山东省临沂市2013届高三5月高考模拟 理科数学 Word版含答案
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2013年高考模拟试题理科数学2013.5本试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分。
考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上．2．第1卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数3i 12i+（i 是虚数单位）的实部是（A ）25 （B ）25- （C ）15 （D ）15- 2．集合{}{}32,log ,,,M a N a b ==若{}1M N = ，则M ∪N =（A ）{}0,1,2 （B ）{}0,1,3 （C ）{}0,2,3 （D ）{}1,2,3 3．某商品的销售量y （件）与销售价格x （元/件）存在线性相关 关系，根据一组样本数据(,)(1,2,)i i x y i n =…,，用最小二乘法建立的回归方程为ˆ10200,yx =-+则下列结论正确的是 （A ）y 与x 具有正的线性相关关系（B ）若r 表示变量y 与x 之间的线性相关系数，则10r =- （C ）当销售价格为10元时，销售量为100件（D ）当销售价格为10元时，销售量为100件左右4．平面向量a 与b 的夹角为60°，(2,0),1,==a b 则2+=a b （A（B） （C ）4 （D ）12 5．执行如图所示的程序框图，输出的结果是 （A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）14 6．函数sin e()xy x =-π≤≤π的大致图象为7．某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆）， 则该几何体的表面积为 （A ）9214+π （B ）8214+π （C ）9224+π （D ）8224+π8．已知函数()sin()(0)6f x x ωω=+π＞的最小正周期为4π，则 （A ）函数()f x 的图象关于点（,03π）对称 （B ）函数()f x 的图象关于直线3x =π对称 （C ）函数()f x 的图象向右平移3π个单位后，图象关于原点对称（D ）函数()f x 在区间(0,)π内单调递增9．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=＞＞与抛物线22()y px p =＞0相交于A,B 两点，公共弦AB 恰好过它们的公共焦点F ，则双曲线C 的离心率为 （A（B）1 （C） （D）2+10．若集合{}{}2540;1,A x x x B x x a =-+=-＜＜则“(2,3)a ∈”是“B A ⊆”的 （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件11．若函数1()e (0,)axf x a b b=-＞＞0的图象在0x =处的切线与圆221x y +=相切，则a b +的最大值是（A ）4 （B）（C ）2 （D12．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜ 时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 取值范围是（A ）10,5,5+∞ （]（） （B ）10,[5,5+∞ （））（C ）11,]5,775 （（） （D ）11,[5,775（））(A) (B) (C) (D)第7题图正视图2013年高考模拟试题理科数学2013.5第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填写在答题纸给定的横线上.13．若tan()2α-=π，则sin 2α= . 14．某地政府调查了工薪阶层1000人的月工资收入，并把调查结果画成如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度，要用分层抽样方法从调查的1000人中抽出100人作电话询访，则30,35]（（百元）月工资收入段应抽出 人. 15．已知奇函数3(0),()()(0),x a x f x g x x ⎧+=⎨⎩≥＜则(2)g -的值为 .16．在区间[1,1]-上任取两数m 和n ，则关于x 的方程220x mx n ++=有两不相等实根的概率为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知4A =π，sin()sin()44b Cc B a ---=ππ. （Ⅰ）求B 和C ；（Ⅱ）若a =ABC 的面积.18．（本小题满分12分）某校50名学生参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：根据上表信息解答以下问题：（Ⅰ）从50名学生中任选两人，求两人答对题目个数之和为4或5的概率；（Ⅱ）从50名学生中任选两人，用X 表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列及数学期望EX .19．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足113,3n n n a a a p +==+⋅（*,n p ∈N 为常数），123,6,a a a +成等差数列.（Ⅰ）求p 的值及数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足2n n n b a =，证明：49n b ≤.20．（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD 中，AB =2AD =2，O 为CD （Ⅰ）求证：平面AOD ⊥ABCO ；（Ⅱ）求直线BC 与平面ABD 所成角的正弦值.21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22x a C 上一点N 到点Q （0，3）的距离最大值为4，过点M （3,0）的直线交椭圆C 于点A 、B. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当AB 数t 的取值范围.22．（本小题满分14分）已知函数21()eln ,()ln 1,()2f x xg x x xh x x ==--=. （Ⅰ）求函数()g x 的极大值.（Ⅱ）求证：存在0(1,)x ∈+∞，使01()()2g x g =；（Ⅲ）对于函数()f x 与()h x 定义域内的任意实数x ，若存在常数k,b,使得()f x kx b +≤和()h x kx b +≥都成立，则称直线y kx b =+为函数()f x 与()h x 的分界线.试探究函数()f x 与()h x 是否存在“分界线”？若存在，请给予证明，并求出k ,b 的值；若不存在，请说明理由.2013年高考模拟试题数学试题（理）参考答案及评分标准 2013.5说明：一、本解答只给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准酌情赋分.二、当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：（每小题5分，满分60分）1.(B)2.(D)3.(D)4.(B)5.(C)6.(D)7.(A)8.(C)9.(B) 10.(A) 11.(D) 12.(A) 二、填空题：（每小题4分，满分16分） 13. 45-14. 15 15.-8 16. 14三、解答题：17. 解：（Ⅰ）由sin()sin(),44ππ---=C b c B a 用正弦定理得 sin sin()sin sin()sin .44ππ---=C C B B A ……………………（1分）∴sin sin(cos sin )sin (cos )22222---=C C C B B B …………………………………（2分） 即sin cos cos sin 1,-=C C B B∴sin() 1.-=C B ………………………………………………………（3分） ∵30,4＜＜π，C B∴33,44π＜＜π--C B ………………………………………………（4分）∴2π-=C B .…………………………………………………………（5分） 又4A =π，∴34π+=C B ，解得5,.88ππ==C B …………………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）5,88ππ==C B ，由正弦定理，得5sin sin 584sin .sin 8sin 4a B b A ===πππ………………………………（8分） ∴△A B C 的面积115sin 4sin sin 2288ππ==⨯C S ab ……………（9分）5s i n s i n 2c o s s i n8888==ππππ2.4==π……………………………………（12分）18．解（Ⅰ）记“两人答对题目个数之和为4或5”为事件A ，则211112010152015250()C C C C C P A C ++=………………………………………（3分） 1901503001282549245++==⨯ ，…………………………………（5分） 即两人答对题目个数之和为4或5的概率为128245……………………（6分）（Ⅱ）依题意可知X 的可能取值分别为0，1，2，3.则222251020152503502(0),12257C C C C P X C +++====………………………（7分） 1111115101020201525055022(1),122549C C C C C C P X C ++====……………………（8分） 1111520101525025010(2),122549C C C C P X C +====………………………………（9分） 11515250753(3).122549C C P X C ====…………………………………………（10分） 从而X…………（11分）X 的数学期望0123.749494949EX =⨯+⨯+⨯+⨯=……………（12分） 19．解：（Ⅰ）由113,3,nn n a a a p +==+⋅得22333,9312.a p a a p p =+=+=+ ∵123,6,a a a +成等差数列， ∴1322(6),a a a +=+即33122(336),p p ++=++得 2.p =………………………………………（2分）依题意知，123,nn n a a +=+⨯ 当2n ≥时，12123,a a -=⨯23223,a a -=⨯…1123.n n n a a ---=⨯相加得12112(333),n n a a --=+++…∴113(13)233,13n n n a a -⨯--=⨯=--∴3(2).nn a n =≥……………………………………………………………（4分） 又13a =适合上式， ………………………………………………………（5分） 故3.n n a =……………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）证明：∵3,nn a =∴2.3n n n b =∵222*111(1)221().333n n n n n n n n n b b n ++++-++-=-=∈N …………………（8分）若22210,n n -++＜则12n +＞即当2n ≥时，有1.n n b b +＜…………………………………………………（10分） 又因为1214,,39b b ==………………………………………………………（11分） 故4.9n b ≤……………………………………………………………………（12分）（Ⅱ）法二：要证24,39n n n b =≤只要证2439nn ⨯≥.…………………………………………………………（7分）下面用数学归纳法证明：①当1n =时，左边=12，右边=9，不等式成立；当2n =时，左边=36，右边=36，不等式成立.…………………………（8分）②假设当*(2)n k k k=∈N 且≥时，2439k k ⨯≥成立. …………………（9分） 则当1n k =+时，左边=4×3k +1=3×4×3k ≥3×9k 2， 要证3×9k 2≥9（k +1）2，只要正3k 2≥（k +1）2，即证2k 2-2k -1≥0.…………………………………………………………（10分） 而当k 12+﹥即*k ∈N 且2k ≥时，上述不等式成立.………………（11分） 由①②可知，对任意*n ∈N ，所证不等式成立.…………………………（12分） 20．（Ⅰ）∵在矩形ABCD 中，AB =2AD =2，O 为CD 中点， ∴△AOD ，△BOC 为等腰直角三角形，∴∠AOB =90º,即OB ⊥OA.………………………………………………（1分） 取AO 中点H ，连结DH ，BH ，则OH =DH=2， 在Rt △BOH 中，BH 2=BO 2+OH 2=52, 在△BHD 中，DH 2+BH 2=25(3,22+=又DB 2=3， ∴DH 2+BH 2=DB 2，∴DH ⊥BH .…………………………………………（2分）又DH ⊥OA , OA ∩BH=H ……………………………………………（3分） ∴DH ⊥面ABCO ，……………………………………………………（4分） 而D H ∈平面AOD ，…………………………………………………（5分） ∴平面AOD ⊥平面AB CO . …………………………………………（6分） （Ⅱ）解：分别以直线OA ，OB 为x 轴和y 轴，O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B，A，(22D，(,0)22C -.∴((),(,0).2222AB AD BC ==-=-- ……（7分） 设平面ABD 的一个法向量为(,,),x y z =n由0,0,AB AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n得0,0,22x z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 即,,x y x z ==令1,x =则1y z =-，取(1,1,1).=n ………………………………………………………………（9分） 设α为直线BC 与平面ABD 所成的角，则sin 3BC BC α⋅===⋅n n………………………………………（11分）即直线BC 与平面ABD所成角的正弦值为3………………………（12分） 21．解：（Ⅰ）∵2222223,4c a b e a a -=== ∴224,a b =…………………………（1分） 则椭圆方程为22221,4x y b b+=即22244.x y b +=设(,),N x y 则2)3)N Q =……………………（2分）== 当1y =-时，NQ 有最大值为4,=…………………………（3分）解得21,b =∴24a =，椭圆方程是2214x y +=……………………（4分）（Ⅱ）设1122(,),(,),(,),A x y B x y P x y AB 方程为(3),y k x =-由22(3),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 整理得2222(14)243640k x k x k +-+-=.………………………………（5分）由24222416(91)(14)0k k k k ∆=--+＞，得215k ＜.2212122224364,.1414k k x x x x k k -+=⋅=++………………………………………（6分） ∴1212(,)(,),OA OB x x y y t x y +=++=则2122124()(14)k x x x t t k =+=+, []12122116()()6.(14)k y y y k x x k t t t k -=+=+-=+………………………（7分）由点P 在椭圆上，得222222222(24)1444,(14)(14)k k t k t k +=++化简得22236(14)k t k =+①………………………………………………（8分）又由12AB x =-即221212(1)()43,k x x x x ⎡⎤++-⎣⎦＜将12x x +，12x x 代入得2422222244(364)(1)3,(14)14k k k k k ⎡⎤-+-⎢⎥++⎣⎦＜…………………………………（9分） 化简，得22(81)(1613)0,k k -+＞则221810,8k k -＞＞,………………………………………………………（10分） ∴21185k ＜＜②由①，得22223699,1414k t k k ==-++联立②，解得234,t ＜＜∴2t -＜＜或2.t ＜………………（12分）22．解：（Ⅰ）11()1(0).xg x x x x-'=-=＞……………………………………（1分） 令()0,g x '＞解得01;x ＜＜令()0,g x '＜解得1x ＞.……………………………………………………（2分） ∴函数()g x 在（0,1）内单调递增，在(1,)+∞上单调递减. ……………（3分） 所以()g x 的极大值为(1) 2.g =- …………………………………………（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知()g x 在（0,1）内单调递增，在(1,)+∞上单调递减，令1()()()2x g x g ϕ=- ∴1(1)(1)()0,2g g ϕ=-＞ ………………………………………………（5分）取e 1,x '=＞则111(e)(e)()ln e (e 1)ln (1)222g g ϕ=-=-+-++3e ln 20.2=-++＜ ………………………………（6分）故存在0(1,e),x ∈使0()0,x ϕ=即存在0(1,),x ∈+∞使01()().2g x g =………………………………………………（7分）（说明：x '的取法不唯一，只要满足1,x '＞且()0x ϕ'＜即可） （Ⅱ）设21()()()eln (0)2F x h x f x x x x =-=-＞则2e e (()x x x F x x x x x-+'=-==则当0x ＜()0F x '＜，函数()F x 单调递减；当x ()0F x '＞，函数()F x 单调递增.∴x =()F x 的极小值点，也是最小值点,∴min ()0.F x F ==∴函数()f x 与()h x 的图象在x =处有公共点（1,e 2）.………（9分）设()f x 与()h x 存在“分界线”且方程为1e (2y k x -=，令函数1()e 2u x kx =+-①由()h x ≥()u x ，得211e 22x kx +-≥在x ∈R 上恒成立，即22e 20x kx --+在x ∈R 上恒成立，∴2=44(e 20k ∆--+≤，即24(0k ≤，∴k =，故1() e.2u x x =-………………………………………（11分） ②下面说明：()()f x u x ≤，即1eln e(0)2x x -＞恒成立.设1()eln e 2V x x =+则e e ()V x x x'==∵当0x ＜()0V x '＞,函数()V x 单调递增，当x ()0V x '＜,函数()V x 单调递减，∴当x =()V x 取得最大值0，max ()()0V x V x =≤.∴1eln e(0)2x x -＞成立.………………………………………（13分）综合①②知1()e,2h x -且1()e,2f x -故函数()f x 与()h x 存在“分界线”1e 2y =-，此时1e.2k b ==-…………………………………………………（14分）。
