解。
四、matlab中的外点罚函数法求解在matlab中，可以利用现成的优化工具箱来求解等式约束最优化问题。
其中，fmincon函数是用来求解带有等式约束的最优化问题的。
它允许用户自定义目标函数和约束条件函数，并指定优化的初始点和其他参数。
通过在fmincon函数中调用外点罚函数法求解等式约束最优化问题，可以得到目标函数的最优值和对应的解向量。
五、实例分析为了更加直观地理解matlab中外点罚函数法的应用，我们来举一个简单的实例。
假设我们要求解如下的等式约束最优化问题：minimize f(x) = x1^2 + x2^2subject to:g(x) = x1 + x2 - 1 = 0我们需要将目标函数和约束条件转化成matlab可以识别的形式。
我们可以利用fmincon函数来求解这个最优化问题。
matlab求解线性规划MATLAB是一个强大的工具，可以用于求解线性规划问题。
线性规划是一种最优化问题，目标是在满足一系列线性约束条件下，找到一个使目标函数取得最大或最小值的解。
在MATLAB中，可以使用线性规划工具箱来求解线性规划问题。
线性规划工具箱提供了一些函数，如linprog，intlinprog和quadprog，这些函数可以用于求解线性规划问题。
解线性规划问题的一般步骤如下：1. 定义目标函数。
目标函数是要优化的函数，可以是线性函数。
例如，如果我们要最小化一个函数f(x)=c1x1+c2x2+...+cnxn，则可以将目标函数表示为向量c=[c1,c2,...,cn]的内积与向量x=[x1,x2,...,xn]。
2. 定义约束条件。
约束条件是对决策变量的限制条件。
一般情况下，约束条件可以表示为Ax<=b，其中A是一个矩阵，x是决策变量向量，b是一个向量。
例如，如果我们有两个约束条件2x1+x2<=10和x1+3x2<=12，则可以将约束条件表示为矩阵A=[2,1;1,3]和向量b=[10;12]。
3. 调用线性规划函数。
在MATLAB中，可以使用linprog函数来求解线性规划问题。
linprog函数有几个输入参数，包括目标函数系数向量c，约束条件矩阵A和向量b，以及可选参数lb和ub。
参数lb和ub是可选参数，用于指定决策变量的下界和上界。
例如，要求解上述线性规划问题，可以调用linprog函数如下：x = linprog(c, A, b)函数linprog返回一个向量x，其中包含目标函数取得最小值时的决策变量的取值。
4. 分析结果。
一旦线性规划问题被求解，我们可以通过检查目标函数的值和决策变量的取值来分析结果。
例如，目标函数的值就是目标函数取得最小值时的值，其中决策变量的取值可以用x变量表示。
总结而言，MATLAB是一个功能强大的工具，可以用于求解线性规划问题。
MATLAB在最优化模型求解中的应用MATLAB是一种功能强大的数学软件，广泛应用于各种科学和工程领域。
在最优化模型求解方面，MATLAB可以提供许多工具和函数来解决不同类型的最优化问题。
下面将介绍一些MATLAB在最优化模型求解中的常见应用。
1. 非线性规划（Nonlinear Programming）非线性规划是一类常见的最优化问题，它在许多领域中都有应用。
MATLAB中提供了许多函数和工具箱来求解非线性规划问题，如"fmincon"函数和"Optimization Toolbox"工具箱。
这些工具可以通过定义目标函数、约束条件、变量范围等来求解非线性规划模型，并自动选择合适的算法进行求解。
2. 线性规划（Linear Programming）线性规划是一类特殊的最优化问题，其目标函数和约束条件都是线性的。
MATLAB中的"linprog"函数可以用于求解线性规划问题。
通过定义目标函数的系数矩阵、约束条件的系数矩阵和值等，"linprog"函数可以得到线性规划问题的最优解。
3. 二次规划（Quadratic Programming）二次规划是一种最优化问题，其目标函数是一个二次函数，约束条件可以是线性的或非线性的。
MATLAB中的"quadprog"函数可以用于求解二次规划问题。
"quadprog"函数可以通过定义目标函数的二次项系数矩阵、线性项系数矩阵、约束条件的系数矩阵和值等来求解二次规划问题。
4. 整数规划（Integer Programming）整数规划是一种最优化问题，其变量需要取整数值。
MATLAB中的"intlinprog"函数可以用于求解整数规划问题。
"intlinprog"函数可以通过定义目标函数、约束条件、变量范围和整数变量等来求解整数规划问题。
MATLAB中的优化算法及其使用方法1. 引言在科学与工程领域，优化问题是一类常见且重要的问题。
它涉及到在给定约束条件下，寻找最优解或使目标函数达到最小或最大值的问题。
在解决这类问题时，MATLAB是一个非常强大且常用的工具，它提供了多种优化算法和函数。
本文将介绍MATLAB中的部分常见优化算法及其使用方法。
2. 优化问题的形式化表示在应用优化算法之前，首先需要将优化问题进行形式化表示。
假设我们要解决一个优化问题，其中有一个目标函数f(x)和一组约束条件h(x) = 0和g(x) ≤ 0。
这里，x是一个n维向量，表示我们要优化的参数。
3. 无约束优化算法无约束优化算法用于解决没有约束条件的优化问题。
MATLAB中提供了多个无约束优化算法，常用的有fminunc和fminsearch。
3.1 fminunc函数fminunc函数是MATLAB中用于寻找无约束优化问题最小值的函数。
它基于梯度下降算法，通过迭代优化来逼近最优解。
使用fminunc函数，我们需要提供目标函数和初始解作为输入参数，并指定其他可选参数，如最大迭代次数和精度要求。
3.2 fminsearch函数fminsearch函数也是用于无约束优化问题的函数，但与fminunc不同的是，它使用了模拟退火算法来搜索最优解。
使用fminsearch函数，我们需要提供目标函数和初始解作为输入参数，并指定其他可选参数，如最大迭代次数和收敛容忍度。
4. 约束优化算法约束优化算法用于解决带有约束条件的优化问题。
MATLAB中提供了多个约束优化算法，常用的有fmincon和ga。
4.1 fmincon函数fmincon函数是MATLAB中用于求解约束优化问题的函数。
它基于拉格朗日乘子法，并使用内点法等技术来求解约束优化问题。
使用fmincon函数，我们需要提供目标函数、约束条件、初始解和约束类型等作为输入参数，并指定其他可选参数，如最大迭代次数和精度要求。
在企业生产和日常生活中，人们总是希望用最少的人力、物力、财力和时间去办更多的事，这就是所谓的最优化问题。
线性规划方法是解决最优化问题的有效方法之一，因此受到人们的普遍关注。
在企业生产过程中，生产计划安排直接影响到企业的经济效益，而生产计划本质就是在目标一定时，对于人力、时间和物质资源的优化配置问题。
1。
综述了最优化方法，归纳了最优化闯题中线性规划和非线性规划模型的解法，并给出了相应的matlab求解代码。
2。
提出了基于信息增益率的用电客户指标选择方法，根据信息增益率的大小选择对分类有贡献的指标。
关键词：Matlab，最优化方法，应用举例In enterprise production and daily life, people always hope with the least amount of human, material and financial resources and time to do more things, this is the so-called optimization problem. Linear programming method is to solve the optimal problem, so one of the effective method by people's attention. In enterprise production process, production plan directly affect the enterprise economic benefit, but in essence is the production plan for the target certain human, time and material resources optimization allocation problem.1·Studying the optimization,summing up the solutions ofoptimization problem for both linear and non-linear programming model and proposing the matlabcode．2·Proposing a new way based on information-gain-ratio to choose the powercustomer indices,selecting the indices which are more contributive to theclassification,in order to avoid over learning。
Matlab 在最优化问题中的应用优化理论是一门实践性很强的学科，广泛应用于生产管理、军事指挥和科学试验等各种领域，Matlab 优化工具箱提供了对各种优化问题的一个完整的解决方案。
在数学上，所谓优化问题，就是求解如下形式的最优解： Min fun (x) Sub. to [C.E.] [B.C.] 其中fun (x)称为目标函数，“Sub. to ”为“subject to ”的缩写，由其引导的部分称为约束条件。
[C.E.]表示Condition Equations ，即条件方程，可为等式方程，也可为不等式方程。
[B.C.]表示Boundary Conditions ，即边界条件，用来约束自变量的求解域，以lb ≤x ≤ub 的形式给出。
当[C.E.]为空时，此优化问题称为自由优化或无约束优化问题；当[C.E.]不空时，称为有约束优化或强约束优化问题。
在优化问题中，根据变量、目标函数和约束函数的不同，可以将问题大致分为： ·线性优化 目标函数和约束函数均为线性函数。
·二次优化 目标函数为二次函数，而约束条件为线性方程。
线性优化和二次优化统称为简单优化。
·非线性优化 目标函数为非二次的非线性函数，或约束条件为非线性方程。
·多目标优化 目标函数并非一个时，称为多目标优化问题。
本章将对以上几类优化问题在Matlab 中的实现作比较详细的讲解。
另外还将介绍两个利用优化方法解非线性方程的函数。
通过本章的介绍，用户可以不必掌握艰涩的各种优化算法而轻易地解决一些常用的最优化问题了。
10.1 线性规划问题线性规划问题即目标函数和约束条件均为线性函数的问题。
其标准形式为： min C ’x sub. To Ax = b x ≥0其中C, b, 0∈R n ，A ∈R m ⨯n ，均为数值矩阵，x ∈R n 。
若目标函数为：max C ’x ，则转换成：min –C ’x 。
标准形式的线性规划问题简称为LP （Linear Programming ）问题。
其它形式的线性规划问题经过适当的变换均可以化为此种标准形。
线性规划问题虽然简单，但在工农业及其他生产部门中应用十分广泛。
在Matlab 中，线性规划问题由linprog 函数求解。
函数：linprog %求解如下形式的线性规划问题：xfTxminsuch that b x A ≤⋅ beq x Aeq =⋅ ub x lb ≤≤其中f, x, b, beq, lb, ub 为向量，A, Aeq 为矩阵。
格式：x = linprog(f,A,b)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) [x,fval] = linprog(...)[x,fval,exitflag] = linprog(...)[x,fval,exitflag,output] = linprog(...)[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)说明：x = linprog(f,A,b) 求解问题 min f ’*x ，约束条件为A*x<=b 。
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq) 求解上面的问题，但增加等式约束，即Aeq*x = beq 。
若没有不等式存在，则令A = [ ]、b = [ ]。
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 定义设计变量x 的下界lb 和上界ub ，使得x 始终在该范围内。
若没有等式约束，令Aeq = [ ]、beq = [ ]。
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) 设置初值为x0。
该选项只适用于中型问题，默认时大型算法将忽略初值。
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) 用options 指定的优化参数进行最小化。
[x,fval] = linprog(...) 返回解x 处的目标函数值fval 。
[x,fval,exitflag] = linprog(...) 返回exitflag 值，描述函数计算的退出条件。
[x,fval,exitflag,output] = linprog(...) 返回包含优化信息的输出变量output 。
[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...) 将解x 处的Lagrange 乘子返回到lambda 参数中。
exitflag 参数描述退出条件：·>0 表示目标函数收敛于解x 处；·=0 表示已经达到函数评价或迭代的最大次数； ·<0 表示目标函数不收敛。
output 参数该参数包含下列优化信息：·output .iterations 迭代次数；·output .cgiterations PCG 迭代次数(只适用于大型规划问题)； ·output .algorithm 所采用的算法。
lambda 参数该参数是解x 处的Lagrange 乘子。
它有以下一些属性： ·lambda.lower —lambda 的下界； ·lambda.upper —lambda 的上界；·lambda.ineqlin —lambda 的线性不等式； ·lambda.eqlin —lambda 的线性等式。
例10-1 求解下列优化问题：min 321645)(x x x x f ---=sub.to 20321≤+-x x x42423321≤++x x x302321≤+x x3210,0,0x x x ≤≤≤解：在Matlab 命令窗口键入： >> f=[-5;-4;-6];>> A=[1 -1 1;3 2 4;3 2 0]; >> b=[20;42;30]; >> lb=zeros(3,1);>> [x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,[],[],lb) Optimization terminated successfully. x =0.0000 15.00003.0000 fval =-78.0000 exitflag = 1 output =iterations: 6 cgiterations: 0algorithm: 'lipsol' lambda =ineqlin: [3x1 double] eqlin: [0x1 double] upper: [3x1 double] lower: [3x1 double] >> lambda.ineqlin ans =0.0000 1.5000 0.5000>> lambda.lower ans =1.0000 0.0000 0.0000lambda 向量中的非零元素表示哪些约束是主动约束。
本例中，第2个和第3个不等式约束，第1个下界约束是主动约束（如这些解位于约束边界上）。
exitflag = 1表示过程正常收敛于解x 处。
例10-2 生产决策问题。
某厂生产甲乙两种产品，已知制成一吨产品甲需资源A 3吨，资源B 4m 3；制成一吨产品乙需资源A 2吨，资源B 6 m 3；资源C 7个单位。
若一吨产品甲和乙的经济价值分别为7万元和5万元，三种资源的限制量分别为90吨、200 m 3和210个单位，试决定应生产这两种产品各多少吨才能使创造的总经济价值最高？解：令生产产品甲的数量为x 1，生产产品甲的数量为x 2。
由题意可以建立下面的数学模型：2157max x x z +=sub. to 902321≤+x x2006421≤+x x21072≤x0,021≥≥x x该模型中要求目标函数最大化，需要按照Matlab 的要求进行转换，即目标函数为 2157min x x z --= 在Matlab 中实现： >> f=[-7;-5];>> A=[3 2;4 6;0 7]; >> b=[90;200;210]; >> lb=[0;0];>> [x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,[],[],lb) Optimization terminated successfully. x =14.0000 24.0000 fval =-218.0000 exitflag =1 output =iterations: 5 cgiterations: 0algorithm: 'lipsol' lambda =ineqlin: [3x1 double] eqlin: [0x1 double] upper: [2x1 double] lower: [2x1 double]由上可知，生产甲种产品14吨、乙种产品24吨可使创造的总经济价值最高为218万元。
exitflag = 1表示过程正常收敛于解x 处。
例10-3 厂址选择问题。
考虑A 、B 、C 三地，每地都出产一定数量的原料也消耗一定数量的产品（见下表）。
已知制成每吨产品需3吨原料，各地之间的距离为：A —B ：150km ，A —C ：100km ，B —C ：200km 。
假定每万吨原料运输1km 的运价是5000元，每万吨产品运输1km 的运价是6000元。
由于地区条件的差异，在不同地点设厂的生产费用也不同。
问究竟在哪些地方设厂，规模多大，才能使总费用最小？另外，由于其它条件限制，在B 处建厂的规模（生产的产品数量）不能超过5万吨。
ij x ij y 吨），i ，j = 1，2，3（分别对应A 、B 、C 三地）。
根据题意，可以建立问题的数学模型（其中目标函数包括原料运输费、产品运输费和生产费用（万元））：min 21121132233113211221024015010010050507575y y y x x x x x x z ++++++++=323122220160120y y y +++sub.to 2033312113121211≤--+++x x x x y y 1633322321122221≤-++-+x x x x y y 2433323123133231≤++--+x x x x y y7312111=++y y y 13322212=++y y y52221≤+y yji j i x ij ≠=≥;3,2,1,,02,1;3,2,1,0==≥j i y ij在Matlab 中实现：>> f=[75;75;50;50;100;100;150;240;210;120;160;220]; >> A=[1 -1 1 -1 0 0 3 3 0 0 0 0 -1 1 0 0 1 -1 0 0 3 3 0 0 0 0 -1 1 -1 1 0 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0]; >> b=[20;16;24;5];>> Aeq=[0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1]; >> beq=[7;13]; >> lb=zeros(12,1);>> [x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb) Optimization terminated successfully. x =0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 7.0000 0.0000 0.0000 5.0000 0.0000 8.0000 fval =3.4850e+003 exitflag = 1 output =iterations: 8 cgiterations: 0algorithm: 'lipsol' lambda =ineqlin: [4x1 double] eqlin: [2x1 double] upper: [12x1 double] lower: [12x1 double]因此，要使总费用最小，需要B 地向A 地运送1万吨原料，A 、B 、C 三地的建厂规模分别为7万吨、5万吨、8万吨。
