2017-2018届上海市静安区高三上学期期末教学质量检测文科数学试题 及答案1

静安区2016-2017学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷本试卷共有20道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．“0<x ”是“a x <”的充分非必要条件，则a 的取值范围是 ． 2．函数⎪⎭⎫⎝⎛+-=4sin 31)(2πx x f 的最小正周期为 ． 3．若复数z 为纯虚数， 且满足i )i 2(+=-a z (i 为虚数单位)，则实数a 的值为 ．4．二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，x 的系数为 ．5．用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为 立方米． 6．已知α为锐角，且3cos()45πα+=，则sin α=________ ． 7．根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车. 假设饮酒后，血液中的酒精含量为0p 毫克/100毫升，经过x 个小时，酒精含量降为p 毫克/100毫升，且满足关系式0r x p p e =⋅（r 为常数）.若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过 小时方可驾车．(精确到小时) 8．已知奇函数)(x f 是定义在R 上的增函数，数列{}n x 是一个公差为2的等差数列，满足0)()(87=+x f x f ，则2017x 的值为 ．9．直角三角形ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，点M 是三角形ABC 外接圆上任意一点，则AB AM ⋅的最大值为________．10．已知b a x f x -=)( 0(>a 且1≠a ，R ∈b )，1)(+=x x g ，若对任意实数x 均有0)()(≤⋅x g x f ，则ba 41+的最小值为________． 二、选择题（25分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 11．若空间三条直线a 、b 、c 满足c b b a ⊥⊥,，则直线a 与c 【 】A ．一定平行；B ．一定相交；C ．一定是异面直线；D ．平行、相交、是异面直线都有可能．12．在无穷等比数列{}n a 中，21)(lim 21=+⋅⋅⋅++∞→n n a a a ，则1a 的取值范围是【 】 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛210，；B ．⎪⎭⎫⎝⎛121，；C ．()10，；D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛210，⎪⎭⎫ ⎝⎛121，．13．某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有 【 】 A ．336种； B ．320种； C ．192种； D ．144种. 14．已知椭圆1C ，抛物线2C 焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 顶点均为原点O ，从每条曲线上各取 两个点，将其坐标记录于表中，则1C 的左焦点到2C 的准线之间的距离为 【 】A ．12-；B1；C ．1；D ．2．15．已知)(x g y =与)(x h y =都是定义在),0()0,(+∞-∞ 上的奇函数，且当0>x 时，⎩⎨⎧>-≤<=.1),1(,10,)(2x x g x x x g ，x k x h 2log )(=（0>x ），若)()(x h x g y -=恰有4个零点，则正实数k 的取值范围是 【 】A ．]1,21[；B ．]1,21(；C ．]2log ,21(3；D ．]2log ,21[3．三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 16．（本题满分11分，第1小题6分，第2小题5分）已知正四棱柱1111ABCD A BC D -，a AA a AB 2,1==,,E F 分别是棱,AD CD 的中点． (1) 求异面直线1BC EF 与所成角的大小； (2) 求四面体EF CA 1的体积．17．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）设双曲线C ：22123x y -=， 12,F F 为其左右两个焦点． (1) 设O 为坐标原点，M 为双曲线C 右支上任意一点，求M F OM 1⋅的取值范围； (2) 若动点P 与双曲线C 的两个焦点12,F F 的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为19-，求动点P 的轨迹方程．18．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向cos θ⎛=⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．(1) 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； (2) 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？19．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）设集合|)({x f M a =存在正实数a ，使得定义域内任意x 都有)}()(x f a x f >+．(1) 若22)(x x f x -=，试判断)(x f 是否为1M 中的元素，并说明理由；(2) 若341)(3+-=x x x g ，且a M x g ∈)(，求a 的取值范围； (3) 若),1[),(log )(3+∞∈+=x xkx x h （R ∈k ），且2)(M x h ∈，求)(x h 的最小值．20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分）由)2(≥n n 个不同的数构成的数列12,,n a a a 中，若1i j n ≤<≤时，i j a a <（即后面的项j a 小于前面项i a ），则称i a 与j a 构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数．如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为3012=++；同理，等比数列81,41,21,1--的逆序数为4． (1) 计算数列*219(1100,N )n a n n n =-+≤≤∈的逆序数；(2) 计算数列1,3,1nn n a n n n ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-⎪+⎩为奇数为偶数（*1,N n k n ≤≤∈）的逆序数；(3) 已知数列12,,n a a a 的逆序数为a ，求11,,n n a a a - 的逆序数．静安区2016-2017学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷答案与评分标准一、1．()∞+，0; 2．π; 3．21; 4．10; 5．243π; 6．102; 7．8; 8．4019; 9．12; 10．4 二、11. D; 12. D; 13. A; 14.B; 15.C. 16．解：（1）连接11C A ，……………………………….1分则B C A 11∠为异面直线1BC EF 与所成角 …………….1分 在B C A 11∆中，可求得a B A B C 511==，a C A 211=11cos 1010AC B ∠==∴异面直线所成角的大小arccos …………………….4分 （2）113112322212C A EF A EFCa a a V V a --==⋅⋅⋅⋅= ……………………………….5分 17．（1）设(),M x y，x ≥1(F ，1(,)()OM FM x y x y ⋅=⋅2222332x x y x =+=+-……………………………4分2532x =+-（x ≥5x =-≤)12OM F M ⎡⋅∈+∞⎣……………………………3分（2）由椭圆定义得：P 点轨迹为椭圆22221x y a b+=，12F F =122PF PF a +=2221212121212204220cos 22PF PF a PF PF F PF PF PF PF PF +--⋅-∠==⋅⋅21242012a PF PF -=-⋅……………………………4分由基本不等式得122a PF PF =+≥当且仅当12PF PF =时等号成立212PF PF a ⋅≤221224201cos 1929a F PF a a -⇒∠≥-=-⇒=，24b = 所求动点P 的轨迹方程为22194x y +=……………………………3分 18．解：（1）如图建立直角坐标系，……………………………1分则城市()0,0A ，当前台风中心(P -，设t小时后台风中心P 的坐标为(),x y，则x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，此时台风的半径为6010t +，10小时后，4.184PA ≈km ，台风的半径为=r 160km,PA <r , ……………………………5分故，10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A . ………1分 （2）因此，t 小时后台风侵袭的范围可视为以()P -为圆心，6010t +为半径的圆，若城市A 受到台风侵袭，则210800864000300t t -+≤⇒，即2362880t t -+≤，……………………………5分解得1224t ≤≤ ……………………………1分 答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时. ……………………………1分19．解：（1）∵1)0()1(==f f ， ∴1)(M x f ∉. ……………………………4分（2）由0413341)(41)()()(32233>-++=++--+=-+a a x a ax x a x x a x x g a x g …2分 ∴0)41(12934<--=∆a a a a ， ……………………………3分 故 1>a . ……………………………1分（3）由0)(log ]2)2[(log )()2(33>+-+++=-+xkx x k x x h x h , ………………1分 即：)(log ]2)2[(log 33xk x x k x +>+++ ∴ 022>+>+++xkx x k x 对任意),1[+∞∈x 都成立 ∴ 3113)2(2<<-⇒⎩⎨⎧-><⇒⎩⎨⎧->+<k k k x k x x k ……………………………3分 当01≤<-k 时，)1(log )1()(3min k h x h +==； ……………………………1分 当10<<k 时，)1(log )1()(3min k h x h +==； ……………………………1分 当31<≤k 时，)2(log )()(3min k k h x h ==. ……………………………1分 综上：⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<-+=.31),2(log ,11),1(log )(33mink k k k x h ……………………………1分 20．（1）因为{}n a 为单调递减数列，所以逆序数为(991)999998149502+⨯+++== ； ……………………………4分（2）当n 为奇数时，13210n a a a ->>>> ．……………………………1分 当n 为偶数时，222(4)112120(1)(1)n n n n a a n n n n n n ---=-+≥+--=--=<+-所以2420n a a a >>>> ． ……………………………2分 当k 为奇数时，逆序数为235341(1)(3)21228k k k k k k ---+-+-++++++= ……………2分当k 为偶数时，逆序数为22432(1)(3)11228k k k kk k ----+-++++++= …………………2分（3）在数列12,,n a a a 中，若1a 与后面1n -个数构成1p 个逆序对，则有1(1)n p --不构成逆序对，所以在数列11,,n n a a a - 中， 逆序数为12(1)(1)(2)()2n n n n p n p n n p a ---+--++--=- ．…7分。

2017—2018学年度第一学期期末教学质量检查高三文科数学 参考答案一、选择题13．1(,)2+∞14．220x y --= 15．14π 16．)33,32( 三、解答题（17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）2324a a a =⋅34a ∴=±…………………………………1分若34a =-，则23610a a =-=，此时32a a <，不合题意，舍去； 若34a =，则2362a a =-=，此时2q =，11a =，符合题意.…………………………………4分从而数列{}n a 的通项公式12()n n a n N -*=∈.…………………………………5分 （Ⅱ）由条件n n a b n = 知 12n n n n n b a -==…………………………………6分则 21231222n n n T -=++++ ①21112122222n n n n nT --=++++ ② ①－②可得：211111(1)22222n n nnT -=++++- …………… ……………………9分所以11111221222212= =n n n n nn n T ------ …………………………………11分所以数列{}n b 的前n 项和211422n n n n T --=--. …………………………………12分（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，样本中生长高度在115cm 以上（含115cm ）的频率为 ()0.010.0080.00410=0.22++⨯， 所以株数为0.221000=220⨯.…………………………………2分（Ⅱ）由频率分布直方图可估计：=600.02700.08800.14900.151000.241100.151200.11300.081400.04=100x -⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯…………………………………4分2=16000.029000.084000.141000.151000.154000.19000.0816000.04=366s ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯…………………………………6分∴莞草株高的平均数100cm ，方差为366.…………………………………7分（Ⅲ）设两株高度和不少于225cm 的事件为A ，记高度依次为100cm ，110cm ，112cm ，112cm ，125cm ，125cm 的莞草 分别为,,,,,a b c d e f .则两株高度和共有15种结果，如下：(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f…………………………………9分其中A 包含了(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,) a e a f b e b f c e c f d e d f e f 9个结果，93()155P A ∴==…………………………………11分故这两株莞草高度和不少于225cm 的概率为35. …………………………………12分（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知又2=CD ，所以DAB ∆和DBC ∆均为等腰∆Rt ，…………………………………1分所以045=∠=∠BDC ADB ，则090=∠ADC ，…………………………………2分…………………………………3分 取DE 中点H ，连,,HF AH BF ，又因为F 为EC 中点，…………………………………4分所以HF AB //且HF AB =，所以ABFH 为平行四边形， 所以AH BF //，…………………………………5分又因为AH ADE ⊂面，ADE BF 面⊄，所以ADE BF 面//.…………………………………6分（Ⅱ）由（1）BC BD ⊥又BE BC ⊥，BC EBD ∴⊥面 .DE BC ∴⊥…………………………………7分又由（1）知DE DC ⊥，DE ABCD ∴⊥面 .…………………………………8分设点D 到面BCE 的距离为h ，11,133E BCD D BCE V V h --=∴⋅= .…………………………………10分D 到面BCE.…………………………………12分 （20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）椭圆C 的焦距为2c ，则22c =即1c =…………………………………1分22e=a ∴==所以2221b ac =-=…………………………………3分故椭圆C 的方程为2212y x +=.…………………………………4分（Ⅱ） 假设满足条件的直线l 存在，设其方程为y x t =+，…………………………………5分四边形PMQN 为平行四边形即MN 与PQ 互相平分 设()11,M x y ，()()()22344,,3,,,N x y P y Q x y ， 所以 124= 3x x x ++-----------①…………………………………6分由2212y x t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得223220x tx t ++-=， 则()2241220t t ∆=-->，解得t <<由韦达定理知122= 3x x t +------------ ② …………………………………8分②代入①可得：42=33x t --t <<( …………………………………9分从而4[3]x ∈- …………………………………10分45 331333-<-=-<-由于与椭圆上点的横坐标的取值范围[]1,1-矛盾，…………………………………11分故点Q 不在椭圆上，从而满足条件的直线l 不存在.…………………………………12分21．（本小题满分12分）解：（1）因为1-=a ，,)(xe a xf +='1)(-='∴xe xf …………………………………1分 且)(),(,x f x f x '的变化关系表为…………………………3分 ∴当0=x 时，)(x f 有最小值为1)0(=f …………………………………4分1)(≥∴x f …………………………………5分（2）令()[)+∞∈++-+=+-=,0,1ln 11ln)()(x x e ax x ex f x g x ∴,11)(+++='x e a x g x…………………………………6分由（1）知[)1,,0+≥+∞∈x e x x ① 当,0211111)(02≥+>++++>+++='>-≥a x x a x e a x g x a x 时，，∴[)0)0()(,,0=+∞∈g x g x 单调递增，且 ∴[).0)0()(,,0恒成立=≥+∞∈g x g x 从而.2符合题意-≥a……………………………………8分② 当2a <-时，令()11x x e a x ϕ=+++, 则()()()()222111011x xx e x e x x ϕ+-'=-=≥++. ∴函数()x ϕ在区间[)0,+∞上单调递增.………………………………………9分由于()020a ϕ=+<,()111110111a a e a a a a a aϕ--=++≥-++=+>---. 故()00,x a ∃∈-,使得()00x ϕ=.…………………………………………10分则当00x x <<时,()()00x x ϕϕ<=,即()0g x '<. ∴函数()g x 在区间()00,x 上单调递减. ∴ ()()000g x g <=,不符题意.…………………………………………11分综上所述,实数a 的取值范围是[)2,-+∞.…………………………………………12分22．（本小题满分10分）1 ( )2x C y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩解：(1)曲线的参数方程为：为参数转化为普通方程：043222=--+y x y x ，…………………………………………2分∴曲线C 1的极坐标方程为：0sin 4cos 32=-θθρ-， 直线l 1的极坐标方程为：6πθ=（R ∈ρ）．…………………………………………5分（2）设A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)，由⎪⎩⎪⎨⎧=--=0sin 4cos 326θθρπθ解得0=ρ（舍去）或5=ρ，所以51=ρ．…………………………………………7分由⎪⎩⎪⎨⎧=--=0sin 4cos 323θθρπθ解得0=ρ（舍去）或33=ρ，所以332=ρ． …………………………………………9分∴三角形△AOB 的面积为4315)63sin(2121=-=∆ππρρABC S ． …………………………………………10分 23．（本小题满分10分）解：（1）当1a =时，不等式()2f x >即为1242x x +-->， …………………………………………1分若-1x ≤，不等式可化为52x ->，解得7x >，无解， 若12x -<<，不等式可化为1(24)2x x ++->，解得53x >，所以 523x << 若2x ≥，不等式可化为1(24)2x x +-->，解得3x <，所以23x ≤<…………………………………………4分 综上所述，关于x 的不等式()2f x >的解集为533xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. …………………………………………5分 （2）由题意可知()12441 2 314 124 1 1f x x x aa x x ax a x ax a x =+--+-≥⎧⎪=+--<<⎨⎪--≤-⎩，，， …………………………………………6分所以()y f x =的图象与x 轴围成的三角形为PEF ∆41(2,21),(,0),(41,0)3a P a a E F a -++其中 …………………………………………7分8141(41)(21)823PEF S a a a ∆∴>-⇒⨯+-⨯+>2(21)12 a +>整理得： …………………………………………9分121 2a a a >∴+>>即…………………………………………10分。

上海市静安区高三数学上学期期末教学质量检测（一模）试题（含解析）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分44分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．计算：= ．考点：极限及其运算．专题：导数的概念及应用．分析：利用数列极限的运算法则即可得出．解答：解：原式==．故答案为：．点评：本题考查了数列极限的运算法则，属于基础题．2．已知集合M={y|y=2x，x≥0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N=（0，2）．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用交集的定义和对数函数的性质求解．解答：解：∵集合M={y|y=2x，x≥0}={y|y≥0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}={x|2x﹣x2＞0}={x|0＜x＜2}，∴M∩N=（0，2）．故答案为：（0，2）．点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意对数函数的性质的合理运用．3．设（1﹣x）8=a0+a1x+…+a7x7+a8x8，则|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|= 256 ．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由题意可得（1+x）8=|a0|+|a1|x+…+|a7|x7+|a8|x8，在此等式中，令x=1，可得|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|的值．解答：解：由题意可得（1+x）8=|a0|+|a1|x+…+|a7|x7+|a8|x8，在此等式中，令x=1，可得|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|=28=256，故答案为：256．点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．4．已知等差数列{a n}的首项为3，公差为4，则该数列的前n项和S n= 2n2+n ．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意代入等差数列的求和公式可得．解答：解：由题意可得a1=3，公差d=4，∴S n=na1+ d=3n+2n（n﹣1）=2n2+n故答案为：2n2+n．点评：本题考查等差数列的求和公式，属基础题．5．不等式1﹣＜0的解集是（，4）．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：原不等式即为或，分别解出它们，再求交集即可．解答：解：不等式1﹣＜0即为＜0，即为或，即有x∈∅或＜x＜4，则解集为（，4）．故答案为：（，4）．点评：本题考查分式不等式的解法，考查转化为一次不等式组求解，考查运算能力，属于基础题．6．一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有45 种不同结果（用数值作答）．考点：组合及组合数公式．专题：概率与统计．分析：由题意可得共有种不同结果．解答：解：一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有=45种不同结果．故答案为：45．点评：本题考查了组合数的计算公式，属于基础题．7．（4分）理：如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，PA=1，底面ABCD是正方形，PC与底面ABCD所成角的大小为，则该四棱锥的体积是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据几何体的性质得出Rt△PAC中，PA=1，∠PCA=，AC=，运用体积公式求解即可．解答：解：∵PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PC与底面ABCD所成角的大小为，∴Rt△PAC中，PA=1，∠PCA=，AC=，∵底面ABCD是正方形，∴AB=，V=×1=故答案为：；点评：本题考查了空间直线平面的几何性质，夹角，体积计算问题，属于中档题．8．不等式的解集是（，4）．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：不等式即为或，分别求出它们，再求并集即可．解答：解：不等式即为或，即x∈∅或＜x＜4，则解集为（，4）．故答案为：（，4）．点评：本题考查分式不等式的解法，考查转化为一次不等式组求解，考查运算能力，属于基础题．9．文：已知数列{a n}的通项公式a n=22﹣n+2n+1（其中n∈N*），则该数列的前n项和S n=．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：首先把数列的通项公式进行转换，进一步利用等比数列的前n项和公式进行求解．解答：解：数列数列{a n}的通项公式：整理得：则：+2（21+22+…+2n）=4•+2==故答案为：点评：本题考查的知识要点：数列通项公式的应用，等比数列前n项和的应用．属于基础题型．10．（4分）已知两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，，若，则t= ﹣2 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用平面向量的数量积的定义和向量垂直的条件即为数量积为0，计算即可得到t．解答：解：两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，则=||•||•cos30°==，由，若，则•（t+（1﹣t））=0，即t+（1﹣t）=0，即有t+1﹣t=0，解得，t=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查运算能力，属于基础题．11．已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是3π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：根据已知中圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，计算出圆锥母线的长度，进而可得该圆锥的侧面积．解答：解：∵圆锥底面的半径r=1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，故圆锥的母线l满足：，解得：l=3，∴该圆锥的侧面积S=πrl=3π．故答案为：3π点评：本题考查的知识点是旋转体，圆锥的侧面积，其中根据，求出圆锥的母线长度，是解答的关键．12．（4分）已知f（x）=x|x﹣1|+1，f（2x）=（其中x＞0），则x= ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得，由此能求出．解答：解：∵f（x）=x|x﹣1|+1，f（2x）=（其中x＞0），∴，∴，∵x＞0，∴（2x）2﹣2x﹣=0，解得2x=，∴．故答案为：．点评：本题考查函数值的求法及应用，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用．13．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边在射线y=﹣2x （x≤0）上，则sin2α=．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由题意根据任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，进而确定出sin2α的值．解答：解：根据题意得：tanα=﹣2，sinα=，cosα=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=﹣2××=．故答案为：．点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握公式是解本题的关键．14．（4分）理：已知△ABC的顶点A（2，6）、B（7，1）、C（﹣1，﹣3），则△ABC的内角∠BAC 的大小是arccos．（结果用反三角函数值表示）考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由三点坐标，利用两点间的距离公式求出a，b，c的值，利用余弦定理求出cos∠BAC 的值，即可确定出∠BAC的度数．解答：解：∵△ABC的顶点A（2，6）、B（7，1）、C（﹣1，﹣3），∴|AB|=c==5，|AC|=b==3，|BC|=a==4，∴cos∠BAC===，则∠BAC=arccos，故答案为：arccos点评：此题考查了余弦定理，两点间的距离公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．15．（4分）若α，β是一二次方程2x2+x+3=0的两根，则= ﹣．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由已知结合韦达定理，可得α+β=﹣，α•β=，进而根据=代入可得答案．解答：解：∵α，β是一二次方程2x2+x+3=0的两根，∴α+β=﹣，α•β=，∴===﹣，故答案为：﹣点评：本题考查的知识点是根与系数的关系（韦达定理），难度不大，属于基础题．16．已知两条直线的方程分别为l1：x﹣y+1=0和l2：2x﹣y+2=0，则这两条直线的夹角大小为arctan（结果用反三角函数值表示）．考点：两直线的夹角与到角问题．专题：直线与圆．分析：这两条直线的斜率分别为1和2，设这两条直线的夹角大小为θ，再利用两条直线的夹角公式求得这两条直线的夹角大小．解答：解：这两条直线的斜率分别为1和2，设这两条直线的夹角大小为θ，则由tanθ=||=||=，∴θ=arctan，故答案为：．点评：本题主要考查两条直线的夹角公式的应用，反正切函数，属于基础题．17．（4分）（2012•绍兴一模）已知tanα，tanβ是方程x2+3x+4=0的两根，α，β∈（﹣，）则α+β=﹣．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：此题运用根与系数的关系求出tanα+tanβ的值和tanαtanβ的值，根据两角和与差的正切公式即可求出α+β，但一定要注意α，β的范围解答：解：tanα，tanβ是方程的两根，tanα+tanβ=﹣3，tanαtanβ=4，tan（α+β）==又∵α、β∈（﹣，），∴α+β∈（﹣π，π）．又∵tanα+tanβ=﹣3，tanα•tanβ=4，∴α、β同为负角，∴α+β=﹣．故答案为﹣点评：此题考查根与系数的关系和两角和的正切，解题时一定要注意α，β的角度范围，这是本题容易出错的地方18．直线l经过点P（﹣2，1）且点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，则直线l的方程是或．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣2，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l；kx﹣y+2k+1=0，则=1，由此能求出直线l的方程．解答：解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣2，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l；y﹣1=k（x+2），即kx﹣y+2k+1=0，∵点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，∴=1，解得k=，∴直线l的方程为：或．故答案为：或．点评：本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．19．（4分）已知实数x、y满足|x|≥|y|+1，则的取值范围是[﹣2，2] ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出满足条件的平面区域，设z=，则y=zx+2，将问题转化为求直线的斜率的范围，通过图象求出答案．解答：解：画出满足条件|x|≥|y|+1的平面区域，如图示：，设z=，则y=zx+2，当直线过（﹣1，0）时，z最小为：﹣2，当直线过（1，0）时，z最大为：2，∴﹣2≤z≤2，故答案为：[﹣2，2]．点评：本题考查了线性规划问题，考查了数形结合思想，考查了转化思想，是一道中档题．21．一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围是0＜S＜2 ．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：设等比数列的公比为q，则q＜0，由题意可得S==，可得＜0，从而可求S的范围解答：解：设等比数列的公比为q，则q＜0∵S==∴＜0∴0＜S＜2故答案为：0＜S＜2点评：本题主要考查了无穷等比数列的各项和公式的应用，属于基础试题22．（4分）理：两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛，每两名参赛选手之间都比赛一次，胜者得1分，和棋各得0.5分，输者得0分，即每场比赛双方的得分之和是1分．两名高一年级的学生共得8分，且每名高二年级的学生都得相同分数，则有7或14 名高二年级的学生参加比赛．（结果用数值作答）考点：组合及组合数公式．专题：概率与统计．分析：设高二学生有n名．则共比赛场，每名高二年级的学生都得相同分数为k．可得．化为n2+（3﹣2k）n﹣14=0，通过对﹣14分解质因数，利用根与系数的关系即可得出．解答：解：设高二学生有n名．则共比赛场，每名高二年级的学生都得相同分数为k．∴．化为n2+（3﹣2k）n﹣14=0，∵﹣14=﹣2×7=2×（﹣7）=﹣1×14=1×（﹣14）．当2k﹣3=7﹣2时，可得k=4，此时n=7，当2k﹣3=14﹣1时，可得k=8，此时n=14．而2k﹣3=2﹣7或2k﹣3=1﹣14，k＜0，舍去．综上可得：n=7或14．故答案为：7或14．点评：本题考查了组合的计算公式、分类讨论思想方法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．23．（5分）在下列幂函数中，是偶函数且在（0，+∞）上是增函数的是（）A．y=x﹣2B．C．D．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由幂函数的奇偶性和单调性，以及定义，对选项加以判断，即可得到是偶函数且在（0，+∞）上是增函数的函数．解答：解：对于A．有f（﹣x）=f（x），是偶函数，但在（0，+∞）上递减，则A不满足；对于B．定义域为[0，+∞），不关于原点对称，不具奇偶性，则B不满足；对于C．有f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数，则C不满足；对于D．定义域R关于原点对称，f（﹣x）=f（x），则为偶函数，且在（0，+∞）上递增，则D满足．故选D．点评：本题考查幂函数的性质，考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义和性质，属于基础题和易错题．24．（5分）已知直线l1：3x﹣（k+2）y+6=0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2=0，记．D=0是两条直线l1与直线l2平行的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据3（2k﹣3）+（k+2）k=0得出k=﹣9或k=1，分别判断当k=1时，直线l1：x﹣y+2=0，直线l2：x﹣y+2=0，l1l2重合，当k=9时，直线l1：3x+7y+6=0，直线l2：﹣9x﹣21y+2=0，l1∥l2，根据充分必要条件的定义判断即可．解答：解：∵直线l1：3x﹣（k+2）y+6=0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2=0，记．∴3（2k﹣3）+（k+2）k=0k2+8k﹣9=0，k=﹣9或k=1，当k=1时，直线l1：x﹣y+2=0，直线l2：x﹣y+2=0，∴l1l2重合，当k=9时，直线l1：3x+7y+6=0，直线l2：﹣9x﹣21y+2=0，∴l1∥l2，根据充分必要条件的定义得出：D=0是两条直线l1与直线l2平行的必要不充分条件．故选：B点评：本题考查了直线与直线平面的平行条件，充分必要条件的定义，属于中档题．25．（5分）已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是（）A．M B．N C．P D．Q考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由图可知：z=3+i．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解答：解：由图可知：z=3+i．∴复数====2﹣i表示的点是Q（2，﹣1）．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．26．（5分）到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（）A．1个B．4个C．7个D．8个考点：平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：对于四点不共面时，画出对应的几何体，根据几何体和在平面两侧的点的个数分两类，结合图形进行解．解答：解：当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图：①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有四个，②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，所以满足条件的平面共有7个，故选：C点评：本题考查了空间四点问题，当不共面时构成三棱锥，由几何体的特征再分类讨论进行判断，考查了分类讨论思想和空间想象能力．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.27．（14分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足．（1）求∠B的大小；（2）若b=，△ABC的面积S△ABC=，求a+c的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由正弦定理列出关系式，结合已知等式求出sinB的值，即可确定出B的度数；（2）由三角形面积公式列出关系式，把已知面积与sinB的值代入求出ac的值，再利用余弦定理列出关系式，即可确定出a+c的值．解答：解：（1）由正弦定理：=，得==，∴sinB=，又由B为锐角，得B=；（2）∵S△ABC=acsinB=，sinB=，∴ac=3，根据余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB=7+3=10，∴（a+c）2=a2+c2+2ac=16，则a+c=4．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．28．（14分）上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定．（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费y（元）与行车里程x（公里）之间的函数关系式y=f（x）．考点：函数解析式的求解及常用方法；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意可知，这8公里内的前3公里的收费是14元，超过3公里而10公里以内每公里按2.4元计价，则8﹣3=5公里的收费是5×2.4=12元，两者相加即是小明应付的车费；（2）分三种情况：前3公里、超过3公里而10公里以内、大于10公里，分别写出函数的表达式，最后用分段函数表示．解答：解：（1）由题意可知，起步（3公里以内）价是14元，则这8公里内的前3公里的收费是14元，超过3公里而10公里以内每公里按2.4元计价，则8﹣3=5公里的收费是5×2.4=12元，总共收费14+12=26（元）故他应付出出租车费26元．（2）3公里以内价是14元，即0＜x≤3时，y=14（元）；大于3公里而不超过10公里时，即3＜x≤10时，收费y=14+（x﹣3）2.4=2.4x+6.8（元）；大于10公里时，即x＞10时，收费y=14+7×2.4+（x﹣10）3.6=3.6x﹣5.2（元）．∴y=点评：本题考点是分段函数的应用，分段模型是解决实际问题的很重要的函数模型，其特点是在不同的自变量取值范围内，函数解析式不同．29．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为面ADD1A1的对角线AD1的中点．PM⊥平面ABCD交AD与M，MN⊥BD于N．（1）求异面直线PN与A1C1所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥P﹣BMN的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）判断出∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角，在△PMN中，∠PMN为直角，，求解得出异面直线PN与A1C1所成角的大小为．（2）BN=，运用，求解得出体积．解答：解：（1）∵点P为面ADD1A1的对角线AD1的中点，且PM⊥平面ABCD，∴PM为△ADD1的中位线，得PM=1，又∵MN⊥BD，∴，∵在底面ABCD中，MN⊥BD，AC⊥BD，∴MN∥AC，又∵A1C1∥AC，∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角，在△PMN中，∠PMN为直角，，∴．即异面直线PN与A1C1所成角的大小为．（2），，点评：本题考查了空间直线的夹角问题，空间几何体的体积计算，属于中档题．30．（14分）理：如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点P为面ADD1A1的对角线AD1上的动点（不包括端点）．PM⊥平面ABCD交AD于点M，MN⊥BD于点N．（1）设AP=x，将PN长表示为x的函数；（2）当PN最小时，求异面直线PN与A1C1所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）考点：异面直线及其所成的角；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；函数的性质及应用；空间角．分析：（1）求出PM，AM，运用余弦定理，求得PN；（2）求出PN的最小值，由于MN∥AC，又A1C1∥AC，∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角的平面角，通过解直角三角形PMN，即可得到．解答：解：（1）在△APM中，，；其中；在△MND中，，在△PMN中，，；（2）当时，PN最小，此时．因为在底面ABCD中，MN⊥BD，AC⊥BD，所以MN∥AC，又A1C1∥AC，∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角的平面角，在△PMN中，∠PMN为直角，，所以，异面直线PN与A1C1所成角的大小．点评：本题考查空间异面直线所成的角的求法，考查二次函数的性质和运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．31．（16分）已知函数（其中a＞1）．（1）判断函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（3）若两个函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上恒满足|F（x）﹣G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上是分离的．试判断函数y=f﹣1（x）与g（x）=a x在闭区间[1，2]上是否分离？若分离，求出实数a的取值范围；若不分离，请说明理由．考点：函数奇偶性的性质；反函数．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数奇偶性的定义进行判断；（2）根据反函数的定义，反解x，主要x的取值范围；（3）根据两函数在闭区间上分离的概念课求得解答：解：（1）∵，∴函数y=f（x）的定义域为R，（1分）又∵，∴函数y=f（x）是奇函数．（4分）（2）由，且当x→﹣∞时，，当x→+∞时，，得的值域为实数集．解得，x∈R．（8分）（3）在区间[1，2]上恒成立，即，即a x+a﹣x＞4在区间[1，2]上恒成立，（11分）令a x=t，∵a＞1，∴t∈[a，a2]，在t∈[a，a2]上单调递增，∴，解得，∴．（16分）点评：本题主要考查函数的奇偶性、反函数以及新概念的题目、32．（16分）在数列{a n}中，已知a2=1，前n项和为S n，且．（其中n∈N*）（1）文：求a1；理：求数列{a n}的通项公式；（2）文：求数列{a n}的通项公式；理：求；（3）设，问是否存在正整数p、q（其中1＜p＜q），使得b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；否则，说明理由．考点：数列的求和；极限及其运算．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用递推关系式求数列的通项公式，对首项进行验证．（2）利用（1）的结论直接求出极限．（3）首先假设存在p和q，进一步进行关系验证求出具体的值．解答：解：文（1）因为，令n=2，得，所以a1=0，当n≥2时，，，推得，又a2=1，a3=2a2=3，所以a n+1=n当n=1，2时也成立，所以a n=n﹣1．（2）直接利用（1）的结论：解得：=（3）文理相同：假设存在正整数p、q，使得b1，b p、b q成等比数列，则lgb1，lgb p、lgb q成等差数列，故，（1）由于右边大于，则，即．考查数列的单调性，因为，所以数列为单调递减数列．当p=2时，，代入（1）式得，解得q=3；当p≥3时，（舍）．综上得：满足条件的正整数组（p，q）为（2，3）．点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式求数列的通项公式，极限的应用，存在性问题的应用．属于中等题型．。

O
x
第 24 题图
25．（本题满分 14 分，其中第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 4 分）
已知：如图，四边形 ABCD 中，0°＜∠BAD ≤90°，AD=DC，AB=BC，AC 平分∠BAD． （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）如果点 E 在对角线 AC 上，联结 BE 并延长，交边 DC 于点 G，交线段 AD 的延长线 于点 F（点 F 可与点 D 重合），∠AFB =∠ACB，设 AB 长度是 a （ a 是常数，且 a 0 ）， AC= x ，AF= y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域； （3）在第（2）小题的条件下，当△ CGE 是等腰三角形时， F 求 AC 的长．（计算结果用含 a 的代数式表示）
（A） 2 2 ； （B） 2 2 ； （C） 2 ；
3
4
（D） 3 ．
大力数学工作室 | 李老师
1
6．将抛物线 y1 x2 2x 3 先向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位后，与抛物线
y2 ax2 bx c 重合，现有一直线 y3 2x 3与抛物线 y2 ax2 bx c 相交，当 y2
bd3
bd
8．已知线段 AB 长是 2 厘米，P 是线段 AB 上的一点，且满足 AP 2 =AB ·BP，那么 AP 长
为 ▲ 厘米．
9．已知△ ABC 的三边长分别是 2 、 6 、2 ，△ DEF 的两边长分别是1和 3 ，如果△ ABC
与△ DEF 相似，那么△ DEF 的第三边长应该是 ▲ ．
（D） a10 ．
2．下列方程中，有实数根的是
（A） x 1 1 0 ； （B） x 1 1； （C） 2x4 3 0 ；（D） 2 1．