混沌系统理论介绍共24页

混沌理论简介集智百科“集智百科精选”是⼀个长期专栏，持续为⼤家推送复杂性科学相关的基本概念和资源信息。

作为集智俱乐部的开源科学项⽬，集智百科希望打造复杂性科学领域最全⾯的百科全书，欢迎对复杂性科学感兴趣、热爱知识整理和分享的朋友加⼊！今天分享复杂性科学领域⾥⾯⼀个⾮常本质的理论：混沌理论。

本⽂将介绍混沌理论的基本概念，相关概念，著名学者，⼀些学习资源推介，供⼤家深⼊学习。

⽬录⼀、什么是混沌理论？⼆、混沌理论的相关概念三、混沌理论的⼏个典型⽰例四、相关资源推荐五、集智百科词条志愿者招募1、什么是混沌理论？“南美洲⼀只蝴蝶扇⼀扇翅膀，就可能会在佛罗⾥达引起⼀场飓风。

”想必⼤家对这样⼀句话都不陌⽣，这⾥描述的就是⼀种典型的混沌现象：蝴蝶效应。

混沌是⼀个由⾮线性效应引起的⼀个相当独特的现象，具有对初值的敏感性、⽆周期性、长期不可预测性以及分形性和普适性等特点。

混沌理论则是研究这⼀类典型现象的理论，是系统从有序突然变为⽆序状态的⼀种演化理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成的途径、机制的研讨。

2.混沌的重要概念混沌边缘（Edge of chaos）混沌边缘（Edge of chaos）是⼀个⽤来形容由计算机科学家克⾥斯托弗·朗顿发现的现象。

最开始该现象被⽤来描述⼀个变量λ的⼀段取值范围，该变量是作为细胞⾃动机的⼀个参数。

当λ变化，细胞⾃动机的⾏为会产⽣相变。

克⾥斯托弗·朗顿（Christopher Langton)发现λ的某⼀⼩段取值可以使细胞⾃动机具有通⽤计算的能⼒。

根据λ的连续变化能够得到四种细胞⾃动机之间的过渡转化图景即：固定点->周期->复杂->混沌，因此我们说，复杂的结构诞⽣于混沌的边缘。

点击官⽹链接体验不同阈值下的混沌边缘状态吸引⼦（Attractor）吸引⼦（Attractor）是微积分和系统科学论中的⼀个概念。

⼀个系统有朝某个稳态发展的趋势，这个稳态就叫做吸引⼦。

混沌理论详解一、什么是混沌理论混沌理论的主导思想是，宇宙本身处于混沌状态，在其中某一部分中似乎并无关联的事件间的冲突，会给宇宙的另一部分造成不可预测的后果。

混沌理论在许多科学学科中得到广泛应用，包括：数学、生物学、信息技术、经济学、工程学、金融学、哲学、物理学、政治学、人口学、心理学和机器人学。

二、混沌理论的发展背景混沌理论是对不规则而又无法预测的现象及其过程的分析。

一个混沌过程是一个确定性过程，但它看起来是无序的、随机的。

像许多其他知识一样，混沌和混沌行为的研究产生于数学和纯科学领域，之后被经济学和金融学引用。

在这些领域里，由于人们想知道在某些自然现象背后是否存在着尚未被认识的规律，因而激发了人们对于混沌的研究。

科学家已经注意到了某些现象，例如行星运动，是有稳定规律的，但其他的，比如像天气之类，则是反复无常的。

因此，关键问题在于天气现象是否是随机的。

曾经一度被认为是随机的后来又被证实是混沌的，这个问题激发了人们探索真理的热情。

如果一个变量或一个过程的演进、或时间路径看似随机的，而事实上是确定的，那么这个变量或时间路径就表现出混沌行为。

这个时间路径是由一个确定的非线性方程生成的。

在此，我们有必要介绍一下混沌理论的发展史。

人们对于混沌动态学的最初认识应当归功于Weis(1991)，而Weis又是从几百年前从事天体力学的法国数学家HenryPoincare那里得到的启示。

Poincare 提出，由运动的非线性方程所支配的动态系统是非线性的。

然而，由于那个时代数学工具的不足，他未能正式探究这个设想。

Poincare之后的很长一段时间，对于这个论题的研究趋于涅灭。

然而，在20世纪60-70年代间，数学家和科学家们又重新开始了对这个论题的研究。

一个名叫StephenSmale的数学家用差分拓扑学发展了一系列的理论模型。

气象学家EdwardLorenz设计了一个简单的方程组用来模拟气候，这个气候对于初始条件当中的变化极其敏感。

专业学术讲座报告班级：信计12-2学号：************ 姓名：**二零一五年六月二十二日目录1.混沌系统概念2.典型混沌系统介绍3.混沌金融系统的线性与非线性反馈同步4.混沌研究的发展方向及意义一、混沌系统概念混沌（chaos ）是指确定性动力学系统因对初值敏感而表现出的不可预测的、类似随机性的运动。

又称浑沌。

英语词Chaos 源于希腊语，原始 含义是宇宙初开之前的景象，基本含义主要指混乱、无序的状态。

作为科学术语，混沌一词特指一种运动形态。

动力学系统的确定性是一个数学概念，指系统在任一时刻的状态被初始状态所决定。

虽然根据运动的初始状态数据和运动规律能推算出任一未来时刻的运动状态，但由于初始数据的测定不可能完全精确，预测的结果必然出现误差，甚至不可预测。

运动的可预测性是一个物理概念。

一个运动即使是确定性的，也仍可为不可预测的，二者并不矛盾。

牛顿力学的成功，特别是它在预言海王星上的成功，在一定程度上产生误解，把确定性和可预测性等同起来，以为确定性运动一定是可预测的。

20世纪70年代后的研究表明，大量非线性系统中尽管系统是确定性的，却普遍存在着对运动状态初始值极为敏感、貌似随机的不可预测的运动状态——混沌运动。

混沌是指现实世界中存在的一种貌似无规律的复杂运动形态。

共同特征是原来遵循简单物理规律的有序运动形态，在某种条件下突然偏离预期的规律性而变成了无序的形态。

混沌可在相当广泛的一些确定性动力学系统中发生。

混沌在统计特性上类似于随机过程，被认为是确定性系统中的一种内禀随机性。

二、典型混沌系统介绍Lorenz 系统混沌的最早实例是由美国麻省理工学院的气象学家洛伦兹在1963年研究大气运动时描述的。

他提出了著名的Lorenz 方程组：。

这是一个三阶常微分方程组。

它以无限平板间流体热对流运动的简化模型为基础，由于它的变量不显含时间t ，一般称作自治方程。

式中x 表示对流强度，y 表示向上流和向下流在单位元之间的温度差，z 表示垂直方向温度分布的非线性强度，-xz 和xy 为非线性项，b 是瑞利数，它表示引起对流和湍流的驱动因素 (如贝纳对流上下板的温度差△T)和抑制对流因素 (如(Prandtl)数粘性)之比，是系统(2-1)的主要控制参数。

第一章混沌理论1.1混沌理论简介在科学技术尚不发达的年代里，大自然被当作变幻莫测的创造物，因为人类对所观察和感觉到的许多自然现象不能给出合理的解释，认为冥冥之中存在着某种超自然的力量，无法想象自然界存在什么规律性。

某种与生俱来的冲动，促使人类力图理解自然界中万物运动的规律性，寻找隐藏在宇宙万物相互复杂关系背后的法则，从而对未来进行预测。

几千年来，人们一直致力于用恒古不变的定律精确地确定或预测宇宙中万物乃至每一个粒子的运动，科学和科学家的任务就是发现能够揭示宇宙万物运动规律的定律。

经过人类持续不断的努力，到18世纪，科学在揭示自然界的规律方面成绩斐然。

例如，人类已经拥有精确预测季节变化的历法、预测行星运行规律和日、月食的天文学，等等。

总之，人们认为，只要知道初始状态和规律性，大自然就可以被分析、预测和利用。

于是，次序或规律成为我们头脑中的一个固有概念。

爱因斯坦在给波恩的信中就这样说道，“你相信掷骰子的上帝，我却相信完备的定律和次序。

”18世纪的法国著名数学家拉格朗日（Laplace，1749~1827）以雄辩的口吻说道：假使有一位智者在任一给定的时刻都能洞察所有支配自然界的力和组成自然界的万物的相互位置，假使这位智者的智力足以使他对自然界中的所有数据进行分析，他就能将宇宙中万物—包括最大的天体和最小的原子—的运动统统纳入某个单一的公式之中。

这样一来，对这位智者来说，没有什么是不能确定的，未来和过去样样都历历在目。

这是一个可怕的陈述。

著名的Newton三条定律处处体现了次序与规律的思想，那就是，大自然万物的运动有规律，我们可以发现它们。

Newton把他的定律提炼成数学方程式，用一些量及其变化率来描述万物的运动。

例如，Newton万有引力定律的物理意义是，宇宙中两个物体，例如两个粒子，相互吸引，其吸引力的大小与它们的质量之积成正比，与它们之间的距离成反比，可以用一个简洁的公式精确计算出来。

可以说，时至今日，Newton定律始终以对大自然终极描述的姿态在物理学等领域占据崇高的统治地位。

混沌理论概述1混沌理论的发展 (1)2混沌的主要特征 (2)(1)有界性 (2)遍历性 (2)内随机性 (2)分维性 (3)标度性 (3)普适性 (3)统计特征、正Lyapunov指数及连续功率谱等。

(3)3 混沌理论在保密通信中的应用 (3)1混沌理论的发展所谓混沌，粗略的说是一种在确定系统中所表现出来的类似随机而无规则运动的动力学行为。

由于混沌系统的奇异性和复杂性至今尚未被人们彻底了解，因此，至今混沌还没有一个统一的定义。

混沌是非线性确定性系统的一种内在的随机现象，对混沌现象的研究有助于人们对客观世界的正确认识和把握。

它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，反映了世界上无序和有序之间、确定性与随机性之间的辩证统一关系。

在混沌动力学的研究中，主要有三个方面的内容，一是研究系统从有序到混沌态的过渡，即探讨系统进入混沌状态的机制与途径;二是研究混沌中的有序行为，即探讨混沌中的普适性和标度不变性;三是研究如何有效地控制混沌或主动地利用混沌。

最先对混沌的研究可以追溯到19世纪，公认为真正发现混沌的第一位学者是法国数学、物理学家H. Poincare，他是在研究太阳系的三体运动时发现混沌的。

20世纪70年代，特别是1975年以后，是混沌科学发展史上光辉灿烂的年代。

在这一时期，混沌学作为一门新兴的学科正式诞生了。

1971年，法国的数学物理学家D. Ruelle和荷兰的F. Takens发表了著名论文《论湍流的本质》，在学术界首次提出用混沌来描述湍流形成机理的新观点，并为耗散系统引入了“奇怪吸引子”这一概念。

进入20世纪80年代，混沌研究己发展成为一个具有明确研究对象和基本课题、具有独特的概念体系和方法论框架的新学科。

从80年代中后期开始，混沌学更是与其它学科相互渗透、相互促进，无论是在生物学、生理学、心理学、数学、物理学、电子学、信息科学，还是在天文学、气象学、经济学，甚至在音乐、艺术等领域，混沌都得到了广泛的应用。

贝塔朗菲定义1：系统是相互联系、相互作用着的诸元素的集，或统一体。

钱学森定义1：什么叫系统，系统就是有许多部分组成的整体，所以系统的概念就是要强调整体，强调整体是由相互关联、相互制约的各个部分所组成的。

定义1强调：（1）元素间的相互联系、相互作用及系统的整体性，系统不是诸部分无组织的拼合物，而是由各部分组织而成的统一的整体。

（2）系统是由元素集和关系集共同决定的，元素间的相互关系与元素本身一样重要，不可忽略。

（3）系统内不存在独立于相互关系的孤立部分（或孤立元）。

根据该定义，确定整体性与组织性（或相关性）是系统最基本的特征，它们是由系统本身的规定性所决定，也是区别于以往科学研究对象的最明显的特征。

整体性是系统最突出、最基本的特征之一。

系统指的是"整体"即"有组织的统一体"，系统之所以为系统就是因为系统是作为一个有机整体而不是各部分的简单相加而存在的，是否具有整体性，即"有组织的统一体"是区分系统与非系统的判据。

系统内部的组织性是系统具有整体性的原因。

系统论中组织性主要指各部分间的相关性，系统论强调组成系统的各部分之间的相互关系和相互作用。

贝塔朗菲定义2：系统是"处于一定的相互关系中并与环境发生关系的各部分组成部分的总体（或集）"。

钱学森定义2：系统是由相互作用和相互依赖的若干组称各部分合成的具有特定功能的有机整体，而且这个系统本身又是它所从属的一个更大系统的组成部分。

定义2强调：（1）系统的功能，即系统与环境的相互联系和作用。

系统不仅具有整体性的"组织"，即整体结构，而且具有整体性的行为和功能。

（2）系统的开放性。

（3）系统的多级层次性。

定义2明确规定了系统与环境不可分割的关系，从而表明了系统科学与经典科学的另一重要差别。

系统科学不再遵循系统的孤立原则，"把现象隔离于狭窄的封闭或孤立状态中，而开始考察它们之间的相互作用并考察越来越大的自然界对象"。

混沌理论是对不规则而又无法预测的现象及其过程的分析。

一个混沌过程是一个确定性过程，但它看起来是无序的、随机的。

像许多其他知识一样，混沌和混沌行为的研究产生于数学和纯科学领域，之后被经济学和金融学引用。

一、什么是混沌理论混沌理论的主导思想是，宇宙本身处于混沌状态，在其中某一部分中似乎并无关联的事件间的冲突，会给宇宙的另一部分造成不可预测的后果。

混沌理论在许多科学学科中得到广泛应用，包括：数学、生物学、信息技术、经济学、工程学、金融学、哲学、物理学、政治学、人口学、心理学和机器人学。

二、混沌理论的发展背景混沌理论是对不规则而又无法预测的现象及其过程的分析。

一个混沌过程是一个确定性过程，但它看起来是无序的、随机的。

像许多其他知识一样，混沌和混沌行为的研究产生于数学和纯科学领域，之后被经济学和金融学引用。

在这些领域里，由于人们想知道在某些自然现象背后是否存在着尚未被认识的规律，因而激发了人们对于混沌的研究。

科学家已经注意到了某些现象，例如行星运动，是有稳定规律的，但其他的，比如像天气之类，则是反复无常的。

因此，关键问题在于天气现象是否是随机的。

曾经一度被认为是随机的后来又被证实是混沌的，这个问题激发了人们探索真理的热情。

如果一个变量或一个过程的演进、或时间路径看似随机的，而事实上是确定的，那么这个变量或时间路径就表现出混沌行为。

这个时间路径是由一个确定的非线性方程生成的。

在此，我们有必要介绍一下混沌理论的发展史。

人们对于混沌动态学的最初认识应当归功于Weis(1991)，而Weis又是从几百年前从事天体力学的法国数学家HenryPoincare那里得到的启示。

Poincare提出，由运动的非线性方程所支配的动态系统是非线性的。

然而，由于那个时代数学工具的不足，他未能正式探究这个设想。

Poincare之后的很长一段时间，对于这个论题的研究趋于涅灭。

然而，在20世纪60-70年代间，数学家和科学家们又重新开始了对这个论题的研究。

混沌理论简介要弄明白不可预言性如何可以与确定论相调和，可以来看看一个比整个宇宙次要得多的系统——水龙头滴下的水滴。

这是一个确定性系统，原则上流入水龙头中的水的流量是平稳、均匀的，水流出时发生的情况完全由流体运动定律规定。

但一个简单而有效的实验证明，这一显然确定性的系统可以产生不可预言的行为。

这使我们产生某种数学的“横向思维”，它向我们解释了为什么此种怪事是可能的。

假如你很小心地打开水龙头，等上几秒钟，待流速稳定下来，通常会产生一系列规则的水滴，这些水滴以规则的节律、相同的时间间隔落下。

很难找到比这更可预言的东西了。

但假如你缓缓打开水龙头，使水流量增大，并调节水龙头，使一连串水滴以很不规则的方式滴落，这种滴落方式似乎是随机的。

只要做几次实验就会成功。

实验时均匀地转动水龙头，别把龙头开大到让水成了不间断的水流，你需要的是中速滴流。

如果你调节得合适，就可以在好多分钟内听不出任何明显的模式出现。

1978年，加利福尼亚大学圣克鲁斯分校的一群年青的研究生组成了一个研究动力学系统的小组。

他们开始考虑水滴系统的时候，就认识到它并不像表现出来的那样毫无规则。

他们用话筒记录水滴的声音，分析每一滴水与下一滴水之间的间隔序列。

他们所发现的是短期的可预言性。

要是我告诉你3个相继水滴的滴落时刻，你会预言下一滴水何时落下。

例如，假如水滴之间最近3个间隔是0.63秒、1.17秒和0.44秒，则你可以肯定下一滴水将在0.82秒后落下(这些数只是为了便于说明问题)。

事实上，如果你精确地知道头3滴水的滴落时刻，你就可以预言系统的全部未来。

那么，拉普拉斯为什么错了? 问题在于，我们永远不能精确地测量系统的初始状态。

我们在任何物理系统中所作出的最精确的测量，对大约10位或12位小数来说是正确的。

但拉普拉斯的陈述只有在我们使测量达到无限精度(即无限多位小数，当然那是办不到的)时才正确。

在拉普拉斯时代，人们就已知道这一测量误差问题，但一般认为，只要作出初始测量，比如小数点后10位，所有相继的预言也将精确到小数点后10位。

混沌理论
混沌理论（Chaos theory）是在数学和物理学中，研究非线性系统在一定條件下表現出的混沌現象的理论。

1963年美国气象学家德华·诺顿·劳伦次提出混沌理论（Chaos），非线性系统具有的多样性和多尺度性。

混沌理论解释了决
定系统可能产生随机结果。

理论的最大
的贡献是用简单的模型获得明确的非周
期结果。

在气象、航空、及太空等领域
的研究里有重大的作用。

混沌理论认为
在混沌系統中，初始条件十分微小的变
化，经过不断放大，对其未来状态会造
成极其巨大的差別。

我们可以用在西方
世界流传一首民谣对此作形象的说明。

数值r = 28，σ = 10，b = 8/3的劳伦兹引子图形
这首民谣说：丟失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国。

马蹄铁上一个钉子是否会消失，本是初始条件的十分微小的变化，但其「长期」效应却是一个帝国存与亡的根本差别。

这就是军事与政治领域中的所谓「蝴蝶效应」。