matlab---三次样条插值

题目背景：对y=1/（1+x^2）在[-1，1]区间以Xn=-1+0.1*（n-1），n=1 (21)为插值点做三次样条插值求解思路简析：以插值为四段三次函数为例进行说明（题干为插值20段三次函数），可看出方程组为q*x=d，其中q为方程组系数矩阵，x为所求三次函数的系数矩阵，其中方程组系数矩阵和d均呈规律性变化（边界点除外，首位两个点特殊堪虑）function qiujieyangtiao %%定义求解函数q=zeros(80); %%方程组的系数矩阵，赋初值为0n=-1:0.1:1; %%插值点的横坐标nd=zeros(80,1); %%插值点q*x=d中的dy=zeros(21,1); %%插值点的纵坐标向量a=1;for i=-1:0.1:1y(a)=1/(1+i^2);a=a+1; %%给插值点的纵坐标y通过原函数赋值endq(1,3)=2;q(1,4)=6*n(1);q(2,1)=1;q(2,2)=n(1);q(2,3)=n(1)^2;q(2,4)=n(1)^3;d(2)=y(1); %%给左端边界点的两个方程组系数赋值j=2;for i=3:4:75q(i,i-1)=1;q(i,i)=2*n(j);q(i,i+1)=3*n(j)^2;q(i,i+3)=-1;q(i,i+4)=-2*n(j);q(i,i+5)=-3*n(j)^2;d(i)=0;q(i+1,i)=2;q(i+1,i+1)=6*n(j);q(i+1,i+4)=-2;q(i+1,i+5)=-6*n(j);d(i+1)=0;q(i+2,i-2)=1;q(i+2,i-1)=n(j);q(i+2,i)=n(j)^2;q(i+2,i+1)=n(j)^3;d(i+2)=y(j);q(i+3,i+2)=1;q(i+3,i+3)=n(j);q(i+3,i+4)=n(j)^2;q(i+3,i+5)=n(j)^3;d(i+3)=y(j);j=j+1;end %%给系数矩阵赋值q(79,79)=2;q(79,80)=6*n(21);d(79)=0;q(80,77)=1;q(80,78)=n(21);q(80,79)=n(21)^2;q(80,80)=n(21)^3;d(80)=y(21); %%给右端边界点的两个方程组系数赋值result=q\d; %%求解系数矩阵function A=fun(x)if x>=-1&&x<-0.9A=result(1)+result(2)*x+result(3)*x*x+result(4)*x*x*x;elseif x>=-0.9&x<-0.8A=result(5)+result(6)*x+result(7)*x*x+result(8)*x*x*x;elseif x>=-0.8&x<-0.7A=result(9)+result(10)*x+result(11)*x*x+result(12)*x*x*x; elseif x>=-0.7&x<-0.6A=result(13)+result(14)*x+result(15)*x*x+result(16)*x*x*x; elseif x>=-0.6&x<-0.5A=result(17)+result(18)*x+result(19)*x*x+result(20)*x*x*x; elseif x>=-0.5&x<-0.4A=result(21)+result(22)*x+result(23)*x*x+result(24)*x*x*x; elseif x>=-0.4&x<-0.3A=result(25)+result(26)*x+result(27)*x*x+result(28)*x*x*x; elseif x>=-0.3&x<-0.2A=result(29)+result(30)*x+result(31)*x*x+result(32)*x*x*x; elseif x>=-0.2&x<-0.1A=result(33)+result(34)*x+result(35)*x*x+result(36)*x*x*x; elseif x>=-0.1&x<0A=result(37)+result(38)*x+result(39)*x*x+result(40)*x*x*x; elseif x>=0&x<0.1A=result(41)+result(42)*x+result(43)*x*x+result(44)*x*x*x; elseif x>=0.1&x<0.2A=result(45)+result(46)*x+result(47)*x*x+result(48)*x*x*x; elseif x>=0.2&x<0.3A=result(49)+result(50)*x+result(51)*x*x+result(52)*x*x*x; elseif x>=0.3&x<0.4A=result(53)+result(54)*x+result(55)*x*x+result(56)*x*x*x; elseif x>=0.4&x<0.5A=result(57)+result(58)*x+result(59)*x*x+result(60)*x*x*x; elseif x>=0.5&x<0.6A=result(61)+result(62)*x+result(63)*x*x+result(64)*x*x*x; elseif x>=0.6&x<0.7A=result(65)+result(66)*x+result(67)*x*x+result(68)*x*x*x; elseif x>=0.7&x<0.8A=result(69)+result(70)*x+result(71)*x*x+result(72)*x*x*x; elseif x>=0.8&x<0.9A=result(73)+result(74)*x+result(75)*x*x+result(76)*x*x*x; elseA=result(77)+result(78)*x+result(79)*x*x+result(80)*x*x*x; endend %%插值函数用子函数表达，方便调用x=linspace(-1,1);for i=1:length(x)A(i)=fun(x(i));endY=1./(1+x.^2);plot(x,Y,'--',x,A,':')legend('primitive','fitting') %%将原函数与该插值函数画在同一图上进行比较grid ontitle('三次样条插值')for m=1:20fprintf("S%d=%.3f+%.3f*x+%.3f*x.^2+%.3f*x.^3\n",m,result(4*m-3,1),result(4*m-2,1),result(4*m-1,1),result(4*m,1)) %%输出结果endend输出结果：S1=2.049+3.619*x+3.104*x.^2+1.035*x.^3S2=1.010+0.156*x+-0.743*x.^2+-0.390*x.^3S3=1.137+0.632*x+-0.149*x.^2+-0.143*x.^3S4=1.054+0.273*x+-0.660*x.^2+-0.386*x.^3S5=1.023+0.120*x+-0.916*x.^2+-0.528*x.^3S6=1.003+-0.002*x+-1.160*x.^2+-0.691*x.^3S7=0.997+-0.044*x+-1.265*x.^2+-0.779*x.^3S8=0.998+-0.034*x+-1.233*x.^2+-0.743*x.^3S9=1.000+-0.010*x+-1.113*x.^2+-0.543*x.^3S10=1.000+-0.000*x+-1.010*x.^2+-0.200*x.^3S11=1.000+-0.000*x+-1.010*x.^2+0.200*x.^3S12=1.000+0.010*x+-1.113*x.^2+0.543*x.^3S13=0.998+0.034*x+-1.233*x.^2+0.743*x.^3S14=0.997+0.044*x+-1.265*x.^2+0.779*x.^3S15=1.003+0.002*x+-1.160*x.^2+0.691*x.^3S16=1.023+-0.120*x+-0.916*x.^2+0.528*x.^3S17=1.054+-0.273*x+-0.660*x.^2+0.386*x.^3S18=1.137+-0.632*x+-0.149*x.^2+0.143*x.^3S19=1.010+-0.156*x+-0.743*x.^2+0.390*x.^3S20=2.049+-3.619*x+3.104*x.^2+-1.035*x.^3对比图。

Matlab三次样条插值并用枚举法求因变量对应的自变量已知一辆汽车行驶时一些时间点上的速度，时间点为：X=[5:10:125];速度值为：Y=[0.8,2.1,3.3,3.6,3.3,3.0,2.7,2.4,0.3,4.8,4.9,5.8,5.9];想要求得汽车整点速度时的时间值；即要求汽车行驶时出现速度为v=[1 2 3 4 5]时的时刻值。

思路：先利用三次样条插值取得足够的速度值，可以在速度变化区间取得稀疏一些，而在变化较大区间取得细密一些；然后利用枚举法对每个速度值和要求的速度值相比较，在一定精度范围内可以认为他们相等，然后把对应的时间值储存起来；得到的值可能很多，然后取合适的精度，得到时间值；将得到的时间点和图比较，调整程序。

程序：clear all;clcY=[0.8,2.1,3.3,3.6,3.3,3.0,2.7,2.4,0.3,4.8,4.9,5.8,5.9];%因变量X=[5:10:125]; %自变量plot(X,Y,'*'); %绘制点图hold onx=[5:0.0001:25,25.001:0.001:75,75.00001:0.00001:95,95.001:0.001:125];%调整插值点y=spline(X,Y,x); %三次样条插值plot(x,y,'r-'); %绘制曲线set(gca,'xtick',[0:10:140],'ytick',[0:0.5:7]); %调整坐标刻度xlabel('t(s)');ylabel('v(m/s)');title('速度随时间变化曲线');legend('原始数据','三次样条插值',2);grid on %以上都是图像属性设置%*****************枚举法***************************************************L=length(x);j=1;for i=1:Lf= abs(y(i)-1)<0.00001 | abs(y(i)-2)<0.00001 | abs(y(i)-3)<0.00001 |...abs(y(i)-4)<0.000001 | abs(y(i)-5)<=0.0001;if f==1y1(j)=y(i);x1(j)=x(i);j=j+1;endendy1=vpa(y1,4);x1=vpa(x1,4); %取合适的精度%*******************去掉精度范围内重复的值*********************************** dx=diff(subs(x1)); %对散点求导n=length(dx);k=1;%************存储不重复的值****************for i=1:nif dx(i)~=0s(k)=y1(i);t(k)=x1(i);k=k+1;endendt=[t,x1(end)]';v=[s,y1(end)]'; %最终结果disp(' 时间(s) 速度(m/s) ')disp(subs([t v])) %显示结果结果：时间(s) 速度(m/s)6.8500 1.000014.3000 2.000021.8800 3.000055.0000 3.000076.5000 2.000079.5800 1.000087.3200 1.000089.3600 2.000091.1500 3.000093.0400 4.000095.7300 5.0000103.4000 5.0000108.6000 5.0000>>图形曲线：。

1.分析问题
本题是给出粗略等分点让你插入更多点用双线性插值法来作出更清晰的山区地貌图。
2.问题求解
x=0:400:2800;
y=0:400:2400;
z=[1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940;
1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200;
2.分段线性插值与计算量与n无关;n越大，误差越小.
3.三次样条插值比分段线性插值更光滑。
4.‘linear’：分段线性插值；‘spline’：三次样条值。
【实验环境】
MatlabR2010b
二、实验内容
问题1对函数 ，x[-5,5]，分别用分段线性插值和三次样条插值作插值（其中插值节点不少于20），并分别作出每种插值方法的误差曲线.
本次实验因为是我们课本没有的内容，心理上给了我很大的压力，幸好我们还能根据老师的课件以及例题去掌握这次实验所需要的各种插值法，但结果还好，两道题都做出来了。
plot(x,y,'*',x1,yl,'r',x1,y2,'b')
y0=1./(1+x1.^2);
y3=yl-y0;
y4=ys-y0;
holdon
plot(x1,y3,'y',x1,y4,'g')
3.结果
4误。
问题2山区地貌图在某山区（平面区域（0，2800）（0，2400）内，单位：米）测得一些地点的高程（单位：米）如表1，试作出该山区的地貌图.
1.分析问题
本题先取出少量的插值节点并作出图形，再用分段线性插值法和三次样条插值法做出更精确的图形，最后在作出误差曲线。

文章标题：深度解析Matlab三次样条插值1. 前言在数学和工程领域中，插值是一种常见的数值分析技术，它可以用来估计不连续数据点之间的值。

而三次样条插值作为一种常用的插值方法，在Matlab中有着广泛的应用。

本文将从简单到复杂，由浅入深地解析Matlab中的三次样条插值方法，以便读者更深入地理解这一技术。

2. 三次样条插值概述三次样条插值是一种利用分段三次多项式对数据点进行插值的方法。

在Matlab中，可以使用spline函数来进行三次样条插值。

该函数需要输入数据点的x和y坐标，然后可以根据需要进行插值操作。

3. 三次样条插值的基本原理在进行三次样条插值时，首先需要对数据点进行分段处理，然后在每个分段上构造出一个三次多项式函数。

这些多项式函数需要满足一定的插值条件，如在数据点处函数值相等、一阶导数相等等。

通过这些条件，可以得到一个关于数据点的插值函数。

4. Matlab中的三次样条插值实现在Matlab中，可以使用spline函数来进行三次样条插值。

通过传入数据点的x和y坐标，可以得到一个关于x的插值函数。

spline函数也支持在已知插值函数上进行插值点的求值，这为用户提供了极大的灵活性。

5. 三次样条插值的适用范围和局限性虽然三次样条插值在许多情况下都能够得到较好的插值效果，但也存在一些局限性。

在数据点分布不均匀或有较大噪音的情况下，三次样条插值可能会出现较大的误差。

在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的插值方法。

6. 个人观点和总结通过对Matlab中三次样条插值的深度解析，我深刻地理解了这一插值方法的原理和实现方式。

在实际工程应用中，我会根据数据点的情况选择合适的插值方法，以确保得到准确且可靠的结果。

我也意识到插值方法的局限性，这为我在实际工作中的决策提供了重要的参考。

通过以上深度解析，相信读者已经对Matlab中的三次样条插值有了更加全面、深刻和灵活的理解。

在实际应用中，希望读者能够根据具体情况选择合适的插值方法，以提高工作效率和准确性。