2020高二数学下学期4月月考试题

2019-2020年高二（下）4月月考数学试卷（理科）含解析(II)一、选择题：（本大题共18小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是（）A．2x+y+3=0 B．2x+y﹣3=0 C．2x+y+1=0 D．2x﹣y﹣1=02．定义运算，则符合条件的复数z为（）A．3﹣i B．1+3i C．3+i D．1﹣3i3．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A．假设至少有一个钝角B．假设没有一个钝角C．假设至少有两个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角4．观察按下列顺序排序的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，…，猜想第n （n∈N*）个等式应为（）A．9（n+1）+n=10n+9 B．9（n﹣1）+n=10n﹣9C．9n+（n﹣1）=10n﹣1 D．9（n﹣1）+（n﹣1）=10n﹣10 5．曲线y=cosx（0≤x≤）与x轴以及直线x=所围图形的面积为（）A．4 B．2 C．D．36．平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）A．B．C．D．7．若f′（x0）=﹣3，则=（）A．﹣3 B．﹣12 C．﹣9 D．﹣68．复数z=，||是（）A．25 B．5 C．1 D．79．一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动（1步的距离为1个单位长度）．令P（n）表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记P（0）=0，则下列结论中错误的是（）A．P（3）=3 B．P（5）=1 C．P（2007）＞P（2006） D．P（2003）＜P（2006）10．如图是导函数y=f′（x）的图象，那么函数y=f（x）在下面哪个区间是减函数（）A．（x1，x3）B．（x2，x4）C．（x4，x6）D．（x5，x6）11．设，当n=2时，S（2）=（）A．B．C．D．12．如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功为（）A．0.28J B．0.12J C．0.26J D．0.18J13．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．14．已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（）A．e B．﹣e C．D．﹣15．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f （x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确16．在复平面内，复数1+i与1+3i分别对应向量，其中O为坐标原点，则=（）A．B．2 C．D．417．某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6时，该命题不成立B．当n=6时，该命题成立C．当n=4时，该命题不成立D．当n=4时，该命题成立18．若点P在曲线y=x3﹣3x2+（3﹣）x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[0，）B．[0，）∪[，π）C．[，π）D．[0，）∪（，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．19．（﹣2x）dx=．20．设Z1=i4+i5+i6+…+i12，Z2=i4•i5•i6•…•i12，则Z1，Z2关系为．21．已知f（x）=x3+3x2+a（a为常数），在[﹣3，3]上有最小值3，那么在[﹣3，3]上f（x）的最大值是．22．函数g（x）=ax3+2（1﹣a）x2﹣3ax在区间（﹣∞，）内单调递减，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．23．已知F（x）=dt，（x＞0）．（1）求F（x）的单调区间；（2）求函数F（x）在[1，3]上的最值．24．设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．（1）求y=f（x）的表达式；（2）若直线x=﹣t（0＜t＜1把y=f（x））的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．25．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间的定价增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客入住房间，宾馆每间每天将花费20元的各种费用．当房间定价为多少的时候，宾馆获得的利润最大？26．已知数列{a n}的前n项和S n=1﹣na n（n∈N*）（1）计算a1，a2，a3，a4；（2）猜想a n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．山东省青岛市平度市华侨中学2014-2015学年高二（下）4月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共18小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是（）A．2x+y+3=0 B．2x+y﹣3=0 C．2x+y+1=0 D．2x﹣y﹣1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：先求出导数，再把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化为一般式．解答：解：由题意知，y′=2x，∴在（1，1）处的切线的斜率k=2，则在（1，1）处的切线方程是：y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0，故选D．点评：本题考查了导数的几何意义，即在某点处的切线斜率是该点处的导数值，以及直线方程的点斜式和一般式的应用，属于基础题．2．定义运算，则符合条件的复数z为（）A．3﹣i B．1+3i C．3+i D．1﹣3i考点：二阶行列式的定义；复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：根据定义，将已知转化，可以得出z（1+i）=4+2i，再利用复数的除法运算法则求出复数z即可．解答：解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z=4+2i，即z（1+i）=4+2i，∴z===3﹣i．故选A．点评：本题考查了复数的代数运算，利用所给的定义将已知转化为z（1+i）=4+2i是关键．3．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A．假设至少有一个钝角B．假设没有一个钝角C．假设至少有两个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角考点：反证法与放缩法．专题：应用题．分析：根据命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，从而得出结论．解答：解：由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设至少有两个钝角，故选C．点评：本题考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．4．观察按下列顺序排序的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，…，猜想第n （n∈N*）个等式应为（）A．9（n+1）+n=10n+9 B．9（n﹣1）+n=10n﹣9C．9n+（n﹣1）=10n﹣1 D．9（n﹣1）+（n﹣1）=10n﹣10考点：归纳推理．专题：探究型．分析：本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的等式，分析等式两边的系数及各个部分与式子编号之间的关系，易得等式左边分别为9与编号减1的积加上编号，等式右边的是一个等差数列，归纳后即可推断出第n（n∈N*）个等式．解答：解：由已知中的式了，我们观察后分析：等式左边分别为9与编号减1的积加上编号，等式右边的是一个等差数列，根据已知可以推断：第n（n∈N*）个等式为：9（n﹣1）+n=10n﹣9故选B．点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．5．曲线y=cosx（0≤x≤）与x轴以及直线x=所围图形的面积为（）A．4 B．2 C．D．3考点：余弦函数的图象．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据所围成图形用定积分可求得曲线y=cosx以及直线x=所围图形部分的面积，然后根据定积分的定义求出所求即可．解答：解：由定积分定义及余弦函数的对称性，可得曲线y=cosx以及直线x=所围图形部分的面积为：S=3∫cosxdx=3sinx|=3sin﹣3sin0=3，所以围成的封闭图形的面积是3．故选：D．点评：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，考查运算求解能力，化归与转化思想思想，属于基本知识的应用．6．平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）A．B．C．D．考点：类比推理．专题：规律型；空间位置关系与距离．分析：由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．解答：解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF=，BO=AO=a﹣OE，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a，故选B．点评：本题是基础题，考查类比推理及正四面体的体积的计算，转化思想的应用，考查空间想象能力，计算能力．7．若f′（x0）=﹣3，则=（）A．﹣3 B．﹣12 C．﹣9 D．﹣6考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：根据=[4•]=4（）=4f′（x0），利用条件求得结果．解答：解：∵f′（x0）=﹣3，则=[4•]=4（）=4f′（x0）=4×（﹣3）=﹣12，故选：B．点评：本题主要考查函数在某一点的导数的定义，属于基础题．8．复数z=，||是（）A．25 B．5 C．1 D．7考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的模求解运算法则，直接求解即可．解答：解：复数z=，||===1．故选：C．点评：本题考查复数的模的求法，分式的模等于分子的模除以分母的模，是基础题．9．一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动（1步的距离为1个单位长度）．令P（n）表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记P（0）=0，则下列结论中错误的是（）A．P（3）=3 B．P（5）=1 C．P（2007）＞P（2006） D．P（2003）＜P（2006）考点：进行简单的合情推理．专题：计算题；规律型．分析：按“前进3步后退2步”的步骤去算，发现机器人每5秒完成一个循环，解出对应的数值，再根据规律推导，即可得解．解答：解：根据题中的规律可得：P（0）=0，P（1）=1，P（2）=2，P（3）=3，P（4）=2，P（5）=1，…以此类推得：P（5k）=k （k为正整数）因此P（2003）=403，且P（2006）=402，所以P（2003）＞P（2005）故选：D．点评：本题主要考查了数列的应用，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”，属于中档题．10．如图是导函数y=f′（x）的图象，那么函数y=f（x）在下面哪个区间是减函数（）A．（x1，x3）B．（x2，x4）C．（x4，x6）D．（x5，x6）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：根据导函数的图象，利用函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．解答：解：若函数单调递减，则f′（x）≤0，由图象可知，x∈（x2，x4）时，f′（x）＜0，故选：B点评：本题主要考查函数单调性的判断，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．11．设，当n=2时，S（2）=（）A．B．C．D．考点：数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：利用最后一项是的形式即可得出．解答：解：当n=2时，S（2）=，故选C．点评：知道最后一项是的形式是解题的关键．12．如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功为（）A．0.28J B．0.12J C．0.26J D．0.18J考点：函数模型的选择与应用．分析：因为F=10Nl=10cm=0.1m，所以k==100，由此能求出在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，克服弹力所做的功．解答：解：F=kl∵F=10N，l=10cm=0.1m∴k==100∴在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，克服弹力所做的功：w=Ep===0.18J．故选D．点评：本题考查物体的弹力做功问题，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．13．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．解答：解：∵y=x3，∴y′=3x2，当x=1时，y′=3得切线的斜率为3，所以k=3；所以曲线在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=3（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．令y=0得：x=，∴切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为：S=×（2﹣）×4=．故选A．点评：本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．14．已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（）A．e B．﹣e C．D．﹣考点：导数的几何意义．专题：计算题．分析：欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．解答：解：∵y=lnx，∴y'=，设切点为（m，lnm），得切线的斜率为，所以曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：y﹣lnm=×（x﹣m）．它过原点，∴﹣lnm=﹣1，∴m=e，∴k=．故选C．点评：本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．15．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f （x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确考点：演绎推理的基本方法．专题：阅读型．分析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．解答：解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选A．点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．16．在复平面内，复数1+i与1+3i分别对应向量，其中O为坐标原点，则=（）A．B．2 C．D．4考点：复数求模；复数的基本概念．专题：计算题．分析：根据所给的两个向量的代数形式，先求两个向量的差，求出，得到向量的代数形式的表示式，根据模长公式做出要求向量的模长．解答：解：∵复数1+i与1+3i分别对应向量，∴=1+3i﹣1﹣i=2i∴=2故选B．点评：本题考查向量的减法运算，考查向量的模长，这种问题比较容易出错的知识点是求两个向量的差时，不要把减数和被减数弄错．17．某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6时，该命题不成立B．当n=6时，该命题成立C．当n=4时，该命题不成立D．当n=4时，该命题成立考点：数学归纳法．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n＞k的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k﹣1也不成立，由此类推，对n＜k的任意正整数均不成立，由此不难得到答案．解答：解：由题意可知，P（n）对n=4不成立（否则n=5也成立）．同理可推得P（n）对n=3，n=2，n=1也不成立．故选C点评：当P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n＞k的任意整数均成立；结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k﹣1也不成立，由此类推，对n＜k的任意正整数均不成立．18．若点P在曲线y=x3﹣3x2+（3﹣）x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[0，）B．[0，）∪[，π）C．[，π）D．[0，）∪（，]考点：导数的几何意义；直线的倾斜角．专题：计算题．分析：先求出函数的导数y′的解析式，通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，来求出倾斜角的取值范围．解答：解：∵函数的导数y′=3x2﹣6x+3﹣=3（x﹣1）2﹣≥﹣，∴tanα≥﹣，又0≤α＜π，∴0≤α＜或≤α＜π，故选B．点评：本题考查函数的导数的几何意义，直线的倾斜角和斜率的关系．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．19．（﹣2x）dx=﹣1．考点：定积分．专题：计算题；数形结合．分析：由差的积分等于积分的差得到（﹣2x）dx=（）dx﹣2xdx，然后由微积分基本定理求出（）dx，求出定积分2xdx，则答案可求．解答：解：（﹣2x）dx=（）dx﹣2xdx．令，则（x﹣1）2+y2=1（y≥0），表示的是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆．∴（）等于四分之一圆的面积，为．又2xdx=．∴（﹣2x）dx=．故答案为：．点评：本题考查了定积分，考查了微积分基本定理，是基础的计算题．20．设Z1=i4+i5+i6+…+i12，Z2=i4•i5•i6•…•i12，则Z1，Z2关系为Z1=Z2．考点：虚数单位i及其性质．专题：数系的扩充和复数．分析：由虚数单位的性质分别计算可得结论．解答：解：Z1=i4+i5+i6+…+i12=1+i﹣1﹣i+…+1=1，Z2=i4•i5•i6•…•i12=1×i×（﹣1）×（﹣i）…×1=（﹣1）2×1=1∴Z1=Z2，故答案为：Z1=Z2点评：本题考查复数的代数运算，涉及虚数单位的性质，属基础题．21．已知f（x）=x3+3x2+a（a为常数），在[﹣3，3]上有最小值3，那么在[﹣3，3]上f（x）的最大值是57．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：要求f（x）的最大值，先求出函数的导函数，令其等于0求出驻点，在[﹣3，3]上分三种情况讨论得函数的极值，然后比较取最大值即可．解答：解析：f′（x）=3x2+6x，令f′（x）=0，得3x（x+2）=0⇒x=0，x=﹣2．（i）当0≤x≤3，或﹣3≤x≤﹣2时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，（ii）当﹣2＜x＜0时，f（x）单调递减，由最小值为3知，最小为f（﹣3）或f（0）⇒f（﹣3）=（﹣3）3+3×（﹣3）2+a=a，f（0）=a，则a=3，∴f（x）=x3+3x2+3，其最大值为f（﹣2）或f（3），f（﹣2）=（﹣2）3+3×（﹣2）2+3=7，f（3）=33+3×32+3=57，则最大值为57．故答案为：57．点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的能力．22．函数g（x）=ax3+2（1﹣a）x2﹣3ax在区间（﹣∞，）内单调递减，则a的取值范围是[﹣1，0]．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：由g′（x）=3ax2+4（1﹣a）x﹣3a，g（x）在（﹣∞，a/3）递减，则g′（x）在（﹣∞，a/3）上小于等于0，讨论（1）a=0时，（2）a＞0，（3）a＜0时的情况，从而求出a的范围．解答：解：∵g′（x）=3ax2+4（1﹣a）x﹣3a，g（x）在（﹣∞，a/3）递减，则g′（x）在（﹣∞，a/3）上小于等于0（1）a=0时，g′（x）≤0，解得：x≤0，即g（x）的减区间是（﹣∞，0），∴≤0，才能g（x）在（﹣∞，）递减，解得a=0（2）a＞0，g′（x）是一个开口向上的抛物线，要使g′（x）在（﹣∞，）上小于等于0 解得：a无解（3）a＜0，g′（x）是一个开口向下的抛物线，设g′（x）与x轴的左右两交点为A（x1，0），B（x2，0）由韦达定理，知x1+x2=﹣，x1x2=﹣1，解得：x1=﹣，则在A左边和B右边的部分g′（x）≤0 又知g（x）在（﹣∞，）递减，即g′（x）在（﹣∞，）上小于等于0，∴x1≥，解得﹣1≤a≤5，取交集，得﹣1≤a＜0，∴a的取值范围是﹣1≤a≤0．点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．23．已知F（x）=dt，（x＞0）．（1）求F（x）的单调区间；（2）求函数F（x）在[1，3]上的最值．考点：微积分基本定理；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：（1）由定积分计算公式，结合微积分基本定理算出．再利用导数，研究F'（x）的正负，即可得到函数F（x）的单调增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．（2）根据F（x）的单调性，分别求出F（1）、F（2）、F（3）的值并比较大小，可得F（x）在[1，3]上的最大值是F（3）=﹣6，最小值是．解答：解：依题意得，，定义域是（0，+∞）．（2分）（1）F'（x）=x2+2x﹣8，令F'（x）＞0，得x＞2或x＜﹣4；令F'（x）＜0，得﹣4＜x＜2，且函数定义域是（0，+∞），∴函数F（x）的单调增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．（6分）（2）令F'（x）=0，得x=2（x=﹣4舍），由于函数在区间（0，2）上为减函数，区间（2，3）上为增函数，且，，F（3）=﹣6，∴F（x）在[1，3]上的最大值是F（3）=﹣6，最小值是．（10分）点评：本题利用定积分求一个函数的原函数，并研究原函数的单调性和闭区间上的最值．着重考查了定积分计算公式、利用导数研究函数的单调性与最值等知识，属于中档题．24．设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．（1）求y=f（x）的表达式；（2）若直线x=﹣t（0＜t＜1把y=f（x））的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．考点：导数的运算；函数解析式的求解及常用方法；定积分．专题：函数的性质及应用．分析：（1）设f（x）=ax2+bx+c，根据f′（x）=2x+2求出a、b的值，再由方程f（x）=0有两个相等的实根，△=0，求得c的值，即可得到函数的解析式．（2）由题意可得（x2+2x+1）dx=（x2+2x+1）dx，即（x3+x2+x）=（x3+x2+x），化简得2（t﹣1）3=﹣1，由此求得t的值．解答：解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，又因为f′（x）=2x+2，∴a=1，b=2，∴f（x）=x2+2x+c．由于方程f（x）=0有两个相等的实根，∴△=4﹣4c=0，解得c=1，∴f（x）=x2+2x+1．（2）由题意可得（x2+2x+1）dx=（x2+2x+1）dx，即（x3+x2+x）=（x3+x2+x），即﹣t3+t2﹣t+=t3﹣t2+t，∴2t3﹣6t2+6t﹣1=0，即2（t﹣1）3=﹣1，∴t=1﹣．点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，导数的运算，定积分的应用，属于中档题．25．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间的定价增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客入住房间，宾馆每间每天将花费20元的各种费用．当房间定价为多少的时候，宾馆获得的利润最大？考点：函数最值的应用．专题：应用题．分析：设出每间房的定价，从而利用租房利润减去维护费，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论．解答：解：设该宾馆房间的定价为（180+10x）元（x∈N），利润为y元，（2分）那么宾馆内有（50﹣x）个房间被旅客居住，（4分）于是y=（180+10x﹣20）•（50﹣x）=﹣10x2+340x+8000=﹣10（x﹣17）2+10890，（10分）∴当x=17，即房间的定价为每间350元时，宾馆所获得的利润最大．（12分）答：当房间定价为每间350元时，宾馆获得的利润最大．点评：本题考查了二次函数的应用，要求同学们仔细审题，将实际问题转化为数学模型，注意配方法求二次函数最值的应用．26．已知数列{a n}的前n项和S n=1﹣na n（n∈N*）（1）计算a1，a2，a3，a4；（2）猜想a n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．考点：数学归纳法；数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）由S n与a n的关系，我们从n=1依次代入整数值，即可求出a1，a2，a3，a4；（2）由a1，a2，a3，a4的值与n的关系，我们归纳推理出数列的通项公式，观察到它们是与自然数集相关的性质，故可采用数学归纳法来证明．解答：解：（1）计算得；；；．（2）猜测：．下面用数学归纳法证明①当n=1时，猜想显然成立．②假设n=k（k∈N*）时，猜想成立，即．那么，当n=k+1时，S k+1=1﹣（k+1）a k+1，即S k+a k+1=1﹣（k+1）a k+1．又，所以，从而．即n=k+1时，猜想也成立．故由①和②，可知猜想成立．点评：本题（2）中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N 相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基）P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．。

（）
1
…………第 1 行
22
…………第 2 行
343
…………第 3 行
4774
…………第 4 行
5 11 14 11 5
…………第 5 行
6 16 25 25 16 6 …………
…………第 6 行
A. 数列am1 是等差数列
B. 数列a5n 是等比数列
C. a6n a67n
D. amn amn1 am1n1
A. 2024
B. 2025
C. 20242 1
D. 20252 1
7. 传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把1, 3, 6,10, 叫做三角形数；把1, 4, 9,16, 叫做
正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A. 36
B. 49
C. 64
D. 81
8.
已知数列an 满足 a1
确的是（ ）
A.
S2
5 m
3
C.
a2
2 3
m
B.
S3
5 9
m
D.
a3
5 9
m
5. 已知 Sn 为数列an 的前 n 项和，且满足 Sn 2n2 8n 2 ，则 a3 a4 a5 a6 a7 （ ）
A. 100
B. 130
C. 150
D. 200
6. 已知数列an 满足 n 1 an1 n 2 an n 1n 2 n N* ， a2 3 ，则 a2025 （ ）
的前多少项和最小，最小值是多少？
n
18. 已知等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，且an 8 的前 3 项和为 10，an 8 的前 6 项和为 78．

教学资料参考范本【2019-2020】高二数学4月月考试题普通班撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________一、选择题（60分）1.若数列{an}的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，，…，，，…，，…，则a2 012等于( )A．B．C．D．2.下面使用类比推理正确的是( )A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“loga(xy)＝logax＋logay”类比推出“sin(α＋β)＝sinαsinβ”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”3.观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)4.下列类比推理中，得到的结论正确的是( )A．把loga(x＋y)与a(b＋c)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logby B．向量a，b的数量积运算与实数a，b的运算性质|ab|＝|a|·|b|类比，则有|a·b|＝|a||b|C．把(a＋b)n与(ab)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bnD．把长方体与长方形类比，则有长方体的对角线平方等于长宽高的平方和5．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：( )①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)，可得b＝c.则正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个6．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1时，左边需增乘的代数式是( )A．2k＋1 B．2(2k＋1)C. D.2k＋3k＋17．已知a，b∈R，m＝，n＝b2－b＋，则下列结论正确的是( )A．m≤n B．m≥nC．m>n D．m<n8．用火柴棒摆“金鱼”，如下图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋29.下面使用类比推理正确的是( )A．由“a(b＋c)＝ab＋ac”类比推出“cos(α＋β)＝cosα＋cosβ”B．由“若3a＜3b，则a＜b”类比推出“若ac＜bc，则a＜b”C．由“平面中垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行”D．由“等差数列{an}中，若a10＝0，则a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N*)”类比推出“在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)”10.实数x，y，z满足x＋y＋z＝0，且xyz＞0，设M＝＋＋，则( )A．M＞0B．M＜0C．M＝0D．M可正可负11.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成( )A．假设n＝2k＋1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋3正确B．假设n＝2k－1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋1正确C．假设n＝k(k∈N*)正确，再推n＝k＋1正确D．假设n＝k(k≥1)正确，再推n＝k＋2正确12.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于( )A． 1B． 2C． 3D． 0二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13.已知－>1，过点P(x0，y0)作一直线与双曲线－＝1相交且仅有一个公共点，则该直线的斜率恰为双曲线的两条渐近线的斜率±.类比此思想，已知y0<，过点P(x0，y0)(x0＞0)作一条不垂直于x轴的直线l与曲线y＝相交且仅有一个公共点，则该直线l的斜率为________．14.定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列{xn}是等积数列，且x2＝2，公积为6，那么这个数列的前2 005项的和为________．15.观察下列等式1－＝，1－＋－＝＋，1－＋－＋－＝＋＋，…据此规律，第n个等式可为________________.16.有以下四个命题：(1)2n＞2n＋1(n≥3)；(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＋2(n≥1)；(3)凸n边形内角和为f(n)＝(n－1)π(n≥3)；(4)凸n边形对角线条数f(n)＝(n≥4)．其中满足“假设n＝k(k∈N，k≥n0)时命题成立，则当n＝k＋1时命题也成立”．但不满足“当n＝n0(n0是题中给定的n的初始值)时命题成立”的命题序号是________．三、解答题(共6小题,17题10分，其余每小题12.0分,共70分)17.已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝＋2(n∈N*)．(Ⅰ)计算a2，a3，a4的值；(Ⅱ)根据计算结果猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．18.用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.19.已知数列{an}满足a2＝2，(n－1)an＋1－nan＋1＝0(n∈N*)，求数列{an}的通项．20.用数学归纳法证明：···…·<(n∈N*)．21.已知数列数列{an}的通项公式an＝(－1)n(2n－1)(n∈N*)，Sn为其前n项和．(1)求S1，S2，S3，S4的值；(2)猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．22.试比较nn＋1与(n＋1)n(n∈N*)的大小，分别取n＝1,2,3,4,5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论．参考答案1-4.ACDD 5-8.BBAC 9-12.DBBC13.【答案】214.【答案】5 01315.【答案】1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋16.【答案】(2)(3)17.【答案】解(Ⅰ)由a1＝3，an＋1＝＋2(n∈N*)可得a2＝2＋，a3＝2＋，a4＝2＋＝4.(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想：an＝2＋，n∈N*.以下用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，左边a1＝3，右边2＋1＝3，符合结论；(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即ak＝2＋，那么ak＋1＝＋2＝＋2＝＋2＝＋2，所以当n＝k＋1时，猜想也成立，根据(1)和(2)，可知猜想对于任意n∈N*都成立．18.【答案】证明因为任意三角形三内角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形三内角之和为180°(结论)．设两锐角分别为α，β，则α＋β＋90°－90°＝180°－90°(小前提)，所以α＋β＝90°成立(结论)．19.【答案】解当n＝1时，a1＝1，由a2＝2，可得a3＝3，猜想an＝n.证明如下：当n＝1,2时，a1＝1，a2＝2，猜想成立；假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，猜想成立，即ak＝k，又(k－1)ak＋1－kak＋1＝0，即(k－1)ak＋1－k2＋1＝0，∵k≥2，∴k－1≠0，∵ak＋1＝k＋1，即n＝k＋1时，猜想成立，∴n∈N*时，an＝n.20.【答案】证明①∵当n＝1时，－＝－＜0，∴<，∴<＝，即当n＝1时，不等式成立；②假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即···…·<，则当n＝k＋1时，···…··<·＝，∵()2－()2＝＝＜0，∴()2＜()2，∴＜，即当n＝k＋1时，原不等式也成立．综合①②可知，对于任意n∈N*，···…·<均成立．21.【答案】解(1)依题意可得S1＝－1，S2＝－1＋3＝2，S3＝－1＋3－5＝－3，S4＝－1＋3－5＋7＝4；(2)猜想：Sn＝(－1)n·n.证明：①当n＝1时，猜想显然成立；②假设当n＝k时，猜想成立，即Sk＝(－1)k·k，那么当n＝k＋1时，Sk＋1＝(－1)k·k＋ak＋1＝(－1)k·k＋(－1)k ＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1·(k＋1)．即n＝k＋1时，猜想也成立．故由①和②可知，猜想成立.22.【答案】解当n＝1时，nn＋1＝1，(n＋1)n＝2，此时，nn＋1＜(n＋1)n，当n＝2时，nn＋1＝8，(n＋1)n＝9，此时，nn＋1＜(n＋1)n，当n＝3时，nn＋1＝81，(n＋1)n＝64，此时，nn＋1＞(n＋1)n，当n＝4时，nn＋1＝1 024，(n＋1)n＝625，此时，nn＋1＞(n＋1)n，根据上述结论，我们猜想：当n≥3(n∈N*)时，nn＋1＞(n＋1)n恒成立．证明：①当n＝3时，nn＋1＝34＝81＞(n＋1)n＝43＝64，即nn＋1＞(n＋1)n成立；②假设当n＝k时，kk＋1＞(k＋1)k成立，即＞1，则当n＝k＋1时，＝(k＋1)()k＋1＞(k＋1)()k＋1＝＞1，即(k＋1)k＋2＞(k＋2)k＋1成立，即当n＝k＋1时，猜想也成立，∴当n≥3(n∈N*)时，nn＋1＞(n＋1)n恒成立．11 / 11。

2019-2020年高二（下）4月月考数学试卷（理科）含解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分）1．已知函数f（x）在x=1处的导数为1，则=（）A．3 B．﹣C．D．﹣2．设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（）A．1 B．C．D．﹣13．设曲线y=x2+1在其任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=g（x）cosx的部分图象可以为（）A．B．C．D．4．若函数在（1，+∞）上是增函数，则实数k的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，2] 5．函数f（x）=e x（sinx+cosx）在区间[0，]上的值域为（）A．[，e]B．（，e）C．[1，e]D．（1，e）6．设函数f（x）=xe x，则（）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x）的极小值点7．若函数f（x）=x3﹣12x在区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．k≤﹣3或﹣1≤k≤1或k≥3 B．﹣3＜k＜﹣1或1＜k＜3C．﹣2＜k＜2 D．不存在这样的实数k8．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．9．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1 10．若，，，则s1，s2，s3的大小关系为（）A．s1＜s2＜s3B．s2＜s1＜s3C．s2＜s3＜s1D．s3＜s2＜s1二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分）11．过点（﹣1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，切线方程为．12．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线这间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“”，这个类比命题的真假性是．13．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，，则不等式x2f（x）＞0的解集是．14．圆柱形金属饮料罐的容积为16πcm3，它的高是cm，底面半径是cm时可使所用材料最省．15．观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此规律，第n个等式可为．三、解答题：16．已知a是实数，函数f（x）=x2（x﹣a）．（Ⅰ）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．17．求由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积．18．已知数列{a n}满足S n+a n=2n+1．（1）写出a1，a2，a3，并推测a n的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论．19．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．20．设函数已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣和x=1处取得极值．（1）求a，b的值及其单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]不等式f（x）≤c2恒成立，求c的取值范围．21．已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g （x）＜1+e﹣2．2014-2015学年山东省枣庄八中高二（下）4月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分）1．已知函数f（x）在x=1处的导数为1，则=（）A．3 B．﹣C．D．﹣考点：导数的运算；极限及其运算．专题：计算题．分析：先对进行化简变形，转化成导数的定义式f′（x）=即可解得．解答：解：=故选B．点评：本题主要考查了导数的定义，以及极限及其运算，属于基础题．2．设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（）A．1 B．C．D．﹣1考点：导数的几何意义．分析：利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程求解．解答：解：y'=2ax，于是切线的斜率k=y'|x=1=2a，∵切线与直线2x﹣y﹣6=0平行∴有2a=2∴a=1故选：A点评：本题考查导数的几何意义：曲线在切点处的导数值是切线的斜率．3．设曲线y=x2+1在其任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=g（x）cosx的部分图象可以为（）A．B．C．D．考点：导数的运算；函数的图象．专题：数形结合．分析：先研究函数y=g（x）cos x的奇偶性，再根据在某点处的函数值的符号进一步进行判定．解答：解：g（x）=2x，g（x）•cosx=2x•cosx，g（﹣x）=﹣g（x），cos（﹣x）=cosx，∴y=g（x）cosx为奇函数，排除B、D．令x=0.1＞0．故选A．点评：本题主要考查了导数的运算，以及考查学生识别函数的图象的能力，属于基础题．4．若函数在（1，+∞）上是增函数，则实数k的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，2]考点：利用导数研究函数的单调性．分析：对给定函数求导，h′（x）＞0，解出关于k的不等式即可．解答：解：∵函数在（1，+∞）上是增函数∴h′（x）=2+＞0，∴k＞﹣2x2．∵x＞1∴﹣2x2＜﹣2．∴k≥﹣2．故选A．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题．5．函数f（x）=e x（sinx+cosx）在区间[0，]上的值域为（）A．[，e]B．（，e）C．[1，e]D．（1，e）考点：导数的乘法与除法法则．分析：计算f′（x）=e x cosx，当0≤x≤时，f′（x）≥0，f（x）是[0，]上的增函数．分别计算f（0），f（）．解答：解：f′（x）=e x（sinx+cosx）+e x（cosx﹣sinx）=e x cosx，当0≤x≤时，f′（x）≥0，∴f（x）是[0，]上的增函数．∴f（x）的最大值在x=处取得，f（）=e，f（x）的最小值在x=0处取得，f（0）=．∴函数值域为[]故选A．点评：考查导数的运算，求函数的导数，得到函数在已知区间上的单调性，并计算最值．6．设函数f（x）=xe x，则（）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x）的极小值点考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：由题意，可先求出f′（x）=（x+1）e x，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点解答：解：由于f（x）=xe x，可得f′（x）=（x+1）e x，令f′（x）=（x+1）e x=0可得x=﹣1令f′（x）=（x+1）e x＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数令f′（x）=（x+1）e x＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数所以x=﹣1为f（x）的极小值点故选：D点评：本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题，7．若函数f（x）=x3﹣12x在区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．k≤﹣3或﹣1≤k≤1或k≥3 B．﹣3＜k＜﹣1或1＜k＜3C．﹣2＜k＜2 D．不存在这样的实数k考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题；压轴题．分析：由题意得，区间（k﹣1，k+1）内必须含有函数的导数的根2或﹣2，即k﹣1＜2＜k+1或k﹣1＜﹣2＜k+1，从而求出实数k的取值范围．解答：解：由题意得，f′（x）=3x2﹣12 在区间（k﹣1，k+1）上至少有一个实数根，而f′（x）=3x2﹣12的根为±2，区间（k﹣1，k+1）的长度为2，故区间（k﹣1，k+1）内必须含有2或﹣2．∴k﹣1＜2＜k+1或k﹣1＜﹣2＜k+1，∴1＜k＜3 或﹣3＜k＜﹣1，故选B．点评：本题考查函数的单调性与导数的关系，函数在区间上不是单调函数，则函数的导数在区间上有实数根．8．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用；几何概型．专题：计算题．分析：根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y=围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．解答：解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）|01=，则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；故选C．点评：本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．9．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．专题：计算题．分析：求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．解答：解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值．∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，∴极大值等于0或极小值等于0．∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，∴c=﹣2或2．故选：A．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于0．10．若，，，则s1，s2，s3的大小关系为（）A．s1＜s2＜s3B．s2＜s1＜s3C．s2＜s3＜s1D．s3＜s2＜s1考点：微积分基本定理．专题：计算题．分析：利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可．解答：解：由于=x3|=，=lnx|=ln2，=e x|=e2﹣e．且ln2＜＜e2﹣e，则S2＜S1＜S3故选B．点评：本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分）11．过点（﹣1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，切线方程为y=x+1或y=﹣3x﹣3．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用；直线与圆．分析：这类题首先判断某点是否在曲线上，（1）若在，直接利用导数的几何意义，求函数在此点处的斜率，利用点斜式求出直线方程（2）若不在，应首先利用曲线与切线的关系求出切点坐标，进而求出切线方程．此题属于第二种．解答：解：y=x2+x+1的导数为y′=2x+1，设切点坐标为（x0，y0），则切线的斜率为k=2x0+1，且y0=x02+x0+1于是切线方程为y﹣x02﹣x0﹣1=（2x0+1）（x﹣x0），因为点（﹣1，0）在切线上，即有﹣x02﹣x0﹣1=（2x0+1）（﹣1﹣x0），可解得x0=0或﹣2，当x0=0时，y0=1；x0=﹣2时，y0=3，可得切线方程为y=x+1或y=﹣3x﹣3．故答案为：y=x+1或y=﹣3x﹣3．点评：函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率，在点P处的切线方程为：y﹣y0=f′（x0）（x﹣x0），注意确定切点是解题的关键．12．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线这间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“夹在两个平行平面间的平行线段相等”，这个类比命题的真假性是真命题．考点：类比推理．专题：探究型．分析：本题考查的知识点是类比推理，由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．故由平面几何中的命题：“夹在两条平行线这间的平行线段相等”，我们可以推断在立体几何中，相关两个平行平面间的平行线段的性质．解答：解：在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，我们常用由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，故由平面几何中的命题：“夹在两条平行线这间的平行线段相等”，我们可以推断在立体几何中：“夹在两个平行平面间的平行线段相等”这个命题是一个真命题．故答案为：“夹在两个平行平面间的平行线段相等”，真命题．点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．13．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，，则不等式x2f（x）＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞）．考点：函数奇偶性的性质；其他不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：当x＞0时，根据已知条件中，我们不难判断函数f（x）的导函数f'（x）的符号，由此不难求出函数的单调性，再由函数f（x）是定义在R上的奇函数，及f（1）=0，我们可以给出各个区间f（x）的符号，由此不难给出不等式x2f（x）＞0的解集．解答：解：由，即[]′＞0；则在（0，+∞）为增函数，且当x=1时，有=f（1）=0；故函数在（0，1）有＜0，又有x＞0，则此时f（x）＜0，同理，函数在（1，+∞）有＞0，又有x＞0，则此时f（x）＞0，故又由函数f（x）是定义在R上的奇函数∴当x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）＜0当x∈（﹣1，0）时，f（x）＞0；而x2f（x）＞0⇔f（x）＞0，故不等式x2f（x）＞0的解集为：（﹣1，0）∪（1，+∞）故答案为：（﹣1，0）∪（1，+∞）点评：本题考查的知识是函数的单调性和函数的奇偶性，这两个函数综合应用时，要注意：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反．14．圆柱形金属饮料罐的容积为16πcm3，它的高是4cm，底面半径是2cm时可使所用材料最省．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：设圆柱的底面半径r，高h容积为v，则v=πr2h，h=，要求用料最省即圆柱的表面积最小，由题意可得S=2πr2+2πrh，配凑基本不等式的形式，从而求最小值，从而可求高与底面半径之比，再由体积，即可得到所求．解答：解：设圆柱的底面半径r，高h，容积为v，则v=πr2h，即有h=，用料为S=2πr2+2πrh=2π（r2+）=2π（r2++）≥2π•3=6π•，当且仅当r2=，即r=时S最小即用料最省．此时h==，∴=2，又由16π=πr2h，解得h=4，r=2．故答案为：4，2．点评：本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，利用基本不等式的关键是要符合其形式，并且要注意验证等号成立的条件．15．观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此规律，第n个等式可为．考点：归纳推理．专题：压轴题；规律型．分析：等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．再分n为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可．解答：解：观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…分n为奇数和偶数讨论：第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．当n为偶数时，分组求和（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣1）2﹣n2]=﹣，当n为奇数时，第n个等式左边=（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣2）2﹣（n﹣1）2]+n2=﹣+n2=．综上，第n个等式为．故答案为：．点评：本题考查规律型中的数字变化问题，找等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系．三、解答题：16．已知a是实数，函数f（x）=x2（x﹣a）．（Ⅰ）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；压轴题．分析：（I）求出f'（x），利用f'（1）=3得到a的值，然后把a代入f（x）中求出f（1）得到切点，而切线的斜率等于f'（1）=3，写出切线方程即可；（II）令f'（x）=0求出x的值，利用x的值分三个区间讨论f'（x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值．解答：解：（I）f'（x）=3x2﹣2ax．因为f'（1）=3﹣2a=3，所以a=0．又当a=0时，f（1）=1，f'（1）=3，则切点坐标（1，1），斜率为3所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=3（x﹣1）化简得3x﹣y﹣2=0．（II）令f'（x）=0，解得．当，即a≤0时，f（x）在[0，2]上单调递增，从而f max=f（2）=8﹣4a．当时，即a≥3时，f（x）在[0，2]上单调递减，从而f max=f（0）=0．当，即0＜a＜3，f（x）在上单调递减，在上单调递增，从而综上所述，f max=．点评：本题主要考查导数的基本性质、导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．17．求由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积．考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分方可求解．解答：解：联立，解得x1=1，x2=2∴S=∫01（x2+2﹣3x）d x+∫12（3x﹣x2﹣2）d x=+=1 点评：用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，属于基本运算．18．已知数列{a n}满足S n+a n=2n+1．（1）写出a1，a2，a3，并推测a n的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论．考点：数列递推式；数学归纳法．专题：证明题．分析：（1）取n=1，2，3，分别求出a1，a2，a3，然后仔细观察，总结规律，猜测a n的值．（2）用数学归纳法进行证明，①当n=1时，命题成立；②假设n=k时，命题成立，即a k=2﹣，当n=k+1时，a1+a2+…+a k+a k+1+a k+1=2（k+1）+1，a k+1=2﹣，当n=k+1时，命题成立．故a n=2﹣都成立．解答：解：（1）当n=1，时S1+a1=2a1=3∴a1=当n=2时，S2+a2=a1+a2+a2=5∴a2=，同样令n=3，则可求出a3=∴a1=，a2=，a3=猜测a n=2﹣（2）①由（1）已得当n=1时，命题成立；②假设n=k时，命题成立，即a k=2﹣，当n=k+1时，a1+a2+…+a k+2a k+1=2（k+1）+1，且a1+a2+…+a k=2k+1﹣a k∴2k+1﹣a k+2a k+1=2（k+1）+1=2k+3，∴2a k+1=2+2﹣，即a k+1=2﹣，即当n=k+1时，命题成立．根据①②得n∈N+，a n=2﹣都成立．点评：本题考查数列的递推式，解题时注意数学归纳法的证明过程．19．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．考点：函数模型的选择与应用．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：（I）由已知中侧面积和底面积的单位建造成本，结合圆柱体的侧面积及底面积公式，根据该蓄水池的总建造成本为12000π元，构造方程整理后，可将V表示成r的函数，进而根据实际中半径与高为正数，得到函数的定义域；（Ⅱ）根据（I）中函数的定义值及解析式，利用导数法，可确定函数的单调性，根据单调性，可得函数的最大值点．解答：解：（Ⅰ）∵蓄水池的侧面积的建造成本为200•πrh元，底面积成本为160πr2元，∴蓄水池的总建造成本为200•πrh+160πr2元即200•πrh+160πr2=12000π∴h=（300﹣4r2）∴V（r）=πr2h=πr2•（300﹣4r2）=（300r﹣4r3）又由r＞0，h＞0可得0＜r＜5故函数V（r）的定义域为（0，5）（Ⅱ）由（Ⅰ）中V（r）=（300r﹣4r3），（0＜r＜5）可得V′（r）=（300﹣12r2），（0＜r＜5）∵令V′（r）=（300﹣12r2）=0，则r=5∴当r∈（0，5）时，V′（r）＞0，函数V（r）为增函数当r∈（5，5）时，V′（r）＜0，函数V（r）为减函数且当r=5，h=8时该蓄水池的体积最大点评：本题考查的知识点是函数模型的应用，其中（Ⅰ）的关键是根据已知，求出函数的解析式及定义域，（Ⅱ）的关键是利用导数分析出函数的单调性及最值点．20．设函数已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣和x=1处取得极值．（1）求a，b的值及其单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]不等式f（x）≤c2恒成立，求c的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出f′（x），因为函数在x=﹣与x=1时都取得极值，所以得到f′（﹣）=0且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可解答：解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x）=3x2+2ax+b由，解得，a=﹣，b=﹣2，f′（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：x （﹣∞，﹣）﹣（﹣，1）1 （1，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↑极大值↓极小值↑所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣）和（1，+∞），递减区间是（﹣，1）．（2）f（x）=x3﹣x2﹣2x+c，x∈[﹣1，2]，当x=﹣时，f（x）=+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．要使f（x）＜c2对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需c2＞f（2）=2+c．解得c＜﹣1或c＞2．点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及理解函数恒成立时所取到的条件．21．已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g （x）＜1+e﹣2．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=，x∈（0，+∞），由y=f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，得f′（1）=0，从而求出k=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），求出h（x）的导数，从而得f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（Ⅲ）因g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），由（Ⅱ）h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），得1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2，设m（x）=e x﹣（x+1），得m（x）＞m（0）=0，进而1﹣x ﹣xlnx≤1+e﹣2＜（1+e﹣2），问题得以证明．解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=，x∈（0，+∞），且y=f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，∴f′（1）=0，∴k=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），当x∈（0，1）时，h（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，又e x＞0，∴x∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′x）＜0，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；证明：（Ⅲ）∵g（x）=（x2+x）f′（x），∴g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），∴∀x＞0，g（x）＜1+e﹣2⇔1﹣x﹣xlnx＜（1+e﹣2），由（Ⅱ）h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），∴h′（x）=﹣（lnx﹣lne﹣2），x∈（0，+∞），∴x∈（0，e﹣2）时，h′（x）＞0，h（x）递增，x∈（e﹣2，+∞）时，h（x）＜0，h（x）递减，∴h（x）max=h（e﹣2）=1+e﹣2，∴1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2，设m（x）=e x﹣（x+1），∴m′（x）=e x﹣1=e x﹣e0，∴x∈（0，+∞）时，m′（x）＞0，m（x）递增，∴m（x）＞m（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，m（x）＞0，即＞1，∴1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜（1+e﹣2），∴∀x＞0，g（x）＜1+e﹣2．点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，切线的方程，是一道综合题．。