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微分几何与物理学
微分几何与物理学之间有着密切的联系。
物理学中，许多物理现象和规律都可以用微分几何来描述和解释。
首先，物理学中的许多概念和数学工具都是基于微分几何的。
比如，广义相对论中引力的几何化解释，即引力是由于物质引起的时空曲率。
在这个理论中，爱因斯坦使用了黎曼几何作为其数学基础，从而建立了引力和几何之间的联系。
此外，微分几何也在量子力学、场论、规范场论等领域有着广泛的应用。
在量子力学中，波函数是一种定义在三维空间中的复值函数，其变化规律可以用微分方程来描述。
而在规范场论中，物理学家使用了纤维丛和联络等微分几何的概念来描述场和相互作用。
具体来说，微分几何中的一些概念和工具，如切空间、余切空间、张量、联络、曲率等，都可以在物理学中找到对应。
比如，在相对论中，切空间对应于物理时空中的事件，联络对应于物理场，而曲率则对应于物质引起的时空曲率。
总之，微分几何为物理学提供了一种描述自然界的数学语言，使得物理学家能够更好地理解和描述自然界的规律和现象。
虽然微分几何并不是物理学中的唯一数学工具，但它对于物理学的发展和推进起着重要的作用。
量子力学概念总结（史俊杰老师班）By prayerlee2011.1注:①*号表示可能不会以“概念”的形式考/不是重点②要求定量掌握的公式不包括在内（其实也写得差不多了）③参考的是讲义④序号加三角表示出现在09级期末考试中。
20-1 波函数的统计解释△1．波动性（2点）和粒子性（2点），及电子的特殊波粒二象性（各占1点）2．几率波*3．波函数的统计（几率）解释：量子力学的基本原理之一4．几率密度5．几率波幅/几率幅*6．波函数的标准条件（3点）7．统计解释对波函数提出的要求（3点）8．势场性质和边界条件对波函数提出的要求（2方面）20-2 力学量的统计不确定性1．不确定性原理2．粒子的平均寿命*3．粒子的能级宽度*△4．动量空间中的波函数公式5．狄拉克分布函数及其性质（3点）* 6．坐标表象、动量表象*7．力学量的平均值公式20-3 态叠加原理1．态叠加原理的一般表述20-4 薛定谔方程1．薛定谔方程必须满足的条件（3点）*2．薛定谔方程的普遍形式3．薛定谔方程的线性性质*4．薛定谔方程的初始条件*5．几率守恒的微分表达式与积分表达式，意义6．几率流密度矢量7．定态薛定谔方程/能量本征态方程△8．定态△9．定态性质（2个不变）20-5 一维定态问题1．束缚态*2．能量本征值/能级，能量本征函数，能量量子数*3．能量本征函数的正交归一性公式表示4．节点*5．宇称6．隧道效应*21-1 力学量的算符表示1．位置的算符表示2．动量的算符表示3．动能的算符表示4．角动量的算符表示5．角动量平方算符6．算符相等21-2 本征值和本征函数线性厄米算符1．简并度*2．线性算符*3．厄米算符*△4．厄米算符平均值的基本性质定理△5．厄米算符本征值的基本性质定理△6．厄米算符本征函数的基本性质定理21-3 厄米算符的对易关系1．单位算符、算符的和与积*2．对易式*3．算符对易*4．量子力学的基本对易式*△5．角动量算符各分量之间的对易式，合写→角动量算符的定义式*21-4 共同本征函数1．普遍的不确定关系2．一组算符具有共同本征函数的充要条件3．（L2,L z）的共同本征函数是球谐函数，满足的正交归一化条件*4．轨道量子数/角量子数，磁量子数，二者关系5．对某个l，L2有多少个简并态△6．力学量完全集7．体系的自由度8．力学量完全集的共同本征函数的正交归一性表达式9．希尔伯特空间10．波函数统计诠释的一般表述△11．狄拉克符号：注意投影算符，算符L的矩阵表示○难12．湮没算符和产生算符（公式）13．占有数表象21-5 力学量随时间的变化守恒量与对称性1．力学量是守恒量的条件（2点）2．自由粒子的角动量和动量守恒吗？3．中心力场中运动的粒子角动量和动量守恒吗？4．好量子数○难△5．守恒量与定态6．体系在变换Q下的不变性的数学表达式7．体系的对称性变换8．幺正算符9．对称性变换Q的无穷小算符* 10．空间反演、宇称算符11．宇称守恒定律21-6 量子力学的基本假设△1．量子力学的基本假设（5条：波函数、力学量对应线性厄米算符、波函数用……展开、薛定谔方程、任意两个全同粒子交换……）22-1 粒子在有心力场中运动的一般描述1．有心力场选用的力学量完全集△2．有心力场中运动粒子的能量本征值的特征（2点）*22-2 氢原子的能级和能量本征函数1．主量子数；n与l关系；l的取值22-3 氢原子和类氢原子的结构与性质1．氢原子能级的简并度：n22．圆轨道3．最概然半径4．径向位置概率分布曲线的极大值峰* 5．线性组合波函数*6．原子轨道的杂化7．电子的电流密度*8．电子沿z轴方向的轨道磁矩（其中：玻尔磁子*）、磁旋比*、g因数/朗德因数*9．类氢离子（2个转换）10．原子单位*22-4 粒子在电磁场中的运动1．电磁场中带电粒子的哈密顿算符和薛定谔方程2．电磁场具有规范不变性3．A-B效应*4．正常塞曼效应*23-1 电子自旋1．反常塞曼效应*△2．电子自旋假设（2点）（其中：电子自旋的磁旋比、g因数*）3．旋量波函数*4．s z的本征函数（α、β）和本征值5．自旋算符S各分量间的对易关系* 6．自旋量子数s7．泡利算符8．泡利矩阵○难9．自旋轨道耦合能可以忽略的情况（2种）10．自旋轨道耦合能不可忽略时的力学量完全集11．总角动量J、量子数j12．自旋轨道耦合能不可忽略时，在泡利表象中，共同本征态所对应的本征值○难13．自旋轨道耦合能不可忽略时的好量子数14．原子的多重态15．多重态的表示16．电子自旋对正常塞曼效应的影响17．反常塞曼效应和理论解释23-2 全同粒子系和原子组态1．全同粒子2．全同粒子的不可区分性3．全同性原理（量子力学基本原理之一）4．全同粒子系*5．全同粒子系的交换对称性6．全同粒子系波函数的交换对称性，交换算符及其本征值7．玻色子8．费米子9．复合粒子*10．全同粒子系的波函数（分玻色子与费米子2种情况）11．泡利不相容原理△12．两电子体系的波函数、自旋力学量完全集、共同本征态13．自旋三重态与自旋单态14．交换效应（定义及效果）24-1 定态微扰论1．（非简并）微扰矩阵元△2．（非简并）二级近似下的能量本征值△3．（非简并）一级近似下的波函数△4．微扰论的适用条件24-2 含时微扰论和量子跃迁1．跃迁概率2．选择定则3．跃迁速率24-3 变分法1．用变分法求体系基态能量的步骤* 24-4 光的吸收和辐射1．光的吸收2．受激辐射3．自发辐射4．电偶极辐射的选择定则（不考虑电子自旋；考虑电子自旋；考虑自旋轨道耦合）5．宇称选择定则。
绪 论几何学是数学中一门古老的分支学科. 几何学产生于现实生产活动. “geometry ”就是“土地测量”.Pythagoras 定理和勾股定理(《周髀算经》). 数学：人类智慧的结晶，严密的逻辑系统. 以欧几里德(Euclid)的《几何原本》(Elements )为代表.《自然辩证法》和《反杜林论》：数学与哲学；数与形的统一：解析几何；坐标系：笛卡儿和费马引入.对微分几何做出突出贡献的数学家：欧拉(Euler)，蒙日(Monge)，高斯(Gauss)，黎曼(Riemann). 克莱因(Klein)关于变换群的观点. E. Cartan 的活动标架方法.微分几何：微积分，拓扑学，高等代数与解析几何知识的综合运用. 内容简介第一章：预备知识. 第二章：曲线论. 第三章至第五章：曲面论. 第六章：曲面上的曲线，非欧几何. 第七章*：活动标架和外微分.第一章 预备知识本章内容：向量代数知识复习；正交标架；刚体运动；等距变换；向量函数 计划学时：3学时难点：正交标架流形；刚体运动群；等距变换群引言为什么要研究向量函数？在数学分析中，我们知道一元函数()y f x =的图像是xy 平面上的一条曲线，二元函数(,)z f x y =的图像是空间中的一张曲面.采用参数方程，空间一条曲线可以表示成()()(),(),()r r t x t y t z t ==.这是一个向量函数，它的三个分量都是一元函数.所有这些例子中，都是先取定了一个坐标系. 所以标架与坐标是建立“形”与“数”之间联系的桥梁.§ 1.1 三维欧氏空间中的标架一、向量代数复习向量即有向线段：AB ，r ，r. 向量相等的定义：大小和方向. 零向量：0，0 . 反向量：a - . 向量的线性运算. 加法：三角形法则，多边形法则. 向量的长度. 三角不等式. 数乘.内积的定义：:||||cos (,)ab a b a b =∠外积的定义.二重外积公式：()()()a b c a c b b c a ⨯⨯=⋅-⋅ ；()()()a b c a c b a b c ⨯⨯=⋅-⋅内积的基本性质：对称性，双线性，正定性. 外积的基本性质：反对称性，双线性.二、标架仿射标架{};,,O OA OB OC. 定向标架.正交标架(即右手单位正交标架)：{};,,O i j k. 笛卡尔直角坐标系. 坐标.内积和外积在正交标架下的计算公式. 两点距离公式. 三维欧氏空间3E 和3.三、正交标架流形取定一个正交标架{};,,O i j k (绝对坐标系). 则任意一个正交标架{}123;,,P e e e被P 点的坐标和三个基向量{}123,,e e e的分量唯一确定：123111121322122233313233,,,.OP a i a j a k e a i a j a k e a i a j a k ea i a j a k ⎧=++⎪=++⎪⎨=++⎪⎪=++⎩(1.6) 其中123(,,)a a a a =可以随意取定，而(,1,2,3)ij a i j =应满足31ikjk ij k aa δ==∑， (1.7)即过渡矩阵()ij a A =是正交矩阵. 又因为123,,e e e是右手系，det 1A =，即矩阵111213212223313233(3)a a a A a a a SO a a a ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭(1.8, 1.9) 是行列式为1的正交矩阵. 我们有一一对应：{正交标架}←→3(3)E SO ⨯，{}123;,,(,)P e e e a A ←→.所以正交标架的集合是一个6维流形.四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换空间任意一点Q 在两个正交标架{};,,O i j k 和{}123;,,P e e e中的坐标分别为(,,)x y z 和(,,)xy z ，则两个坐标之间有正交坐标变换关系式： 111213*********132333,,.x a xaya za y a xaya za z a xa ya za =+++⎧⎪=+++⎨⎪=+++⎩ (1.10) 如果一个物体在空间运动，不改变其形状和大小，仅改变其在空间中的位置，则该物体的这种运动称为刚体运动.QOPki1e j2e 3e QO()P O σ=ki1e j2e 3e ()QQ σ=在刚体运动33:E E σ→下，若σ将正交标架{};,,O i j k 变为{}123;,,P e e e，则空间任意一点(,,)Q x y z 和它的像点 (,,)Q xy z (均为在{};,,O i j k 中的坐标)之间的关系式为 111213121222323132333,,.x a xa ya za y a xa ya za za xa ya za =+++⎧⎪=+++⎨⎪=+++⎩ (1.11) 定理1.1 3E 中的刚体运动把一个正交标架变成一个正交标架；反过来，对于3E 中的任意两个正交标架，必有3E 的一个刚体运动把其中的一个正交标架变成另一个正交标架.空间3E 到它自身的、保持任意两点之间的距离不变的变换33:E E σ→称为等距变换. 刚体运动是等距变换，但等距变换不一定是刚体运动. 一般来说，等距变换是一个刚体运动，或一个刚体运动与一个关于某平面的反射的合成(复合映射).仿射坐标变换与仿射变换.§ 1.2 向量函数所谓的向量函数是指从它的定义域D 到3中的映射3::()r p r p →D .设有定义在区间[,]a b 上的向量函数()((),(),()),r t x t y t z t a t b =≤≤. 如果(),(),()x t y t z t 都是t 的连续函数，则称向量函数()r t是连续的；如果(),(),()x t y t z t 都是t 的连续可微函数，则称向量函数()r t是连续可微的. 向量函数()r t的导数和积分的定义与数值函数的导数和积分的定义是相同的，即0000()()lim t t t r t t r t drdt t∆→=+∆-=∆0000000()()()()()()lim ,,t x t t x t y t t y t z t t z t t t t ∆→+∆-+∆-+∆-⎛⎫= ⎪∆∆∆⎝⎭()000(),(),()x t y t z t '''=，0(,)t a b ∈， (2.6)()1()lim ()(),(),()nbbbbi i aaaai r t dt r t t x t dt y t dt z t dt λ→='=∆=∑⎰⎰⎰⎰， (2.7)其中01n a t t t b =<<<= 是区间[,]a b 的任意一个分割，1i i i t t t +∆=-，1[,]i i i t t t -'∈，并且{}max |1,2,,i t i n λ=∆= . (由向量加法和数乘的定义可以得到)向量函数的求导和积分归结为它的分量函数的求导和积分，向量函数的可微性和可积性归结为它的分量函数的可微性和可积性.由(1.6)可得()()()()()(),()()()()()()a t b t a t b t t at t a t t a t λλλ''''''+=+=+. 定理2.1 (Leibniz 法则) 假定(),(),()a t b t c t是三个可微的向量函数，则它们的内积、外积、混合积的导数有下面的公式：(1) ()()()()()()()a t b t a t b t a t b t '''⋅=⋅+⋅；(2) ()()()()()()()a t b t a t b t a t b t '''⨯=⨯+⨯；(3) ()()()()(),(),()(),(),()(),(),()(),(),()a t b t c t a t b t c t a t b t c t a t b t c t ''''=++.定理2.2 设()a t是一个处处非零的连续可微的向量函数，则 (1) 向量函数()a t 的长度是常数当且仅当()()0a t a t '⋅≡. (2) 向量函数()a t的方向不变当且仅当()()0a t a t '⨯≡.(3) 设()a t 是二阶连续可微的. 如果向量函数()a t与某个固定的方向垂直，那么 ()(),(),()0a t a t a t '''≡. 反过来，如果上式成立，并且处处有()()0a t a t '⨯≠，那么向量函数()a t必定与某个固定的方向垂直.证明 (1) 因为()()22()()()()|()|a t a t a t a t a t '''== ，所以|()|a t 是常数2|()|a t ⇔是常数()()0a t a t '⇔⋅≡.(2) 因为()a t 处处非零，取()a t方向的单位向量1()|()|()b t a t a t -= . 则()()()a t f t b t = ，其中()|()|f t a t =连续可微. 于是()()2()()()()()()()()()()(),.a t a t f t b t f t b t f t b t f t b t b t t ''''⨯=⨯+=⨯∀“⇒”由条件知()b t c = 是常向量，()0b t c ''== . 从而()()0a t a t '⨯≡.“⇐”由条件得()()0b t b t '⨯≡，所以()b t ，()b t ' 处处线性相关. 因为()b t 是单位向量，处处非零，所以()()()b t t b t λ'= . 用()b t 作内积，得()12()()()()()0t b t bt b t b t λ''=⋅=⋅≡ . 于是()0b t '≡ ，()b t c =是常向量.(3) 设向量函数()a t与某个固定的方向垂直，那么有单位常向量1e 使得1()0a t e ⋅≡ . 求导得到1()0a t e '⋅≡ ，1()0a t e ''⋅≡ . 从而(),(),()a t a t a t '''共面，()(),(),()0a t a t a t '''≡ .反之，设()(),(),()0a t a t a t '''≡ . 令()()()b t a t a t '=⨯. 由条件，()b t 处处非零. 且()b t '= ()()a t a t ''⨯连续. 根据二重外积公式，()()()()()()()()()()()(),(),()()(),(),()()(),(),()()0.b t b t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t ''''⨯=⨯⨯⨯''''''=-'''=≡根据已经证明的(2)，()b t 的方向不变. 设这个方向为1e . 则1()|()|b t b t e = . 用()a t作内积，得()1|()|()()()()()()0b t a t e a t b t a t a t a t '⋅=⋅=⋅⨯≡.由于()b t 处处非零，得到1()0a t e ⋅≡ ，即()a t与固定方向1e 垂直. □课外作业： 1. 证明定理2.1.2. 设33:E E σ→为等距变换. 在3E 中取定一个正交标架{};,,O i j k . 令3 为3E 中全体向量构成的向量空间. 定义映射33::()()AB A B σσ→ . 如果()O O σ=，证明 是线性映射.3. 设向量函数()r t 有任意阶导(函)数. 用()()k r t 表示()r t 的k 阶导数，并设()(1)()()k k r t r t +⨯处处非零. 试求()()(1)(2)(),(),()0k k k r t r t r t ++≡的充要条件.第二章 曲线论本章内容：弧长，曲率，挠率；Frenet 标架，Frenet 公式；曲线论基本定理 计划学时：14学时，含习题课3学时. 难点：曲线论基本定理的证明§ 2.1 参数曲线三维欧氏空间3E 中的一条曲线C 是一个连续映射3:[,]p a b E →，称为参数曲线. 几何上，参数曲线C 是映射p 的象.取定正交标架{};,,O i j k，则曲线上的点()([,])p t t a b ∈与它的位置向量()Op t 一一对应. 令()()r t Op t =. 则()()()()((),(),())r t x t i y t j z t k x t y t z t =++=，[,]t a b ∈， (1.3)其中t 为曲线的参数，(1.3)称为曲线的参数方程.由定义可知()()01()lim (),(),()()()t r t x t y t z t r t t r t t∆→''''==+∆-∆，(,)t a b ∈. (1.4)如果坐标函数(),(),()x t y t z t 是连续可微的，则称曲线()r t是连续可微的. 此概念与标架的取法无关.(为什么？)导数()r t '的几何意义：割线的极限位置就是曲线的切线.如果()0r t '≠ ，则()r t '是该曲线在()r t 处的切线的方向向量，称为该曲线的切向量. 这样的点称为曲线的正则点. 曲线在正则点的切线方程为()()()X u r t ur t '=+， (1.5) 其中t 是固定的，u 是切线上点的参数，()X u是切线上参数为u 的点的位置向量.定义. 如果()r t是至少三次以上的连续可微向量函数，并且处处是正则点，即对任意的t ，()0r t '≠ ，则称曲线()r t是正则参数曲线. 将参数增大的方向称为曲线的正向.上述定义与3E 中直角坐标系的选取无关. 正则曲线：正则参数曲线的等价类.曲线的参数方程中参数的选择不是唯一的. 在进行参数变换时，要求参数变换()t t u =满足：(1)()t u 是u 的三次连续可微函数；(2) ()t u '处处不为零. 这样的参数变换称为可允许的参数变换. 当()0t u '>时，称为保持定向的参数变换.根据复合函数的求导法则，[]()(())()()d d du dt t t u r t u r t t u ='=⋅ .这种可允许的参数变换在所有正则参数曲线之间建立了一种等价关系. 等价的正则参数曲线看作是同一条曲线，称为一条正则曲线. 以下总假定()r t是正则曲线.如果一条正则参数曲线只允许作保持定向的参数变换，则这样的正则参数曲线的等价类被称为是一条有向正则曲线. (返回Frenet 标架)例1.1 圆柱螺线()(cos ,sin ,),()r ta t a t bt t =∈ ，其中,ab 是常数，0a >.()()sin ,cos ,r t a t a t b '=- ，|()|0()0r t r t ''=>⇒≠所以圆柱螺线是正则曲线.例1.2 半三次曲线32()(,),()r t t t t =∈.2()(3,2)r t t t '= ，(0)0r '= .这条曲线不是正则曲线.连续可微性和曲线的正则性（光滑性）是不同的概念. （与数学分析中的结论比较） 平面曲线的一般方程()y f x =和隐式方程(,)0F x y =. 空间曲线的一般方程(),()y f x z g x == (1.6)和隐式方程(,,)0,(,,)0.F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ (1.8) 这些方程可以化为参数方程. (习题4：正则曲线总可以用一般方程表示)曲线(1.8)的切线方向，正则性. 课外作业：习题2，5§ 2.2 曲线的弧长设3E 中一条正则曲线C 的方程为(),[,]r r t t a b =∈. 则|()|b as r t dt '=⎰(2.1)是该曲线的一个不变量，即它与正交标架的选取无关，也与曲线的可允许参数变换无关.不变量s 的几何意义是该曲线的弧长，因为1max||01|()|lim|()()|i nbi i at i s r t dt r t r t +∆→='==-∑⎰.其中01n a t t t b =<<<= 是区间[,]a b 的任意一个分割，1i i i t t t +∆=-，max λ={|1,i t i ∆=2,,n . (为什么？)令()|()|t as t r d ττ'=⎰. (2.4)则()s s t =是曲线C 的保持定向的可允许参数变换，称为弧长参数. 它是由曲线本身确定的，至多相差一个常数，与曲线的坐标表示和参数选择都是无关的. 因此任何正则曲线都可以采用弧长s 作为参数，当然，允许相差一个常数.注意|()|ds r t dt '=也是曲线的不变量，称为曲线的弧长元素(或称弧微分).虽然理论上任何正则曲线都可以采用弧长参数s ，但是具体的例子中，曲线都是用一般的参数t给出的. 由(2.4)，即使|()|r t '是初等函数，()s t 也不一定是初等函数. 下面的定理给出了判别一般参数是否是弧长参数的方法.定理 2.1 设(),[,]r r t t a b =∈是3E 中一条正则曲线，则t 是它的弧长参数的充分必要条件是|()|1r t '=. 即t 是弧长参数当且仅当(沿着曲线C )切向量场是单位切向量场.证明. “⇐”由(2.4)可知，s t a =-. “⇒”如果t 是弧长参数，则s t =，从而|()|1ds r t dt '==. □以下用“﹒”表示对弧长参数s 的导数，如()r s ，()r s 等等，或简记为,rr 等等. 而“'”则用来表示对一般参数t 的导数.课堂练习：4课外作业：习题1，2(1)，3.§ 2.3 曲线的曲率和Frenet 标架设曲线C 的方程为()r r s =，其中s 是曲线的弧长参数. 令()()s r s α=. (3.1) 对于给定的s ，令θ∆是()s α 与()s s α+∆之间的夹角，其中0s ∆≠是s 的增量.定理3.1 设()s α 是曲线()r r s = 的单位切向量场，s 是弧长参数. 用θ∆表示向量()s s α+∆与()s α之间的夹角，则lim|()|ss s θα∆∆∆→= . (3.2) 证明. ()001||lim lim ()()s s d s s s ds s s ααααα∆→∆→∆===+∆-∆∆()()2200022sin sin lim lim lim ||s s s s s s θθθθθ∆∆∆∆→∆→∆→∆∆===∆∆∆， ()r s 0s =图2-5O()s αs L=()s s α+∆()r s s +∆()s s α+∆()s α()()s s s αα+∆-θ∆因为θ∆=定义 )为该曲线的曲率向量.把曲线C . 其方程就是(3.3)当然，s (3.4) 所以(3.5) 即曲率κ由|()s α 如果在一点s 处()0s κ≠. 于是在该点有(3.6) 在()s κ (3.7)}),()s s γ ，称为曲线在该点的Frenet 标架(见图2-2). 它的确定不受曲线的保持定向的参数变换的影响.注意. 如果在一点0s 处0()0s κ=，则一般来说无法定义在该点的Frenet 标架. 1. 若()0s κ≡，则C 是直线，可以定义它的Frenet 标架.2. 若0s 是κ的孤立零点, 则在0s 的两侧都有Frenet 标架. 如果00()()s s ββ-+=，则可以将Frenet 标架延拓到0s 点.3. 在其他的情况下将曲线分成若干段来考察.切线、主法线和次法线，法平面、从切平面和密切平面，以及它们的方程.切线：()()()u r s u s ρα=+；主法线：()()()u r s u s ρβ=+ ；次法线：()()()u r s u s ργ=+法平面：[()]()0X r s s α-= ；从切平面：[()]()0X r s s β-= ；密切平面：[()]()0X r s s γ-=在一般参数t 下，曲率κ和Frenet 标架的计算方法.3|()()|()|()|r t r t t r t κκ'''⨯==' ，()|()|r t r t α'=' ，()()|()()|r t r t r t r t γ'''⨯='''⨯，βγα=⨯ . (3.13) 证明. 设()s s t =为弧长参数，()t t s =为其反函数. 则由(2.4)，()|()|ds s t r t dt''==. 故(())()()()|()|(())()(),():(())|()|dr s t ds t r t r t r t s t s t t s t ds dt r t αααα''''====='. (3.12) 由曲率κ的定义，||0κα=≥ ，可知主法向量||αβα= 满足ακβ= . 上式再对t 求导，得 2d d ds r s s s s s s dt ds dtααααακβ'''''''''''=+=+=+.于是2333()()||r r s s s s s r r s αακβκαβκγκ'''''''''''''⨯=⨯+=⨯=⇒⨯= .所以33|()()||()()||()|r t r t r t r t s r t κ''''''⨯⨯==''. 代入上式得()()|()()|r t r t r t r t γ'''⨯='''⨯. □ 例3.1 求圆柱螺线()(cos ,sin ,),()r t a t a t bt t =∈的曲率和Frenet 标架，其中0a >.解. ()r t 'r ' 所以例3.2 .解法1. 22t k ππ=+于是当/t π=r 所以在1)-，γ=解法2. 对应的参数为0s =. 则有 (0)((0),(0),(0))(0,0,1)r x y z ==， (1)以及22222222()()()1,(,).()()()0,()()()1,x s y s z s s x s y s x s xs y s z s εε⎧++=⎪∀∈-+-=⎨⎪++=⎩ (3.14) 求导得到()()()()()()0,2()()2()()()0,()()()()()()0.x s x s y s y s z s z s x s x s y s y s x s x s x s y s y s z s z s ++=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩(3.15) 令0s =，由(1)和上述方程组得到(0)(0)0xz == ，(0)1y =± . 通过改变曲线的正方向，可设(0)1y= ，于是 (0)((0),(0),(0))(0,1,0)xy z α==. (3.16) 对(3.15)前两式再求导，利用(3.14)得22()()()()()()1,2()()2()2()()2()()0.x s x s y s y s z s z s x s x s x s y s y s y s x s ++=-⎧⎨+++-=⎩(3.17) 令0s =，由(3.15)和(3.16)得(0)0y= ；由(1)和(3.17)第1式得(0)1z =- ；再由(3.17)第2式得(0)2x = . 所以(0)(0)((0),(0),(0))(2,0,1)r x y zα===-. 由此得(0)(0,0,1)r =处的曲率(0)|(0)|κα== ，Frenet 标架为：(0)(0,0,1)r = ；(0)(0,1,0)α=，1(0)(0)(0)1)κβα==-，(0)(0)(0)1,0,2)γαβ=⨯=-- . □课外作业：习题1(2,4)，4，7§ 2.4 曲线的挠率和Frenet 公式密切平面对弧长s 的变化率为||γ，它刻画了曲面偏离密切平面的程度，即曲线的扭曲程度. 定义4.1 函数τγβ=-⋅ ，即()()()s s s τγβ=-⋅ 称为曲线的挠率.注. 由0γγ⋅= ，()0γαγαγκβ⋅=-⋅=-⋅= 可知//γβ . 因此可设γτβ=- ， (4.1)从而||||τγ= ，即挠率的绝对值刻画了曲线的扭曲程度. 定理4.1 设曲线C 不是直线，则C 是平面曲线的充分必要条件是它的挠率0τ≡.证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，[0,]s L ∈. 因为C 不是直线，0κ≠(见定理3.2 )，存在Frenet 标架{};,,r αβγ.“⇒” 设C 是平面曲线，在平面:()0X a n ∏-= 上，其中a是平面上一个定点的位置向量，n 是平面的法向量，a 和n均为常向量. 则有(())0,[0,]r s a n s L -=∀∈.求导得()0,()()0()0,s n s s n s n s ακββ==⇒=∀.于是()//s n γ , 由于|()|||1s n γ== ，所以()s n γ=± 是常向量，从而0γ≡ ，||||0τγ=≡ . 即有0τ≡.“⇐”设0τ≡. 由(4.1)得0γτβ=-= . 所以()0s c γ=≠ 是常向量. 由(())()()()0d r s c r s c s s ds αγ=== 可知()r s c是一个常数，即0()()r s c r s c = ，其中0[0,]s L ∈是固定的. 于是曲线C 上的点满足平面方程0[()()]0r s r s c -= ，其中0()r s 是平面上一个定点的位置向量，c是平面的法向量. □设正则曲线C 上存在Frenet 标架. 对Frenet 标架进行求导，得到Frenet 公式,,,.r αακββκατγγτβ⎧=⎪=⎪⎨=-+⎪⎪=-⎩(4.8) 上式中的后三式可以写成矩阵的形式00000ακαβκτβγτγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (4.9) 作为Frenet 公式的一个应用，现在来证明定理4.2 设曲线()r r s =的曲率()s κ和挠率()s τ都不为零，s 是弧长参数. 如果该曲线落在一个球面上，则有222111d a ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， (4.10) 其中a 为常数.证明. 由条件，设曲线所在的球面半径是a ，球心是0r，即有()220()rs r a -= . (4.11)求导得到()0()()0rs r s α-=. 这说明0()r s r - 垂直于()s α，可设 0()()()()()r s r s s s s λβμγ-=+. (4.12)再求导，利用Frenet 公式得()()()()[()()()()]()()()()()s s s s s s s s s s s s s αλβλκατγμγμτβ=+-++-. 比较两边,,αβγ的系数，得1λκ=-，λμτ= ，μλτ=- ， (4.13) 其中略去了自变量s . 所以1λκ=-，111d d ds ds λλμτττκ⎛⎫===- ⎪⎝⎭. (4.14)将(4.12)两边平方可得()22220r r a λμ+=-=，再将(4.14)代入其中，即得(4.10). □注记 由证明过程中的(4.13)第3式还可得110d d ds ds τκτκ⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. (4.16) 在一般参数下挠率的计算公式.2(,,)||r r r r r τ''''''='''⨯ . (4.18)证明. 因为()|()|ds s t r t dt''==，利用Frenet 公式，有 ()()(())ds dr r t s t s t dt dsα''==，2()()(())()(())(())r t s t s t s t s t s t ακβ'''''=+，23(())()()(())3()()(())(())()(())()(())[(())(())(())(())].d s t r t s t s t s t s t s t s t s t s t dts t s t s t s t s t s t κακββκκατγ''''''''''=++'+-+于是3()()()(())(())r t r t s t s t s t κγ''''⨯= ，从而()362()()()()(())(())()(),(),()()(())(()).r t r t r t s t s t s t r t rt r t r t s t s t s t κγκτ''''''''''''''''=⨯⋅=⋅'=由(3.13)可知622()(())|()()|s t s t r t r t κ''''=⨯ ，代入上式即得(4.18). □定理4.3 曲线()r r t = 是平面曲线的充要条件是(,,)0r r r ''''''=. □例 求圆柱螺线()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =的挠率.解. ()(sin ,cos ,)r t a t a t b '=- ，()(cos ,sin ,0)r t a t a t ''=-，|()|r t '=2(sin ,cos ,)(sin ,cos ,)r r ab t ab t a a b t b t a '''⨯=-=-，||r r '''⨯=()(sin ,cos ,0)r t a t t '''=-所以2(,,)r r r a b ''''''= ，22b a b τ=+. □课外作业：习题1(2, 4)，4，10§ 2.5 曲线论基本定理已经知道正则参数曲线的弧长、曲率、挠率是曲线的不变量，与坐标系取法及保持定向的参数无关，都是曲线本身的内在不变量. 在空间的刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变(为什么？). 反之，这三个量也是曲线的完备不变量系统，对确定空间曲线的形状已经足够了，即有定理 5.1 (唯一性定理) 设111222:(),:()C r r s C r r s ==是3E 中两条以弧长s 为参数的正则参数曲线，[0,]s l ∈. 如果它们的曲率处处不为零，且有相同的曲率函数和挠率函数，即12()()s s κκ=，12()()s s ττ=，则有3E 中的一个刚体运动σ将1C 变成2C .证明 选取3E 中的刚体运动σ将2C 在0s =处的Frenet 标架{}2222(0);(0),(0),(0)r αβγ变为1C 在0s =处的Frenet 标架{}1111(0);(0),(0),(0)r αβγ. 则这个刚体运动σ将2C 变为正则曲线3C .设3C 的弧长参数方程为33()r r s =. 由于在刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变，1C 与3C 也有相同的曲率和挠率函数：13()()s s κκ=，13()()s s ττ=.且在0s =处它们有相同的Frenet 标架：13131313(0)(0),(0)(0),(0)(0),(0)(0).r r ααββγγ====令{}1111();(),(),()r s s s s αβγ 和{}3333();(),(),()r s s s s αβγ分别为1C 和3C 的Frenet 标架. 则它们都满足一阶线性常微分方程组初值问题,,,.r αακββκατγγτβ⎧=⎪=⎪⎨=-+⎪⎪=-⎩(5.6) 1111(0)(0),(0)(0),(0)(0),(0)(0).r r ααββγγ=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩(5.7)根据解的唯一性(见附录定理1.1)，有13()()r s r s =，即1C 与3C 重合. □注 常微分方程组(5.6)中，共有12个未知函数：()()(),(),()r s x s y s z s =，()123()(),(),()s s s s αααα= ， ()123()(),(),()s s s s ββββ= ，()123()(),(),()s s s s γγγγ=.初始条件为：()1123(0)(,,)(0),(0),(0)r a a a x y z ==，()123111213(0),(0),(0)(,,)a a a ααα=，()123212223(0),(0),(0)(,,)a a a βββ=，()123313233(0),(0),(0)(,,)a a a γγγ=.定理5.2设111222:(),:()C r r t C r r u ==是3E 中两条正则参数曲线，它们的曲率处处不为零.如果存在三次以上的连续可微函数()u t λ=([,]t a b ∈)，()0t λ'≠，使得这两条曲线的弧长函数、曲率函数和挠率函数之间满足121212()(()),()(()),()(())s t s t t t t t λκκλττλ===， (5.4) 则有3E 中的一个刚体运动σ将1C 变成2C .证明 不妨设()0t λ'>. 对2C 作可允许参数变换()u t λ=，可将2C 的参数方程写成32()(())r t r t λ=. 则1C 的弧长为11()|()|t a s t r d ξξ'=⎰ ，2C 的弧长为 ()23322()()|()||()|(())()t t t a a a dr s t r d d d s t r duλλξξλξξηλη'''====⎰⎰⎰.由条件，可取132()()()s s t s t s t λ=== 作为1C 和2C 的弧长参数. 因为13()()s t s t =有相同的反函数()t s μ=，即111111322()s s s s μλλ-----==== ，12s λμ-= . 于是 1111112222()()()()()()s s s s s s s s κκκμκλμκκ--≡===≡ .同理，21()()s s ττ= 根据定理5.1，有3E 中的一个刚体运动σ将1C 变成2C . □定理5.3 (存在性定理) 设(),()s s κτ是定义在区间[,]a b 上的任意二个给定的连续可微函数，并且()0s κ>. 则除了相差一个刚体运动之外，存在唯一的3E 中的正则曲线:()C r r s =，[,]s a b ∈，使得s 是C 的弧长参数，且分别以给定的函数()s κ和()s τ为它的曲率和挠率.证明 唯一性由定理5.1即得. 只要证明存在性.考虑含有12个未知函数的一阶线性常微分方程组初值问题(5.6)，(5.7).：,,,.dr ds d ds d ds d dsαακββκατγγτβ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=-+⎪⎪⎪=-⎩(5.6) 0000(0),(0),(0),(0).r r ααββγγ=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ (5.7)根据解的唯一存在定理(见附录定理1.1)，对任意给定的初始条件(5.7)，(5.6)都有定义在区间[,]a b 上[,]a b 11[,]a b [0,]l λ1s 2s1κ2κμ的解. 取(5.6)的满足初始条件(0)0,(0),(0),(0)r i j k αβγ====(5.7)’的解，其中{};,,O i j k是一个正交标架(即右手单位直角标架). 为了使用求和号，记123,,,ij i j e e e g e e αβγ====, (5.9)11121321222331323300000a a a a a a a a a κκττ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. (5.5) 因为123,,,r e e e 是(5.6)的解，所以()r r s = 是三阶连续可微的. 下面来证明()r r s =就是所要求的曲线. 由(5.6)可得311,,1,2,3i ij j j de dr e a e i dsds ====∑(5.6)’ 首先来证明(),,1,2,3ij ij g s i j δ==. (5.10)由(5.6)得333111()()iji j j i j i ik k j jk i k ik kj jk ki k k k dg d e e de de e e a e e a e e a g a g ds ds ds ds =====+=+=+∑∑∑， 由初始条件(5.7)’可知有(0)(0)(0)ij i j ij g e e δ==，,1,2,3i j =. 这说明9个函数()ij g s 满足一阶线性常微分方程组初值问题31()ij ik kj jk ki k dF a F a F ds==+∑，(0)ij ij F δ=，,1,2,3i j =.另一方面由(5.5)可知ij ji a a =-，,1,2,3i j =. 于是9个函数()ij ij F s δ=也满足上面的一阶线性常微分方程组初值问题. 由解的唯一性，必有()()ij ij ij g s F s δ==.因此123(),(),()e s e s e s 是两两正交的单位向量. 从而混合积()123(),(),()1e s e s e s =±. 但是函数()123()(),(),()f s e s e s e s = 是连续的，并且由初始条件得()123(0)(0),(0),(0)1f e e e ==. 所以123(),(),()e s e s e s构成右手系.现在，由(5.6)’可知11dr e ds==. 所以()r r s = 是正则曲线，并且s 是:()C r r s = 的弧长参数，1()()s e s α=是C 的单位切向量场. 由(5.6)第2式及()0s κ>可知C 的曲率为()s κ，主法向量场为2()()s e s β=. 最后，因为123(),(),()e s e s e s 是右手单位正交基，所以3()()s e s γ= 是次法向量场. 再由(5.6)第3式可知C 的挠率为()()()s s s γβτ-= . □例 求曲率和挠率分别是常数00κ>，0τ的曲线C 的参数方程.解 我们已经知道圆柱螺线()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =的曲率和挠率都是常数，分别为22aa b +和22b a b +. 根据定理 5.1，曲线C 一定是圆柱螺线. 由022a a b κ=+和022ba bτ=+解出02200a κκτ=+，02200b τκτ=+. 因此所求曲线C 的参数方程为()00022001()cos ,sin ,r t t t t κκτκτ=+ .因为C的弧长参数s ==t就可得到C 的弧长参数方程：))()00022001()cos ,sin,r s κκτκτ=+ . □课外作业：习题1，4，6§ 2.6 曲线参数方程在一点的标准展开对于定义在区间[,]a b 上的n 次连续可微的函数()f x ，可以在区间(,)a b 内任意一点0x 邻近展开为Taylor 展式：2()11000000002!!()()()()()()()()()n n n n f x f x f x x x f x x x fx x x o x x '''=+-+-++-+- . 同样，对于一条三次连续可微的弧长参数曲线(),(,)r r s s εε=∈-，可在0s =处展开为 233112!3!()(0)(0)(0)(0)()r s r sr s r s r o s =++++ ， (6.1) 其中3()o s是一个向量函数，满足330()lim 0s o s s→=. (6.2) 由Frenet 公式可得 2(0)(0),(0)(0)(0),(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)r r r ακβκακβκτγ===-++ (6.3)代入(6.1)得23233300000()(0)(0)(0)(0)()6266r s r s s s s s o s κκκκταβγ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，其中000(0),(0),(0)κκκκττ=== . 以0s =处的Frenet 标架{}(0);(0),(0),(0)r αβγ 建立右手直角坐标系，则曲线C 在0s =附近的参数方程为2330123300233003(),6(),26().6x s s o s y s s o s z s o s κκκκτ⎧=-+⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=+⎪⎩(6.4) 上式称为曲线:()C r r s =在0s =处的标准展开式.在标架{}(0);(0),(0),(0)r αβγ下，考虑C 的近似曲线232300000011:(),,(0)(0)(0)(0)2626C r s s s s r s s s κκτκκταβγ⎛⎫=≡+++ ⎪⎝⎭. (6.5)近似曲线1C 与原曲线C 在0s =处有相同的Frenet 标架{}(0);(0),(0),(0)r αβγ，有相同的曲率0κ和相同的挠率0τ. 这是因为s 是1C 的一般参数，并且1(0)(0,0,0)(0)r r ==，1(0)(1,0,0)(0)r α'== ，100(0)(0,,0)(0)r κκβ''==，10000(0)(0,0,)(0)rκτκτγ'''== ， 从而1(0)1r '= ，111(0)(0)(0)(0)r r αα'==' ，()1100(0)(0)(0)(0)(0)r r ακβκγ'''⨯=⨯=，110(0)(0)r r κ'''⨯=，111031(0)(0)(0)(0)r r r κκ'''⨯==' ，11111(0)(0)(0)(0)(0)(0)r r r r γγ'''⨯=='''⨯ ， 111(0)(0)(0)(0)(0)(0)βγαγαβ=⨯=⨯=，2111001022011(0)(0)(0)(0)(0)(0)r r r r r κτττκ''''''⨯⋅==='''⨯ . 在0s =邻近，近似曲线1C 的性状近似地反映了原曲线C 的性状. 近似曲线1C 的图形见下图，其在各坐标平面上的投影见书上图2-6.在密切平面上的投影是抛物线：20,,02x s y s z κ===，在从切平面上的投影是三次曲线：300,0,6x s y z s κτ===，在法平面上的投影是半三次曲线：230000,,26x y s z s κκτ===.定义 设两条弧长参数曲线111222:(),:()C r r s C r r s ==相交于0p ，012(0)(0)Op r r == . 取1122,p C p C ∈∈，使得 0102p p p p s ==∆. 若有正整数n 使得121200|||()()|lim lim 0n n s s p p r s r s s s ∆→∆→∆-∆==∆∆ ，1210|()()|lim 0n s r s r s s +∆→∆-∆≠∆， (6.9) 则称1C 与2C 在0p 处有n 阶切触.定理6.1 设两条弧长参数曲线111222:(),:()C r r s C r r s ==在0s =处相交. 则它们在0s =处有n 阶切触的充分必要条件是()()12(0)(0)k k r r =，1,2,,k n = ，(1)(1)12(0)(0)n n r r ++≠ . (6.10)证明 在0s =处，有0s s s ∆=-=. 因为12,C C 在0s =处相交，所以12(0)(0)r r =. 根据Taylor 公式，12()()12121()()()(0)(0)!kn n k k k s r s r s o s r r k ++=-=+⎡⎤-⎣⎦∑ . 充分性. 由(6.10)，12(1)(1)1212()()()(0)(0)(1)!n n n n s r s r s o s r r n ++++-=+⎡⎤-⎣⎦+ ，所以 2(1)(1)12121210001()||()()lim lim lim ||0(0)(0)(1)!n n n n n n s s s o s p p r s r s s r r n s s s++++∆→→→-===+⎡⎤-⎣⎦+∆， 2(1)(1)1212121110001()||()()lim lim lim 0(0)(0)(1)!n n n n n n s s s o s p p r s r s r r n s s s++++++∆→→→-==≠+⎡⎤-⎣⎦+∆. 即12,C C 在0s =处有n 阶切触.必要性. 由条件，12,C C 在0s =处有n 阶切触，则1n ≥. 如果12(0)(0)r r ''≠ ，则12121200||()()lim lim 0(0)(0)s s p p r s r s r r s s∆→→-''==>-∆， 从而120||lim0ns p p s ∆→≠∆，矛盾. 设1m ≥是满足()()12(0)(0)k k r r = ，1,2,,k m = ，(1)(1)12(0)(0)m m r r ++≠的正整数. 由充分性，12,C C 在0s =处有m 阶切触. 由条件得m n =，故(6.10)成立. □ 推论 (1) 一条曲线与它在一点的Taylor 展开式中的前1n +项之和(即略去()ns ∆的高阶无穷小)至少有n 阶切触；与它在一点的切线至少有1阶切触；与它在一点的近似曲线至少有2阶切触. (2) 两条相交曲线在交点处有二阶以上切触的充分必要条件是这两条曲线在该点处相切，且有相同的有向密切平面和相同的曲率.曲率圆(密切圆)：在弧长参数曲线:()C r r s = 上一点()r s处的密切平面上，以曲率中心1()()()r s s s βκ+ 为圆心，以曲率半径1()R s κ=为半径的圆. 它的方程是：()11()()()cos ()sin ()()()X t r s s t s t s s s βαβκκ=+++ . 曲线与曲面的切触阶，密切球面，曲率轴. (略) 课外作业：习题2，3§2.7 存在对应关系的曲线偶设两条正则参数曲线111222:(),:()C r r t C r r u ==之间存在一个一一对应关系()t u t ↔=，()0u t '≠. 对曲线2C 作参数变换，可设222:()C r r t =，从而12,C C 之间的一一对应就是参数相同的点之间的一一对应.定义7.1 如果两条互不重合的曲线12,C C 之间存在一个一一对应，使得它们在对应点有公共的主法线，则称这两条曲线为Bertrand 曲线偶，其中每一条曲线称为另一条曲线的侣线，或共轭曲线.事实上，因为，所以，. 另一方面由可知. 因此//n α . 设rn κα=. 于是C 的曲率 ()()|()||||()|||(),()rs s n s x s y s κακ=====. 当常数λ充分小时，1()[1()]()0r r s s s λκα'=+≠ ，所以1C 是正则参数曲线. 因为0λ≠，所以曲线C 和1C 不重合.现在来证明在对应点C 和1C 有相同的主法线. 在相同的参数s 点处，C 的主法线l 是过()r s(的终)点且垂直于()s α 的直线，所以l 的方程为()()()X u r s un s =+，u ∈ .同理，在相同的参数s 点处，1C 的主法线1l 是过1()r s 点且垂直于1()//()r s s α' 的直线. 所以1//l l (因为它们都垂直于()s α ). 由定义可知1()r s在直线l 上，所以l 与1l 重合. □下面考虑空间挠曲线，即挠率0τ≠的曲线.定理7.1 设1C 和2C 是Bertrand 曲线偶. 则1C 和2C 在对应点的距离是常数，并且1C 和2C 在对应点的切线成定角.证明 设曲线1C 的弧长参数方程为11()r r s = ，Frenet 标架为{}1111();(),(),()r s s s s αβγ，曲率和挠率分别为1()s κ和1()s τ. 因为1C 和2C 之间存在一一对应，设2C 上与1()r s 对应的点是22()r r s = ，s 是2C 的一般参数，2C 的Frenet 标架为{}2222();(),(),()r s s s s αβγ，曲率和挠率分别为2()s κ和2()s τ. 再设2C 的弧长参数为()ss s = . 由条件，2()r s 在曲线1C 上的点1()r s 处的主法线11()()()X u r s u s β=+上，所以()121//()()()s r s r s β-，并且12()()s s ββ=± . 因此可设211()()()()r s r s s s λβ=+，21()()s s βεβ= ， (7.3)其中1ε=±是常数，()121()()()()s s r s r s λβ=-是可微函数.将(7.3)两边对s 求导，利用Frenet 公式，得21111()()()()()()[()()()()]ss s s s s s s s s s ααλβλκατγ''=++-+111[1()()]()()()()()()s s s s s s s s λκαλβλτγ'=-++. (7.4)以21βεβ=分别与上式两边作内积，可得()0s λ'=，()s c λ=是常数. 再由(7.3)得211|()()||()()|||r s r s s s c λβ-==，即1C 和2C 在对应点的距离是常数||(0c >，因为1C 和2C 不重合).设12()((),())s s s θαα=∠ ，则()12()()cos ()s s s ααθ=. 因为()112212122211120d ss dsκβακαβεκβαεκαβαα''=+=+=， 所以()cos ()s θ是常数，从而()s θ是常数. □定理7.2 设正则曲线C 的曲率κ和挠率τ都不为零. 则C 是Bertrand 曲线的充分必要条件是：存在常数,λμ，且0λ≠，使得1λκμτ+=.证明 必要性. 设曲线C 有侣线1C ，它们的参数方程分别是()r s 和1()r s，其中s 是C 的弧长参数. 如同定理7.1的证明过程一样，设{}();(),(),()r s s s s αβγ和{}1111();(),(),()r s s s s αβγ分别是C和1C 的Frenet 标架，11,κτ分别是1C 的曲率和挠率，s是1C 的弧长参数. 现在(7.3)和(7.4)分别成为 1()()()r s r s s λβ=+，1()()s s βεβ= ， (7.3) 1()()[1()]()()()ss s s s s s αλκαλτγ'=-+. (7.5) 其中0λ≠是常数. 因此由0τ≠得|()|0ss '=≠，()s s ε'= 其中11ε=±也是一个常数.由定理7.1，1()()s s c αα= 是常数. 用()s α与(7.5)两边作内积，得22221()(1)[1()][()]c s c s c s ελκλκλτ=-⇒--=.由()0s λτ≠可知2(1)0c -≠，从而1()()s s λκμτ-==是常数. 这就是说，存在常数0,λμ≠，使得.充分性. 设正则弧长参数曲线:()C r r s =的曲率κ和挠率τ满足1λκμτ+=，其中,λμ是常数，且0λ≠. 令1()()()r s r s s λβ=+，则1()[1()]()()()()[()()]0r s s s s s s s s λκαλτγτμαλγ'=-+=+≠. 所以由参数方程11()r r s =定义的曲线1C 是正则曲线，并且与曲线C 不重合(因为0λ≠).由于1|r τ'= 1C 的单位切向量场1()[sin ()cos ()]s s s αθαθγ=±+，其中arctan(/)θμλ=是常数，满足sin θ=，cos θ=.设s是1C 的弧长参数，利用Frenet 公式，有111(sin cos )d ds ds ds ακβθκθτβ==±- .如果sin cos 0θκθτ-≠，则有1ββ=±，从而曲线1C 是C 的侣线，1C 和C 是Bertrand 曲线偶(在参数s 相同的点，1C 和C 得主法线有相同方向，并且1()r s 在()r s处的主法线上). 如果sin cos 0θκθτ-=，则μκλτ=. 结合1λκμτ+=可知κ和τ都是非零常数，C 是圆柱螺线，从而是Bertrand 曲线. □定义7.2 如果两条曲线12,C C 之间存在一个一一对应，使得曲线1C 在任意一点的切线正好是2C 在对应点的法线(即垂直于2C 在该点的切线)，则称曲线2C 是1C 的渐伸线. 同时称曲线1C 是2C 的渐缩线.定理7.3 设:()C r r s =是正则弧长参数曲线. 则C 的渐伸线的参数方程为1()()()()r s r s c s s α=+-. (7.7) 证明 设渐伸线1C 上与()r s 对应的点为1()r s . 则1()r s 在曲线C 上()r s点处的切线上，故有函数()s λλ=使得1()()()()r s r s s s λα=+. (7.8) 由渐伸线的定义，1()()r s s α'⊥，所以10()()[()()()()()()]()1()r s s s s s s s s s s ααλαλκβαλ'''==++=+. 由此得()1s λ'=-，()s c s λ=-. 代入(7.8)即得(7.7). □曲线C 的渐伸线可以看作是该曲线的切线族的一条正交轨线，位于C 的切线曲面∑上. 定理7.4设:()C r r s =是正则弧长参数曲线. 则C 的渐缩线的参数方程为()111()()()tan ()()()()r s r s s s ds s s s βτγκκ=+-⎰. (7.10) 证明 设渐缩线1C 上与()r s 对应的点为1()r s . 由定义，1[()()]()()rs r s r s s α-⊥=，可设 1()()()()()()r s r s s s s s λβμγ=++. (7.11) 求导得1()()()()()[()()()()]()()()()()r s s s s s s s s s s s s s s αλβλκατγμγμτβ'''=++-++-[1()()]()[()()()]()[()()()]()s s s s s s s s s s s λκαλμτβμλτγ''=-+-++.因为11()//[()()]()()()()r s r s r s s s s s λβμγ'-=+，所以1()[()()()()]0r s s s s s λβμγ'⨯+=，即有()()1s s λκ=，()[()()()]()[()()()]s s s s s s s s μλμτλμλτ''-=+. (7.12)所以()1/()s s λκ=，且由(7.12)第2式得22()μλλμμλτ''-=+，arctan μτλ'⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭，()()()tan ()s s s ds μλτ⇒=-⎰.所以有(7.10). □课外作业：习题4，8§2.8 平面曲线本节研究平面曲线的特殊性质.一、平面曲线的Frenet 标架在平面2E 上取定一个正交标架(右手直角标架){};,O i j. 则平面曲线C 的弧长参数方程为()((),())r s x s y s =， [,]s a b ∈. (8.1)它的单位切向量为()()()(),()cos(()),sin(())s xs y s s s αθθ==， (8.2) 其中()(,())s i s θα=是由i到()s α的有向角(允许相差2π的整数倍)，逆时针方向为正. 当区间[,]a b 是闭区间时，函数()s θ可以成为定义在整个[,]a b 上的连续可微函数.将()s α 右旋/2π，得到与()s α正交的单位向量()s β ，()()()22()cos(()),sin(())sin(()),cos(())(),()s s s s s y s x s ππβθθθθ=++=-=- . (8.3)这样，得到沿曲线C 的(平面)Frenet 标架{}();(),()r s s s αβ.二、平面曲线的Frenet 公式由于()s α 是单位切向量场，有0αα⋅= ，故//αβ ，可设 ()()()rs s s ακβ= ， (7.4) 其中()()()()()()()(),()(),()()()r x s y s s s s x s y s y s x s x s y s καβ=⋅=⋅-= (7.5)称为曲线C 的相对曲率. 曲线C 的曲率为()|()|r s s κκ=. ()r s κ的符号的几何意义见图2-8.利用(7.4)得到平面曲线的Frenet 公式Cyxs =s l=O()s α ()s β(),()x f x i。
微分几何量子计算在现代物理学和信息科学领域，微分几何和量子计算是两个非常重要且有趣的研究领域。
微分几何是研究曲线、曲面和高维空间的数学分支，而量子计算则是利用量子力学原理进行信息处理和计算的前沿技术。
微分几何的研究对象是空间的形状和变形特征。
它使用数学工具来描述和分析曲线、曲面等几何对象，通过微分学的方法来研究它们的性质。
微分几何的一个重要应用是在相对论中描述引力场的几何结构，而引力场又是由质量和能量在时空中引起的弯曲效应。
量子计算则是利用量子力学的性质来进行信息处理和计算。
在传统的计算机中，信息以0和1的二进制形式存储和处理，而在量子计算中，量子位（qubit）可以同时处于0和1的叠加态，从而使得计算能力大大增强。
量子计算的理论基础来自量子力学中的叠加原理和纠缠原理，通过利用量子叠加和量子纠缠，可以实现更快速、更高效的计算。
微分几何和量子计算并非独立存在，而是相互关联的。
在量子计算中，通过微分几何的方法可以描述和分析量子态的演化和变化规律。
对于量子态的描述，我们可以使用微分几何的语言来理解其曲率和流形的概念。
此外，在量子信息理论中，微分几何的工具也被广泛应用于研究量子态的几何结构和量子态的不变性。
例如，在量子机器学习中，我们可以使用微分几何的方法来分析和优化量子神经网络的拓扑结构。
量子神经网络是一种基于量子比特的类似经典神经网络的计算模型，它可以学习和处理复杂的数据模式。
通过微分几何的方法，我们可以对量子神经网络的流形结构进行建模和优化，从而提高其学习和处理的效率。
另一个有趣的应用是在量子精确测量中利用微分几何的框架。
在量子计算中，测量是获取量子态信息的重要步骤。
通过应用微分几何的工具，我们可以研究量子态的测量误差和测量不确定性，从而提高测量的精度和可靠性。
微分几何和量子计算的结合为我们提供了一个全新的研究领域和应用领域。
通过将微分几何的数学工具与量子计算的物理原理相结合，我们可以在量子信息处理、量子通信等领域实现更高效、更安全的信息处理和通信。
《微分几何》课程教学大纲课程名称：《微分几何》课程编码：074112303适用专业及层次：数学与应用数学（本科）课程总学时：72学时课程总学分：4一、课程的性质、目的与任务等。
1、微分几何简介及性质微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。
古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间--流--形。
微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。
本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。
2、教学目的：通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。
3、教学内容与任务：本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（B公式。
重点让学生把握理解本教材的前二章。
二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求第一章曲线论教学要点：本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。
通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题教学时数：22学时。
教学内容：第一节向量函数1.1向量函数的极限1.2向量函数的连续性1.3向量函数的微商向量函数的泰勒（）公式1.5向量函数的积分第二节曲线的概念2.1曲线的概念2.2光滑曲线、曲线的正常点2.3曲线的切线和法面2.4曲线的弧长、自然参数第三节空间曲线3.1空间曲线的密切平面3.2空间曲线的基本三棱形空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式3.4空间曲线在一点邻近的结构3.5空间曲线论的基本定理3.一6般螺线考核要求：i理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（L公式和积分等概念，能推导和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。
里奇张量和度规张量1.引言1.1 概述概述：里奇张量和度规张量是研究微分几何和广义相对论中的两个重要概念。
它们在描述时空的几何结构和测度特性上起着关键作用，并在理论物理和数学领域中有广泛的应用。
里奇张量，也称为里奇曲率张量，是一种描述黎曼流形上的曲率性质的张量。
它由部分导数的导数构成，可以用于衡量空间的曲率及其变化的速率。
里奇张量提供了一种度量流形上曲率的方式，我们可以通过它来检测空间的弯曲、拉伸和收缩等几何变化。
在广义相对论中，里奇张量与能量-动量分布的弯曲和扭曲有着密切的联系，对于描述引力场的性质具有重要意义。
度规张量是描述几何空间中点之间测度关系的数学工具。
它是一个对称的二阶张量，用于定义空间中的内积。
度规张量对于测量空间中的长度、角度和体积等概念至关重要。
通过度规张量，我们可以计算任意两个向量之间的内积，从而确定它们之间的几何关系。
在广义相对论中，度规张量被用于描述时空的度量结构，它提供了一种测量空间弯曲和扭曲的方式。
本文将首先介绍里奇张量的定义、性质和计算方法。
随后，将详细讨论里奇张量在微分几何和广义相对论中的应用领域，包括其在测地线运动、引力场描述和宇宙学模型等方面的重要作用。
接下来，将对度规张量进行类似的介绍，包括定义、性质和计算方法，并探讨其在测量空间结构、确定几何关系和描述引力场的应用领域。
最后，将总结里奇张量和度规张量的重要性，并提出未来研究方向，为相关领域的深入研究提供一定的参考。
通过本文的阐述，读者将能够深入了解里奇张量和度规张量的基本概念、性质和应用，为相关领域的研究和应用提供有益的参考。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将着重讨论里奇张量和度规张量的定义、性质以及在不同领域的应用。
为了有效地展现这些内容，本文将按照以下结构进行组织：第一部分：引言在本部分中，我们将给出对里奇张量和度规张量的简要概述，包括其在几何学和物理学中的重要性。
我们还将介绍本文的结构和目的，为读者提供一个清晰的导引。
微分几何中的曲面几何理论发展历程分析微分几何是数学的一个重要分支，研究的对象之一就是曲面。
曲面几何理论的发展历程，标志着微分几何的重要里程碑。
本文将对曲面几何理论发展历程进行详细分析。
一、欧氏空间与曲面的概念在微分几何的早期阶段，人们主要研究欧氏空间中的曲面。
欧氏空间是指具有欧氏度量的平面或空间。
对于欧氏空间中的曲面，人们开始建立曲线的参数化表示，并研究曲面的曲率，曲率在此时是曲面理论的核心概念。
欧氏空间中曲面的研究为后来更细致的曲面理论发展奠定了基础。
二、高斯与黎曼的贡献19世纪初，高斯和黎曼等数学家对曲面理论做出了重要贡献。
高斯最早提出了曲面的内禀几何概念，即与曲面自身的度量有关的几何性质。
他引入了曲面的第一和第二基本形式，并定义了曲面的曲率。
高斯的工作为后来研究曲面的微分几何奠定了坚实的基础。
黎曼则在高斯的基础上进一步深化了曲面理论，提出了黎曼曲面的概念，并在非欧几何领域做出了突破性的工作。
高斯和黎曼的成就对曲面几何理论的发展有着深远的影响。
三、黎曼曲面与复变函数的关系黎曼曲面的研究给予了复变函数理论以新的视角。
黎曼曲面发展为复变函数理论提供了强有力的工具，从而在解析几何学、代数几何学以及数论等领域产生了广泛的应用。
通过研究黎曼曲面，人们对复平面的理解更加深入，并且成功地将曲面几何与复数理论相结合。
四、流形论的兴起20世纪初，流行论的兴起推动了微分几何以及曲面几何理论的发展。
流形是广义上的曲面概念，通过引入流形的概念，人们能够更加广泛地研究曲面几何。
在流行论的框架下，人们提出了切空间、黎曼度量、导数等概念，并发展了更为抽象和深入的曲面理论。
流形论的兴起使得微分几何的研究更加丰富多彩，曲面几何理论也得到了更深入的发展。
五、现代微分几何中的曲面理论进入现代微分几何时期，曲面理论得到了深入的发展。
在此时，人们提出了测地线、曲率张量、黎曼曲率等重要概念，并发展了广义相对论等现代理论。
现代微分几何中的曲面理论涉及到的数学方法更加抽象和复杂，研究的问题也更加深刻和广泛。
