2020年上海市浦东新区高一(下)期中数学试卷解析版

2019-2020学年上海中学高一（下）期中数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知点A（2.-1）在角α的终边上.则sinα=___ ．2.（填空题.3分）函数y=sin（πx+2）的最小正周期是___ ．3.（填空题.3分）设扇形半径为2cm.圆心角的弧度数为2.则扇形的面积为___ ．4.（填空题.3分）已知函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象交于A.B.C三点.则△ABC的面积为___ ．5.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy中.角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.若sinα= 13.则cos（α-β）=___ ．6.（填空题.3分）已知sin（x- π4）= 35.则sin2x的值为 ___ ．7.（填空题.3分）设x.y∈（0.π）.且满足sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1 .则x-y=___ ．8.（填空题.3分）我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”.用现代式子表示即为：在△ABC中.∠A.∠B.∠C所对的边长分别为a.b.c.则△ABC的面积S=√1 4[(ab)2−(a2+b2−c22)2]．根据此公式若acosB+（b+3c）cosA=0.且a2-b2-c2=2.则△ABC的面积为___ ．9.（填空题.3分）若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.则x1+x2-a的取值范围是___ ．10.（填空题.3分）已知函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则实数m的取值范围是___ ．11.（单选题.3分）已知cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.则sin（π+α）=（）A.- √1−k2B. √1−k2C.± √1−k2D.-k12.（单选题.3分）对任意的锐角α.β.下列不等关系中正确的是（）A.sin（α+β）＞sinα+sinβB.sin（α+β）＞cosα+cosβC.cos（α+β）＜sinα+sinβD.cos（α+β）＜cosα+cosβ13.（单选题.3分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π2）.为了得到f（x）的图象.则只需将g（x）=cos2x的图象（）A.向右平移π12个单位B.向右平移π6个单位C.向左平移π12个单位D.向左平移π6个单位14.（单选题.3分）若函数f（x）=sin（2x- π3）与 g（x）=cosx-sinx都在区间（a.b）（0＜a ＜b＜π）上单调递减.则b-a的最大值为（）A. π6B. π3C. π2D. 5π1215.（单选题.3分）已知α.β为锐角且α+β＞π2，x∈R，f(x)=(cosαsinβ)|x|+(cosβsinα)|x|.下列说法正确的是（）A.f（x）在定义域上为递增函数B.f（x）在定义域上为递减函数C.f（x）在（-∞.0]上为增函数.在（0.+∞）上为减函数D.f（x）在（-∞.0]上为减函数.在（0.+∞）上为增函数16.（单选题.3分）在△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.则2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)的值为（）A.1B.2018C.2019D.202017.（问答题.0分）化简：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)．18.（问答题.0分）已知函数f(x)=√3cos2x−sin2x．（1）用五点法作出f（x）在一个周期内的图象.并写出f（x）的值域.最小正周期.对称轴方程（只需写出答案即可）；（2）将f（x）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）的图象.求y=g（x）的单调递增区间．19.（问答题.0分）如图.矩形ABCD中.E.F两点分别在边AB.BC上.∠DEF=90°.设∠ADE=α.∠EDF=β．（1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式；（2）若x∈(0，π4)，y∈(π4，3π4) .且sin（3π4+x）= 513.cos（π4-y）= 45.求cos（x-y）的值．20.（问答题.0分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯.要求灯柱AB与地面垂直.灯杆BC 与灯柱AB所在的平面与道路垂直.路灯C采用锥形灯罩.射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC= 23π.∠ACD= π3.路宽AD=24米．设∠BAC=θ (π12≤θ≤π6)．（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）21.（问答题.0分）设函数f（x）=5cosθsinx-5sin（x-θ）+（4tanθ-3）sinx-5sinθ为偶函数．（1）求tanθ的值；（2）若f（x）的最小值为-6.求f（x）的最大值及此时x的取值；（3）在（2）的条件下.设函数g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2) .其中λ＞0.ω＞0．已知y=g（x）在x=π6处取得最小值并且点(2π3，3−3λ)是其图象的一个对称中心.试求λ+ω的最小值．2019-2020学年上海中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知点A（2.-1）在角α的终边上.则sinα=___ ．【正确答案】：[1]- √55【解析】：根据三角函数的坐标法定义.直接计算即可．【解答】：解：设O为坐标原点.因为A（2.-1）．由已知得|OA|=√22+(−1)2=√5 .∴ sinα=−1|OA|=−√55．故答案为：−√55．【点评】：本题考查三角函数的坐标法定义.以及学生的运算能力.属于基础题．2.（填空题.3分）函数y=sin（πx+2）的最小正周期是___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：由题意利用正弦函数的周期性.得出结论．【解答】：解：函数y=sin（πx+2）的最小正周期是2ππ=2.故答案为：2．【点评】：本题主要考查正弦函数的周期性.属于基础题．3.（填空题.3分）设扇形半径为2cm.圆心角的弧度数为2.则扇形的面积为___ ．【正确答案】：[1]4cm2【解析】：由已知利用扇形的面积公式即可计算得解．【解答】：解：由已知可得：半径r为2cm.圆心角α的弧度数为2.则扇形的面积S= 12 r2α= 12×22×2 =4cm2．故答案为：4cm2．【点评】：本题主要考查了扇形的面积公式的应用.属于基础题．4.（填空题.3分）已知函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象交于A.B.C 三点.则△ABC的面积为___ ．【正确答案】：[1] √3π4【解析】：画出两个函数的图象.求出三个点的坐标.然后求解三角形面积．【解答】：解：函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象.可得A（0.0）.B（π.0）.令sinx= 12 tanx.解得C（π3. √32）.所以S△ABC= 12× π×√32= √3π4．故答案为：√3π4．【点评】：本题考查三角函数的图象以及三角形的面积的求法.考查转化思想以及计算能力．5.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy中.角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.若sinα= 13.则cos（α-β）=___ ．【正确答案】：[1]- 79【解析】：方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ= 13.cosα=-cosβ.以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限.或第二象限.根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】：解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.∴sinα=sinβ= 13.cosα=-cosβ.∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos2α+sin2α=2sin2α-1= 29 -1=- 79方法二：∵sinα= 13.当α在第一象限时.cosα=2√23. ∵α.β角的终边关于y 轴对称.∴β在第二象限时.sinβ=sinα= 13.cosβ=-cosα=- 2√23. ∴cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=- 2√23 × 2√23 + 13 × 13 =- 79：∵sinα= 13 .当α在第二象限时.cosα=-2√23. ∵α.β角的终边关于y 轴对称.∴β在第一象限时.sinβ=sinα= 13 .cosβ=-cosα= 2√23. ∴cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=- 2√23 × 2√23 + 13 × 13 =- 79综上所述cos （α-β）=- 79 ．方法三：∵α.β角的终边关于y 轴对称. ∴α+β=π+2kπ.k∈Z .∴cos （α-β）=cos （α-（π+2kπ-α））=cos （2α-π）=-cos2α=2sin²α-1=2×（ 13 ）²-1=- 79． 故答案为：- 79 ．【点评】：本题考查了两角差的余弦公式.以及同角的三角函数的关系.需要分类讨论.属于基础题6.（填空题.3分）已知sin （x- π4 ）= 35 .则sin2x 的值为 ___ ． 【正确答案】：[1] 725【解析】：利用二倍角的正弦可求得 sin 2(x −π4) = 1−sin2x 2 = 925.从而可得sin2x 的值．【解答】：解：∵sin （x- π4 ）= 35. ∴ sin 2(x −π4) = 1−cos[2(x−π4)]2 = 1−sin2x 2 = 925. ∴1-sin2x= 1825. ∴sin2x= 725 ． 故答案为： 725 ．【点评】：本题考查二倍角的正弦.考查诱导公式的应用.考查转化思想与运算能力.属于中档题．7.（填空题.3分）设x.y∈（0.π）.且满足sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1 .则x-y=___ ．【正确答案】：[1] π2【解析】：结合已知条件.利用和差角公式.平方关系化简可得sin（x-y）=1.进而得到答案．【解答】：解：∵x.y∈（0.π）.且-π＜x-y＜π.∴ sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1⇒sin2x(1−sin2y)+cos2x(cos2y−1)sin(x+y)=1⇒sin2xcos2y−cos2xsin2ysin(x+y)=(sinxcosy+cosxsiny)(sinxcosy−cosxsiny)sin(x+y)=1⇒sin(x+y)sin(x−y)sin(x+y)=sin(x−y)=1⇒x−y=π2（由于-π＜x-y＜π）.故答案为：π2．【点评】：本题主要考查三角函数的化简求值.考查和差角公式以及同角三角函数基本关系的运用.考查运算能力.属于基础题．8.（填空题.3分）我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”.用现代式子表示即为：在△ABC中.∠A.∠B.∠C所对的边长分别为a.b.c.则△ABC的面积S=√1 4[(ab)2−(a2+b2−c22)2]．根据此公式若acosB+（b+3c）cosA=0.且a2-b2-c2=2.则△ABC的面积为___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：直接利用三角函数关系式的恒等变换和余弦定理的应用求出结果．【解答】：解：由于acosB+（b+3c）cosA=0.整理得：acosB+bcosA=-3ccosA.故是sinAcosB+cosAsinB=-3sinCcosA.即sin（A+B）=sinC=-3sinCcosA.故：cosA=−13．由余弦定理得：b2+c2-a2=2bccosA=-2.整理得bc=3.所以：S=√14[(bc)2−(b2+c2−a22)2]=√2．故答案为：√2【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.余弦定理的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．9.（填空题.3分）若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.则x1+x2-a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] [π3，π3+1)【解析】：由题意将问题转化为y=2sin(2x+π6)与y=1-a在区间[0，π2]上有两个不同的交点的问题.作出两个函数的图象.可求解．【解答】：解：若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.即2sin(2x+π6)=1−a在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.也就是y=2sin(2x+π6)与y=1-a区间[0，π2]上有两个不同的交点.横坐标分别为x1.x2.数形结合可知. x1+x22=π6，1−a∈[1，2) .∴ x1+x2=π3，−a∈[0，1)∴ x1+x2−a∈[π3，π3+1)．故答案为：[π3，π3+1)．【点评】：本题考查三角函数的图象与性质.以及利用数形结合思想解决问题的能力.同时考查了学生的运算能力.属于中档题．10.（填空题.3分）已知函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则实数m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞.1]【解析】：根据题意.任取0＜α＜β＜π2.由函数单调性的定义分析可得f（α）-f（β）=m(cosβ−cosα)−sin(α−β)cosαcosβ＞0 .据此变形可得m＜1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2.分析1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2的最小值.即可得答案．【解答】：解：根据题意.任取0＜α＜β＜π2.若函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则有f（α）-f（β）＞0.即f（α）-f（β）=m(cosβ−cosα)−sin(α−β)cosαcosβ＞0则有m•2sinα+β2•sinα−β2＞2sinα−β2cosα−β2可得m＜cosα−β2sinα+β2=cosα2cosβ2+sinα2sinβ2sinα2cosβ2+cosα2sinβ2=1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2.又由0＜α＜β＜π2 .则0＜α2＜β2＜π4，0＜tanα2＜tanβ2＜1从而1+tanα2tanβ2−(tanα2+tanβ2)=(1−tanα2)(1−tanβ2)＞0 .变形可得1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2＞1 .必有m≤1.即m的取值范围为（-∞.1]；故答案为（-∞.1]．【点评】：本题函数的单调性的性质.涉及三角函数的恒等变形以及和差公式的应用.属于基础题11.（单选题.3分）已知cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.则sin（π+α）=（）A.- √1−k2B. √1−k2C.± √1−k2D.-k【正确答案】：A【解析】：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα.从而由诱导公式即可得解．【解答】：解：∵cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.∴sinα= √1−cos2α = √1−k2 .∴sin（π+α）=-sinα=- √1−k2．故选：A．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用.运用诱导公式化简求值.属于基本知识的考查．12.（单选题.3分）对任意的锐角α.β.下列不等关系中正确的是（）A.sin（α+β）＞sinα+sinβB.sin（α+β）＞cosα+cosβC.cos（α+β）＜sinα+sinβD.cos（α+β）＜cosα+cosβ【正确答案】：D【解析】：对于A.B中的α.β可以分别令为30°.60°验证即可.对于C中的α.β可以令他们都等于15°.验证即可.对于D我们可以用放缩法给出证明cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ【解答】：解：对于AB中的α.β可以分别令为30°.60°则知道A.B均不成立对于C中的α.β可以令他们都等于15°.则知道C不成立cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ故选：D．【点评】：本题考查了两角和与差的正余弦公式.同时也考查了放缩法对命题的证明.属于基础题．13.（单选题.3分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π）.为了2得到f（x）的图象.则只需将g（x）=cos2x的图象（）个单位A.向右平移π12个单位B.向右平移π6C.向左平移π个单位12个单位D.向左平移π6【正确答案】：A【解析】：由函数的图象的顶点坐标求出A.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.可得f（x）的解析式.再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.得出结论．【解答】：解：利用函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π2）的图象.可得A=1. 14•2πω= π3- π12.∴ω=2．再根据五点法作图.可得2× π12+φ= π2.∴φ= π3.故f（x）=sin（2x+ π3）．将g（x）=cos2x=sin（2x+ π2）的图象向右平移π12个单位.可得y=sin（2x- π6 + π2）=sin（2x+ π3）=f（x）的图象.故选：A．【点评】：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式.由函数的图象的顶点坐标求出A.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.属于基础题．14.（单选题.3分）若函数f（x）=sin（2x- π3）与 g（x）=cosx-sinx都在区间（a.b）（0＜a ＜b＜π）上单调递减.则b-a的最大值为（）A. π6B. π3C. π2D. 5π12【正确答案】：B【解析】：求出函数f（x）、g（x）在（0.π）上的单调递减区间.从而求得b-a的最大值．【解答】：解：函数f（x）=sin（2x- π3）在（0. 5π12）上单调递增.在（5π12 . 11π12）上单调递减.在（11π12.π）上单调递减；函数g（x）=cosx-sinx= √2 cos（x+ π4）在（0. 3π4）上单调递减.在（3π4.π）上单调递增；∴f（x）、g（x）都在区间（5π12 . 3π4）上单调递减.∴b-a的最大值为3π4 - 5π12= π3．故选：B．【点评】：本题考查了三角函数在某一区间上的单调性问题.是中档题．15.（单选题.3分）已知α.β为锐角且α+β＞π2，x∈R，f(x)=(cosαsinβ)|x|+(cosβsinα)|x|.下列说法正确的是（）A.f（x）在定义域上为递增函数B.f（x）在定义域上为递减函数C.f（x）在（-∞.0]上为增函数.在（0.+∞）上为减函数D.f（x）在（-∞.0]上为减函数.在（0.+∞）上为增函数【正确答案】：C【解析】：先利用α.β为锐角且α+β＞π2结合三角函数的单调性得出cosαsinβ. cosβsinα的取值范围.再对x的值分类讨论.结合指数函数的单调性即可得出答案．【解答】：解：∵α.β为锐角且α+β＞π2 .∴ π2＞α＞π2-β＞0.∴cosα＜cos（π2 -β）.sinα＞sin（π2-β）.即0＜cosα＜sinβ.sinα＞cosβ＞0.∴0＜cosαsinβ＜1.0＜cosβsinα＜1．∴在（-∞.0]上. f(x)=(cosαsinβ)−x+(cosβsinα)−x为增函数.在（0.+∞）上. f(x)=(cosαsinβ)x+(cosβsinα)x为减函数．故选：C．【点评】：本题主要考查了指数函数的单调性与特殊点.考查了三角函数的性质.属于基础题．16.（单选题.3分）在△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.则2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)的值为（）A.1B.2018C.2019D.2020【正确答案】：C【解析】：直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理余弦定理的应用求出结果．【解答】：解：由于△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.所以a2+b2-c2=2019c2.则：2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)=2sinAcosAsinBcosBsinCcosC(sinAcosA+sinBcosB).= 2sinAsinBcosCsinC(sinAcosB+cosAsinB)=2sinAsinBcosCsin2C.= 2abcosCc2=a2+b2−c2c2=2019故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．17.（问答题.0分）化简：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)．【正确答案】：【解析】：利用诱导公式化简要求的式子.再利用同角三角函数的基本关系化简到最简形式．【解答】：解：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)= (−sinα)(−cosα)sinα(−cosα)sinαtanα=−cosα．【点评】：本题考查同角三角函数的基本关系.诱导公式的应用.要特别注意公式中的符号．18.（问答题.0分）已知函数f(x)=√3cos2x−sin2x．（1）用五点法作出f（x）在一个周期内的图象.并写出f（x）的值域.最小正周期.对称轴方程（只需写出答案即可）；（2）将f（x）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）的图象.求y=g（x）的单调递增区间．【正确答案】：【解析】：（1）用五点作图法即可作出函数在一个周期上的图象.利用余弦函数的性质即可求解其值域.最小正周期.对称轴方程．（2）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律和正弦函数的图象和性质即可求解y=g （x）的单调递增区间．【解答】：解：（1）f(x)=√3cos2x−sin2x =2cos（2x+ π6）.列表如下：2x+ π6π2π3π22πx - π12π65π122π311π12y 2 -2 2 作图：可得：f（x）的值域为[-2.2].最小正周期为π.对称轴方程为x=kπ2−π12，k∈Z．（2）将f（x）=2cos（2x+ π6）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）=2cos（2x+ π2+ π6）=-2sin（2x+ π6）的图象.令2kπ+ π2≤2x+ π6≤2kπ+ 3π2.k∈Z.解得kπ+ π6≤x≤kπ+ 2π3.k∈Z.可得函数的单调递增区间为：[kπ+π6，kπ+2π3]，k∈Z．【点评】：本题主要考查用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象.y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律.考查正弦函数的性质.属于基础题．19.（问答题.0分）如图.矩形ABCD中.E.F两点分别在边AB.BC上.∠DEF=90°.设∠ADE=α.∠EDF=β．（1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式；（2）若x∈(0，π4)，y∈(π4，3π4) .且sin（3π4+x）= 513.cos（π4-y）= 45.求cos（x-y）的值．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意利用直角三角形的边角关系.即可证明cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；（2）利用三角恒等变换化简求值即可．【解答】：解：（1）由已知∠ADE=∠BEF=α.所以cos（α+β）=cos∠DFC= CFDF = BC−BFDF= ADDE• DEDF- BFEF• EFDF=cosαcosβ-sinαsinβ；（2）由已知3π4+x∈(3π4，π)，π4−y∈(−π2，0) .从而cos(3π4+x)=−√1−sin2(3π4+x)=−1213.sin(π4−y)=−√1−cos2(π4−y)=−35.所以cos(x−y)=−cos(x−y+π)=−cos[(3π4+x)+(π4−y)]= sin(3π4+x)sin(π4−y)−cos(3π4+x)cos(π4−y)=513•(−35)−(−1213)•45=3365．【点评】：本题考查了直角三角形边角关系应用问题.也考查了三角函数化简求值问题.是中档题．20.（问答题.0分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯.要求灯柱AB与地面垂直.灯杆BC 与灯柱AB所在的平面与道路垂直.路灯C采用锥形灯罩.射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC= 23π.∠ACD= π3.路宽AD=24米．设∠BAC=θ (π12≤θ≤π6)．（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）【正确答案】：【解析】：（1）在△ACD中与在△ABC中.分别利用正弦定理即可得出；（2）△ABC中.利用正弦定理可得：BC.再利用和差公式即可得出．【解答】：解：（1）在△ACD中. ∠CDA=θ+π6.由ADsin∠ACD =ACsin∠CDA.得AC=AD•sin∠CDAsin∠ACD=16√3sin(θ+π6) .在△ABC中. ∠ACB=π3−θ .由ABsin∠ACB =ACsin∠ABC.得ℎ=AC•sin∠ACBsin∠ABC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)(π12≤θ≤π6)．（2）△ABC中.由BCsin∠BAC =ACsin∠ABC.得BC=AC•sin∠BACsin∠ABC=32sin(θ+π6)sinθ .∴ AB+BC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)+32sin(θ+π6)sinθ = 16sin2θ+8√3 .∵ π12≤θ≤π6.∴ π6≤2θ≤π3.∴当θ=π12时.AB+BC取得最小值8+8√3≈21.86．故制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小.最小值约为21.86米．【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数求值.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．21.（问答题.0分）设函数f（x）=5cosθsinx-5sin（x-θ）+（4tanθ-3）sinx-5sinθ为偶函数．（1）求tanθ的值；（2）若f（x）的最小值为-6.求f（x）的最大值及此时x的取值；（3）在（2）的条件下.设函数g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2) .其中λ＞0.ω＞0．已知y=g（x）在x=π6处取得最小值并且点(2π3，3−3λ)是其图象的一个对称中心.试求λ+ω的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）利用三角函数关系式的恒等变换和函数的性质的应用求出结果．（2）利用函数的关系式的变换和三角函数的性质的应用求出结果．（3）利用分类讨论思想的应用和关系式的变换的应用求出参数的值．【解答】：解：（1）f（x）=5cosxsinθ+（4tanθ-3）sinx-5sinθ.f（x）是偶函数. ∴（4ta nθ-3）sinx=0对一切x∈R恒成立.∴ tanθ=34（2）f（x）=5sinθ（cosx-1）.其最小值为-6.此时sinθ=35，cosx=−1 .∴f（x）=3（cosx-1）.从而f（x）的最大值为0.此时x的取值为x=2kπ.k∈Z；（3）g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2)=3λcosωx−3λ−3cos(ωx+π2)+3=3λcosωx-3λ+3sinωx+3由g（x）在x=π6处取最小值.知g（x）的图象关于x=π6对称.有g(−π3)=g(2π3)=3−3λ故3λcos(−ωπ3)+3sin(−ωπ3)=0 .且3λcos2ωπ3+3sin2ωπ3=0 .从而λ=tanωπ3=−tan2ωπ3=tan(kπ−2ωπ3) .则ωπ3=kπ−2ωπ3.即ω=k（k∈Z）又ω＞0.则ω是正整数.∵λ＞0.ω是正整数.∴ ω=3l−2(l∈N∗)，λ=√3 .当ω=1时. g(x)=3√3cosx+3sinx+3−3√3显然.g（x）在x=π6处有最大值.而不是最小值.矛盾．当ω=4时. g(x)=3√3cos4x+3sin4x+3−3√3 .显然.g（x）在x=π6处有最大值.而不是最小值.矛盾．当ω=7时. g(x)=3√3cos7x+3sin7x+3−3√3 .显然.g（x）g（x）在x=π6处有最小值.且y=g（x）的图象关于点(2π3，3−3√3)中心对称.∴λ+ω的最小值为√3+7．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.正弦型函数的性质的应用.分类讨论思想的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．。

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.下列命题正确的是（）A. 第一象限的角都是锐角B. 小于的角是锐角C. 2019°是第三象限的角D. 2019°是第四象限的角2.“sinα=sinβ”是“α=β”的________条件（）A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要3.在△ABC中，内角A、B满足sin2A=sin2B，则△ABC的形状是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形4.设MP与OM分别是角的正弦线和余弦线，则（）A. MP＜OM＜0B. MP＜0＜OMC. OM＜MP＜0D. OM＜0＜MP二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.与终边相同的角的集合是______．6.若tanθ＜0且sinθ＜0，则θ是第______象限的角．7.已知角α的终边经过点（-3，4），则sinα+cosα=______．8.已知，且α是第四象限的角，则cscα=______，9.若sin x+cos x=，则sin2x=______．10.把化成A sin（α+ϕ）（A＞0）的形式______（注：ϕ不唯一）．11.若cosα=-，α∈（，π），则sin（α+）=______．12.=______．13.化简：=______．14.若且，则sin2α=______．15.已知且，则=______．16.在△ABC中，a=4，A=30°，请给出一个b值______，使该三角形有两解．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知一个扇形的周长为20cm，当它的圆心角为多大时，该扇形的面积最大？并求面积的最大值．18.已知tanθ=a，（a＞1），求的值．19.修建铁路时要在一个大山体上开挖一隧道，需要测量隧道口D、E之间的距离，测量人员在山的一侧选取点C，因有障碍物，无法测得CE、CD的距离，现测得CA=482.80米，CB=631.50米，∠ACB=56.3°，又测得A、B两点到隧道口的距离分别是80.13米、40.24米（A、D、E、B在同一条直线上），求隧道DE的长（精确到1米）．20.已知，求x+2y的值．21.在△ABC中，已知边，角B=45°，面积．求：（1）边c；（2）角C．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A．当α=390°时，位于第一象限，但α=390°不是锐角，故A错误，B．α=-＜，但α不是锐角，故B错误，C.2019°=5×360°+210°，∵210°是第三象限角，∴2019°是第三象限的角，故C正确，D．由C知2019°是第三象限的角，不是第四象限角，故D错误，故选：C．结合象限角的定义分别进行判断即可．本题主要考查与象限角有关的命题的真假判断，结合象限角的定义是解决本题的关键．2.【答案】B【解析】解：“sinα=sinβ”时，由正弦函数的图象和性质可知：α=β+2kπ，k∈Z，或α=π-β+2kπ，k∈Z，∴“sinα=sinβ”不能推出“α=β”所以：“sinα=sinβ”是“α=β”的非充分条件．当“α=β”时，一定推出“sinα=sinβ”，所以：“α=β”是“sinα=sinβ”的充分条件．“sinα=sinβ”是“α=β”的必要条件．综上：“sinα=sinβ”是“α=β”的必要不充分条件．故选：B．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．是基础题3.【答案】D【解析】解：法1：∵sin2A=sin2B，∴sin2A-sin2B=cos（A+B）sin（A-B）=0，∴cos（A+B）=0或sin（A-B）=0，∴A+B=90°或A=B，则△ABC一定是直角三角形或等腰三角形．法2：∵sin2A=sin2B，且A和B为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC一定是等腰或直角三角形．故选：D．解法1：利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos（A+B）=0或sin（A-B）=0，推断出A+B=90°或A=B，即可判断出三角形的形状．解法2：由两角的正弦值相等及A和B为三角形的内角，得到两角2A和2B相等或互补，即A与B相等或互余，进而确定出三角形的形状．此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦、余弦函数的图象与性质，积化和差公式，以及等腰三角形的判定，解题的关键是挖掘题设信息，借助三角函数的基本公式和基本性质找到边与边或角与角之间的关系．4.【答案】D【解析】解：作出单位圆，以及角的正弦线和余弦线，则由图象知，OM＜0＜MP，故选：D．作出单位圆，利用正弦线和余弦线的定义判断即可．本题主要考查三角函数线的大小判断，结合三角线的定义是解决本题的关键．5.【答案】{α|α=2kπ+，k∈Z}【解析】解：与终边相同的角的集合为{α|α=2kπ+，k∈Z}，故答案为：{α|α=2kπ+，k∈Z}根据终边相同角的定义进行求解即可．本题主要考查终边相同角的求解，结合终边相同角的定义是解决本题的关键．6.【答案】四【解析】解：∵tanθ＜0，∴θ位于第二象限或第四象限，∵sinθ＜0，∴θ位于第三象限或第四象限或y轴的非正半轴，综上θ位于第四象限，故答案为：四结合三角函数值的符号和象限之间的关系进行判断即可．本题主要考查角的象限的判断，结合三角函数的符号和象限之间的关系是解决本题的关键．7.【答案】【解析】解：∵角α的终边经过点（-3，4），∴x=-3，y=4，r==5∴sinα=，cosα=-∴sinα+cosα=-=故答案为：利用三角函数的定义，求出sinα、cosα，即可得到结论．本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．8.【答案】-【解析】解：∵，且α是第四象限的角，∴sinα=-=-，∴cscα==-．故答案为：-．由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9.【答案】-【解析】解：已知等式两边平方得：（sin x+cos x）2=1+2sin x cosx=1+sin2x=，则sin2x=-．故答案为：-已知等式两边平方，利用二倍角的正弦函数公式化简即可求出sin2x的值．此题考查了二倍角的正弦，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．10.【答案】2sin（α+）【解析】解：∵=2（sinα+cosα）=2sin（α+），故答案为：2sin（α+）．由题意利用辅助角公式，求得结果．本题主要考查辅助角公式的应用，属于基础题．11.【答案】【解析】解：由α∈（，π），cosα=-，得到sinα==，则sin（α+）=sinαcos+cosαsin=×-×=．故答案为：根据α的范围，由cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，然后把所求的式子利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把sinα和cosα的值代入即可求出值．此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意α的取值范围．12.【答案】1【解析】解：由于：==2，故：=log22=1．故答案为：1直接利用三角函数关系式的变换和对数的运算的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，对数的运算的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．13.【答案】1【解析】解：==1．故答案为：1．利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由于且，则：cos，所以：sin2=故答案为：直接利用三角函数关系式的变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：∵，可得：＜＜，可得：＞0，又∵=1-2sin2，∴解得：=．故答案为：．由已知可求＜＜，可得＞0，根据已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】（4，8）【解析】解：由正弦定理有：∴，∵△ABC有两解，∴B＞A，∴，即，∴4＜b＜8所以b的取值范围为：（4，8）．故答案为：（4，8）．利用正弦定理求出sin B，然后根据三角形有两解得到sin B＜1，b＞a即可．本题考查了正弦定理和三角形解得个数问题，属基础题．17.【答案】解：设扇形的半径为r，则扇形的弧长l=20-2r，∴S扇形=lr=（20-r）=-r2+10r=25-（r-5）2，∴当r=5时，扇形的面积最大值为25cm2，∴此时扇形的圆心角α===2．【解析】设扇形的半径为r，由题意可求扇形的弧长l=20-2r，利用扇形的面积公式及配方法可得S扇形=25-（r-5）2，即可得解．本题主要考查了扇形的弧长公式，面积公式的应用，考查了配方法的应用，属于基础题．18.【答案】解：原式===．即：=．【解析】利用两角和与差的正弦函数，以及二倍角的正切，化简，代入tanθ=a，求出结果即可．本题是基础题，考查弦切互化，二倍角的正切，考查计算能力，常考题型．19.【答案】解：根据题意，如图：△ABC中，CA=482.80米，CB=631.50米，∠ACB=56.3°，则AB2=CB2+CA2-2CB•CA cos∠ACB=293557.0525，则AB≈541.81，则DE=AB-AD-BE≈421米；故隧道DE的长约421米．【解析】根据题意，由余弦定理求出AB的长，又由DE=AB-AD-BE，计算即可得答案．本题考查余弦定理的应用，关键是掌握余弦定理的形式，属于基础题．20.【答案】解：∵已知，∴cos y==，∴tan y==，∴tan2y==＞0，故2y仍为锐角．∴tan（x+2y）==1，∴x+2y=，【解析】利用同角三角函数的基系求得tan y的值，利用二倍角的正切公式求得tan2y的值，可得2y为锐角，利用两角和的正切公式求得tan（x+2y）的值，可得x+2y的值．本题主要考查同角三角函数的基系，二倍角的正切公式，两角和的正切公式的应用，属于基础题．21.【答案】解：（1）根据题意，△ABC中，，B=45°，面积，则有ac sin B=3+，则c=+；（2）根据题意，b2=a2+c2-2ac cos B=（2）2+（+）2-2×2（+）cos45°=8，则b=2，则cos A==，则A=60°，C=180°-A-B=75°．【解析】（1）根据题意，由三角形面积公式可得ac sin B=3+，解可得c的值，即可得答案；（2）根据题意，由余弦定理可得b的值，进而由余弦定理求出cos A的值，即可得A的大小，由三角形内角和定理分析可得答案．本题考查三角形中的几何计算，涉及余弦定理、正弦定理的应用，属于基础题．。

上海市浦东新区2020-2021学年高一下学期4月教学质量检测（期中）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若对数函数log ay x =的图像过点()9,2，则a =______.2．若角θ满足sin 0θ<且cos 0θ>，则角θ在第______象限. 3．计算333276log log 2log 55+-=______.4．半径1r =的圆内有一条弦AB AB 所对的劣弧长等于______. 5．已知α是锐角，则()2cos log 1tanαα+=______.6．化简：()()()()()cos 3cot tan sin cot 3πθπθθπθπθ-+-=--______. 7．函数()()2log 4a f x x =-在区间[)0,2上单调递增，则实数a 取值范围为______.8．已知tan 3α=，sin cos sin cos αααα+=-______.9．函数()212y x x =+≤-的反函数为______. 10．方程()2332log log 30x x +-=的解是______. 11．已知角α的终边上一点(),1P x ，且1sin 3α=，则x =______. 12．已知[)0,θπ∈，集合{}sin ,1A θ=，1,cos 2B θ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，且A B ⋂≠∅，那么θ=______.二、单选题 13．“24x k ππ=+()k Z ∈”是“tan 1x =”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件14．已知k Z ∈，角的终边只落在y 轴正半轴上的角是（ ） A ．2k πB ．2k ππ+C ．22k +ππ D ．22k ππ-15．为了得到函数y ＝lg 的图像，只需把函数y ＝lgx 的图像上所有的点 （ ）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 16．方程21x x =+的解的个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个三、解答题 17．已知4cos 5α=-，求sin tan αα+的值. 18．如图，扇形的半径为 cm r ，周长为20cm ，问扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出扇形面积的最大值.19．已知1sin cos 8αα=，且42ππα<<， （1）求cos sin αα-的值； （2）求cos α的值.20．已知函数()()4log 41x f x =-，（1）判断()f x 的单调性，并证明你的结论； （2）解方程()()12f x fx -=.21．已知函数()1422x x xaf x +++=. （1）实数a 的值为多少时，()f x 是偶函数；（2）若对任意[)0,x ∈+∞，都有()0f x >，求实数a 的取值范围； （3）若()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.参考答案1．3 【解析】 【分析】由题意可得2log 9a =，即可得到a 的值. 【详解】由对数函数log ay x =的图像过点()9,2，所以，29log 232log log 3a a a ===，解得3a =.故答案为：3. 【点睛】本题考查了对数函数的应用，属于基础题. 2．四 【分析】利用三角函数的定义，可确定0y <，0x >，进而可知θ在第四象限. 【详解】由题意，根据三角函数的定义sin 0y r θ=<，cos 0xrθ=>，又0r >， 所以0y <，0x >，即θ在第四象限. 故答案为：四. 【点睛】本题以三角函数的符号为载体，考查三角函数的定义，属于基础题. 3．2 【分析】根据对数的基本运算性质即可求出． 【详解】233333276275log log 2log log 2log 325556⎛⎫+-=⨯⨯== ⎪⎝⎭. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了对数的基本运算性质，属于基础题． 4．23π 【分析】求出弦AB 所对的劣弧为l ，所对的圆心角为2α，即可求出弦AB 所对的劣弧长. 【详解】设弦AB 所对的劣弧为l ，所对的圆心角为2α，则1cos 2α=， 所以3πα=，即223πα=， 所以弦AB 所对的劣弧长为23l π. 故答案为：23π. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查弧长公式，属于基础题. 5．2- 【分析】先利用同角三角函数的基本关系化简，然后由对数的运算性质得出结果． 【详解】()22cos cos 2sin log 1tan log 1cos ααααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭22cos cos 22cos sin 1log log 2cos cos αααααα⎛⎫+⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：2-. 【点睛】本题考查了对数的运算性质以及同角三角函数的基本关系，属于基础题． 6．1- 【分析】根据诱导公式和同角的三角函数的关系化简即可. 【详解】()()()()()()()cos 3cot tan cos cot tan cos tan 1sin cot 3sin cot sin πθπθθθθθθθπθπθθθθ-+---==-=----.故答案为：1-. 【点睛】本题考查了诱导公式和同角的三角函数的关系，属于基础题． 7．()0,1 【分析】根据对数函数的性质，以及复合函数的单调性求出a 的范围即可． 【详解】由题意知，24y x =-在区间[)0,2上递减，若函数()()2log 4a f x x=-在区间[)0,2上递增，根据复合函数同增异减的原则，得01a <<. 故答案为：()0,1. 【点睛】本题考查了对数函数的性质，考查复合函数的单调性问题，属于基础题． 8．2 【分析】在所求分式的分子和分母中同时除以cos α，将分式变形为只含tan α的代数式，然后代值计算即可. 【详解】sin cos sin cos tan 131cos cos 2sin cos sin cos tan 131cos cos αααααααααααααα++++====----.故答案为：2. 【点睛】本题考查正、余弦齐次式的计算，考查弦化切思想的应用，考查计算能力，属于基础题. 9．)5y x =≥ 【分析】根据反函数的定义，解得函数的值域，进而把反函数写出来即可. 【详解】由()212y x x =+≤-知，[)5,y ∈+∞，所以)5x y =≥，把x 与y 互换可得：)5y x =≥.故答案为：)5y x =≥. 【点睛】本题考查了反函数的求法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．103 【分析】设3log x t =，原方程等价转化为2230t t +-=，由此能求出原方程的解. 【详解】设3log x t =，则原方程转化为2230t t +-=，解得132t =-，21t =，当132t =-，即33log 2x =-，解得x =， 当21t =，即3log 1x =，解得3x =，3.3. 【点睛】本题考查方程的解的求法，解题时要认真审题，注意换元法的合理运用，属于基础题.11．± 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得x 的值． 【详解】由角α的终边上一点(),1P x ，则1sin 3α==解得x =±故答案为：±. 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 12．4π或6π或56π或0 【分析】由集合,A B 以及两集合的交集不是空集，确定出θ即可. 【详解】∵[)0,θπ∈，集合{}sin ,1A θ=，集合1,cos 2B θ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，且A B ⋂≠∅，∴1sin 2θ=或sin cos θθ=或cos 1θ=， 又[)0,θπ∈，∴4πθ=或6π或56π或0.故答案为：4π或6π或56π或0.【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题. 13．A 【分析】由题意分别考查充分性和必要性即可求得最终结果. 【详解】 当24x k ππ=+()k Z ∈时，1tanx =，即充分性成立；当1tanx =时，24x k ππ=+ ()k Z ∈或524x k ππ=+()k Z ∈，即必要性不成立； 综上可得：“24x k ππ=+ ()k Z ∈”是“1tanx =”成立的充分不必要条件.本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查正切函数的性质，充分必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14．C 【分析】直接写出终边落在轴正半轴上的角的集合. 【详解】终边落在y 轴正半轴上的角的集合为|2,2A k k Z πααπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查了象限角和轴线角，属于基础题. 15．C 【解析】解：因为y=lgx 的图象只要向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可以得到y=lg(x+3)-1=lg 310x +,选择C 16．C 【分析】将问题转化为函数2xy =与函数1y x =+图象的交点个数，作出两函数的图象，观察两函数图象的交点个数即可. 【详解】由题意可知，方程21x x =+的解的个数⇔函数2xy =与函数1y x =+图象的交点个数，如下图所示：由图象可知，两个函数有2个交点，因此，方程21x x =+的解的个数为2. 故选：C. 【点睛】本题考查函数方程解的个数，一般转化为两函数图象的交点个数，考查数形结合思想与化归与转化思想的应用，属于中等题. 17．见解析 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，分类讨论，求得sin α和tan α的值即可. 【详解】 由4cos 5α=-，则α是第二或第三象限角，若α是第二象限角，则3sin 5α==，sin 3tan cos 4ααα==-， 所以333sin tan 5420αα+=-=-；若α是第三象限角，则3sin 5α==-，sin 3tan cos 4ααα==， 所以333sin tan 5420αα+=-+=； 综上，若α是第二象限角，则sin tan αα+的值为320-；若α是第三象限角，则sin tan αα+的值为320. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题. 18．见解析 【分析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，利用周长关系，表示出扇形的面积，利用二次函数求出面积的最大值，以及圆心角的大小. 【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，由题意有220l r +=，即()202010l r r =-<<， 所以，扇形的面积()()()21120252501022S l r r r r r =⋅=⋅-⋅=--+<<， 所以，当且仅当=5r 时，扇形的面积()2max 25S cm =，此时：202510l =-⨯=，()1025l rad r α===， 所以，当2rad α=时，扇形的面积取最大值，最大值为225cm . 【点睛】本题主要考查了扇形的周长，半径圆心角，面积之间的关系，考查计算能力，属于基础题.19．（1）（2 【分析】（1）根据α的范围判断出cos sin αα-为负数，利用完全平方公式以及同角三角函数间基本关系化简，开方即可求出值；（2）利用（1）的方法求出cos sin αα+的值，与cos sin αα-的值联立即可求出cos α的值. 【详解】 （1）由42ππα<<，知sin cos αα>，则cos sin 0αα-<，因1sin cos 8αα=，22sin cos 1αα+=，所以()22213cos sin cos 2cos sin sin 1284αααααα-=-⋅+=-⨯=，故cos sin αα-=. （2）由42ππα<<，1sin cos 8αα=，22sin cos 1αα+=， 所以()22215cos sin cos 2cos sin sin 1284αααααα+=+⋅+=+⨯=，即cos sin αα+=，联立cos sin cos sin αααα⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得cos 4α=【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题. 20．（1）见解析（2）12 【分析】（1）判断()f x 在()0,∞+上为单调递增，利用函数单调性的定义证明；（2）求出()1fx -，可得方程，解方程，即可得到结论.【详解】（1）由410->x ，得0x >，即()f x 的定义域为()0,∞+，()f x 在()0,∞+上为单调递增，证明如下： 设120x x <<，则()()()()11221244441log 41log 41log 41x x x x f x f x --=---=-， ∵120x x <<，∴12144x x <<，则1204141x x <-<-，即12410141x x -<<-， ∴12441log 041x x -<-，即()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 故()f x 在()0,∞+上为单调递增函数.（2）由()4log 41x y =-，则()4log 41y x =+，即()4log 41x y =+，所以，反函数()()14log 41x fx -=+， 由()()12f x f x -=，即()()442log 41log 41x x-=+，即24420x x --=解得41x =-（舍）或42x =，即12x =， 经检验，12x =是方程()()12f x f x -=的根. 故方程的根为12. 【点睛】本题考查复合函数的单调性，考查反函数，考查学生的计算能力，属于中档题.21．（1）1（2）()3,-+∞（3）(],1-∞【分析】（1）利用偶函数的定义进行求值；（2）由题意，可得()2121x a >-+，进而利用不等式即可；（3）利用函数单调性的定义进行求值判断即可.【详解】 （1）由()1422222x x x x x a f x a +-++==++⋅，要使()f x 是偶函数，则()()f x f x =-， 即222222x x x x a a --++⋅=++⋅，解得1a =，所以实数a 的值为1.（2）由()0f x >，即2220x x a -++⋅>，整理得()22110x a ++->，所以()2121x a >-+，因0x ≥，则21x ≥，所以()2214x +≥，即()21213x -+≤-， 所以3a >-，即实数a 的取值范围为()3,-+∞.（3）由题意，()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，任取210x x >≥，则()()12f x f x <， 即()()1212122222022x x x x a a f x f x -=++---<， 整理得()1212121212222220222x x x x x x x x x x a a a ++-+--=-⋅<，又因为210x x >≥，则1221x x +>，所以1220x x a +->，即122x x a +<，所以1a ≤，即实数a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性和最值的应用，考查学生的运算能力，属于中档题.。

2020-2021学年上海市浦东新区高一（下）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．75°＝（弧度）．2．2021°是第象限的角．3．若角α的终边过点P（1，2），则tanα＝．4．半径为1，圆心角为的扇形面积为．5．函数y＝1﹣2sin2x（x∈R）的值域为．6．终边在x轴正半轴上所有角α的集合为．（用弧度制表示）7．已知tanα＝2，则＝．8．如果，且α是第四象限角，那么＝．9．若，x∈[0，π]，则角x＝．10．在△ABC中，若a＝2，，B＝120°，则△ABC的面积为．11．已知角α是第三象限角，则的符号为（填写“正”或“负”或“正负均可”）．12．若，α∈（0，），则sinα＝．二、选择题（共4小题）.13．cos52°cos22°+sin52°sin22°＝（）A．B．C．sin74°D．cos74°14．在△ABC中，sin2A+sin2B＝sin2C，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形15．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A．B．C．D．y＝cos（2x+π）16．下列命题中真命题的个数是（）①若，则；②cos（2kπ+α）＝cosα（k∈Z）；③若0＜α＜，则sinα＞0且cosα＜0．A．0个B．1个C．2个D．3个三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．已知cosθ＝﹣，θ∈（，π），求tanθ﹣的值．18．在△ABC中，已知，，求sin C的值．19．求函数y＝sin x+cos x的最小正周期与单调增区间．20．如图所示，甲船在距离A港口24海里，并在南偏西20°方向的C处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东40°方向的B处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里．当乙船行驶20海里到达D处，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，此时甲、乙两船之间的距离为多少？21．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜）在区间[﹣，]上的图象如图所示．（1）求ω，φ的值；（2）设x∈[0，]，不等式|4f（x）﹣1|＜m恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、填空题（共12小题）.1．75°＝（弧度）．解：75°＝＝．故答案为：．2．2021°是第三象限的角．解：因为2021°＝360°×5+221°，221°是第三象限角，所以2021°是第三象限角．故答案是：三．3．若角α的终边过点P（1，2），则tanα＝2．解：∵角α的终边经过点P（1，2），则x＝1，y＝2，tanα＝＝2，故答案为：2．4．半径为1，圆心角为的扇形面积为．解：由扇形面积公式得：S＝×|α|×R2＝××12＝．故答案为：．5．函数y＝1﹣2sin2x（x∈R）的值域为[﹣1，1]．解：函数y＝1﹣2sin2x＝cos2x（x∈R），所以y∈[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．6．终边在x轴正半轴上所有角α的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}．（用弧度制表示）解：终边在x轴上的角的集合为{α|α＝k•360°，k∈Z}，或{α|α＝2kπ，k∈Z}，故答案是：{α|α＝2kπ，k∈Z}．7．已知tanα＝2，则＝．解：因为tanα＝2，所以＝＝＝．故答案为：．8．如果，且α是第四象限角，那么＝﹣．解：因为，且α是第四象限角，所以＝sinα＝﹣＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．9．若，x∈[0，π]，则角x＝或．解：因为x∈[0，π]，sin＝，sin＝，所以x＝或．故答案为：或．10．在△ABC中，若a＝2，，B＝120°，则△ABC的面积为．解：∵＝，即＝，∴sin A＝，又B＝120°，∴A＝30°，∴C＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴S△ABC＝ab sin C＝•2•2•＝，故答案为：．11．已知角α是第三象限角，则的符号为正负均可（填写“正”或“负”或“正负均可”）．解：∵角α是第三象限角，则可能是第二或第四象限角，∴sin（）的符号为正负均可．故答案为：正负均可．12．若，α∈（0，），则sinα＝．解：因为，α∈（0，），所以sin（）＝，则sinα＝sin[（）﹣]＝sin（）﹣cos（）＝＝．故答案为：．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.13．cos52°cos22°+sin52°sin22°＝（）A．B．C．sin74°D．cos74°解：cos52°cos22°+sin52°sin22°＝cos（52°﹣22°）＝cos30°＝．故选：B．14．在△ABC中，sin2A+sin2B＝sin2C，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形解：在△ABC中，∵sin2A+sin2B＝sin2C，∴由正弦定理＝＝得：a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形．故选：D．15．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A．B．C．D．y＝cos（2x+π）解：由于函数y＝cos（2x+）＝﹣sin2x，故它是奇函数，最小正周期为＝π，故A 满足条件；由于函数y＝sin（2x+）＝cos2x，故它是偶函数，最小正周期为＝π，故B不满足条件；由于函数y＝sin（2x+），故它是非奇非偶函数，最小正周期为＝π，故C不满足条件；由于函数y＝cos（2x+π）＝﹣cos2x，故它是偶函数，最小正周期为＝π，故D不满足条件，故选：A．16．下列命题中真命题的个数是（）①若，则；②cos（2kπ+α）＝cosα（k∈Z）；③若0＜α＜，则sinα＞0且cosα＜0．A．0个B．1个C．2个D．3个解：对于①，若，则sinα＜cosα，所以＝＝＝|sinα﹣cosα|＝cosα﹣sinα，故①正确；对于②，利用诱导公式可得cos（2kπ+α）＝cosα（k∈Z），故②正确；对于③，若0＜α＜，则sinα＞0且cosα＞0，故③错误．故真命题的个数是2．故选：C．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．已知cosθ＝﹣，θ∈（，π），求tanθ﹣的值．解：由，，得．∴，，∴．18．在△ABC中，已知，，求sin C的值．解：由，得，由，得，又因为在△ABC中，A+B+C＝π，知C＝π﹣（A+B），所以，sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，＝．19．求函数y＝sin x+cos x的最小正周期与单调增区间．解：由，得，所以，最小正周期T＝2π，由，解得，，因此，函数单调增区间为．20．如图所示，甲船在距离A港口24海里，并在南偏西20°方向的C处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东40°方向的B处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里．当乙船行驶20海里到达D处，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，此时甲、乙两船之间的距离为多少？【解答】根据题意，利用正弦定理求出sin∠ABC的值，再利用同角的三角函数关系和余弦定理，即可求出甲、乙两船之间的距离．21．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜）在区间[﹣，]上的图象如图所示．（1）求ω，φ的值；（2）设x∈[0，]，不等式|4f（x）﹣1|＜m恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）由图象可知，，∴T＝，则ω＝2．由五点作图的第一点可知，φ＝0，得φ＝；（2）由（1）得f（x）＝sin（2x+），代入|4f（x）﹣1|＜m，得|4sin（2x+）﹣1|＜m．∵x∈[0，]，∴2x+∈，∴4sin（2x+）﹣1∈[﹣3，3]．则|4sin（2x+）﹣1|∈[0，3]．∴m＞3．故实数m的取值范围是（3，+∞）．。