《抽象代数》课程教学大纲
Abstract Algebra
课程代码：课程性质：专业基础理论课/必修
适用专业：开课学期：4
总学时数：56总学分数：3.5
编写年月：2004年7月修订年月：2007年7月
执笔：陈建新
一、课程的性质和目的
抽象代数是信息安全方向的重要基础课程之一，主要介绍群，环，域（以及模）的基本概念和基本理论。通过以上知识的学习和习题的训练，培养学生的抽象思维能力和严密的逻辑推理能力，使学生们将受到良好的代数训练，并为进一步学习数学得到一个扎实的代数基础。
二、课程教学内容及学时分配
1. 基本概念（12学时）
了解变换的概念,区分变换与映射的不同。理解代数运算的概念,会判断给定的运算是否代数运算。对于给定的代数运算，会验证是否满足结合律，交换律以及左右分配律。给定两个不同的代数系统，会判断二者是否同态或者同构。最后，在这一部分还要求理解等价关系和集合分类之间的关系，对给定的等价关系，如何确定一个集合的分类，反之，给定一个集合的分类又掌握确定怎样的一个等价关系的方法。
2.群（12学时）
理解群和交换群的定义，群的一些简单的性质以及逆元和单位元在群中的作用。了解同群有密切关系但比群更广泛的代数系统半群。
掌握群中元素的阶的概念和表示方法。会求一些简单群中的指定元素的阶。
理解子群的概念，和群的分类：平凡子群及真子群。知道给定群的子群的单位元和逆元与该群的关系。掌握非空子集做成子群的充要条件。知道中心元素的概念，会找一些简单群的中心。
理解循环群的生成，循环群的子群和循环群的关系。会判断n阶循环群中的一个元素是否可以生成这个循环群。
了解变换群的概念，理解抽象群和变化群之间的联系。理解置换群，循环和对换的定义，会用循环和循环的乘积来表示置换。
了解奇置换和偶置换的概念和它们之间的关系。掌握置换的简单运算：置换间的相乘，置换逆的求法和置换的阶。
理解陪集，指数的定义和Lagrange定理的内容。了解Lagrange定理所给出的陪集和指数与群的阶之间的关系。
3. 正规子群和群的同态同构（10学时）
理解在群同态映射下，单位元与逆元的象分别具有什么特点。
掌握正规子群的定义和简单性质，子群做成正规子群的条件。在同态映射下的正规子群以及正规子群相乘的状况。了解商群及商群的一个应用。
理解群同态基本定理的内容。
理解群同构基本定理的内容（群的第一，第二和第三同构基本定理）。
对群的自同构群做了解。
4. 环与域（10学时）
理解环的定义，以及交换环和非交换环的概念。会判断给定的一个集合上的运算的代数系统是否构成环。了解循环环的概念。
理解环的零因子和特征的概念。
理解除环和域的概念，掌握一个重要的四元除环。
掌握环的同态与同构。了解挖补定理的内容。
了解模n的剩余类环的做成和剩余类环的一些性质。
了解理想的定义和商环与环同态基本定理。
理解素理想与极大理想的概念掌握它们的性质与一些简单证明。
5. 惟一分解整环（10学时）
理解和掌握相伴元和不可约元的定义，以及唯一分解整的定义和性质。了解主理想环和欧氏环。
三、课程教学的基本要求
本课程是应用数学学院的专业基础课程，理论性较强，概念较为抽象，属于本专业的理论基础课。在教学方法上，以课堂讲授为主，课后自学，课堂讨论等教学形式。通过对本课程的学习，掌握如下知识：
1.基本概念
重新回顾集合与映射的概念，并引入特殊的映射：变换的定义。介绍代数运算及代数运算所满足的运算律（结合律，交换律和左右分配律）。最后给出同态和同构的定义，等价关系与集合分类的定义，以及等价关系与集合分类之间的关系。
2.群的性质
群的定义与初步性质（群中任意一个元素具有逆元，群有单位元，单位元和逆元是惟一的，并且在群中消去律成立）；群中元素的阶的定义和特殊的群：子群，循环群，变换群，置换群。最后给出陪集，指数的定义以及著名的Lagrange定理。
3. 正规子群和群的同态同构
群同态与同构的简单性质，正规子群和商群，群同态基本定理，群的同构定理，自同构的群。
4. 环与域
环的定义，环的零因子和特征，除环和域，环的同态与同构，模n的剩余类环，理想，特殊的环：商环与环同态基本定理，最后介绍素理想和极大理想。
5.惟一分解整环
相伴元与不可约元，惟一分解整环定义和性质，主理想整环定义和性质以及欧氏环。
在每章结束时，安排2节习题课，针对学生作业情况做必要的讲解和分析，关键在于理清学生的思路，激发学生的学习兴趣。
四、本课程与其它课程的联系和分工
本课程是高等代数的后继课程。本课程不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在学科中也有广泛的应用。并且本课程的研究方法和观点，对其他学科也产生越来越大的影响。是学习计算机学科的重要基础课程。
五、建议教材与教学参考书
[1]《近世代数》杨子胥编著，高等教育出版社
[2]《近世代数基础》张禾瑞著，高等教育出版社
[3]《近世代数习题解》杨子胥宋宝和编著，山东科学技术出版社
