第三章
3-2．假设温度计可用1/（Ts+1）传递函数描述其特性。现用该温度计测量某容器中的水温，发现经1min 后才能指示出实际水温的96%，问：
（1）. 该温度计的指示从实际水温的10%变化到90%所需的时间是多少？ （2）. 如果给该容器加热，使容器内水温以0.1℃/s 的速度均匀上升，当定义误
差e(t)=r(t)-c(t)时，温度计的稳态指示误差有多大？ 解：
（1）. 设实际水温为T r ，温度计原来处于T 0=0度，当温度计放入水中时，相当
于输入一阶跃值为T r -T 0=T r 的阶跃函数，温度计的时间响应函数为：
()()⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=-T
t r e
T T t c 10 ()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-==--T
t r
r e T t c T T t c 10 根据题意可得：T
e 60196.0--=
即可得：T=18.64(s)，()⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=-T
t r
e T t c 1 10%所需的时间为64.18111.0t e --=，()s t 96.11=。 90%所需的时间为64
.18119.0t e
-
-=，()s t 92.422=。
所以可得该温度计的指示从实际水温的10%变化到90%所需的时间（上升时间）是
()s t t t r 96.4012=-=
（2）. 由题可知系统为一阶系统，故系统稳定，为求当r(t)=0.1t 时的稳态误
差，由一阶系统的时间响应分析可知，单位斜坡响应的稳态误差为T ，所以
稳态指示误差：()C T t e t 864.11.0lim =⨯=∞
→
（将1/（Ts+1）转化为开环传递函数为1/（Ts ）时的单位反馈系统，则可见此时系统的误差为e(t)=r(t)-c(t)。根据
系统为I 型，可得稳态速度误差系数为Kv=K=1/T ，得当输入信号为
r(t)=0.1t 时的稳态误差为
C T K e v
ssv 864.11.01
1.0=⨯=⨯
=） 3-5．某控制系统如图3-24所示，已知K=125，
试求： （1）. 系统阶次，类型。
图3-24 题
3-5图
（2）. 开环传递函数，开环放大倍数。 （3）. 闭环传递函数，闭环零点、极点。
（4）. 自然振荡频率ωn ，阻尼比ζ，阻尼振荡频率ωd 。 （5）. 调整时间t s (△=2%)，最大超调量σp %。
（6）. 输入信号r(t)=5时，系统的输出终值c(∞)、输出最大值c max 。 （7）. 系统的单位脉冲响应。【系统的单位阶跃响应】 （8）. 系统的单位斜坡响应。【讨论系统单位阶跃响应出现超调、衰减振荡、无
超调三种情况下的K 值】
（9）. 静态误差系数K p 、K v 、K a 。 （10）. 系统对输入为r(t)=5+2t+t 2时的稳态误差。 解：
（1）. 系统的开环传递函数：()()()()()
125.05625
.1125.00125.0442.0+=+=+=
s s s s K s s K s H s G ，
可见系统阶次为二阶，类型为I 型。 （2）. 开环传递函数()()()
125.05625
.1+=s s s H s G ，开环放大倍数为1.5625
（3）. 闭环传递函数为：
()()()()2
22
25.25.28.025.255625.125.08125.71+⨯⨯+⨯=++=+=Φs s s s s H s G s G s ，闭环没有
闭环零点，闭环极点为：j s 5.122,1±-= （4）. 5.2=n ω，8.0=ς，5.112=-=ςωωn d （5）. 24
==
n
s t ςω，015.0%2
1==--
ςςπσe
p
（6）. 因为标准型二阶系统单位阶跃信号的稳态输出为1，最大值为1+M p =1+
σp %=1.015，由于线性系统符合叠加原理，所以可得：()5=∞c *5=25，c max =5*5*1.015=25.375
（7）. 由于标准型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：
()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+--
=-ςς
ως
ςω22
1arctan sin 111t e
t c d t
n 所以系统单位阶跃响应为：()()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-=-6435.05.1sin 35152t e t c t
利用线性系统的重要特征即可得单位脉冲响应：
()()()()t
e t e t e t e dt t dc t c t t
t t 5.1sin 833.205.1sin 6
1256435.05.1cos 5.26435.05.1sin 31052222----==
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+==δ
【由于标准型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：
()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+--
=-ςς
ως
ςω22
1arctan sin 111t e
t c d t
n 所以系统单位阶跃响应为：()()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-=-6435.05.1sin 35152t e t c t 】
（8）. 同理可得单位斜坡响应：
()()()()()()C
t e t C
t e t e t C
t e t e t dt
t e dt t c t c t t t t t t v +++=+++=+++++=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-==------⎰⎰287.15.1sin 310
55.1cos 516
5.1sin 151456435.05.1cos 26435.05.1sin 38
56435.05.1sin 3515222222 积分常数C 由初始状态为零的条件而得，即
()()0
2287.15.1sin 310500=-⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+++==t t v C t e t c
可得C=-3.2，所以单位斜坡响应为：
()()2
.3287.15.1sin 3
10
52.35.1cos 5
16
5.1sin 15145222-++=-++
=---t e t t e t e t t c t t t v
【闭环传递函数为()()K
s s K
K s s K s 05.0425.02.0442++=++=
φ
可得K
05.02=ς
超调：10<≤ς，得80>K 衰减振荡：10<<ς，得80>K
无超调：1≥ς，得80≤K ，又系统稳定0K >，所以080K <≤】
