2011-2012学年北京市西城区(北区)八年级上学期期末数学试卷A卷(含答案)

北京市西城区（北区）2012–2013 学年度第一学期期末试卷八年级数学2013.1（时间 100 分钟，满分 100 分）一、选择题（本题共30 分，每小题 3 分）1.计算3-2 的结果是（）．A．－9 B．－9 C．19D．-192.剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（）．A.B．C．D．3．点P（－3，5）关于y 轴的对称点的坐标是（）．A．（3，5）B．（3，－5）C．（5，－3）D．（－3，－5）4.将正比例函数y=3x 的图象向下平移4 个单位长度后，所得函数图象的解析式为（）．A．y = 3x + 4 B．y = 3x - 4C．y= 3(x + 4) D． y = 3(x - 4)5.下列各式中，正确的是（）．--3x=A. 5 y3x-5 y-a +b=-a +bB. c c-a -b=a -b-a=aC. c -c D． b -a a -b6.如图，三条公路把A、B、C 三个村庄连成一个三角形区域，B某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）．A.在AC、BC 两边高线的交点处 A CB.在AC、BC 两边中线的交点处C.在∠A、∠B 两内角平分线的交点处D.在AC、BC 两边垂直平分线的交点处题号一二三四五总分得分7.估计的值在（）．142PA ．1 与 2 之间B ．2 与 3 之间C ．3 与 4 之间D ．4 与 5 之间8. 一次函数 y = mx + m （m 为常数且 m ≠0），若 y 随 x 增大而增大，则它的图象经（）．A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限9. 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC =90°，A 在 BC 上截取 BD ＝BA ，作∠ABC 的平分线与 AD 相交于点 P ，连结 PC ，若△ABC 的面积为2cm 2 ，则 △BPC 的面积为（ ）．A. 0.5cm 2C ．1.5cm 2 B. 1cm 2 BCD ． 2cm 210. 小华、小明两同学在同一条长为 1100 米的直路上进行跑步比赛，小华、小明跑步的平均速度分别为 3 米/秒和 5 米/秒，小明从起点出发，小华在小明前面 200 米处出发，两人同方向同时出发，当其中一人到达终点时，比赛停止．设小华与小明之间的距离 y （单位：米），他们跑步的时间为 x （单位：秒），则表示 y 与 x 之间的函数关系的图象是 （ ）．A.B ．C ．D ． 二、填空题（本题共 24 分，第 13 题 4 分，第 18 题 2 分，其余各题每小题 3 分）11. 在函数 y =1x - 2 中，自变量 x 的取值范围是 ． 12．在0.1&4&， 11 ， - ，π， 7这五个实数中，无理数的是 ．13. 一次函数 y = 2x -1 的图象与 x 轴的交点坐标为，与 y 轴的交点坐标为 ．14. 如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =15°，AB 的垂直平分线与 AC 交于点 D ，与 AB 交于点 E ，连结 BD ．若 AD ＝12cm ，则 BC 的长为 cm ．15．若 x 2 = 9 ， y 3 = -8 ，则 x +y ＝．16. 某校组织学生到距离学校 15 千米的西山公园秋游，先遣车队与学生车队同时出发，先遣车队比学生车队提前半小时到达公园以便提前做好准备工作．已知先遣车队的速是学3 -273 3 16 E生队车速度的 1.2 倍， 若设学生车队的速度为 x 千米/ 时， 则列出的方程是．17.如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为 BC 边上一点，且∠BAD =30°，若 AD =DE ，∠EDC =33°，则∠DAE 的度 数为°．18. 如果满足条件“∠ABC =30°，AC =1， BC =k （k ＞0）”的△ABC 是唯一的，那么 k 的取值范围是．三、解答题（本题共 28 分，第 19、20 题每小题 5 分，第 21～23 题每小题 6 分） 19．计算： 2( -1) + - + ．20. 先化简，再求值： (1 + m - 3 1 ) ÷ m + 3 2mm 2 - 6m + 9，其中m = 9 ．21. 解方程：x - x -1 3 x +1= 1 ． 22. 已知：如图， A 、B 、C 、D 四点在同一直线上， AB =CD ，AE ∥BF 且 AE =BF ．F求证：EC =FD ． 证明：AB C D23．如图，直线 y = kx + b 经过点 A （0，5），B （1，4）．（1） 求直线 AB 的解析式；（2） 若直线 y = 2x - 4 与直线 AB 相交于点 C ,求点 C 的坐标； （3） 根据图象，写出关于 x 的不等式 2x －4≥kx +b 的解集． 解：（1）（2）（3）关于 x 的不等式 2x －4≥kx +b 的解集是 ． 四、解答题（本题共 12 分，第 24 题 5 分，第 25 题 7 分） 24. 阅读下列材料：木工张师傅在加工制作家具的时候，用下面的方法在木板上画直角：如图 1，他首先在需要加工的位置画一条线段 AB ，接着分别以点 A 、点 B 为圆心，以大于 1AB 的适当长为半径画弧，两弧相交于点 C ，再以 C 为圆心，以同样长为半径画弧2交 AC 的延长线于点 D （点 D 需落在木板上），连接 DB ．则∠ABD 就是直角． 木工张师傅把上面的这种作直角的方法叫做“三弧法．EF图 1图 2解决下列问题：（1） 利用图 1 就∠ABD 是直角作出合理解释(要求：先写出已知、求证，再进行证明)；（2） 图 2 表示的一块残缺的圆形木板，请你用“三弧法”，在木．板．上．画出一个以 EF 为一条直角边的直角三角形 EFG （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．25. 已知：一次函数 y =1x + 3 的图象与正比例函数 y = kx 的图象相交于点2A （a ，1）．（1） 求 a 的值及正比例函数 y = kx 的解析式；（2） 点 P 在坐标轴上（不与点 O 重合），若 PA =OA ，直接写出 P 点的坐标； （3） 直线 x = m 与一次函数的图象交于点 B ，与正比例函数图象交于点 C ，若△ABC 的面积记为 S ，求 S 关于 m 的函数关系式（写出自变量的取值范围）．DCA五、解答题（本题 6 分）26.在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线．（1）如图1，过C 作CE∥AD 交BA 延长线于点E，若F 为CE 的中点，连结AF，求证：AF⊥AD；（2）如图2，M 为BC 的中点，过M 作MN∥AD 交AC 于点N，若AB=4，AC=7，求NC 的长．图1 图2北京市西城区（北区）2012–2013 学年度第一学期期末试卷八年级数学附加题2013.1一、填空题（本题共 6 分）1.在平面直角坐标系xOy 中，横、纵坐标都为整数的点称为整点．已知一组正方形的四个顶点恰好落在两坐标轴上，请你观察每个正方形四条边上的整点的个数的变化规律．回答下列问题：（1）经过x 轴上点（5，0）的正方形的四条边上的整点个数是；，图1 图2（2）经过x 轴上点（n，0）（n 为正整数）的正方形的四条边上的整点个数记为m，则m 与n 之间的函数关系是．二、解答题（本题共14 分，第 2 题8 分，第 3 题 6 分）2.在平面直角坐标系xOy 中，直线y =x + 6 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B．（1）求∠BAO 的度数；（2）如图1，P 为线段AB 上一点，在AP 上方以AP 为斜边作等腰直角三角形APD．点Q 在AD 上，连结PQ，过作射线PF⊥PQ 交x 轴于点F，作PG⊥x 轴于点G．求证：PF＝PQ ；（3）如图2，E 为线段AB 上一点，在AE 上方以AE 为斜边作等腰直角三角形AED．若P 为线段EB 的中点，连接PD、PO，猜想线段PD、PO 有怎样的关系？并说明理由．图1 图23.在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点E．（1）如图 1，连接EC，求证：△EBC 是等边三角形；（2）点M 是线段CD 上的一点（不与点C，D 重合），以BM 为一边，在BM 的下方作∠BMG=60°，MG 交DE 延长线于点G．请你在图2 中画出完整图形，并直接写出MD，DG 与AD 之间的数量关系；（3）如图 3,点N 是线段AD 上的一点，以BN 为一边，在BN 的下方作∠BNG=60°，NG 交DE 延长线于点G．试探究ND，DG 与AD 数量之间的关系，并说明理由．3 3 3北京市西城区（北区）2012 — 2013 学年度第一学期期末试卷八年级数学参考答案及评分标准2013.1题号 1 2 3 45 6 7 8 9 10 答案CDABDCCABD11 12 13 14x ≠ 2- 2 ， π( 1,0 )，( 0, -1) 2每空 2 分6 15161718－5 或 115 - 15 = 1x 1.2x 272k = 2或 0<k ≤1 每个结果 1 分三、解答题（本题共 28 分，第 19，20 题，每小题 5 分，第 21～23 题，每小题 6 分） 19．解： 2( -1) + - +＝ 2 3 - 2 + + 4 ································ ··········································3 分＝ 3 3 + 2 ． ································ ································ ·················· 5 分20. 解： (1+ m - 3 1 ) ÷m + 3 2m m 2 - 6m + 9＝ 2m ⋅(m - 3)2 ································ ··································· 3 分 (m - 3)(m + 3) 2m ＝m - 3．····················································································· 4 分 m + 3当 m = 9 时，原式＝9 - 3 = 1． ································ ·························5 分9 + 3 221. 解：方程两边同乘(x -1)(x +1) ，得x (x +1) - 3(x -1) = (x -1)(x +1) ． ································ ························· 2 分化简，得 x - 3x + 3 = -1 ． ····················· 4 分 解得 x = 2 ． ································································ ················· 5 分检验：当 x = 2 时， (x -1)(x +1) ≠ 0 ， ∴ x = 2 是原分式方程的解． ····························································· 6 分16⎨⎩22．解：（1）∵AE ∥BF ，∴∠A =∠FBD ． ······················· 1 分 又∵AB = CD ，∴AB ＋BC = CD ＋BC ． 即 AC =BD ． ······························ 3 分在△AEC 和△BFD 中，⎧ AE = BF , ⎪∠A = ∠FBD , ⎪ AC = BD ,∴△AEC ≌△BFD （SAS ）． ································ ······················5 分∴EC =FD ． ································ ··········································· 6 分23．解：（1）∵直线 y = -kx + b 经过点 A （5，0）、B （1，4），⎧5k + b = 0, ∴ ⎨⎩k + b = 4. ································ ································ ·········· 1 分⎧k = -1,解方程得 ⎨ ⎩b = 5.································································2 分 ∴直线 AB 的解析式为 y = -x + 5. ································ ·················3 分（2）∵直线 y = 2x - 4 与直线 AB 相交于点 C ,⎧y = - x + 5,∴解方程组⎨⎩y = 2 x - 4.⎧x = 3, 得⎨ ⎩y = 2.∴点 C 的坐标为（3，2）． ································ ························5 分（3） x ≥3． ································ ·················································6 分四、解答题（本题共 12 分，第 24 题 5 分，第 25 题 7 分） 24．（1）已知：在△ABD 中，AC =BC =CD ． 求证： ∠ABD = 90︒ ． 证明：∵AC=BC ，∴ ∠1 = ∠2 ． ∵BC=CD ， ∴ ∠3 = ∠4 ． ···················· 1 分在△ABD 中， ∠1+ ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180︒ ．∴ ∠1 + ∠4 = 90︒ ．34 21即∠ABD = 90︒ ． ································································ 3 分（2）如图，△EFG 为所求作的三角形 ．E F································ ································ ································ ············· 5 分25. 解：（1）∵一次函数 y = 1x + 3 的图象与正比例函数 y = kx 的图象相交于点2A （a ，1），1∴ a + 3 = 1. 2解得a = -4 ． ······················· 1 分∴A （－4 ，1）． ∴ -4k = 1 ．解得 k =- 1．4∴正比例函数的解析式为 y =- 1x ． ································ ·········2 分4（2）P 1（－8 ，0）或 P 2（0 ，2）； ································ ··············· 4 分阅卷说明：每个结果 1 分（3）依题意，得点 B 的坐标为（m ， 1 m + 3 ），点C 的坐标为（m ， - 1 m ）．2 4作 AH ⊥BC 于点 H ，H 的坐标为（m ，1）． ································5 分以下分两种情况： （ⅰ）当 m <－4 时，BC ＝ -1 1 m - ( 4 23m + 3) ＝ - m - 3 ．4AH ＝ -4 - m ． 则 S ∆ABC = 1BC ⋅ AH2 = 1 (-3 m - 3)(-4 - m )2 4Gx=my = 1x + 32CHABy =- 1x4BC ＝ 1 1 ＝ 3 ．( m + 3) + m 2 4 m + 3 4 AH ＝ m + 4 ．则 S ∆ABC= 1 BC ⋅ AH 2 = 1 3( m + 3)(m + 4) 2 4 = 3m 2 + 3m + 6 ． 8综上所述， S∆ABC = 3 m 2+ 3m + 6 （m ≠－4）．············ 7 分 8五、解答题（本题 6 分）26. 证明：∵AD 为△ABC 的角平分线，∴ ∠1 = ∠2 ．（1）∵CE ∥AD ，∴ ∠1 = ∠E ， ∠2 = ∠3 . ∴ ∠E = ∠3 ． ∴AC =AE ． ···························· 1 分∵F 为 EC 的中点，∴AF ⊥BC ．∴ ∠AFE = ∠FAD = 90︒ ．∴A F ⊥A D ．···························2 分BDA51 2N43 DM⎨ ⎩（2） 延长 BA 与 MN 延长线于点 E ，过 B 作 BF ∥AC 交 NM 延长E 线于点F ········· 3 分 ∴ ∠3 = ∠C ， ∠F = ∠4 ．∵M 为 BC 的中点 ∴BM ＝CM ．在△BFM 和△CNM 中，⎧∠F = ∠4, BC⎪∠3 = ∠C , ⎪BM = C M , F∴△BFM ≌△CNM （AAS ）． ································ ························ 4 分∴BF ＝CN ．∵MN ∥AD ，∴ ∠1 = ∠E ， ∠2 = ∠4 = ∠5 . ∴ ∠E = ∠5 = ∠F ． ∴AE ＝AN ，BE ＝BF ．设 CN =x ，则 BF =x ， AE ＝AN ＝AC －CN ＝7－x ，BE ＝AB ＋AE ＝4＋7－x ． ∴4＋7－x ＝x ． 解得 x ＝5.5．∴CN ＝5.5． ··············································································6 分北京市西城区（北区）2012 — 2013 学年度第一学期期末试卷八年级数学附加题参考答案及评分标准2013.1一、填空题（本题 6 分）1．（1）20；································ ·····························································3 分（2） m = 4n ． ································································ ······················· 3 分二、解答题（本题共 14 分，第 2 题 8 分，第 3 题 6 分） 2．解：（1）直线 y = x + 6 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ．∴A （－6，0），B （0，6）．∴O A =O B ．································∴ ∠BAO = ∠ABO在△AOB 中， ∠AOB = 90︒ ． ∴ ∠BAO = ∠ABO = 45︒ ． ································ ·········································································· 1 分2 分（2） 在等腰直角三角形 APD 中，∠PDA = 90︒ ，DA =DP ， ∠1 = ∠APD = 45︒ ．∴DP ⊥AD 于 D ．由（1）可得∠BAO = 45︒ ． ∴ ∠BAO = ∠1 ．又∵PG ⊥x 轴于 G ， ∴PG = PD ． ································ ································∴ ∠AGP = ∠PGF = ∠D = 90︒ ．y··········· 3 分1 xA G F O⎨⎩⎨⎩⎨⎩∴ ∠4 + ∠APD = ∠DPG =90︒ ． 即∠3 + ∠GPQ = 90︒ ． 又∵PQ ⊥PF ， ∴ ∠2 + ∠GPQ = 90︒ ． ∴ ∠2 = ∠3 ． ················· 4 分在△PGF 和△PDQ 中，⎧∠PGF = ∠D , ⎪PG = PD , ⎪∠2 = ∠3,∴△PGF ≌△PDQ (ASA)． ∴PF =PQ ． ································································ ············· 5 分（3） 答：OP ⊥DP ，OP ＝DP ．证明：延长 DP 至 H ，使得 PH =PD ．∵P 为 BE 的中点， ∴PB =PE ．在△PBH 和△PED 中，⎧PB = PE , ⎪∠1 = ∠2, ⎪PH = PD , ∴△PBH ≌△PED （SAS ）． ∴BH =ED ． ························· 6 分∴ ∠3 = ∠4 ． ∴BH ∥ED ．在等腰直角三角形 ADE 中， AD =ED ， ∠DAE = ∠DEA = 45︒ ．∴AD =BH ， ∠DAE + ∠BAO = ∠DAO = 90︒ . 图 2∴DE ∥x 轴，BH ∥x 轴， BH ⊥y 轴． ∴ ∠DAO = ∠HBO = 90︒ ． 由（1）可得OA =OB ． 在△DAO 和△HBO 中，⎧ AD = BH , ⎪∠DAO = ∠HBO , ⎪OA = OB ,∴△DAO ≌△HBO （SAS ）． ∴OD =OH ，∠5=∠6． ································ ··························· 7 分∵ ∠AOB = ∠5 + ∠DOB = 90︒ , ∴ ∠DOH = ∠6 + ∠DOB = 90︒ . ∴在等腰直角三角形△DOH 中， ∵DP =HP ，∴OP ⊥DP ， ∠7 = 1∠DOH = 45︒ .2M DE ⎨⎩∴ ∠ODP = ∠7 ． ∴O P =P D ．···········································································8 分3．（1）证明：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，∴ ∠ABC = 60︒ , BC = 1AB ．2 ∵BD 平分∠ABC ，∴ ∠1 = ∠DBA = ∠A = 30︒ . ∴DA =DB ．∵DE ⊥AB 于点 E ． ∴AE =BE = 1AB ．2 A图 1∴BC =BE . ································ ································ ··········1 分 ∴△BCE 是等边三角形. ························································C2 分（2）结论：AD = DG ＋DM ．A································ ································ ································ （3）结论：AD = DG －DN ． 理由如下： BG图 2············ 3 分延长 BD 至 H ，使得 DH ＝DN . ································ ························· 4 分由（1）得 DA =DB ， ∠A = 30︒ ． ∵DE ⊥AB 于点 E ．∴ ∠2 = ∠3 = 60︒ ． ∴ ∠4 = ∠5 = 60︒ ．∴△NDH 是等边三角形． ∴NH =ND ， ∠H = ∠6 = 60︒ ． ∴ ∠H = ∠2 ． ∵ ∠BNG = 60︒ , ∴ ∠BNG + ∠7 = ∠6 + ∠7 . 即∠DNG = ∠HNB . 在△DNG 和△HNB 中，G⎧DN =HN , 图 3⎪∠DNG =∠HNB , ⎪∠H =∠2,∴△DNG ≌△HNB （ASA ）． ∴DG =HB .∵HB =HD ＋DB =ND ＋AD , ∴DG = ND ＋AD .∴AD = DG－ND.············································································· 6 分。

北京市西城区（南区）2011-2012学年第一学期期末考试（八年级）一、选择题（每题4分）1.实数-5，-0.1，√3,21中为无理数的是（ ）A.21 B.-0.1 C.√3 D.-5 2.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A.5 B. 5.0 C. 51 D.50 3.计算111---a a a 的结果是（ ）A. 11-+a a B. 1--a a C. -1 D.a - 4.下列事件中，为必然事件的是（ ）A. 购买一张彩票，中奖B. 打开电视，正在播放广告C. 抛掷一枚硬币，正面朝上D.一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球5.如图，已知21∠=∠，则不一定能使ACD ABD ∆≅∆的条件是（ ）A. BD=CDB. AB=ACC. C B ∠=∠D.CDA BDA ∠=∠6.如图，在0030390=∠==∠∆B AC C ABC ，，中，,点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是( )A. 3.5B. 4.2C. 5.8D.77.如图,在ABC ∆中，AD 平分外角EAC ∠，且BC AD //,则ABC ∆一定是（ ）A. 任意三角形B.等边三角形C. 等腰三角形D.直角三角形8.下列命题的逆命题正确的是（ ）A. 全等三角形的面积相等B.全等三角形的对应角相等C. 直角三角形D.等边三角形的三个角都等于0609.如图，六边形ABCDEF 是轴对称图形，CF 所在的直线是它的对称轴，若0150=∠+∠BCF AFC 则BCD AFE ∠+∠的大小是（ ）A. 0150B. 0300C. 0210D.033010.如图，在ABC ∆中，分别以点A 和点B 为圆心，大于AB 21的长为半径画弧，两弧相交于点M,N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，若AD C ∆的周长为10，AB=7，则ABC ∆的周长为（ ）A. 7 B. 14 C. 17 D.2011.实数a 在数轴上的位置如图所示，则22)11()4(-+-a a 化简后为（ ）A.7 B 。

北京市西城区2011-2012学年第一学期期末（数学）北区一、选择题（32分，每题4分）1. 抛物线1)1(2+-=x y 的顶点坐标为 A.(1,1) B.(1，-1) C.(-1,1) D.(-1，-1) 2.若相交两圆的半径分别为4和7，则它们的圆心距可能是 A.2 B. 3 C.6 D.113.在RT △ABC 中，∠C=90 º，若BC=1，AB=5则tanA 的值为A. 55 B. 552 C.21 D.24.如图，在O Θ中，直径AB CD 弦⊥于E ，连接BD ，若2300==∠BD D ，,则AE 的长为 A.2 B.3 C.4 D.55.若正六边形的边长等于4，则它的面积等于A. 348B. 324C. 312D. 346.如图，以D 为位似中心，作△ABC 的一个位似三角形111C B A , C B A ,,的对应点分别 为111C B A ，DA DA 与1的比值为k ，若两个三角形的顶点及点D 均在如图所示的格点上，则k 的值和点1C 的坐标分别为A.2，（2,8）B.4，（2,8）C. 2，（2,4）D. 2，（4,4）7.如图，抛物线c bx axy ++=2经过点（-1,0），对称轴为x=1，则下列结论中正确的是A.a>0B.当x>1时，y 随x 的增大而增大C.c<0D.x=3是一元二次方程02=++c bx ax的一个根8.如图，在平面直角坐标系xoy 中，A(2,0),B(0,2), C Θ上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最大值是 A. 2 B.38 C. 222+D. 222-二、填空题（16分，每题4分）9.如图O Θ是△ABC 的外接圆，若=∠=∠A OCB ，则04010.将抛物线2x y =先向下平移1个单位长度后，再向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式11.如图，在RT △ABC 中，4,30,900==∠=∠AB B ACB ,以斜边AB 的中点D 为旋转中点，把△ABC 按逆时针方向旋转α角（0<α<1200）当点A 的对应点与点C 重合时，B,C 两点的对应点分别记为E,F ，EF 与AB 的交点为G ，此时α等于 ，△DEG 的面积是 12.已知二次函数x xy +-=221，（1）它的最大值为 （2）若存在实数m ，n 使得当自变量x 的取值范围是n x m ≤≤时，函数值y 的取值范围恰好是n y m 33≤≤，则m= n= 三、解答题（本题30分，每题5分） 13.计算：0245sin260tan 330cos -+14.已知关于x 的方程03222=-+-k x x 有两个不相等的实数根 （1）求k 的取值范围 （2）若k 为符合条件的最大整数，求此方程的根15.已知抛物线542-+=x x y（1）直接写出它与x 轴、y 轴的交点的坐标 （2）用配方法将542-+=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式16.已知：如图，在菱形ABCD 中，E 为BC 边上一点，B AED ∠=∠ (1)求证：DEA ABE ∆∆∽; (2)若AB=4，求DE AE ⋅的值17.学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示），设矩形的一边AB 的长为x 米（要求AB<AD ）,矩形ABCD 的面积为S 平方米（1）求S 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围 （2）要想使花圃的面积最大，AB 边的长应为多少米？18.如图，在RT △ABC 中，090=∠C ，AB 的垂直平分线与BC 、AB 的交点分别为D,E（1）若54sin 10=∠=ADC AD ，，求AC 的长和βtan 的值（2）若AD=1，α=∠ADC ,参考（1）的计算过程直接写出2tan α的值四、解答题（20分，每题5分）19.如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，正方形PABC 的边长为1，将其沿x 轴的正方向连续滚动，即先以顶点A 为旋转中心将正方形PABC 顺时针旋转900得到第二个正方形，再以顶点D 为旋转中心将第二个正方向顺时针旋转900得到第三个正方形，依次方法继续滚动下去得到第四个正方形，…第n 的正方形，设滚动过程中的点P 的坐标 为（x ，y ）(1) 画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P 的坐标(2) 画出点P(x,y)运动的曲线（0)4≤≤x ，并直接写出该曲线与x 轴所围成区域的面积20.已知函数)0(2≥++=x c bx x y ，满足当x=1时，y=-1，且当x=0时与x=4时的函数值相等 （1）求函数)0(2≥++=x c bx x y 的解析式并画出它的图像（2）若f （x ）表示自变量x 相对应的函数值，且⎩⎨⎧<-≥++=)0(2)0()(2x x c bx xx f 又已知关于x 的方程k x x f +=)(有三个不相等的实数根，请利用图像直接写出实数k 的取值范围21.已知：如图，AB 是O Θ的直径，BAC ∠的平分线与O Θ的交点为D ，AC DE ⊥，与AC 的延长线交于点E (1)求证：直线DE 是O Θ的切线（2）若OE 与AD 交于点F ，AFDF BAC 求,54cos =∠的值22.阅读下列材料题目：已知实数a ，x 满足a>2且x>2，试判断ax 与a+x 的大小关系，并加以说明思路：可用：求差法，比较两个数的大小，先列出ax 与a+x 的差)(x a ax y --=，再说明y 的符号即可 现给出如下利用函数解决问题的方法：简解：可将y 的代数式整理成a x a y --=)1(。

北京市西城区2010–2011学年度第一学期期末试卷（北区）八年级数学（B 卷）一、精心选一选（本题共30分，每小题3分） 1．计算24-的结果是（ ）．A ．8-B ．18-C ．116- D ．116 2．下列说法中，正确的是（ ）．A ．5是25的算术平方根B ．9-的平方根是3-C ．4±是64的立方根D ．9的立方根是3 3．下列四个交通标志中，轴对称图形是（ ）．A ．B ．C ．D ．4．当0b <时，函数y x b =-+的图象不经过．．．（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．下列各式中，正确的是（ ）．A ．1a b b ab b ++= B ．22x y x y-++=- C ． 23193x x x -=-- D ．222()x y x y x y x y --=++ 6．在△ABC 和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，添加下列条件中的一个， 不能．．使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是（ ）． A ．AC =A′C ′ B ．BC=B ′C ′ C ．∠B =∠B ′ D ．∠C =∠C ′ 7．点A （11y -，）和B （22y ，）都在直线3y x =-上，则1y 与2y 的关系是（ ）．A ．12y y <B ．12y y =C ．12y y >D ．212y y =8．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，且AB=AD=DC ，∠BAD=40°，则∠C 为（ ）．A ．25°B ．35°C ．40°D ．50° 9．已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当0x >时，y 的取值范围是（ ）．A ．1y <B ．1y >C ．2y <-D ．2y >-10．如图所示，长方形ABCD 中，AB=4，E是折线段A —D —C 上的一个动点（点E 与点A 不重合），点P 是点A 关于BE 的对称点．在点E 运动的过程中，能使△PCB 为等腰三角形．．．．．的点E 的位置共有（ ）．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、细心填一填（本题共16分，每小题2分） 11．当x __________时，分式11x-有意义． 12．如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 边的中点，点 E 在AC 的延长线上，且∠CDE=30°．若则DE=_________． 13．在0.6，27，π-_______________． 14．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ．若DE=1cm ， 则BC =_______ cm ．15．如图，MN 是正方形ABCD 的一条对称轴，点P 是直线MN 上的一个动点，当PC+PD 最小时，ABCDAB CDEPDAEBC DCBAEDAM∠PC D=_________°．16．已知直线(0)y kx b k =+≠与直线2y x =-平行，且经过点（1，1），则直线(0)y kx b k =+≠可以看作由直线2y x =-向_______平移_______个单位长度而得到．17．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠DBC=_________°．18． 用长为4cm 的n 根火柴可以拼成如图1所示的x 个边长都为4cm 的平行四边形，还可以拼成如图2所示的2y 个边长都为4cm 的平行四边形，那么用含x 的代数式表示y ，得到______________________．三、耐心算一算（本题共19分，第19题6分，第20题3分，第21、22题每题5分）19．因式分解：（1）224x y -； （2）22363a ab b ++．解： 解：20+解：图1 图2 DAMNB C ………21．先化简，再求值：22211121x x x x x -÷+--+，其中5x =． 解：22．解分式方程：21155x x x x =+++． 解：四、认真做一做（共3个小题，第23、24题各6分，第25题5分，共17分） 23．已知：如图，点A 、E 、F 、C 在同一条直线上，AD=CB ，∠B=∠D ，AD∥BC．求证： AE=CF ． 证明：F D C B AE24．已知：平面直角坐标系xOy 中，直线b kx y +=（0k ≠）与直线mx y =（0m ≠）交于点A （2,4-）．（1）求直线mx y =（0m ≠（2）若直线b kx y +=（0k ≠直线x y 2=交于点B ，且点B 的横坐标为求△AB O 的面积． 解：（1）（2）25．如图，已知△ABC ，求作一点P ，使P 到∠A 的两边的距离相等，且PA ＝PB ．要求：尺规．．作图，并保留作图痕迹．（不要求写作法）五、仔细想一想（共3个小题，每小题6分，共18分）26．已知：2x y +=，求22222()8()x y x y --+的值．解：C BA27．王鹏和李明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米．王鹏骑自行车，李明步行．当王鹏从原路回到学校时，李明刚好到达图书馆．图中折线O-A-B-C和线段OD分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：(1) 王鹏在图书馆查阅资料的时间为_________分钟，王鹏返回学校的速度为___________千米/分钟；(2) 请求出李明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系式；(3) 当王鹏与李明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米?解：（2）（3）28．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α，且60°<α<120°．P 为△ABC 内部一点，且PC=AC ，∠PCA=120°—α．（1）用含α的代数式表示∠APC ，得∠APC =_______________________； （2）求证：∠BAP=∠PCB ；（3）求∠PBC 的度数．证明：（2）解：（3）北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷（北区）八年级数学（B 卷）参考答案及评分标准 2011.1分，每小题B CPA三、耐心算一算（本题共19分，第19题6分，第20题3分，第21、22题每题5分）19．（1）解：224x y -=(2)(2)x y x y +-．----------------2分 （2）解：22363a ab b ++=223(2)a ab b ++ ----------------2分=23()a b +． ----------------4分20+----------------2分=． ----------------3分 21．解：22211121xx x x x -÷+--+ =221(1)1(1)(1)x x x x x--⨯++- =211(1)x x x x --++ ----------------2分 =2(1)(1)x x x x --+=1x． ----------------4分 当5x =时，原式=1x =15． ----------------5分22．解：去分母，得 5255x x x =++． ----------------2分移项，合并得 25x =-． 系数化为1，得 52x =-． ----------------4分 经检验，52x =-是原方程的解． ----------------5分 所以，原方程的解为52x =-．四、认真做一做（本题共17分，第23、24题每题6分，第25题5分） 23．证明：如图1．∵ AD ∥BC ， ∴∠A=∠C ． ----------------1分 在△ADF 与△CBE 中， ∠A=∠C ，AD=CB ， ∠D=∠B ，∴△ADF ≌△CBE ． ----------------4分 ∴ AF=CE． ----------------5分 ∴ AF -EF=CE -EF ．∴AE=CF． ----------------6分 24．解：（1）∵点A （2,4-）在直线mx y =（0m ≠）上，∴m 24-=2-=m ．∴x y 2-=． ----------------2分（2）解法一：作AM⊥y 轴于M ，BN⊥y 轴于N ∵点B 在直线x y 2=上，且点B 的横坐标为-∴点B 的坐标为B )84(--，．∵MN BN)AM (21S ABNM⋅+=梯形 1(24)(48)2=⨯+⨯+36=，FD CBA E 图1MO AM 21S AOM ⋅=∆=44221=⨯⨯， NO BN 21S BON⋅=∆=168421=⨯⨯， ------------5分 ∴BO N A O M A BN M A BO S S S S ∆∆∆--=梯形16436--=16=． ------------6分解法二：设直线b kx y +=(0k ≠)与x 轴交于点C （如图3）． ∵点B 在直线x y 2=上，且点B 的横坐标为-∴点B 的坐标为B )84(--，．∵直线b kx y +=(0k ≠)经过点A （2,4-）和点B )84(--，， ∴⎩⎨⎧+-=-+-=.48,24b k b k 解得⎩⎨⎧==.16,6b k∴166+=x y ．令0=y ，可得38-=x ． ∴点C 的坐标为C )038(，-． ------------5分 ∴BO C A O C A BO S S S ∆∆∆+=8382143821⨯⨯+⨯⨯=16=． ------------6分阅卷说明：其他正确解法相应给分．25．答案如图4所示．阅卷说明：（1）画出∠CAB 的平分线AD ； ------------2分 （2）画出AB 垂直平分线MN ； ------------4分 （3）标出射线AD 与直线MN 的交点P ．------------5分五、仔细想一想（本题共18分，每小题6分）D图326．解法一：22222()8()x y x y --+)(8)()(2222y x y x y x +--+=． ------------1分∵2=+y x ，∴原式)(8)(4222y x y x +--= ------------2分 222288)2(4y x y xy x --+-=22484y xy x ---= ------------3分 2)(4y x +-= ------------5分 224⨯-=16-=． ------------6分解法二：由2=+y x ，得x y -=2． ------------1分 则原式])2([8])2([22222x x x x -+---= ------------2分 )442(8)44(22+---=x x x ------------4分 32321616321622-+-+-=x x x x16-=． ------------6分27．（1）15，154． （每空1分） ------------2分 （2）解：设线段OD 所在直线为)0(≠=k kt s ． ∵点D （45，4）在此直线上， 则k 454=454=k ． ∴t s 454=． ------------3分∴当045t ≤≤时，t s 454=． （3）解：设线段BC 所在直线为)0(11≠+=k b t k s ．∵点B （30，4）和点C （45，0）在此直线上，则⎩⎨⎧+=+=.450,30411b k b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.12,1541b k∴12154+-=t s ． ------------4分 ∴当3045t ≤≤时，12154+-=t s ．由（2）知线段OD 所在直线为t s 454=， 由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==.12154,454t s t s 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,4135s t ------------5分∴直线OD 与BC 的交点坐标为)3,4135(． 答：当王鹏与李明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．------------6分28．（1）∠APC 230α+=． ------------1（2）证明：如图5．∵CA=CP ， ∴∠1=∠2=230α+．∴∠3=∠BAC －∠1=)230(αα+-=302-α． ------------2分∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=2180α- =290α-．∴∠4=∠ACB －∠5=)120()290(αα---=302-α．∴∠3=∠4．即∠BAP=∠PCB ． ------------3分（3）解法一：在CB 上截取CM 使CM=AP ，连接PM （如图6）．------------4分 ∵PC=AC ，AB=AC ， ∴PC=AB ．在△ABP 和△CPM 中，AB=CP ， ∠3=∠4， AP=CM ， ∴△ABP ≌△CPM ．∴∠6=∠7， BP=PM ． ∴∠8=∠9．∵∠6=∠ABC－∠8，∠7=∠9－∠4，∴∠ABC－∠8=∠9－∠4． 即（290α-）－∠8=∠9－（302-α）．∴ ∠8＋∠9=60． ∴2∠8=60． ∴∠8= 30．即∠PBC= 30． ------------6分解法二：作点P 关于BC 的对称点N ，连接PN 、AN 、BN 和CN （如图7）． ------------4分 则△PBC 和△NBC 关于BC 所在直线对称． ∴△P BC ≌△NBC ． ∴BP=BN ，CP=CN ， ∠4=∠6=302-α，∠7=∠8．∴∠ACN=∠5＋∠4＋∠6=)302(2)120(-⨯+-αα= 60．∵PC=AC ，∴AC=NC ．21645378CNBAP图74521CP AB63987图6∴△CAN 为等边三角形． ∴AN=AC ，∠NAC=60． ∵AB=AC ，∴AN=AB ．∵∠PAN=∠PAC －∠NAC=（230α+）－60=302-α，∴∠PAN=∠3．在△ABP 和△ANP 中， AB=AN ， ∠3=∠PAN ， AP=AP ，∴△ABP ≌△ANP ．∴PB=PN ．∴△PBN 为等边三角形． ∴∠PBN=60． ∴∠7=21∠PBN =306021=⨯． 即∠PBC=30． ------------6分阅卷说明：其他正确解法相应给分．。