2013高一理科实验班招生数学训练题五

2013级理科实验班训练题2013级理科实验班训练题一．选择题（共4小题）1．（2008•台湾）如图，⊙O1，⊙O2，⊙O3三圆两两相切，为⊙O1，⊙O2的公切线，为半圆，且分别与三圆各切于一点．若⊙O1，⊙O2的半径均为1，则⊙O3的半径为何（）C﹣1 D．+12．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞0；③abc＜0；④b=2a；⑤△＜0．正确的个数是（）3．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①若a+c=0，方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；2224．（2012•呼和浩特）已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，设点M2有最大值，最大值为有最大值，最大值为有最小值，最小值为有最小值，最小值为二．填空题（共10小题）5．（2006•乌兰察布）如图，是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当边上摆8（即n=8）根时，需要的火柴总数为_________根．6．如图，已知∠AOB=80°，在射线OA、OB上分别取OA=OB1，连接AB1，在AB1、B1B上分别取点A1、B2，使A1 B1=B1 B2，连接A1B2…，按此规律下去，记∠A1 B1 B2=θ1，∠A2B2B3=θ2，…，∠A n B n B n+1=θn，则θ2=_________；θ2013=_________．7．如图，已知∠AOB=45°，A1是OA上的一点，OA1=1，过A1作OA的垂线交OB于点B1，过点B1作OB的垂线交OA于点A2；过A2作OA的垂线交OB于点B2…如此继续，依次记△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…的面积为S1，S2，S3…，则S2011=_________．8．（2011•内江）“Welcome to Senior High School．”（欢迎进入高中），在这段句子的所有英文字母中，字母O出现的频率是_________．9．（2008•苏州）将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于_________．（结果保留根号）10．（2008•泰安）如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3…P2008的位置，则点P2008的横坐标为_________．11．如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2009次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2009的位置，则点P2009的横坐标为_________．12．（2007•连云港）正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA逆时针连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为_________cm．（结果保留π）13．（2008•遵义）如图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a=7时，b=_________．14．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则y1，y2，y3从小到大的顺序为_________．三．解答题（共6小题）15．（2010•凉山州）平行四边形中，AC、BD是两条对角线，现从以下四个关系式①AB=BC，②AC=BD，③AC⊥BD，④AB⊥BC中，任取一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为_________．16．已知4x﹣3y﹣6z=0，x+2y﹣7z=0，xyz≠0，求的值．17．正数m，n满足m+4﹣2﹣4+4n=3，求的值．18．（2008•福州）如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t=2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ．19．（2007•双流县）已知抛物线y=x2﹣（m+3）x+（m+1）．（1）小明发现无论m为何值时，抛物线总与x轴相交，你知道为什么吗？请给予说明．（2）如图，抛物线与x轴的正半轴交于M，N两点，且线段MN的长度为2，求此抛物线的解析式．（3）如图，（2）中的抛物线与y轴交于点A，过点A的直线y=x+b与抛物线的另一个交点为点B，与抛物线的对称轴交于点D，点C为抛物线的顶点．问在线段AB上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，使四边形DCEP为平行四边形？若存在，请求出该平行四边形的面积；若不存在，说明理由．20．（2009•广安）已知：如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，连接DE、BE，且∠C=∠BED．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OA=10，AD=16，求AC的长．2013级理科实验班训练题参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2008•台湾）如图，⊙O1，⊙O2，⊙O3三圆两两相切，为⊙O1，⊙O2的公切线，为半圆，且分别与三圆各切于一点．若⊙O1，⊙O2的半径均为1，则⊙O3的半径为何（）C﹣1 D．+1WS=，+1=1+R+R=﹣2．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞0；③abc＜0；④b=2a；⑤△＜0．正确的个数是（）﹣=3．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①若a+c=0，方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；2224．（2012•呼和浩特）已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，设点M2有最大值，最大值为有最大值，最大值为有最小值，最小值为有最小值，最小值为在反比例函数，﹣∴二次项系数为﹣=二．填空题（共10小题）5．（2006•乌兰察布）如图，是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当边上摆8（即n=8）根时，需要的火柴总数为108根．6．如图，已知∠AOB=80°，在射线OA、OB上分别取OA=OB1，连接AB1，在AB1、B1B上分别取点A1、B2，使A1 B1=B1 B2，连接A1B2…，按此规律下去，记∠A1 B1 B2=θ1，∠A2B2B3=θ2，…，∠A n B n B n+1=θn，则θ2=155°；θ2013=．O=（（，（），==，==7．如图，已知∠AOB=45°，A1是OA上的一点，OA1=1，过A1作OA的垂线交OB于点B1，过点B1作OB的垂线交OA于点A2；过A2作OA的垂线交OB于点B2…如此继续，依次记△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…的面积为S1，S2，S3…，则S2011=24019．=8．（2011•内江）“Welcome to Senior High School．”（欢迎进入高中），在这段句子的所有英文字母中，字母O出现的频率是0.2．．9．（2008•苏州）将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于1+．（结果保留根号）=AB+2BD=1+10．（2008•泰安）如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3…P2008的位置，则点P2008的横坐标为2008．11．如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2009次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2009的位置，则点P2009的横坐标为2008．12．（2007•连云港）正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA逆时针连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为2πcm．（结果保留π），第二次同样没有路程，运动路径的长为×13．（2008•遵义）如图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a=7时，b=22．14．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则y1，y2，y3从小到大的顺序为y2＜y1＜y3．，﹣+bx+c=x+=．三．解答题（共6小题）15．（2010•凉山州）平行四边形中，AC、BD是两条对角线，现从以下四个关系式①AB=BC，②AC=BD，③AC⊥BD，④AB⊥BC中，任取一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为．是菱形的概率为16．已知4x﹣3y﹣6z=0，x+2y﹣7z=0，xyz≠0，求的值．=17．正数m，n满足m+4﹣2﹣4+4n=3，求的值．+2m+42+4n=3+2+2，即（+2+2+2或===；即=+218．（2008•福州）如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t=2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ．×﹣t×PR=EQ==t=t=19．（2007•双流县）已知抛物线y=x2﹣（m+3）x+（m+1）．（1）小明发现无论m为何值时，抛物线总与x轴相交，你知道为什么吗？请给予说明．（2）如图，抛物线与x轴的正半轴交于M，N两点，且线段MN的长度为2，求此抛物线的解析式．（3）如图，（2）中的抛物线与y轴交于点A，过点A的直线y=x+b与抛物线的另一个交点为点B，与抛物线的对称轴交于点D，点C为抛物线的顶点．问在线段AB上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，使四边形DCEP为平行四边形？若存在，请求出该平行四边形的面积；若不存在，说明理由．（（×（（×（（20．（2009•广安）已知：如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，连接DE、BE，且∠C=∠BED．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OA=10，AD=16，求AC的长．=6．。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）(全国大纲卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．(2013大纲全国，理1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：B解析：由题意知x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素．故选B.2．(2013大纲全国，理2)3＝( )．A ．－8B ．8C ．－8iD ．8i 答案：A解析：323=13=8-.故选A.3．(2013大纲全国，理3)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1 答案：B解析：由(m ＋n )⊥(m －n )⇒|m |2－|n |2＝0⇒(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0⇒λ＝－3.故选B.4．(2013大纲全国，理4)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．A ．(－1,1)B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．(－1,0)D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：B解析：由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜12-.故选B.5．(2013大纲全国，理5)函数f (x )＝21log 1x ⎛⎫+⎪⎝⎭(x ＞0)的反函数f －1(x )＝( )． A ．121x -(x ＞0) B ．121x-(x ≠0) C ．2x －1(x ∈R ) D ．2x －1(x ＞0) 答案：A解析：由题意知11+x＝2y ⇒x ＝121y -(y ＞0)，因此f －1(x )＝121x-(x ＞0)．故选A.6．(2013大纲全国，理6)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝43-，则{a n }的前10项和等于( )． A ．－6(1－3－10) B ．19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)答案：C解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1＝13n a -.∴数列{a n }是以13-为公比的等比数列．∵a 2＝43-，∴a 1＝4. ∴S 10＝101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+＝3(1－3－10)．故选C.7．(2013大纲全国，理7)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( )． A ．56 B ．84 C ．112 D ．168 答案：D解析：因为(1＋x )8的展开式中x 2的系数为28C ，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为24C ，所以x 2y 2的系数为2284C C 168=.故选D.8．(2013大纲全国，理8)椭圆C ：22=143x y +的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是( )．A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：B解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则2200=143x y +， 2002PA y k x =-，1002PA y k x =+，于是12220222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---. 故12314PA PA k k ＝－.∵2PA k ∈[－2，－1]， ∴133,84PA k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选B.9．(2013大纲全国，理9)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数，则a 的取值范围是( )． A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞) C ．[0,3] D ．[3，＋∞)答案：D解析：由条件知f ′(x )＝2x ＋a －21x ≥0在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立．∵函数212y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，∴max 211<23212y -⨯=⎛⎫⎪⎝⎭.∴a ≥3.故选D.10．(2013大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )．A ．23B．3 C．3 D ．13答案：A解析：如下图，连结AC 交BD 于点O ，连结C 1O ，过C 作CH ⊥C 1O 于点H .∵11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⎬⎪=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面11=CH BD CH C O BD C O O ⊥⎫⎪⊥⎬⎪⎭CH ⊥平面C 1BD ， ∴∠HDC 为CD 与平面BDC 1所成的角．设AA 1＝2AB ＝2，则==22AC OC，1C O =由等面积法，得C 1O ·CH ＝OC ·CC 1，即222CH ⋅⋅＝， ∴2=3CH . ∴sin ∠HDC ＝223==13HC DC .故选A.11．(2013大纲全国，理11)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若0MA MB ⋅=，则k ＝( )．A ．12B．2 CD ．2答案：D解析：由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2242k k(+)，x 1x 2＝4.① 由112222y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩121221212124,[24].y y k x x k y y k x x x x +=(+)-⎧⎨=-(+)+⎩①② ∵0MA MB ⋅=，∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0. ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.④ 由①②③④解得k ＝2.故选D.12．(2013大纲全国，理12)已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( )．A ．y ＝f (x )的图像关于点(π，0)中心对称B ．y ＝f (x )的图像关于直线π=2x 对称 C ．f (x )D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数 答案：C解析：由题意知f (x )＝2cos 2x ·sin x ＝2(1－sin 2x )sin x . 令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]， 则g (t )＝2(1－t 2)t ＝2t －2t 3. 令g ′(t )＝2－6t 2＝0，得=t ±. 当t ＝±1时，函数值为0；当t =；当3t =时，函数值为9.∴g (t )max，即f (x ).故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sin α＝13-，则cot α＝__________.答案：解析：由题意知cos α＝3==-. 故cot α＝cos sin αα14．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)答案：480解析：先排除甲、乙外的4人，方法有44A 种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A 480⋅=(种)．15．(2013大纲全国，理15)记不等式组0,34,34x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D .若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是__________．答案：1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．∵直线y ＝a (x ＋1)过定点C (－1,0)，由图并结合题意可知12BC k =，k AC ＝4， ∴要使直线y ＝a (x ＋1)与平面区域D 有公共点， 则12≤a ≤4.16．(2013大纲全国，理16)已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK ＝32，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于__________． 答案：16π解析：如下图，设MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点，则OE ⊥MN ，KE ⊥MN ，结合题意可知∠OEK ＝60°. 又MN ＝R ，∴△OMN 为正三角形．∴OER . 又OK ⊥EK ，∴32＝OE ·sin 60°R ∴R ＝2.∴S ＝4πR 2＝16π.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝22a ，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．解：设{a n }的公差为d .由S 3＝22a 得3a 2＝22a ，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得22S ＝S 1S 4.又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意； 若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1.18．(2013大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac .(1)求B ；(2)若sin A sin C＝14，求C . 解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac .由余弦定理得cos B ＝222122a cb ac +-=-，因此B＝120°.(2)由(1)知A＋C＝60°，所以cos(A－C)＝cos A cos C＋sin A sin C＝cos A cos C－sin A sin C＋2sin A sin C＝cos(A＋C)＋2sinA sin C＝1+22=，故A－C＝30°或A－C＝－30°，因此C＝15°或C＝45°.19．(2013大纲全国，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△P AB和△P AD都是等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角A－PD－C的大小．(1)证明：取BC的中点E，连结DE，则ABED为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.连结OA，OB，OD，OE.由△P AB和△P AD都是等边三角形知P A＝PB＝PD，所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，故OE⊥BD，从而PB⊥OE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD.因此PB⊥CD.(2)解法一：由(1)知CD⊥PB，CD⊥PO，PB∩PO＝P，故CD⊥平面PBD.又PD⊂平面PBD，所以CD⊥PD.取PD的中点F，PC的中点G，连结FG，则FG∥CD，FG⊥PD.连结AF，由△APD为等边三角形可得AF⊥PD.所以∠AFG为二面角A－PD－C的平面角．连结AG，EG，则EG∥PB.又PB⊥AE，所以EG⊥AE.设AB＝2，则AE＝EG＝12PB＝1，故AG3.在△AFG中，FG＝12CD=，AF=AG＝3，所以cos∠AFG＝22223 FG AF AGFG AF+-=-⨯⨯.因此二面角A－PD－C的大小为πarccos3-解法二：由(1)知，OE，OB，OP两两垂直．以O为坐标原点，OE的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.设|AB|＝2，则A(0,0)，D(0，，0)，C(0)，P(0,0)．PC ＝(2，2-)，＝(0，，)． AP ＝，0)，AD ＝，0)．设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1·PC ＝(x，y ，z )·(，)＝0，n 1·PD ＝(x ，y ，z )·(0，，＝0， 可得2x －y －z ＝0，y ＋z ＝0.取y ＝－1，得x ＝0，z＝1，故n 1＝(0，－1,1)． 设平面P AD 的法向量为n 2＝(m ，p ，q)，则n 2·AP ＝(m ，p ，q ，0)＝0，n 2·AD ＝(m ，p ，q ，，0)＝0，可得m ＋q ＝0，m －p ＝0. 取m ＝1，得p ＝1，q ＝－1，故n 2＝(1,1，－1)．于是cos〈n 1，n 2〉＝1212||||=·n n n n . 由于〈n 1，n 2〉等于二面角A －PD －C 的平面角，所以二面角A －PD －C 的大小为πarccos3-20．(2013大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望． 解：(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”． 则A ＝A 1·A 2.P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14. (2)X 的可能取值为0,1,2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)·P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (1B ·B 3)＝P (1B )P (B 3)＝14，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1151848--=，EX ＝0·P (X ＝0)＋1·P (X ＝1)＋2·P (X ＝2)＝98.21．(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C ：2222=1x y a -(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C .(1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF2|，|AB |，|BF 2|成等比数列．(1)解：由题设知c a＝3，即222a b a +＝9，故b 2＝8a 2. 所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2.将y＝2代入上式，求得x=由题设知，=a2＝1.所以a＝1，b＝(2)证明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2－y2＝8.①由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，k(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝2268kk-，x1·x2＝22988kk+-.于是|AF1|＝＝－(3x1＋1)，|BF1|3x2＋1.由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝2 3 -.故226283kk=--，解得k2＝45，从而x1·x2＝199-.由于|AF2|＝＝1－3x1，|BF2|3x2－1，故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16. 因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(2013大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1ln(1+)1x xxxλ(+)-+.(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；(2)设数列{a n}的通项111=1+23nan+++，证明：a2n－a n＋14n＞ln 2.(1)解：由已知f(0)＝0，f′(x)＝22121x xxλλ(-)-(+)，f′(0)＝0.若12λ<，则当0＜x＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以f(x)＞0.若12λ≥，则当x＞0时，f′(x)＜0，所以当x＞0时，f(x)＜0.综上，λ的最小值是1 2 .(2)证明：令12λ=.由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，即2ln(1) 22x xxx(+)>++．取1xk=，则211>ln21k kk k k++(+).于是212111422(1)nn nk na an k k-=⎡⎤-+=+⎢⎥+⎣⎦∑＝2121211ln21n nk n k nk kk k k--==++>(+)∑∑＝ln 2n－ln n＝ln 2.所以21ln 24n n a a n-+>.。

A．AD 的中点；B．AE：ED= ( 5 − 1) : 2 ； C．AE：ED= 2 : 1 ；D．AE：ED= ( 2 − 1) : 2 ．
12.如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA、OB 为直径作两个半圆．向直角扇形 OAB 内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的 概率是
A.1 −
20.（本题满分 10 分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市 得 分 评卷人 的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度 v（单位：千米/小时） 是车流密度 x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/ 千米时， 车流速度为 60 千米/小时， 研究表明： 当 0≤x≤200 时， 车流速度 v 是车流密度 x 的 一次函数． （Ⅰ）当 0≤x≤200 时，求 v 与 x 之间的函数的表达式 v(x)； （Ⅱ）当车流密度 x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/ 每小时）f(x)=x·v(x)可以达到最大，并求出最大值（精确到 1 辆/小时） ．
）
A. 3 5 B. 4 5 C. 4 3 D. 5 3 15.两列数如下： 7，10，13，16，19，22，25，28，31，...... 7，11，15，19，23，27，31，35，39，......
第 1 个相同的数是 7，第 10 个相同的数是（
）
A.115
B.127
C.139
D.151
16.如图，△AOB 和△ACD 均为正三角形，且顶点 B、D 均在双曲线 y =
4 ( x > 0) 上，则图中 S△OBP= x
C. 4 3 D. 4
．

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(安徽卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013安徽，理1)设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数．若·i+2=2z z z，则z＝( )．A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i2．(2013安徽，理2)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )．A．16 B．2524 C．34 D．11123．(2013安徽，理3)在下列命题中，不是．．公理的是( )．A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线4．(2013安徽，理4)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．(2013安徽，理5)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )．A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数6．(2013安徽，理6)已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为112x x x⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则f(10x)＞0的解集为( )．A．{x|x＜－1或x＞－lg 2}B．{x|－1＜x＜－lg 2}C．{x|x＞－lg 2}D．{x|x＜－lg 2}7．(2013安徽，理7)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )．A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2B．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2C．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝18．(2013安徽，理8)函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得1212===n nf x f x f x x x x ()()()，则n 的取值范围是( )．A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3}9．(2013安徽，理9)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足=2OA OB OA OB =⋅=，则点集{}=+,1,P OP OA OB λμλμμ+≤∈R 所表示的区域的面积是()．A ．．C ．．10．(2013安徽，理10)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．(2013安徽，理11)若8x ⎛ ⎝的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝__________. 12．(2013安徽，理12)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sinB ，则角C ＝__________.13．(2013安徽，理13)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为__________．14．(2013安徽，理14)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n .若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是__________．15．(2013安徽，理15)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当0＜CQ ＜12时，S 为四边形 ②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形 ③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝13④当34＜CQ ＜1时，S 为六边形⑤当CQ ＝1时，S三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．(2013安徽，理16)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4cos ωx·πsin4xω⎛⎫+⎪⎝⎭(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．17．(2013安徽，理17)(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a＞0，区间I＝{x|f(x)＞0}．(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k∈(0,1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．18．(2013安徽，理18)(本小题满分12分)设椭圆E：2222=11x ya a+-的焦点在x轴上．(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P ⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．19．(2013安徽，理19)(本小题满分13分)如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°.(1)证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；(2)求cos∠COD.20．(2013安徽，理20)(本小题满分13分)设函数f n (x )＝23222123nx x x x n-+++++(x ∈R ，n ∈N *)．证明：(1)对每个n ∈N *，存在唯一的x n ∈2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足f n (x n )＝0； (2)对任意p ∈N *，由(1)中x n 构成的数列{x n }满足0＜x n －x n ＋p ＜1n.21．(2013安徽，理21)(本小题满分13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X . (1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2)求使P (X ＝m )取得最大值的整数m .2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(安徽卷)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：A解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由·i+2=2z z z 得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)， 即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ， 所以2a ＝2， a 2＋b 2＝2b ，所以a ＝1，b ＝1，即z ＝a ＋b i ＝1＋i. 2．答案：D解析：开始2＜8，110+22s ==，n ＝2＋2＝4； 返回，4＜8，113244s =+=，n ＝4＋2＝6；返回，6＜8，31114612s =+=，n ＝6＋2＝8；返回，8＜8不成立，输出1112s =.3．答案：A解析：由立体几何基本知识知，B 选项为公理2，C 选项为公理1，D 选项为公理3，A 选项不是公理． 4．答案：C解析：函数f (x )的图象有以下三种情形：a ＝0 a ＞0 a ＜0由图象可知f (x )在区间(0，＋∞)内单调递增时，a ≤0，故选C. 5．答案：C解析：五名男生成绩的平均数为15(86＋94＋88＋92＋90)＝90， 五名女生成绩的平均数为15(88＋93＋93＋88＋93)＝91， 五名男生成绩的方差为21s ＝22222869094908890929090905(-)+(-)+(-)+(-)+(-) ＝8，五名女生成绩的方差为22s＝22288913939165(-)+(-)=， 所以2212s s >，故选C.6．答案：D解析：由题意知－1＜10x＜12， 所以x ＜1lg2＝－lg 2，故选D. 7．答案：B解析：由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B. 8．答案：B 解析：1212===n n f x f x f x x x x ()()()可化为1212000===00n n f x f x f x x x x ()-()-()----，故上式可理解为y＝f (x )图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n 可看成过原点的直线与y ＝f (x )的交点个数． 如图所示，由数形结合知识可得，①为n ＝2，②为n ＝3，③为n ＝ 4.9．答案：D解析：以OA ，OB 为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A ，B 两点关于x轴对称，由已知|OA |＝|OB |＝OA ·OB ＝2，可得出∠AOB＝60°，点A1)，点B 1)，点D 0)．现设P (x ，y )，则由OP ＝λOA ＋μOB 得(x ，y)＝λ1)＋μ1)，即,.x y λμλμ+)=-=⎪⎩由于|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R ，可得11,x y ⎧≤⎪⎨-≤≤⎪⎩画出动点P (x ，y )满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为10．答案：A解析：由f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0得，x ＝x 1或x ＝x 2，即3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的根为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2的解．如图所示，x 1＜x 2 x 2＜x 1由图象可知f (x )＝x 1有2个解，f (x )＝x 2有1个解，因此3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为3.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．答案：12解析：∵8x ⎛+ ⎝的通项为1838C ()r r r rx a x -- 883388=C C r r r rr rr ra xxa x----=，∴8－r －3r＝4，解得r ＝3. ∴338C 7a =，得12a =.12．答案：2π3解析：∵3sin A ＝5sin B ，∴3a ＝5b .① 又∵b ＋c ＝2a ，②∴由①②可得，53a b =，73c b =， ∴22222257133cos 52223b b b b ac C ab b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⨯⨯，∴2π3C =.13．答案：[1，＋∞)解析：如图，设C (x 0，20x )(20x ≠a )，A(a )，Ba )，则CA ＝(0x ，20a x -)，CB ＝0x ，20a x -)． ∵CA ⊥CB ，∴CA ·CB ＝0，即－(a －20x )＋(a －20x )2＝0，(a －20x )(－1＋a －20x )＝0，∴20x ＝a －1≥0，∴a ≥1.14．答案：n a 解析：设11OA B S ∆＝S ， ∵a 1＝1，a 2＝2，OA n ＝a n ， ∴OA 1＝1，OA 2＝2.又易知△OA 1B 1∽△OA 2B 2， ∴1122221221124OA B OA B S OA S OA ∆∆()⎛⎫=== ⎪()⎝⎭. ∴1122A B B A S 梯形＝311OA B S ∆＝3S .∵所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等，且△OA 1B 1∽△OA n B n ，∴1n OA OA ===∴1n a a =，∴n a =. 15．答案：①②③⑤解析：当CQ ＝12时，D 1Q 2＝211D C ＋C 1Q 2＝54，AP 2＝AB 2＋BP 2＝54，所以D 1Q ＝AP ，又因为AD 1∥2PQ ，所以②正确；当0＜CQ ＜12时，截面为APQM ，且为四边形，故①也正确，如图(1)所示；图(1)如图(2)，当CQ ＝34时，由△QCN ∽△QC 1R 得11C Q C R CQ CN =，即114314C R=，C 1R ＝13，故③正确；图(2)如图(3)所示，当34＜CQ ＜1时，截面为五边形APQMF ，所以④错误； 当CQ ＝1时，截面为APC 1E ，图(3)可知AC 1EP APC 1E 为菱形，S 四边形APC 1E 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin π4x ω⎛⎫+⎪⎝⎭＝ωx ·cos ωx ＋2ωxωx ＋cos 2ωx )π2sin 24x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π=π2ω，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝π2sin 24x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭若0≤x ≤π2，则ππ5π2444x ≤+≤.当πππ2442x ≤+≤，即π08x ≤≤时，f (x )单调递增； 当ππ5π2244x ≤+≤，即ππ82x ≤≤时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．17．解：(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a ＞0)有两个实根x 1＝0，221a x a =+，故f (x )＞0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}．因此区间20,1a I a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，I 的长度为21a a +. (2)设d (a )＝21a a +，则d ′(a )＝22211a a -(+).令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0＜k ＜1，故当1－k ≤a ＜1时，d ′(a )＞0，d (a )单调递增；当1＜a ≤1＋k 时，d ′(a )＜0，d (a )单调递减．所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．而23223211211111211kd k k k k k d k k kk -(-)--+(-)==<+(+)-++(+)， 故d (1－k )＜d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值2122kk k--+. 18．解：(1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14， 解得a 2＝58. 故椭圆E 的方程为2288=153x y +. (2)设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c =由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率1F P k ＝00y x c +， 直线F 2P 的斜率2F P k ＝00y x c -，故直线F 2P 的方程为y ＝00()y x c x c --．当x ＝0时，y ＝00cy c x -，即点Q 坐标为0(0,)cy c x -.因此，直线F 1Q 的斜率为1F Q k ＝0y c x -.由于F 1P ⊥F 1Q ， 所以11F P F Q k k ⋅＝0000y yx c c x ⋅+-＝－1. 化简得22200(21)y x a =--．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．19． (1)证明：设面PAB 与面PCD 的交线为l . 因为AB ∥CD ，AB 不在面PCD 内， 所以AB ∥面PCD .又因为AB ⊂面PAB ，面PAB 与面PCD 的交线为l ，所以AB ∥l . 由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行． (2)解：设CD 的中点为F .连接OF ，PF . 由圆的性质，∠COD ＝2∠COF ，OF ⊥CD . 因为OP ⊥底面，CD ⊂底面， 所以OP ⊥CD .又OP ∩OF ＝O ，故CD ⊥面OPF .又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD.从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ， 故∠OPF 为OP 与面PCD 所成的角． 由题设，∠OPF ＝60°.设OP ＝h ，则OF ＝OP ·tan∠OPF ＝h. 根据题设有∠OCP ＝22.5°，得tan tan 22.5OP hOC OCP ==∠︒.由1＝tan 45°＝22tan 22.51tan 22.5︒-︒和tan 22.5°＞0，可解得tan 22.5°＝2－1， 因此1)OC h ==.在Rt △OCF 中，cos∠COF＝OF OC ==， 故cos ∠COD ＝cos(2∠COF )＝2cos 2∠COF －1＝21=17--.20．证明：(1)对每个n ∈N *，当x ＞0时，f ′n (x )＝11+2n xx n-++＞0，故f n (x )在(0，＋∞)内单调递增．由于f 1(1)＝0，当n ≥2时，f n (1)＝22211123n +++＞0，故f n (1)≥0. 又2222221121131 ()3334334kk n nn k k f k ==⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=-++≤-+=-+ ⎪⎝⎭∑∑·2112213312023313n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⋅< ⎪⎝⎭-，所以存在唯一的x n ∈2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足f n (x n )＝0.(2)当x ＞0时，f n ＋1(x )＝f n (x )＋121n x n +(+)＞f n (x )，故f n ＋1(x n )＞f n (x n )＝f n ＋1(x n ＋1)＝0.由f n ＋1(x )在(0，＋∞)内单调递增知，x n ＋1＜x n ，故{x n }为单调递减数列，从而对任意n ，p ∈N *，x n ＋p ＜x n .对任意p ∈N *，由于f n (x n )＝222102nn n n x x x n -++++=，①f n ＋p (x n ＋p )＝2122221+021n n n p n p n p n p n p n p x x x x x n n n p ++++++-++++++=(+)(+)＋.②①式减去②式并移项，利用0＜x n ＋p ＜x n ≤1， 得x n －x n ＋p ＝222211k kkkn pn pnn p n n p n p k k n k n x x x x k k k+++++==+=+-+≤∑∑∑ 21111(1)n p n pk n k n k k k ++=+=+≤<-∑∑111n n p n =-<+.因此，对任意p ∈N *，都有0＜x n －x n ＋p ＜1n. 21．解：(1)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于P (A )＝P (B )＝11C C k n k n k n--=，故P (A )＝P (B )＝1k n -，因此学生甲收到活动通知信息的概率222211k kn kP n n -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. (2)当k ＝n 时，m 只能取n ，有P (X ＝m )＝P (X ＝n )＝1.当k ＜n 时，整数m 满足k ≤m ≤t ，其中t 是2k 和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为2(C )k n .当X ＝m 时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k －m .仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m －k .由乘法计数原理知：事件{X ＝m }所含基本事件数为2C C C C C C k k m m k k m k m k n k n k n k n k ------=.此时P (X ＝m )＝22C C C C C (C )C k k m m k m k m kn k n k kn k k kn n------=. 当k ≤m ＜t 时，P (X ＝m )≤P (X ＝m ＋1)⇔C C m k m k k n k ---≤11C C m k m kkn k +-+-- ⇔(m －k ＋1)2≤(n －m )(2k －m )⇔m ≤2(1)22k k n +-+. 假如k ≤2(1)22k k n +-+＜t 成立，则当(k ＋1)2能被n ＋2整除时，k ≤2(1)22k k n +-+2(1)212k k n +<+-+≤t .故P (X ＝m )在m ＝2(1)22k k n +-+和m ＝2(1)212k k n ++-+处达最大值；当(k ＋1)2不能被n ＋2整除时，P (X ＝m )在m ＝2(1)22k k n ⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦处达最大值． (注：[x ]表示不超过x 的最大整数)下面证明k ≤2(1)22k k n +-+＜t .因为1≤k ＜n ，所以2(1)22k k n +-+－k ＝2211110222kn k k k k k n n n --(+)---≥=≥+++. 而22(1)12<022k n k k n n n +(-+)--=-++， 故2k －k ＋12n ＋2＜n .显然2(1)22k k n +-+＜2k .因此k ≤2(1)22k k n +-+＜t .。