2020年上海市浦东新区中考数学一模试题(附详细解析)

2020年上海市中考一模试卷数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=5，AB=13，那么sin A的值为()A. 513B. 512C. 1213D. 1252.下列函数中，是二次函数的是()A. y=2x−1B. y=2x2C. y=x2+1D. y=(x−1)2−x23.抛物线y=x2−4x+5的顶点坐标是()A. (−2,1)B. (2,1)C. (−2,−1)D. (2,−1)4.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列各比例式不一定能推得DE//BC的是()A. ADBD =AECEB. ADAB=DEBCC. ABBD =ACCED. ADAB=AEAC5.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，它把物体从地面点A处送到离地面3米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为()A. 3√10米B. 2√10米C. √10米D. 9米6.下列说法正确的是()A. a⃗+(−a⃗ )=0B. 如果a⃗和b⃗ 都是单位向量，那么a⃗=b⃗C. 如果|a⃗|=|b⃗ |，那么a⃗=b⃗D. 如果a⃗=−12b⃗ (b⃗ 为非零向量)，那么a⃗//b⃗二、填空题（本大题共12小题，共48分）7.已知x=3y，那么x+yx+2y=______．8.已知线段AB=2cm，P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，那么线段PA的长度等于______cm．9.如果两个相似三角形对应边之比是2：3，那么它们的对应中线之比是______．10.如果二次函数y=x2−2x+k−3的图象经过原点，那么k的值是______．11.将抛物线y=−3x2向下平移4个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为______．12.如果抛物线经过点A(−1,0)和点B(5,0)，那么这条抛物线的对称轴是直线______．13.二次函数y=−2(x+1)2的图象在对称轴左侧的部分是______.(填“上升”或“下降”)14.如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF//AB交BC于点F，那么EFEB=______．15.如图，已知AB//CD//EF，AD=6，DF=3，BC=7，那么线段CE的长度等于______．16.如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，边DE与AC相交于点G，如果BC=6cm，△ABC的面积等于9cm2，△GEC的面积等于4cm2，那么CF=______cm．17.用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了如下的表格：x…01234…y=ax2+bx+c…−3010−3…那么当x=5时，该二次函数的值为．18.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，点D、E分别是边BC、AB的中点，将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点、，当直线经过点A时，线段的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共10分）19.为了测量大楼顶上(居中)避雷针BC的长度，在地面上点A处测得避雷针底部B和顶部C的仰角分别为55°58′和57°，已知点A与楼底中间部位D的距离约为80米，求避雷针BC的长度(参考数据：，，，sin57°≈0.84，tan57°≈1.54)四、解答题（本大题共6小题，共68分） 20. 计算：tan45°−cos60°2sin30∘+cot 260°21. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，且AE =2ED ，联结BE 并延长交边CD 的延长线于点F ，设BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ． (1)用a ⃗ ，b ⃗ 表示BE⃗⃗⃗⃗⃗ ，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)先化简，在求作：(−32a⃗ +b ⃗ )+2(a ⃗ −b ⃗ )(不要求写作法，但要写明结论)．22. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD =3，AC =6，AE =4，AB =8．(1)如果BC =7，求线段DE 的长；(2)设△DEC 的面积为a ，求△BDC 的面积(用a 的代数式表示)．23.如图，已知△ABC和△ADE，点D在BC边上，DA=DC，∠ADE=∠B，边DE与AC相交于点F．(1)求证：AB⋅AD=DF⋅BC；(2)如果AE//BC，求证：BDDC =DFFE．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(−1,0)，B(3,0)，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)联结AC、BC，求∠ACB的正切值；(3)点P在抛物线上，且∠PAB=∠ACB，求点P的坐标．25.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，D为AB边上一动点(点D与点A、B不重合)，联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．(1)如图，当ED=EB时，求AD的长；(2)设AD=x，BE=y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；(3)把△BCD沿直线CD翻折得，联结，当是等腰三角形时，直接写出AD的长．答案和解析1.【答案】A【解析】解：如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，sinA=BCAB =513．故选：A．本题可画出三角形，结合图形运用三角函数定义求解．此题考查了三角函数的定义．可借助图形分析，确保正确率．2.【答案】C【解析】解：二次函数的标准形式为y=ax2+bx+c(a≠0)，∴y=x2+1是二次函数，故选：C．根据二次函数的标准形式y=ax2+bx+c(a≠0)，从选项中直接可以求解．本题考查二次函数的定义；熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵y=x2−4x+5=(x−2)2+1，∴顶点坐标为(2,1)，故选：B．利用配方法化成顶点式求解即可．本题考查了二次函数的性质，化成顶点解析式是求抛物线的顶点坐标的一种方法．4.【答案】B【解析】解：∵ADBD =AECE，∴DE//BC，∵ABBD =ACEC，∴DE//BC，∵ADAB =AEAC，∴DE//BC，故选：B．根据平行线分线段成比例定理判断即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．5.【答案】A【解析】解：∵BC：AC=1：3，∴3：AC=1：3，∴AC=9，∴AB=√AC2+BC2=√9+81=3√10，∴物体从A到B所经过的路程为3√10，故选：A．由题意可得物体从A到B所经过的路程为AB的长，根据坡比求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长即可．本题考查了轨迹，解直角三角形，知道坡比的概念是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：A、a⃗+(−a⃗ )=0，错误应该等于零向量．B、如果a⃗和b⃗ 都是单位向量，那么a⃗=b⃗ ，错误，模相等，方向不一定相同．C、如果|a⃗|=|b⃗ |，那么a⃗=b⃗ ，错误，模相等，方向不一定相同．D、如果a⃗=−12b⃗ (b⃗ 为非零向量)，那么a⃗//b⃗ ，正确，故选：D．根据平面向量的性质一一判断即可．本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.【答案】45【解析】解：∵x=3y，∴x+yx+2y =3y+y3y+2y=45．故答案为：45．直接利用已知代入原式求出答案．此题主要考查了比例的性质，正确把x代入是解题关键．8.【答案】√5−1【解析】解：根据黄金分割定义，得PA2=AB⋅PB，PA2=2(2−PA)解得PA=√5−1．故答案为√5−1．根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AP和BP(PA>PB)，且使AP是AB和BP的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点．本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．9.【答案】2：3【解析】解：∵两个相似三角形对应边之比是2：3，∴它们的对应中线之比是2：3，故答案为：2：3．根据相似三角形对应中线的比等于相似比解答．本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．10.【答案】3【解析】解：∵二次函数y=x2−2x+k−3的图象经过原点，∴k−3=0，解得k=3，故答案为：3．将原点坐标(0,0)代入二次函数解析式，列方程求k即可．此题考查了二次函数图象上的点与解析式的关系，将点的坐标代入解析式是解题的关键．11.【答案】y=3x2−4【解析】解：∵抛物线y=−3x2向下平移4个单位，∴抛物线的解析式为y=−3x2−4，故答案为：y=−3x2−4．根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．12.【答案】x=2【解析】解：∵抛物线经过点A(−1,0)和点B(5,0)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1+52=2．故答案为：x=2．根据点A，B的坐标，利用二次函数的性质可求出抛物线的对称轴，此题得解．本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的对称性，找出抛物线的对称轴是解题的关键．13.【答案】上升【解析】解：∵−2<0，∴二次函数的开口向下，则图象在对称轴左侧的部分y随x值的增大而增大，故答案为上升．由函数解析式可知二次函数的开口向下，图象在对称轴左侧的部分y随x值的增大而增大．本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．14.【答案】13【解析】解：∵点G是△ABC的重心，∴GE：AG=1：2，∴GE：AE=1：3，∵GF//AB，△EGF∽△EAB，∴EFEB =GEAE=13，故答案为13．由点G是△ABC的重心，可得GE：AG=1：2，则GE：AE=1：3，再GF//AB，得出结论．本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了相似三角形的判定与性质．15.【答案】72【解析】解：∵AB//CD//EF，AD=6，DF=3，BC=7，∴ADDF =BCCE，即63=7CE，解得：CE=72，故答案为：72根据平行线分线段所得线段对应成比例解答即可．本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．16.【答案】2【解析】解：∵AB//DE，∴△ABC∽△GEC，∴S△GECS△ABC =(ECBC)2=49，∴EC6=23∴EC=4cm，∵EF=BC=6cm，∴CF=EF−EC=6−4=2cm．故答案是：2易证△ABC∽△GEC，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求得EC的长，则CF即可求解．本题考查了平移的性质，以及相似三角形的性质，正确理解性质求得EC的长是关键．17.【答案】−8【解析】解：从表格可知：抛物线的顶点坐标为(2,1)，设y=ax2+bx+c=a(x−2)2+1，从表格可知过点(0,−3)，代入得：−3=a(0−2)2+1，解得：a=−1，即y=−(x−2)2+1，当x=5时，y=−(5−2)2+1=−8，故答案为：−8．从表格可知：抛物线的顶点坐标为(2,1)，抛物线过点(0,−3)，代入求出抛物线的解析式，再把x=5代入函数解析式，即可求出答案．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出函数的解析式是解此题的关键．18.【答案】2√5或65√5【解析】解：如图1，当点A在的延长线上时，∵∠C=90°，AC=2，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√4+16=2√5，∵点D、E分别是边BC、AB的中点，∴DE//AC，DE=12AC=1，BD=12BC=2，∴∠EDB=∠ACB=90°，∵将△BDE绕着点B旋转，，，，∵在Rt△ABC和中，，AB=BA，∴Rt△ABC≌，，且，∴四边形是平行四边形，且∠ACB=90°，∴四边形是矩形，；如图2，当点A在线段的延长线上时，，，，∵将△BDE绕着点B旋转，，∵BE′AB =12=BD′BC，∽，，，，故答案为：2√5或6√55．分两种情况：①点A在的延长线上时；②点A在线段的延长线上时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD=BDAD，∴1.48=BD80，∵AD =80米，∴BD =118.4(米)，在Rt △CAD 中，∵tan∠CAD =CDAD ， ∴1.54=CDAD ，∴CD =123.2(米)，∴BC =CD −BD =4.8(米)． 答：避雷针BC 的长度为4.8米．【解析】解直角三角形求出CD ，BD ，根据BC =CD −BD 求解即可．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20.【答案】解：原式=1−122×12+(√33)2=12+13=56．【解析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AB//CD ， ∵AE =2ED ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ⃗ ，∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +23b ，∵DF ：AB =DE ：AE =1：2， ∴DF =12AB ，∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ ．(2)(−32a ⃗ +b ⃗ )+2(a ⃗ −b ⃗ )=−32a ⃗ +b ⃗ +2a ⃗ −2b ⃗ =12a ⃗ −b⃗ ，取AB 的中点H ，连接HC ，HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求．【解析】(1)利用三角形的法则以及平行线分线段成比例定理求解即可．(2)先化简，取AB 的中点H ，连接HC ，HC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求． 本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)∵AEAB =48=12，ADAC=36=12，∴AEAB =ADAC，且∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ACB，∴ADAC =DEBC=12，∴DE=12BC=12×7=72；(2)∵AE=4，AC=6，∴EC=2=13AC，∴S△ACD=3S△DEC=3a，∵AD=3，AB=8，∴BD=5=53AD，∴S△BDC=53S△ADC=5a．【解析】(1)通过证明△ADE∽△ACB，可求解；(2)由线段的数量关系可求面积关系，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△ADE∽△ACB是本题的关键．23.【答案】(1)证明：∵DA=DC，∴∠DAC=∠C，又∵∠ADE=∠B，∴△ABC∽△FDA，∴ABDF =BCAD，∴AB⋅AD=DF⋅BC；(2)证明：∵∠ADE+∠CDF=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，∴∠CDF=∠BAD，∵AE//BC，∴∠E=∠CDF，∠C=∠EAF，∴∠BAD=∠E，又∵∠ADE=∠B，∴△ABD∽△EDA，∴BDAD =ADAE，∵DA=DC，∴∠DAC=∠C，∴∠EAF=∠DAC，即AC平分∠DAE，作FM⊥AD于M，FN⊥AE于N，则FM=FM，∵△ADF的面积△AEF的面积=DFEF=12AD×FM12AE×FN=ADAE，∴BD DC =DFFE ．【解析】(1)由等腰三角形的性质得出∠DAC =∠C ，由已知∠ADE =∠B ，证明△ABC∽△FDA ，得出ABDF =BCAD ，即可得出结论；(2)由三角形的外角性质得出∠CDF =∠BAD ，由平行线的性质得出∠E =∠CDF ，∠C =∠EAF ，证出∠BAD =∠E ，证明△ABD∽△EDA ，得出BDAD =ADAE ，证出∠EAF =∠DAC ，即AC 平分∠DAE ，作FM ⊥AD 于M ，FN ⊥AE 于N ，则FM =FM ，求出△ADF 的面积△AEF 的面积=DF EF=AD AE，即可得出结论．本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、平行线的性质、角平分线的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．24.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，B(3,0)代入抛物线y =−x 2+bx +c 中， 得{−1−b +c =0−9+3b +c =0， 解得，b =2，c =3，∴抛物线的表达式为y =−x 2+2x +3；(2)∵在y =−x 2+2x +3中，当x =0时，y =3， ∴C(0,3)，∴OC =OB =3，∴△OBC 为等腰直角三角形，∠OBC =45°， ∴BC =√2OC =3√2，如图1，过点A 作AH ⊥BC 于H ， 则∠HAB =∠HBA =45°， ∴△AHB 是等腰直角三角形， ∵AB =4， ∴AH =BH =√22AB =2√2，∴CH =BC −BH =√2， ∴在Rt △AHC 中，tan∠ACH =AH CH=2√2√2=2，即∠ACB 的正切值为2；(3)①如图2，当∠PAB =∠ACB 时，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设P(a,−a 2+2a +3)，则M(a,0)， 由(1)知，tan∠ACB =2， ∴tan∠PAM =2， ∴PMAM =2， ∴−a 2+2a+3a+1=2，解得，a 1=−1(舍去)，a 2=1， ∴P 1(1,4)；②取点P(1,4)关于x 轴的对称点Q(1,−4)，延长AQ 交抛物线于P 2，则此时∠P 2AB =∠PAM =∠ACB ，设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，将A(−1,0)，Q(1,−4)代入， 得，{−k +b =0k +b =−4，解得，k =−2，b =−2， ∴y AQ =−2x −2， 联立，{y =−2x −2y =−x 2+2x +3，解得，{x =−1y =0或{x =5y =−12，∴P 2(5,−12)；综上所述，点P 的坐标为(1,4)或(5,−12)．【解析】(1)将点A ，B 坐标代入抛物线y =−x 2+bx +c 即可；(2)如图1，过点A 作AH ⊥BC 于H ，分别证△OBC 和△AHB 是等腰直角三角形，可求出CH ，AH 的长，可在Rt △AHC 中，直接求出∠ACB 的正切值； (3)此问需分类讨论，当∠PAB =∠ACB 时，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设P(a,−a 2+2a +3)，由同角的三角函数值相等可求出a 的值，由对称性可求出第二种情况．本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，交点的坐标等，解题关键是第三问要注意分类讨论思想的运用．25.【答案】解：(1)∵ED =EB ， ∴∠EDB =∠B ， ∵CD ⊥DE ，∴∠CDE =∠A =90°，∵∠ACD +∠ADC =90°，∠ADC +∠EDH =90°， ∴∠ACD =∠EDB =∠B ， ∴tan∠ACD =tan∠B ， ∴AD AC =AC AB ，∴AD 3=34， ∴AD =94．(2)如图1中，作EH ⊥BD 于H ．在Rt △ACB 中，∵∠A =90°，AC =3，AB =4， ∴BC =√AC 2+BC 2=√32+42=5， ∵BE =y ，∴EH =35y ，BH =45y ，DH =AB −AD −BH =4−x −45y ， ∵∠A =∠DHE =90°，∠ACD =∠EDH ， ∴△ACD∽△HDE ， ∴ACDH =AD EH ，∴34−x−45y=x35y， ∴y =20x−5x 29+4x(0<x <4)．(3)①如图3−1中，设CB′交AB 于K ，作AE ⊥CK 于E ，DM ⊥CB′于M ，DN ⊥BC 于N∵AC =AB =3，AE ⊥CB′， ∴CE =EB′=12CB′=52，∴AE =√AC 2−CE 2=√32−(52)2=√112， 由△ACE∽△KCA ， 可得AK =3√115，CK =185，∴BK =AB −AK =4−3√115， ∵∠DCK =∠DCB ，DM ⊥CM ，DN ⊥CB ， ∴DM =DN ， ∴S △CDKS△CDB=DKDB =12⋅CK⋅DM 12⋅BC⋅DN =CKCB =1855=1825，∴BD =2543BK =10043−1543√11，∴AD =AB −BD =4−(10043−15√1143)=7243+15√1143．②如图3−2中，当CB′交BA 的延长线于K 时，同法可得BD =2543BK =10043+15√1143，∴AD =AB −BD =7243−15√1143．【解析】(1)证明∠ACD=∠EDB=∠B，推出tan∠ACD=tan∠B，可得ADAC =ACAB，由此构建方程即可解决问题．(2)如图1中，作EH⊥BD于H.证明△ACD∽△HDE，推出ACDH =ADEH，由此构建关系式即可解决问题．(3)分两种情形：①如图3−1中，设CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N.利用角平分线的性质定理求出BD即可．②如图3−2中，当CB′交BA的延长线于K时，同法可得BD．本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。

上海市浦东新区2024届初三一模数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列函数中，是二次函数的是（）.A 21y x ；.B 21y x ；.C 221y x x ；.D 21y x．2.已知在Rt ABC 中，90C ，3AC ，4BC ，那么下列等式正确的是（）.A 3sin 3333.已知a .A a4..A 1:45..A .C 6..A .B .C .D 7.如果34x y ，那么x y y．8.计算：43a a b．9.已知线段2MN cm ，P 是线段MN 的黄金分割点，MP NP ，那么线段MP 的长度等于cm ．10.如果点G 是ABC 的重心，且6AG ，那么边BC 上的中线长为．11.已知在Rt ABC 中，90C ，6BC ，3sin 4A，那么AB 的长为．12.如图，ABC 是边长为3的等边三角形，D 、E 分别是边BC 、AC 上的点，60ADE ，如果1BD ，那么CE．13.小明沿着坡度1:2.4i 的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了米．14.在一个边长为3的正方形中挖去一个边长为x （03x ）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式是．15.已知点 2,A m ， 3,B n 都在二次函数 21y x 的图像上，那么m 、n的大小关系是：mn ．（填“ ”“ ”或“ ”）16.如图，正方形CDEF 的边CD 在Rt ABC 的直角边BC 上，顶点E 、F 分别在边AB 、AC 上．已知两条直角边BC 、AC 的长分别为5和12，那么正方形CDEF 的边长为．17.平行于梯形两底的直线与梯形的两腰相交，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD 中，//AD BC ，AD 18.在菱形落在点19.计算：20.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且2AD ，4DB ，3AE ，6EC ．（1）求DEBC的值；（2）联结DC ，如果DE a ，DA b ，试用a 、b 表示向量CD．21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在四边形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，2AD ，3AB ，4BC ．（1）求BOC 的面积；（2）求ACD 的正弦值．第20题图第21题图221第22题图322.（本题满分10分）上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B 组第2题及参考答案．的代数式表示，以下同），2BD t ；某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究：如图1然后延长（1）（2）（3）如图2然后延长【拓展应用】如图3，在Rt ABC 中，90C ，18AC ，25BC ，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且5DC ，12EC ，联结AE 、BD 交于点P ．求证：tan 1BPE ．第23题图第24题图23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 、BD 相交于点E ，且DEC DCB ．（1）求证：AD ACCE CB；（2）点F 在DB 的延长线上，联结AF ，2AF AE AC ．求证：EC AF BC AE ．24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）题4分，第（3）题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:M y x bx c 过点 2,2A 、点 0,2B ，顶点为点C ，抛物线M 的对称轴交x 轴于点D ．（1）求抛物线M 的表达式和点C 的坐标；（2）点P 在x 轴上，当AOP 与ACD 相似时，求点P 坐标；（3）将抛物线M 向下平移t （0t ）个单位，得到抛物线N ，抛物线N 的顶点为点E ，再把点C 绕点E 顺时针旋转135 得到点F ．当点F 在抛物线N 上时，求t 的值．第25题图备用图备用图25.（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（2）小题4分）如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点E 是射线BC 上一点（点E 不与点B 、C 重合），过点A 作AF AE ，交边CD 的延长线于点F ，直线EF 分别交射线AC 、射线AD 于点M 、N ．（1）当点E 在边BC 上时，如果15ND AN ，求BAE 的余切值；（2）当点E 在边BC 延长线上时，设线段BE x ，y EN MF ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当3CE 时，求EMC 的面积．浦东新区2023学年度第一学期期末练习卷初三数学参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．B ；2．D ；3．D ；4．A ；5．C ；6．B ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．74；8．3a b ；91 ；10．9；11．8；12．23；13．50；14．29y x ；15．<；16．6017；17．23；18．34．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）1922+121222……………………（5分）（每个三角比的值各1分）112…………………………………（3分）（后3个数据，各1分）=12．………………………………………（2分）（每个数据，各1分）20．解：（1）∵AD =2，DB =4，AE =3，EC =6，∴12 AD DB ，12 AE EC ．∴ AD AEDB EC．……………………………………（1分）∴DE//BC ．……………………………………………………………………（1分）∴ DE ADBC AB ．………………………………………………………………（1分）∵12 AD DB ，∴13 AD AB ．……………………………………………………（1分）∴13DE BC ．…………………………………………………………………（1分）（2）∵13 DE BC ，∴BC =3DE ．∵ BC 和 DE 方向相同，∴3 BC DE ．（1分）∵ DE a ，∴3BC a ．…………………………………………………（1分）∵12 AD DB ，∴DB =2AD ．∵ BD 和 DA 方向相同，∴2 BD DA ．……（1分）∵ DA b ，∴2BD b ．…………………………………………………（1分）∵ CD BD BC ，∴23CD b a ．………………………………………（1分）21．解：（1）∵AD//BC ，∴AD AOBC OC．…………………………………………（1分）∵AD =2，BC =4，∴1=2AO OC ．∴23OC AC ．………………………………（1分）∵△BOC 和△ABC 同高，∴2=3BOC ABC S OC S AC ．……………………………（1分）在Rt △ABC 中,∠ABC=90°，AB=3，BC =4，∴1=34=62ABC S ．…（1分）∴=4 OBC S ．……………………………………………………………………（1分）（2）过点D 作DM ⊥BC ，垂足为点M ，过点D 作DH ⊥AC ，垂足为点H ．在Rt △ABC 中,∠ABC=90°，AB=3，BC =4，∴AC =5．∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，DM ⊥BC ，∴AB =DM ．∴△ADC 和△ABC 等高．∴1==2ADC ABC S AD S BC ．∴=3 ACD S ．……………（1分）∴1=32 AC DH ．∴6=5DH ．………………………………………………（1分）∵DM ⊥BC ，∴∠DMC=90°．∵∠ABC =90°，∴∠ABC=∠DMC ．∴AB ∥DM ．∵AD ∥BC ，∴四边形ABMD 是平行四边形．∴BM=AD=2，DM=AB=3．∵BC =4，∴MC=2．…………………………（1分）在Rt △DMC 中,∠DMC=90°，DM=3，MC =2，∴ DC ．………（1分）在Rt △DHC 中,∵∠DHC=90°，6=5DH， DC，∴sin 65DH ACD CD ．…（1分）22．解：【问题探究】∠D=22.5°，BD，tan 22.51 ．……………（各1分）【知识迁移】∵BD=AB ，∴∠D =∠BAD ．∵∠ABC =∠D+∠BAD ，∴1=2D ABC ．………………………………（1分）在Rt △ABC 中,2tan 3ABC ，设AC=2k ，BC=3k，则 AB BD ．（1分）∴13tan tan 22AC ABC D DC ．……………………（1分）【拓展应用】联结DE ．………………………………………………………（1分）在Rt △EDC 中,∠ECD=90°，CD=5，CE =12，∴DE =13．∵CE =12，BC=25，∴BE =13．∴BE =DE ．∴∠EBD =∠EDB ．∵∠DEC =∠EBD+∠EDB ，∴1=2 DBE DEC ．∵CD =5，AC=18，∴AD =13．∴AD =DE ．∴∠DAE =∠DEA ．∵∠EDC =∠DAE+∠DEA ，∴1=2DAE EDC ．…………………………（1分）在Rt △EDC 中,∠ECD=90°，∴∠DEC +∠EDC=90°．∴∠DBE +∠DAE=45°．……………………………………………………（1分）在Rt △ABC 中,∠ACB=90°，∴∠ABC +∠BAC=90°．∴∠ABP +∠BAP=45°．∴∠BPE =∠ABP +∠BAP=45°．………………（1分）∴tan 1BPE ．23．证明：（1）∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠DCB=180°．……………………………（1分）又∵∠CEB +∠DEC=180°，∠DEC =∠DCB ，∴∠ADC =∠CEB ．……（1分）∵AD ∥BC ，∴∠DAC =∠ECB ．……………………………………………（1分）∴△ADC ∽△CEB ．…………………………………………………………（2分）∴ AD AC CE CB．……………………………………………………………（1分）（2）∵∠AED =∠CEB ，∠ADC =∠CEB ，∴∠AED =∠ADC ．…………（1分）∵∠EAD =∠DAC ，∴△AED ∽△ADC ．……………………………………（1分）∴ AE AD AD AC．即2 AD AE AC ．…………………………………………（1分）∵2 AF AE AC ，∴22 AD AF ．∴AD =AF ．…………………………（1分）∵AD ∥BC ，∴AE ADEC BC．……………………………………………（1分）∴ AE AF EC BC．即 EC AF BC AE ．………………………………………………………（1分）24．解：（1）抛物线M ：2y x bx c 过点A （2，2）、点B （0，2），∴4222.，b c c ………………………………………………………（2分）∴2 b ，2 c ．∴抛物线M 的表达式是222 y x x ．………………………………（1分）∴点C 的坐标为（1，3）．…………………………………………………（1分）（2）由（1）得抛物线的对称轴是直线1 x ．……………………………（1分）过点A 作AH 垂直直线1 x ，垂足为点H ．∴点H 的坐标为（1，2）．过点A 作AG 垂直x 轴，垂足为点G ．∴点G 的坐标为（2，0）．在Rt △ACH 与Rt △AOG 中，根据题意可得tan 1 AH ACH CH ，tan 1 AGAOG OG．∴tan tan ACH AOP ，∴∠ACH =∠AOP ．……………………………（1分）∴当△AOP 与△ACD 相似时，有 CA CD OA OP 或CA CDOP OA．○1 CA CDOA OP 3 OP，OP =6．点P 的坐标是（6，0）．……………（1分）○2CA CDOP OA ， OP 43 OP ．点P 的坐标是（43，0）．………（1分）∴综上所述，点P 的坐标是（6，0）或（43，0）．（3）过点F 作FQ 垂直直线1 x ，垂足为点Q ．根据题意可得∠FEQ =45°，FE =CE =t ．……………………………………（1分）在Rt △EFQ 中,∵∠EQF=90°，∠FEQ =45°，FE =t ，∴EQ=FQ =2t ．∴点F 的坐标是（1+2t ，32t ）．………………………………（1分）∵当点F 在平移后的抛物线N ：21)3（y x t 上时，可得231)322（1+t t t ．……………………………（1分）解得10 t （舍），2 t 1分）25．解：（1）根据题意可得∠ABC =∠BAD=∠ADC=90°，AB =BC =CD =AD =6，AD ∥BC ．∴∠BAE +∠EAD=90°，∠ADF=∠ABC =90°．∵AF ⊥AE ，∴∠DAF +∠EAD=90°．∴∠BAE=∠DAF ．∴△BAE ≌△DAF ．∴DF =BE ．……………………………………………（1分）设BE=x ，则DF =BE =x ，EC =6－x ，FC =6＋x ．∵正方形ABCD 的边长为6，15ND AN ，∴ND=1，AN =5．………………（1分）∵AD ∥BC ，∴ ND FD EC FC ．即166xx x．……………………………（1分）整理得2560 x x ．解得12 x ，23 x ．……………………………（1分）当2 x 时，6cot 32 BE BAE AB ；当3 x 时，6cot 23BE BAE AB ．∴∠BAE 的余切值为2或3．………………………………………………（1分）（2）当点E 在边BC 延长线上时，根据条件可证△BAE ≌△DAF ．∴AE =AF ．∴∠AEF ＝∠AFE ．∵AF ⊥AE ，∴∠EAF=90°．∵∠EAF ＋∠AEF ＋∠AFE ＝180°，∴∠AEF ＝∠AFE=45°．∴∠ANE ＝∠AFE ＋∠FAD =45°＋∠FAD ．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAC=45°．∴∠MAF ＝∠DAC ＋∠FAD =45°＋∠FAD ．∴∠ANE ＝∠MAF ．∴△ANE ∽△MAF ．…………………………………………………………（2分）∴ EN AE FA MF．∴2== y EN MF AE FA AE ．…………………………（1分）在Rt △ABE 中,∠ABE=90°，AB =6，BE=x ，∴22=36 AE x ．即2=36 y x ．（x ＞6）…………………………………………………（2分）（3）有两种情况：点E 在边BC 上，点E 在边BC 延长线上．（i ）当点E 在边BC 上时．易证△EMC ∽△AMF ，△AMF ∽△AFC ．∴△EMC ∽△AFC ．∴2= （EMC AFC S EC S AC．…………………………………………………………（１分）∵EC =3，AC=1=96=272 AFC S ，∴27=8EMC S ．……………（1分）（ii ）当点E 在边BC 延长线上时．易证△EMC ∽△AMF ，△AMF ∽△AFC ．∴△EMC ∽△AFC ．∴2= （EMC AFC S EC S AC．…………………………………………………………（１分）∵EC =3，AC=1=156=452AFC S ，∴45=8EMC S ．……………（1分）综上所述，△EMC 的面积为278或458．。

2020年上海市浦东新区中考数学一模试卷一、选择题1．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝5，AB＝13，那么sin A的值为（）A．B．C．D．2．（4分）下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝2x﹣1B．y＝C．y＝x2+1D．y＝（x﹣1）2﹣x23．（4分）抛物线y＝x2﹣4x+5的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣1）4．（4分）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列各比例式不一定能推得DE ∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．（4分）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，它把物体从地面点A处送到离地面3米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（）A．3米B．2米C．米D．9米6．（4分）下列说法正确的是（）A．+（﹣）＝0B．如果和都是单位向量，那么＝C．如果||＝||，那么＝D．如果＝﹣（为非零向量），那么∥二、填空题7．（4分）已知x＝3y，那么＝．8．（4分）已知线段AB＝2cm，P是线段AB的黄金分割点，P A＞PB，那么线段P A的长度等于cm．9．（4分）如果两个相似三角形对应边之比是2：3，那么它们的对应中线之比是．10．（4分）如果二次函数y＝x2﹣2x+k﹣3的图象经过原点，那么k的值是．11．（4分）将抛物线y＝﹣3x2向下平移4个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为．12．（4分）如果抛物线经过点A（﹣1，0）和点B（5，0），那么这条抛物线的对称轴是直线．13．（4分）二次函数y＝﹣2（x+1）2的图象在对称轴左侧的部分是．（填“上升”或“下降”）14．（4分）如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF∥AB交BC于点F，那么＝．15．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，AD＝6，DF＝3，BC＝7，那么线段CE的长度等于．16．（4分）如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，边DE与AC相交于点G，如果BC＝6cm，△ABC的面积等于9cm2，△GEC的面积等于4cm2，那么CF＝cm．17．（4分）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了如下的表格：x…01234…y＝ax2+bx+c…﹣3010﹣3…那么当x＝5时，该二次函数y的值为．18．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，点D、E分别是边BC、AB的中点，将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点D'、E'，当直线D'E'经过点A时，线段CD'的长为．三、解答题19．（10分）计算：+cot260°20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，且AE＝2ED，联结BE并延长交边CD的延长线于点F，设＝，＝．（1）用，表示，；（2）先化简，在求作：（﹣+）+2（﹣）（不要求写作法，但要写明结论）．21．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝3，AC＝6，AE＝4，AB＝8．（1）如果BC＝7，求线段DE的长；（2）设△DEC的面积为a，求△BDC的面积（用a的代数式表示）．22．（10分）为了测量大楼顶上（居中）避雷针BC的长度，在地面上点A处测得避雷针底部B和顶部C的仰角分别为55°58′和57°，已知点A与楼底中间部位D的距离约为80米，求避雷针BC的长度（参考数据：sin55°58'≈0.83，cos55°58'≈0.56，tan55°58'≈1.48，sin57°≈0.84，tan57°≈1.54）23．（12分）如图，已知△ABC和△ADE，点D在BC边上，DA＝DC，∠ADE＝∠B，边DE与AC相交于点F．（1）求证：AB•AD＝DF•BC；（2）如果AE∥BC，求证：＝．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）联结AC、BC，求∠ACB的正切值；（3）点P在抛物线上，且∠P AB＝∠ACB，求点P的坐标．25．（14分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D为AB边上一动点（点D与点A、B不重合），联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．（1）如图，当ED＝EB时，求AD的长；（2）设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；（3）把△BCD沿直线CD翻折得△CDB'，联结AB'，当△CAB'是等腰三角形时，直接写出AD的长．2020年上海市浦东新区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝5，AB＝13，那么sin A的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，sin A＝＝．故选：A．2．（4分）下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝2x﹣1B．y＝C．y＝x2+1D．y＝（x﹣1）2﹣x2【解答】解：二次函数的标准形式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∴y＝x2+1是二次函数，故选：C．3．（4分）抛物线y＝x2﹣4x+5的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣1）【解答】解：∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∴顶点坐标为（2，1），故选：B．4．（4分）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列各比例式不一定能推得DE ∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【解答】解：∵，∴DE∥BC，∵，∴DE∥BC，∵，∴DE∥BC，故选：B．5．（4分）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，它把物体从地面点A处送到离地面3米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（）A．3米B．2米C．米D．9米【解答】解：∵BC：AC＝1：3，∴3：AC＝1：3，∴AC＝9，∴AB＝＝＝3，∴物体从A到B所经过的路程为3，故选：A．6．（4分）下列说法正确的是（）A．+（﹣）＝0B．如果和都是单位向量，那么＝C．如果||＝||，那么＝D．如果＝﹣（为非零向量），那么∥【解答】解：A、+（﹣）＝0，错误应该等于零向量．B、如果和都是单位向量，那么＝，错误，模相等，方向不一定相同．C、如果||＝||，那么＝，错误，模相等，方向不一定相同．D、如果＝﹣（为非零向量），那么∥，正确，故选：D．二、填空题7．（4分）已知x＝3y，那么＝．【解答】解：∵x＝3y，∴＝＝．故答案为：．8．（4分）已知线段AB＝2cm，P是线段AB的黄金分割点，P A＞PB，那么线段P A的长度等于﹣1cm．【解答】解：根据黄金分割定义，得P A2＝AB•PB，P A2＝2（2﹣P A）解得P A＝﹣1．故答案为﹣1．9．（4分）如果两个相似三角形对应边之比是2：3，那么它们的对应中线之比是2：3．【解答】解：∵两个相似三角形对应边之比是2：3，∴它们的对应中线之比是2：3，故答案为：2：3．10．（4分）如果二次函数y＝x2﹣2x+k﹣3的图象经过原点，那么k的值是3．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+k﹣3的图象经过原点，∴k﹣3＝0，解得k＝3，故答案为：3．11．（4分）将抛物线y＝﹣3x2向下平移4个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为y ＝3x2﹣4．【解答】解：∵抛物线y＝﹣3x2向下平移4个单位，∴抛物线的解析式为y＝﹣3x2﹣4，故答案为：y＝﹣3x2﹣4．12．（4分）如果抛物线经过点A（﹣1，0）和点B（5，0），那么这条抛物线的对称轴是直线x＝2．【解答】解：∵抛物线经过点A（﹣1，0）和点B（5，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝2．故答案为：x＝2．13．（4分）二次函数y＝﹣2（x+1）2的图象在对称轴左侧的部分是上升．（填“上升”或“下降”）【解答】解：∵﹣2＜0，∴二次函数的开口向下，则图象在对称轴左侧的部分y随x值的增大而增大，故答案为上升．14．（4分）如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF∥AB交BC于点F，那么＝．【解答】解：∵点G是△ABC的重心，∴GE：AG＝1：2，∴GE：AE＝1：3，∵GF∥AB，△EGF∽△EAB，∴＝，故答案为．15．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，AD＝6，DF＝3，BC＝7，那么线段CE的长度等于．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AD＝6，DF＝3，BC＝7，∴，即，解得：CE＝，故答案为：16．（4分）如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，边DE与AC相交于点G，如果BC＝6cm，△ABC的面积等于9cm2，△GEC的面积等于4cm2，那么CF＝2cm．【解答】解：∵AB∥DE，∴△ABC∽△GEC，∴＝（）2＝，∴＝∴EC＝4cm，∵EF＝BC＝6cm，∴CF＝EF﹣EC＝6﹣4＝2cm．故答案是：217．（4分）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了如下的表格：x…01234…y＝ax2+bx+c…﹣3010﹣3…那么当x＝5时，该二次函数y的值为﹣8．【解答】解：从表格可知：抛物线的顶点坐标为（2，1），设y＝ax2+bx+c＝a（x﹣2）2+1，从表格可知过点（0，﹣3），代入得：﹣3＝a（0﹣2）2+1，解得：a＝﹣1，即y＝﹣（x﹣2）2+1，当x＝5时，y＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8，故答案为：﹣8．18．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，点D、E分别是边BC、AB的中点，将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点D'、E'，当直线D'E'经过点A时，线段CD'的长为2或．【解答】解：如图1，当点A在E'D'的延长线上时，∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，∴AB＝＝＝2，∵点D、E分别是边BC、AB的中点，∴DE∥AC，DE＝AC＝1，BD＝BC＝2，∴∠EDB＝∠ACB＝90°，∵将△BDE绕着点B旋转，∴∠BD'E'＝∠BDE＝90°，D'E'＝DE＝1，BD＝BD'＝2，∵在Rt△ABC和Rt△BAD'中，D'B＝AC＝2，AB＝BA，∴Rt△ABC≌Rt△BAD'（HL），∴AD'＝BC，且AC＝D'B，∴四边形ACBD'是平行四边形，且∠ACB＝90°，∴四边形ACBD'是矩形，∴CD'＝AB＝2；如图2，当点A在线段D'E'的延长线上时，∵∠AD'B＝90°，∴AD'＝＝＝4，∴AE'＝AD'﹣D'E'＝3，∵将△BDE绕着点B旋转，∴∠ABC＝∠E'BD'，∵＝，∴△ABE'∽△CBD'，∴，∴＝，∴CD'＝，故答案为：2或．三、解答题19．（10分）计算：+cot260°【解答】解：原式＝+（）2＝+＝．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，且AE＝2ED，联结BE并延长交边CD的延长线于点F，设＝，＝．（1）用，表示，；（2）先化简，在求作：（﹣+）+2（﹣）（不要求写作法，但要写明结论）．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴＝＝，AB∥CD，∵AE＝2ED，∴＝＝，∴＝+＝+b，∵DF：AB＝DE：AE＝1：2，∴DF＝AB，∴＝＝．（2）（﹣+）+2（﹣）＝﹣++2﹣2＝﹣，取AB的中点H，连接HC，即为所求．21．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝3，AC＝6，AE＝4，AB＝8．（1）如果BC＝7，求线段DE的长；（2）设△DEC的面积为a，求△BDC的面积（用a的代数式表示）．【解答】解：（1）∵，，∴，且∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴DE＝＝×7＝；（2）∵AE＝4，AC＝6，∴EC＝2＝AC，∴S△ACD＝3S△DEC＝3a，∵AD＝3，AB＝8，∴BD＝5＝AD，∴S△BDC＝S△ADC＝5a．22．（10分）为了测量大楼顶上（居中）避雷针BC的长度，在地面上点A处测得避雷针底部B和顶部C的仰角分别为55°58′和57°，已知点A与楼底中间部位D的距离约为80米，求避雷针BC的长度（参考数据：sin55°58'≈0.83，cos55°58'≈0.56，tan55°58'≈1.48，sin57°≈0.84，tan57°≈1.54）【解答】解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝，∴1.48＝，∵AD＝80米，∴BD＝118.4（米），在Rt△CAD中，∵tan∠CAD＝，∴1.54＝，∴CD＝123.2（米），∴BC＝CD﹣BD＝4.8（米）．答：避雷针BC的长度为4.8米．23．（12分）如图，已知△ABC和△ADE，点D在BC边上，DA＝DC，∠ADE＝∠B，边DE与AC相交于点F．（1）求证：AB•AD＝DF•BC；（2）如果AE∥BC，求证：＝．【解答】（1）证明：∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，又∵∠ADE＝∠B，∴△ABC∽△FDA，∴＝，∴AB•AD＝DF•BC；（2）证明：∵∠ADE+∠CDF＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠CDF＝∠BAD，∵AE∥BC，∴∠E＝∠CDF，∠C＝∠EAF，∴∠BAD＝∠E，又∵∠ADE＝∠B，∴△ABD∽△EDA，∴＝，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，∴∠EAF＝∠DAC，即AC平分∠DAE，作FM⊥AD于M，FN⊥AE于N，则FM＝FM，∵＝＝＝，∴＝．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）联结AC、BC，求∠ACB的正切值；（3）点P在抛物线上，且∠P AB＝∠ACB，求点P的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，得，解得，b＝2，c＝3，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∴OC＝OB＝3，∴△OBC为等腰直角三角形，∠OBC＝45°，∴BC＝OC＝3，如图1，过点A作AH⊥BC于H，则∠HAB＝∠HBA＝45°，∴△AHB是等腰直角三角形，∵AB＝4，∴AH＝BH＝AB＝2，∴CH＝BC﹣BH＝，∴在Rt△AHC中，tan∠ACH＝＝＝2，即∠ACB的正切值为2；（3）①如图2，当∠P AB＝∠ACB时，过点P作PM⊥x轴于点M，设P（a，﹣a2+2a+3），则M（a，0），由（1）知，tan∠ACB＝2，∴tan∠P AM＝2，∴＝2，∴＝2，解得，a1＝﹣1（舍去），a2＝1，∴P1（1，4）；②取点P（1，4）关于x轴的对称点Q（1，﹣4），延长AQ交抛物线于P2，则此时∠P2AB ＝∠P AM＝∠ACB，设直线PQ的解析式为y＝kx+b，将A（﹣1，0），Q（1，﹣4）代入，得，，解得，k＝﹣2，b＝﹣2，∴y AQ＝﹣2x﹣2，联立，，解得，或，∴P2（5，﹣12）；综上所述，点P的坐标为（1，4）或（5，﹣12）．25．（14分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D为AB边上一动点（点D与点A、B不重合），联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．（1）如图，当ED＝EB时，求AD的长；（2）设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；（3）把△BCD沿直线CD翻折得△CDB'，联结AB'，当△CAB'是等腰三角形时，直接写出AD的长．【解答】解：（1）∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠B，∵CD⊥DE，∴∠CDE＝∠A＝90°，∵∠ACD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠EDH＝90°，∴∠ACD＝∠EDB＝∠B，∴tan∠ACD＝tan∠B，∴＝，∴＝，∴AD＝．（2）如图1中，作EH⊥BD于H．在Rt△ACB中，∵∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝＝＝5，∵BE＝y，∴EH＝y，BH＝y，DH＝AB﹣AD﹣BH＝4﹣x﹣y，∵∠A＝∠DHE＝90°，∠ACD＝∠EDH，∴△ACD∽△HDE，∴＝，∴＝，∴y＝（0＜x＜4）．（3）①如图3﹣1中，设CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC 于N∵AC＝AB＝3，AE⊥CB′，∴CE＝EB CB′＝，∴AE＝＝＝，由△ACE∽△KCA，可得AK＝，CK＝，∴BK＝AB﹣AK＝4﹣，∵∠DCK＝∠DCB，DM⊥CM，DN⊥CB，∴DM＝DN，∴＝＝＝＝＝，∴BD＝BK＝﹣，∴AD＝AB﹣BD＝4﹣（﹣）＝+．②如图3﹣2中，当CB′交BA的延长线于K时，同法可得BD＝BK＝+，∴AD＝AB﹣BD＝﹣．第21页（共21页）。

2020年上海市浦东新区中考一模数学一、选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分)【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A 的余切值( ) A.扩大为原来的两倍B.缩小为原来的12C.不变D.不能确定解析：因为△ABC 三边的长度都扩大为原来的两倍所得的三角形与原三角形相似， 所以锐角A 的大小没改变，所以锐角A 的余切值也不变. 答案：C2.下列函数中，二次函数是( ) A.y=﹣4x+5 B.y=x(2x ﹣3)C.y=(x+4)2﹣x 2D.21y x = 解析：A 、y=﹣4x+5为一次函数；B 、y=x(2x ﹣3)=2x 2﹣3x 为二次函数；C 、y=(x+4)2﹣x 2=8x+16为一次函数；D 、21y x =不是二次函数. 答案：B3.已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=7，BC=5，那么下列式子中正确的是( )A.sinA=57B.cosA=57C.tanA=57D.cotA=57解析：12AC ===， A 、5sin 7BC A AB ==.故本选项正确； B 、7cos 12AC A AB ==，故本选项错误； C 、5tan 12BC A AC ==，故本选项错误； D 、12cot 5AC A BC ==，故本选项错误.答案：A4.已知非零向量a ，b ，c ，下列条件中，不能判定向量a 与向量b 平行的是( )A.a c b c ，B.=3a bC.==2a c b c ，D.0a b +=解析：A 、由a c b c ，推知非零向量a 、b 、c 的方向相同，则a b ，故本选项错误； B 、由=3a b|不能确定非零向量a b 、的方向，故不能判定其位置关系，故本选项正确. C 、由==2a c b c ，推知非零向量a 、b 、c 的方向相同，则a b ，故本选项错误； D 、由0a b +=推知非零向量a 、b 的方向相同，则a b ，故本选项错误.答案：B5.如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图象全部在x 轴的下方，那么下列判断中正确的是( ) A.a ＜0，b ＜0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，c ＞0 D.a ＜0，c ＜0解析：∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象全部在x 轴的下方，∴a ＜0，2404ac b a -＜，∴a ＜0，c ＜0.答案：D6.如图，已知点D 、F 在△ABC 的边AB 上，点E 在边AC 上，且DE ∥BC ，要使得EF ∥CD ，还需添加一个条件，这个条件可以是( )A.EF ADCDAB ＝B.AE ADACAB ＝ C.AF ADADAB ＝ D.AF AD AD DB ＝解析：∵DE ∥BC ，∴AE ADACAB ＝， ∴当AF AD ADAB ＝时，AE AFAC AD ＝， ∴EF ∥CD ，故C 选项符合题意；而A ，B ，D 选项不能得出EF ∥CD. 答案：C二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)7.已知32x y =，则x y x y -+ =_____.解析：设x=3a 时，y=2a ，则3213255x y a a a x y a a a --=++＝＝. 答案：158.已知线段MN 的长是4cm ，点P 是线段MN 的黄金分割点，则较长线段MP 的长是_____cm. 解析：∵P 是线段MN 的黄金分割点，∴MP=MN ，而MN=4cm ，∴MP=4×2)cm. 答案：﹣2)9.已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，△ABC 的周长与△A 1B 1C 1的周长的比值是32，BE 、B 1E 1分别是它们对应边上的中线，且BE=6，则B 1E 1=_____.解析：∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，△ABC 的周长与△A 1B 1C 1的周长的比值是32，∴1132BE B E =，即11632B E =，解得B 1E 1=4. 答案：410.计算：()1 322 a a b+-=_____.解析：()1323252a ab a a b a b+-=+-=-.答案：5a b-11.计算：3tan30°+sin45°=_____.解析：原式=32332⨯+=23+.答案：232+12.抛物线y=3x2﹣4的最低点坐标是_____.解析：y=3x2﹣4∴顶点(0，﹣4)，即最低点坐标是(0，﹣4).答案：(0，﹣4)13.将抛物线y=2x2向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是_____.解析：∵抛物线y=2x2向下平移3个单位，∴抛物线的解析式为y=2x2﹣3.答案：y=2x2﹣314.如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB=4，AC=6，DF=9，则DE=_____.解析：∵l1∥l2∥l3，AB=5，AC=8，DF=12，∴AB DEAC DF＝，即469DE＝，可得；DE=6.答案：615.如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数解析式是_____(不写定义域).解析：设平行于墙的一边为(10﹣2x)米，则垂直于墙的一边为x米，根据题意得：S=x(10﹣2x)=﹣2x2+10x.答案：S=﹣2x2+10x16.如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B 在北偏西45°方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是_____米(结果保留根号形式).解析：如图，过点C⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，AC=100m，∴AD=100·sin∠ACD=100×0.5=50(m)，CD=100·cos∠ACD=3100503=，在Rt△BCD中，∵∠BCD=45°，∴BD=CD=503m，则AB=AD+BD=3，即A、B之间的距离约为(3米.答案：(50317.已知点(﹣1，m)、(2，n )在二次函数y=ax2﹣2ax﹣1的图象上，如果m＞n，那么a_____0(用“＞”或“＜”连接).解析：∵二次函数的解析式为y=ax2﹣2ax﹣1，∴该抛物线对称轴为x=1，∵|﹣1﹣1|＞|2﹣1|，且m＞n，∴a＞0.答案：＞18.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosB=45，BC=8，点D在边BC上，将△ABC沿着过点D 的一条直线翻折，使点B 落在AB 边上的点E 处，联结CE 、DE ，当∠BDE=∠AEC 时，则BE 的长是_____.解析：如图作CH ⊥AB 于H.在Rt △ACB 中，∵BC=8，cosB=45，∴AB=10，AC=8，243255AC BC CH BH AB ⋅===，， 由题意EF=BF ，设EF=BF=a ，则BD=54a ，∵∠BDE=∠AEC ，∴∠CED+∠ECB=∠ECB+∠B ， ∴∠CED=∠B ，∵∠ECD=∠BCE ， ∴△ECD ∽△BCE ，∴EC 2=CD·CB，∴()()()2224325288554a a +-=-⨯，解得a=3910或0(舍弃)，∴BE=2a=395.答案：395三、解答题：(本大题共7题，满分78分)19.将抛物线y=x 2﹣4x+5向左平移4个单位，求平移后抛物线的表达式、顶点坐标和对称轴.解析：先将抛物线y=x 2﹣4x+5化为顶点坐标式，再按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可.答案：∵y=x 2﹣4x+4﹣4+5=(x ﹣2)2+1，∴平移后的函数解析式是y=(x+2)2+1.顶点坐标是(﹣2，1).对称轴是直线x=﹣2.20.如图，已知△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，DE ∥BC ，且DE 经过△ABC 的重心，设BC a =.(1)DE =_____(用向量a 表示)；(2)设AB b =，在图中求作12b a+.(不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量.)解析：(1)由DE∥BC推出AD：AB=AG：AF=DE：BC=2：3，推出DE=23BC，由BC a=，推出23DE a=；(2)作△ABC的中线AF，结论：AF就是所要求作的向量；答案：(1)如图设G是重心，作中线AF.∵DE∥BC，∴AD：AB=AG：AF=DE：BC=2：3，∴DE=23BC，∵BC a=，∴23DE a=.答案：23a(2)作△ABC的中线AF，结论：AF就是所要求作的向量.21.如图，已知G、H分别是▱ABCD对边AD、BC上的点，直线GH分别交BA和DC的延长线于点E、F.(1)当18CFHCDGHSS=四边形时，求CHDG的值；(2)联结BD交EF于点M，求证：MG·ME=MF·MH.解析：(1)根据相似三角形的判定和性质解答即可；(2)根据平行四边形的性质和相似三角形的相似比解答即可.答案(1)∵18CFHCDGHSS =四边形，∴19CFHDFGS S ＝. ∵□ABCD 中，AD ∥BC ，∴△CFH ∽△DFG.∴()219CFHDFGS CH S DG ＝＝. ∴13CH DG =.(2)∵□ABCD 中，AD ∥BC ，∴MB MH MD MG ＝.∵□ABCD 中，AB ∥CD ，∴ME MB MF MD ＝. ∴ME MHMFMG ＝. ∴MG·ME=MF·MH.22.如图，为测量学校旗杆AB 的高度，小明从旗杆正前方3米处的点C 出发，沿坡度为i=1：3的斜坡CD 前进23米到达点D ，在点D 处放置测角仪，测得旗杆顶部A 的仰角为37°，量得测角仪DE 的高为1.5米.A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直. (1)求点D 的铅垂高度(结果保留根号)； (2)求旗杆AB 的高度(精确到0.1).(参考数据：sin 37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73.)解析：(1)延长ED 交BC 延长线于点H ，则∠CHD=90°，Rt △CDH 中求得CH=CDcos ∠DCH=3233=、132DH CD ==(2)作EF ⊥AB ，可得3EF=BH=BC+CH=6，根据AF=EFtan ∠AEF ≈4.5、AB=AF+BF可得答案.答案：(1)延长ED 交射线BC 于点H.由题意得DH⊥BC.在Rt△CDH中，∠DHC=90°，tan∠DCH=i=1：3.∴∠DCH=30°.∴CD=2DH.∵CD=23，∴DH=3，CH=3.答：点D的铅垂高度是3米.(2)过点E作EF⊥AB于F.由题意得，∠AEF即为点E观察点A时的仰角，∴∠AEF=37°.∵EF⊥AB，AB⊥BC，ED⊥BC，∴∠BFE=∠B=∠BHE=90°.∴四边形FBHE为矩形.∴EF=BH=BC+CH=6.FB=EH=ED+DH=1.5+3.在Rt△AEF中，∠AFE=90°，AF=EFtan∠AEF≈6×0.75≈4.5.∴AB=AF+FB=6+3≈6+1.73≈7.7.答：旗杆AB的高度约为7.7米.23.如图，已知，在锐角△ABC中，CE⊥AB于点E，点D在边AC上，联结BD交CE于点F，且EF·FC=FB·DF.(1)求证：BD⊥AC；(2)联结AF，求证：AF·BE=BC·EF.解析：(1)根据相似三角形的判定得出△EFB∽△DFC，再根据相似三角形的性质解答即可；(2)由△EFB∽△DFC得出∠ABD=∠ACE，进而判断△AEC∽△FEB，再利用相似三角形的性质解答即可.答案：(1)∵EF·FC=FB·DF，∴EF FB DF FC＝.∵∠EFB=∠DFC，∴△EFB∽△DFC.∴∠FEB=∠FDC.∵CE⊥AB，∴∠FEB=90°.∴∠FDC=90°.∴BD⊥AC.(2)∵△EFB∽△DFC，∴∠ABD=∠ACE.∵CE⊥AB，∴∠FEB=∠AEC=90°.∴△AEC∽△FEB.∴AE EC FE EB＝.∴AE FE EC EB＝.∵∠AEC=∠FEB=90°，∴△AEF∽△CEB.∴AF EF CB EB＝，∴AF·BE=BC·EF.24.已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于点A(1，0)和点B(5，0)，顶点为M.点C在x轴的负半轴上，且AC=AB，点D的坐标为(0，3)，直线l经过点C、D.(1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan ∠CPA的值；(3)在(2)的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM=∠AMB？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.解析：(1)将点(1，0)，B(5，0)代入抛物线的解析式可得到a、b的值，从而可得到抛物线的解析式；(2)先求得AC和BC的长，然后依据比例中项的定义可求得CP的长，接下来，再证明△CPA ∽△CBP，依据相似三角形的性质可得到∠CPA=∠CBP，然后过P作PH⊥x轴于H，接下来，由△PCH为等腰直角三角形可得到CH和PH的长，从而可得到点P的坐标，然后由tan∠CPA=tan∠CBP=PHBH求解即可；(3)过点A作AN⊥PM于点N，则N(1，﹣4).当点E在M左侧，则∠BAM=∠AME.然后证明△AEM ∽△BMA，依据相似三角形的性质可求得ME的长，从而可得到点E的坐标；当点E在M右侧时，记为点E′，然后由点E′与E 关于直线AN 对称求解即可.答案：(1)∵抛物线y=ax 2+bx+5与x 轴交于点A(1，0)，B(5，0)，∴5025550a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝，解得16a b ⎧⎨-⎩＝＝. ∴抛物线的解析式为y=x 2﹣6x+5.(2)∵A(1，0)，B(5，0)，∴OA=1，AB=4.∵AC=AB 且点C 在点A 的左侧，∴AC=4.∴CB=CA+AB=8.∵线段CP 是线段CA 、CB 的比例中项， ∴CA CPCP CB =.∴CP=42.又∵∠PCB 是公共角，∴△CPA ∽△CBP.∴∠CPA=∠CBP.过P 作PH ⊥x 轴于H.∵OC=OD=3，∠DOC=90°，∴∠DCO=45°.∴∠PCH=45° ∴PH=CH=2CP=4，∴H(﹣7，0)，BH=12.∴P(﹣7，﹣4).∴tan ∠CBP=13PH BH =，tan ∠CPA=13.(3)∵抛物线的顶点是M(3，﹣4)，又∵P(﹣7，﹣4)，∴PM ∥x 轴.当点E 在M 左侧，则∠BAM=∠AME.过点A 作AN ⊥PM 于点N ，则N(1，﹣4).∵∠AEM=∠AMB ，∴△AEM ∽△BMA. ∴ME AMAM AB =. ∴25425ME =.∴ME=5，∴E(﹣2，﹣4). 当点E 在M 右侧时，记为点E′，∵∠AE′N =∠AEN ，∴点E′与E 关于直线AN 对称，则E′(4，﹣4).综上所述，E 的坐标为(﹣2，﹣4)或(4，﹣4).25.如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点D 在射线BC 上，以点D 为圆心，BD 为半径画弧交边AB 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 交边AC 于点F ，射线ED 交射线AC 于点G.(1)求证：△EFG ∽△AEG ；(2)设FG=x ，△EFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；(3)联结DF ，当△EFD 是等腰三角形时，请直接写出FG 的长度.解析：(1)先证明∠A=∠2，然后利用相似三角形的判定方法即可得到结论；(2)作EH ⊥AF 于点H ，如图1，利用勾股定理计算出AB=25EFG ∽△AEG 得到EF FG EG AE EG AG ==，再证明Rt △AEF ∽Rt △ACB 得到2425EF AE AF ==，所以12EF x EG AE EG AG ===，则EG=2x ，AG=4x ，AF=3x ，35EF x =，65AE x =，接着·利用相似比表示出EH=65x ，AH=125x ，然后根据三角形面积公式表示出y 与x 的关系，最后利用CF=4﹣3x 可确定x 的范围；(3)先表示CG=4x ﹣4，GH=85x ，讨论：当ED=EF=35x 时，如图1，则BD=DE=35x ，所以DC=2﹣355x ；当DE=DF 时，如图2，作DM ⊥EF 于M ，则135210EM EF x ==，证明△DEM ∽△BAC ，利用相似比表示DE=34x ，则BD=DE=34x ，所以CD=2﹣34x ；当FE=FD 时，如图3，作FN ⊥EG 于N ，则EN=DN ，证明△NEF ∽△CAB ，利用相似比表示出EN=65x ，则DE=2EN=125x ，所以BD=DE=125x ，CD=2﹣125x ，然后利用△GCD ∽△GHE ，根据相似比得到关于x 的方程，再分别解方程求出定义的x 的值即可.答案：(1)证明：∵ED=BD ，∴∠B=∠2，∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°.∵EF ⊥AB ，∴∠BEF=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠A=∠2，∵∠EGF=∠AGE ，∴△EFG ∽△AEG ；(2)解：作EH ⊥AF 于点H ，如图1，在Rt △ABC 中，222425AB =+=，∵△EFG ∽△AEG ， ∴EF FG EGAE EG AG ==，∵∠EAF=∠CAB ，∴Rt △AEF ∽Rt △ACB ，∴EF AE AF BC ACAB ==，即2425EF AE AF ==，∴12EF x EG AE EG AG===，∴EG=2x，AG=4x，∴AF=AG﹣FG=3x，∴EF=35x，AE=65x，∵EH∥BC，∴EH AE AHBC AB AC==，即6552425xEH AH==，∴EH=65x，AH=125x，∴()21163422553y FG EH x x x x=⋅=⋅⋅=＜＜，(3)解：CG=AG﹣AC=4x﹣4，GH=AG﹣AH=128455x x x-=，当ED=EF=355x时，如图1，则BD=DE=355x，∴DC=2﹣355x，∵CD∥EH，∴△GCD∽△GHE，∴CD GCEH GH=，即(2﹣355x)：65x=(4x﹣4)：85x，解得255512x-=；当DE=DF时，如图2，作DM⊥EF于M，则1352EM EF x==，∵∠DEM=∠A，∴△DEM∽△BAC，∴DE EMAB AC=3510425xDE=，解得DE=34x，∴BD=DE=34x，∴CD=2﹣34x，∵CD∥EH，∴△GCD∽△GHE，∴CD GCEH GH=，即()()368244455x x x x-=-：：，解得x=43；当FE=FD时，如图3，作FN⊥EG于N，则EN=DN，∵∠NEF=∠A，∴△NEF∽△CAB，∴EN EFAC AB=，即355425xEN=，解得EN=65x，∴DE=2EN=125x，∴BD=DE=125x，∴CD=2﹣125x，∵CD∥EH，∴△GCD∽△GHE，∴CD GCEH GH=，即()()1268244555x x x x-=-：：，解得x=2527；综上所述，FG的长为43或2527或2555-.。

上海市浦东新区2019-2020学年中考第一次质量检测数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，△ABC内接于⊙O，BC为直径，AB=8，AC=6，D是弧AB的中点，CD与AB的交点为E，则CE：DE等于（）A．3:1 B．4:1 C．5:2 D．7:22．从一个边长为3cm的大立方体挖去一个边长为1cm的小立方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图正确的是（）A．B．C．D．3．地球平均半径约等于6 400 000米，6 400 000用科学记数法表示为（）A．64×105B．6.4×105C．6.4×106D．6.4×1074．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞b2，则a＞b“是假命题的反例是（）A．a＝﹣2，b＝1 B．a＝3，b＝﹣2 C．a＝0，b＝1 D．a＝2，b＝1 5．下列各数中，比﹣1大1的是（）A．0 B．1 C．2 D．﹣36．若55+55+55+55+55＝25n，则n的值为（）A．10 B．6 C．5 D．37．下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是A．8a2b=2a·4ab B．-ab3-2ab2-ab=-ab(b2+2b)C．4x2+8x-4=4x12-xx⎛⎫+⎪⎝⎭D．4my-2=2(2my-1)8．下列计算正确的是（）A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2 B．（a+1）（a﹣2）＝a2+a﹣2 C．（a+b）2＝a2+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b29．下列说法正确的是（ ）A ．“明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间都在降雨B ．“抛一枚硬币正面朝上的概率为50%”表示每抛2次就有一次正面朝上C ．“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖D ．“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为16”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在16附近 10．据媒体报道，我国最新研制的“察打一体”无人机的速度极快，经测试最高速度可达204000米/分，这个数用科学记数法表示，正确的是（ ）A ．204×103B ．20.4×104C ．2.04×105D ．2.04×106 11．在下列二次函数中，其图象的对称轴为2x =-的是 A ．()22y x =+B ．222y x =-C ．222y x =--D ．()222y x =-12．已知x 2+mx+25是完全平方式，则m 的值为（ ） A ．10B ．±10C ．20D ．±20二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13_____． 14．关于x 的一元二次方程（k-1）x 2+6x+k 2-k=0的一个根是0，则k 的值是______． 15．如果a c eb d f===k （b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f ），那么k=_____． 16．高速公路某收费站出城方向有编号为,,,,A B C D E 的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量分别都是不变的.同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：在,,,,A B C D E 五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个出口的编号是___________.17．方程_____．18．使得分式值242x x -+为零的x 的值是_________；三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）观察下列等式： ①1×5+4=32；②2×6+4=42； ③3×7+4=52； …（1）按照上面的规律，写出第⑥个等式：_____； （2）模仿上面的方法，写出下面等式的左边：_____=502； （3）按照上面的规律，写出第n 个等式，并证明其成立．20．（6分）已知：如图，AB 为⊙O 的直径，C 是BA 延长线上一点，CP 切⊙O 于P ，弦PD ⊥AB 于E ，过点B 作BQ ⊥CP 于Q ，交⊙O 于H ， （1）如图1，求证：PQ ＝PE ；（2）如图2，G 是圆上一点，∠GAB ＝30°，连接AG 交PD 于F ，连接BF ，若tan ∠BFE ＝33，求∠C 的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，PD ＝63，连接QC 交BC 于点M ，求QM 的长．21．（6分）化简，再求值：222x-3231,211121x x x x x x x --÷+=+--++22．（8分）P 是C e 外一点，若射线PC 交C e 于点A ，B 两点，则给出如下定义：若0PA PB 3<⋅≤，则点P 为C e 的“特征点”．()1当O e 的半径为1时．①在点)1P 2,0、()2P 0,2、()3P 4,0中，O e 的“特征点”是______；②点P 在直线y x b =+上，若点P 为O e 的“特征点”.求b 的取值范围；()2C e的圆心在x 轴上，半径为1，直线y x 1=+与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段MN 上的所有点都不是C e 的“特征点”，直接写出点C 的横坐标的取值范围．23．（8分）某报社为了解市民对“社会主义核心价值观”的知晓程度，采取随机抽样的方式进行问卷调查，调查结果分为“A.非常了解”、“B.了解”、“C.基本了解”三个等级，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．(1)这次调查的市民人数为________人，m ＝________，n ＝________； (2)补全条形统计图；(3)若该市约有市民100000人，请你根据抽样调查的结果，估计该市大约有多少人对“社会主义核心价值观”达到“A.非常了解”的程度．24．（10分）如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，AD BC ∥，2AD BC =，90ABD ∠=︒.E 为AD 的中点，连结BE .（1）求证：四边形BCDE 为菱形；（2）连结AC ，若AC 平分BAD ∠，1BC =，求AC 的长.25．（10分）已知关于x 的一元二次方程2(3)0x m x m ---=.求证：方程有两个不相等的实数根；如果方程的两实根为1x ，2x ，且2212127x x x x +-=，求m 的值．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与坐标轴交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，C点的坐标为（1，0），抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求该抛物线的解析式；（2）根据图象直接写出不等式ax2+（b﹣1）x+c＞2的解集；（3）点P是抛物线上一动点，且在直线AB上方，过点P作AB的垂线段，垂足为Q点．当PQ=2时，求P点坐标．27．（12分）声音在空气中传播的速度y（m/s）是气温x(℃)的一次函数，下表列出了一组不同气温的音速：气温x(℃) 0 5 10 15 20音速y（m/s）331 334 337 340 343（1）求y与x之间的函数关系式：（2）气温x=23℃时，某人看到烟花燃放5s后才听到声响，那么此人与烟花燃放地约相距多远？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】【分析】利用垂径定理的推论得出DO⊥AB，AF=BF，进而得出DF的长和△DEF∽△CEA，再利用相似三角形的性质求出即可．【详解】连接DO，交AB于点F，∵D是»AB的中点，∴DO⊥AB，AF=BF，∵AB=8，∴AF=BF=4，∴FO是△ABC的中位线，AC∥DO，∵BC为直径，AB=8，AC=6，∴BC=10，FO=12AC=1，∴DO=5，∴DF=5-1=2，∵AC∥DO，∴△DEF∽△CEA，∴CE AC DE FD，∴CEDE＝62=1．故选：A．【点睛】此题主要考查了垂径定理的推论以及相似三角形的判定与性质，根据已知得出△DEF∽△CEA是解题关键．2．C【解析】【详解】左视图就是从物体的左边往右边看．小正方形应该在右上角，故B错误，看不到的线要用虚线，故A错误，大立方体的边长为3cm，挖去的小立方体边长为1cm，所以小正方形的边长应该是大正方形13，故D错误，所以C正确．故此题选C．3．C【解析】【分析】由科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：6400000=6.4×106，故选C．点睛：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．A【解析】【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．由此即可解答.【详解】∵当a＝﹣2，b＝1时，（﹣2）2＞12，但是﹣2＜1，∴a＝﹣2，b＝1是假命题的反例．故选A．【点睛】本题考查了命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法．5．A【解析】【分析】用-1加上1，求出比-1大1的是多少即可．【详解】∵-1+1=1，∴比-1大1的是1．故选：A．【点睛】本题考查了有理数加法的运算，解题的关键是要熟练掌握：“先符号，后绝对值”．6．D【解析】【分析】直接利用提取公因式法以及幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．【详解】解：∵55+55+55+55+55=25n，∴55×5=52n，则56=52n，解得：n=1．故选D．【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．7．D【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C不符合题意；D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意；故选D．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．8．D【解析】A、原式=a2﹣4，不符合题意；B、原式=a2﹣a﹣2，不符合题意；C、原式=a2+b2+2ab，不符合题意；D、原式=a2﹣2ab+b2，符合题意，故选D9．D【解析】【分析】根据概率是指某件事发生的可能性为多少，随着试验次数的增加，稳定在某一个固定数附近，可得答案．【详解】解：A. “明天降雨的概率是60%”表示明天下雨的可能性较大，故A不符合题意；B. “抛一枚硬币正面朝上的概率为12”表示每次抛正面朝上的概率都是12，故B不符合题意；C. “彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票有可能中奖．故C不符合题意；D. “抛一枚正方体骰子,朝上的点数为2的概率为16”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在16附近，故D符合题意；故选D【点睛】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．10．C【解析】试题分析：204000米/分，这个数用科学记数法表示2.04×105，故选C．考点：科学记数法—表示较大的数．11．A【解析】y=（x+2）2的对称轴为x=–2，A正确；y=2x2–2的对称轴为x=0，B错误；y=–2x2–2的对称轴为x=0，C错误；y=2（x–2）2的对称轴为x=2，D错误．故选A．1．12．B【解析】【分析】根据完全平方式的特点求解：a2±2ab+b2.【详解】∵x2+mx+25是完全平方式，∴m=±10，故选B．【点睛】本题考查了完全平方公式:a2±2ab+b2,其特点是首平方，尾平方，首尾积的两倍在中央，这里首末两项是x 和1的平方，那么中间项为加上或减去x和1的乘积的2倍．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13【解析】试题分析：先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可，==考点：二次根式的加减 14．2． 【解析】试题解析：由于关于x 的一元二次方程()22160k x x k k -++-=的一个根是2，把x=2代入方程，得20k k -= ，解得，k 2=2，k 2=2当k=2时，由于二次项系数k ﹣2=2，方程()22160k x x k k -++-=不是关于x 的二次方程，故k≠2．所以k 的值是2．故答案为2． 15．3 【解析】 ∵a c eb d f===k ，∴a=bk ，c=dk ，e=fk ，∴a+c+e=bk+dk+fk=k(a+b+c)， ∵a+c+e=3(b+d+f)，∴k=3， 故答案为：3. 16．B 【解析】 【分析】利用同时开放其中的两个安全出口，20分钟所通过的小车的数量分析对比，能求出结果． 【详解】同时开放A 、E 两个安全出口，与同时开放D 、E 两个安全出口，20分钟的通过数量发现得到D 疏散乘客比A 快；同理同时开放BC 与 CD 进行对比，可知B 疏散乘客比D 快; 同理同时开放BC 与 AB 进行对比，可知C 疏散乘客比A 快; 同理同时开放DE 与 CD 进行对比，可知E 疏散乘客比C 快; 同理同时开放AB 与 AE 进行对比，可知B 疏散乘客比E 快; 所以B 口的速度最快 故答案为B ． 【点睛】本题考查简单的合理推理，考查推理论证能力等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 17．x=1 【解析】 【分析】无理方程两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到无理方程的解．【详解】两边平方得：（x+1）1=1x+5，即x 1=4，开方得：x=1或x=-1，经检验x=-1是增根，无理方程的解为x=1．故答案为x=118．2【解析】【分析】根据分式的性质，要使分式有意义，则必须分母不能为0，要使分式为零，则只有分子为0,因此计算即可.【详解】解：要使分式有意义则20x +≠ ，即2x ≠-要使分式为零，则240x -= ，即2x =±综上可得2x =故答案为2【点睛】本题主要考查分式的性质，关键在于分式的分母不能为0.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．6×10+4=82 48×52+4【解析】【分析】（1）根据题目中的式子的变化规律可以解答本题；（2）根据题目中的式子的变化规律可以解答本题；（3）根据题目中的式子的变化规律可以写出第n 个等式，并加以证明．【详解】解：（1）由题目中的式子可得，第⑥个等式：6×10+4=82， 故答案为6×10+4=82； （2）由题意可得，48×52+4=502，故答案为48×52+4； （3）第n 个等式是：n×（n+4）+4=（n+2）2，证明：∵n×（n+4）+4=n 2+4n+4=（n+2）2，∴n×（n+4）+4=（n+2）2成立．【点睛】本题考查有理数的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确有理数的混合运算的计算方法．20．（1）证明见解析（2）30°【解析】试题分析：（1）连接OP，PB，由已知易证∠OBP=∠OPB=∠QBP，从而可得BP平分∠OBQ，结合BQ⊥CP于点Q，PE⊥AB于点E即可由角平分线的性质得到PQ=PE；（2）如下图2，连接OP，则由已知易得∠CPO=∠PEC=90°，由此可得∠C=∠OPE，设EF=x，则由∠GAB=30°，∠AEF=90°可得，在Rt△BEF中，由tan∠BFE=BE=，从而可得AB=，则OP=OA=，结合可得，这样即可得到sin∠OPE=12 OEOP，由此可得∠OPE=30°，则∠C=30°；（3）如下图3，连接BG，过点O作OK⊥HB于点K，结合BQ⊥CP，∠OPQ=90°，可得四边形POKQ为矩形．由此可得QK=PO，OK∥CQ从而可得∠KOB=∠C=30°；由已知易证PE=Rt△EPO中结合（2）可解得PO=6，由此可得OB=QK=6；在Rt△KOB中可解得KB=3，由此可得QB=9；在△ABG 中由已知条件可得BG=6，∠ABG=60°；过点G作GN⊥QB交QB的延长线于点N，由∠ABG=∠CBQ=60°，可得∠GBN=60°，从而可得解得GN=BN=3，由此可得QN=12，则在Rt△BGN中可解得QG=，由∠ABG=∠CBQ=60°可知△BQG中BM是角平分线，由此可得QM：GM=QB：GB=9：6由此即可求得QM的长了.试题解析：（1）如下图1，连接OP，PB，∵CP切⊙O于P，∴OP⊥CP于点P，又∵BQ⊥CP于点Q，∴OP∥BQ，∴∠OPB=∠QBP，∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，∴∠QBP=∠OBP，又∵PE⊥AB于点E，∴PQ=PE；（2）如下图2，连接OP ，∵CP 切⊙O 于P ，∴90OPC OPQ ∠=∠=︒∴90C COP ∠+∠=︒∵PD ⊥AB∴ 90PEO AEF BEF ∠=∠=∠=︒∴90EPO COP ∠+∠=︒∴C EPO ∠=∠在Rt FEA ∆中,∠GAB=30°∴设EF=x ，则tan303AE EF x =÷︒= 在Rt FEB ∆中,tan ∠BFE=33∴·tan 33BE EF BFE x =∠=∴43AB AE BE x =+=∴23AO PO x ==∴3EO AO AE x =-=∴在Rt ∆PEO 中, 1sin 2EO EPO PO ∠== ∴C EPO ∠=∠=30°；(3)如下图3，连接BG ，过点O 作OK HB ⊥于K ，又BQ ⊥CP ，∴90OPQ Q OKQ ∠=∠=∠=︒，∴四边形POKQ 为矩形，∴QK=PO,OK//CQ ，∴C KOB ∠=∠=30°，∵⊙O 中PD ⊥AB 于E ，PD=63 ，AB 为⊙O 的直径， ∴PE= 12PD= 33， 根据(2)得30EPO ∠=︒，在Rt ∆EPO 中，cos PE EPO PO ∠=， ∴cos 33cos306PO PE EPO =÷∠=÷︒=，∴OB=QK=PO=6，∴在Rt KOB ∆中，sin KB KOB OB ∠=， ∴01sin30632KB OB =⋅=⨯=， ∴QB=9，在△ABG 中，AB 为⊙O 的直径，∴∠AGB=90°，∵∠BAG=30°，∴BG=6，∠ABG=60°， 过点G 作GN ⊥QB 交QB 的延长线于点N ，则∠N=90°，∠GBN=180°-∠CBQ-∠ABG=60°，∴BN=BQ·cos ∠GBQ=3，GN=BQ·sin ∠GBQ=33， ∴QN=QB+BN=12，∴在Rt △QGN 中，QG=2212(33)319+=，∵∠ABG=∠CBQ=60°，∴BM 是△BQG 的角平分线，∴QM ：GM=QB ：GB=9：6，∴QM=991931915⨯=.点睛：解本题第3小题的要点是：（1）作出如图所示的辅助线，结合已知条件和（2）先求得BQ 、BG 的长及∠CBQ=∠ABG=60°；（2）再过点G 作GN ⊥QB 并交QB 的延长线于点N ，解出BN 和GN 的长，这样即可在Rt △QGN 中求得QG 的长，最后在△BQG 中“由角平分线分线段成比例定理”即可列出比例式求得QM 的长了.21【解析】试题分析：把分式化简，然后把x 的值代入化简后的式子求值就可以了．试题解析：原式=23(1)1(1)(1)(1)(3)1x x x x x x x -+⨯++-+-- =21x -当1x =时，原式=. 考点：1.二次根式的化简求值；2.分式的化简求值．22．（1）①)1P 、()2P 0,2；②b -≤≤（2）m 1>或，m 1<-． 【解析】【分析】 ()1①据若03PA PB <⋅≤，则点P 为C e 的“特征点”，可得答案；②根据若03PA PB <⋅≤，则点P 为C e 的“特征点”，可得2m ≤，根据等腰直角三角形的性质，可得答案；()2根据垂线段最短，可得PC 最短，根据等腰直角三角形的性质，可得CM =，根据若03PA PB <⋅≤，则点P 为C e 的“特征点”，可得答案．【详解】解：()))1PA PB 11211①⋅=⨯=-=，0PA PB 3∴<⋅≤，点)1P 是O e 的“特征点”； ()()PA PB 212131⋅=-⨯+==，0PA PB 3∴<⋅≤，点()2P 0,?2是O e 的“特征点”； ()()PA PB 414115⋅=-⨯+=，PA PB 3∴⋅>，点()3P 4,0不是O e 的“特征点”；故答案为)1P 、()2P 0,2②如图1，在y x b =+上，若存在O e 的“特征点”点P ，点O 到直线y x b =+的距离m 2≤．直线1y x b =+交y 轴于点E ，过O 作OH ⊥直线1y x b =+于点H ．因为OH 2=．在Rt DOE V 中，可知OE 22=． 可得1b 2 2.=同理可得2b 22=-．b ∴的取值范围是：22b 2 2.-≤≤()2如图2，设C 点坐标为()m,0，直线y x 1=+，CMP 45∠∴=o ．PC MN ⊥，CPM 90∠∴=o ，MC 2PC ∴=，2PC MC 2=． MC m 1=+．)22PC m 1==+()PA PC 1m 112=-=+-，()PB PC 1m 112=+=++ Q 线段MN 上的所有点都不是C e 的“特征点”，PA PB 3∴⋅>，即))21m 11m 11(m 1)132⎤⎤+-++=+->⎥⎥⎣⎦⎣⎦，解得m 1>或m 1<-，点C 的横坐标的取值范围是m 1>或，m 1<-．故答案为 ：（1）①)1P 、()2P 0,2；②b -≤（2）m 1>或，m 1<-． 【点睛】本题考查一次函数综合题，解()1①的关键是利用若03PA PB <⋅≤，则点P 为C e 的“特征点”；解()1②的关键是利用等腰直角三角形的性质得出OE 的长；解()2的关键是利用等腰直角三角形的性质得出)122PC MC m ==+，又利用了3PA PB ⋅>． 23． (1)500，12，32；(2)补图见解析；(3)该市大约有32000人对“社会主义核心价值观”达到“A.非常了解”的程度．【解析】【分析】（1）根据项目B 的人数以及百分比，即可得到这次调查的市民人数，据此可得项目A ，C 的百分比；（2）根据对“社会主义核心价值观”达到“A ．非常了解”的人数为：32%×500=160，补全条形统计图；（3）根据全市总人数乘以A 项目所占百分比，即可得到该市对“社会主义核心价值观”达到“A 非常了解”的程度的人数．【详解】试题分析：试题解析：（1）280÷56%=500人，60÷500=12%，1﹣56%﹣12%=32%， （2）对“社会主义核心价值观”达到“A ．非常了解”的人数为：32%×500=160， 补全条形统计图如下：（3）100000×32%=32000（人），答：该市大约有32000人对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的程度．24．（1）证明见解析；（2）AC=3；【解析】【分析】（1）由DE=BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE即可解决问题；（2）只要证明△ACD是直角三角形，∠ADC=60°，AD=2即可解决问题；【详解】（1）证明：∵AD=2BC，E为AD的中点，∴DE=BC，∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD=90°，AE=DE，∴BE=DE，∴四边形BCDE是菱形．（2）连接AC，如图所示：∵∠ADB=30°，∠ABD=90°，∴AD=2AB，∵AD=2BC，∴AB=BC，∴∠BAC=∠BCA，∵AD ∥BC ，∴∠DAC=∠BCA ，∴∠CAB=∠CAD=30°∴AB=BC=DC=1，AD=2BC=2，∵∠DAC=30°，∠ADC=60°，在Rt △ACD 中，=【点睛】考查菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法.25．（1）证明见解析（1）1或1【解析】试题分析：（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可；（1）根据根与系数的关系可以得到关于m 的方程，从而可以求得m 的值．试题解析：（1）证明：∵()230x m x m ---=，∴△=[﹣（m ﹣3）]1﹣4×1×（﹣m ）=m 1﹣1m+9=（m ﹣1）1+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（1）∵()230x m x m ---=，方程的两实根为1x ，2x ，且2212127x x x x +-=，∴123x x m +=- ，12x x m =- ，∴()2121237x x x x +-=，∴（m ﹣3）1﹣3×（﹣m ）=7，解得，m 1=1，m 1=1，即m 的值是1或1．26．（1）y=﹣x 2﹣x+2；（2）﹣2＜x ＜0；（3）P 点坐标为（﹣1，2）．【解析】分析：(1)、根据题意得出点A 和点B 的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式；(2)、根据函数图像得出不等式的解集；(3)、作PE ⊥x 轴于点E ，交AB 于点D ，根据题意得出∠PDQ=∠ADE=45°，，然后设点P （x ，﹣x 2﹣x+2），则点D （x ，x+2），根据PD 的长度得出x 的值，从而得出点P 的坐标．详解：（1）当y=0时，x+2=0，解得x=﹣2，当x=0时，y=0+2=2，则点A （﹣2，0），B （0，2）， 把A （﹣2，0），C （1，0），B （0，2），分别代入y=ax 2+bx+c 得42002a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得112a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩．∴该抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣x+2；（2）ax 2+（b ﹣1）x+c ＞2，ax 2+bx+c ＞x+2，则不等式ax 2+（b ﹣1）x+c ＞2的解集为﹣2＜x ＜0；（3）如图，作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，在Rt△OAB中，∵OA=OB=2，∴∠OAB=45°，∴∠PDQ=∠ADE=45°，在Rt△PDQ中，∠DPQ=∠PDQ=45°，PQ=DQ=22，∴PD=22PQ DQ+=1，设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2），∴PD=﹣x2﹣x+2﹣（x+2）=﹣x2﹣2x，即﹣x2﹣2x=1，解得x=﹣1，则﹣x2﹣x+2=2，∴P点坐标为（﹣1，2）．点睛：本题主要考查的是二次函数的性质以及直角三角形的性质，属于基础题型．利用待定系数法求出函数解析式是解决这个问题的关键．27．(1) y=35x+331;(2)1724m.【解析】【分析】（1）先设函数一般解析式，然后根据表格中的数据选择其中两个带入解析式中即可求得函数关系式（2）将x=23带入函数解析式中求解即可.【详解】解：（1）设y=kx+b，∴331 5334bk b=⎧⎨+=⎩∴k=35，∴y=35x+331.（2）当x=23时，y=35x23+331=344.8∴5⨯344.8=1724.∴此人与烟花燃放地相距约1724m.【点睛】此题重点考察学生对一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数解析式的求法是解题的关键.。

2020-2021学年上海市浦东新区九年级一模数学试卷一、选择题（共6小题）.1．A、B两地的实际距离AB＝250米，如果画在地图上的距离A′B′＝5厘米，那么地图上的距离与实际距离的比为（）A．1：500B．1：5000C．500：1D．5000：12．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝2，那么AB的长等于（）A．B．2sinαC．D．2cosα3．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝（k﹣1）x2+3B．y＝+1C．y＝（x+1）（x﹣2）﹣x2D．y＝2x2﹣7x4．已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（）A．||＝B．||＝C．＝D．＝5．如图，在△ABC中，点D、F是边AB上的点，点E是边AC上的点，如果∠ACD＝∠B，DE∥BC，EF∥CD，下列结论不成立的是（）A．AE2＝AF•AD B．AC2＝AD•AB C．AF2＝AE•AC D．AD2＝AF•AB 6．已知点A（1，2）、B（2，3）、C（2，1），那么抛物线y＝ax2+bx+1可以经过的点是（）A．点A、B、C B．点A、B C．点A、C D．点B、C二、填空题（共12小题）.7．如果线段a、b满足＝，那么的值等于．8．已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是．9．计算：2sin30°﹣tan45°＝．10．如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是度．11．已知AD、BE是△ABC的中线，AD、BE相交于点F，如果AD＝3，那么AF＝．12．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设＝，＝，那么向量关于、的分解式为．13．如果抛物线y＝（m+4）x2+m经过原点，那么该抛物线的开口方向．（填“向上”或“向下”）14．如果（2，y1）（3，y2）是抛物线y＝（x+1）2上两点，那么y1y2．（填“＞”或“＜”）15．如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC的边BC长60厘米，高AH为40厘米，如果DE＝2DG，那么DG＝厘米．16．秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，AD⊥AB，AD＝0.4，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF＝．17．如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移得到新抛物线C2，如果“平衡点”为（3，3），那么新抛物线C2的表达式为．18．如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为．三、解答题（共7小题）.19．已知向量关系式（）＝，试用向量、表示向量．20．已知抛物线y＝x2+2x+m﹣3的顶点在第二象限，求m的取值范围．21．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，且AB ＝6，BC＝8．（1）求的值；（2）当AD＝5，CF＝19时，求BE的长．22．如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD，现将一根木棒MN放置在该燕尾槽中，木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N与点C重合，且经过点A．已知燕尾角∠B＝54.5°，外口宽AD＝180毫米，木棒与外口的夹角∠MAE＝26.5°，求燕尾槽的里口宽BC（精确到1毫米）．（参考数据：sin54.5°≈0.81，cos54.5°≈0.58，tan54.5°≈1.40，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）23．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求证：CA2＝CE•CB；（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（2，4）、B（5，0）和O（0，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）联结AO，过点B作BC⊥AO于点C，与该二次函数图象的对称轴交于点P，联结AP，求∠BAP的余切值；（3）在（2）的条件下，点M在经过点A且与x轴垂直的直线上，当△AMO与△ABP 相似时，求点M的坐标．25．四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC＝3CF．（1）如图1，当∠B＝90°时，求S△ABE与S△ECF的比值；（2）如图2，当点E是边BC的中点时，求cos B的值；（3）如图3，联结AF，当∠AFE＝∠B且CF＝2时，求菱形的边长．参考答案一、选择题（共6小题）.1．A、B两地的实际距离AB＝250米，如果画在地图上的距离A′B′＝5厘米，那么地图上的距离与实际距离的比为（）A．1：500B．1：5000C．500：1D．5000：1解：取米作为共同的长度单位，那么AB＝250米，A'B'＝5厘米＝0.05米，所以＝＝，所以地图上的距离与实际距离的比为1：5000．故选：B．2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝2，那么AB的长等于（）A．B．2sinαC．D．2cosα解：∵sin B＝sinα＝，AC＝2，∴AB＝＝，故选：A．3．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝（k﹣1）x2+3B．y＝+1C．y＝（x+1）（x﹣2）﹣x2D．y＝2x2﹣7x解：A、当k＝1时，不是二次函数，故此选项不合题意；B、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；C、化简后y＝﹣x﹣2，不是二次函数，故此选项不合题意；D、是二次函数，故此选项符合题意；故选：D．4．已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（）A．||＝B．||＝C．＝D．＝解：A、||＝计算正确，故本选项符合题意．B、||与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．C、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．D、与的模相等，方向不一定相同，故错误．故选：A．5．如图，在△ABC中，点D、F是边AB上的点，点E是边AC上的点，如果∠ACD＝∠B，DE∥BC，EF∥CD，下列结论不成立的是（）A．AE2＝AF•AD B．AC2＝AD•AB C．AF2＝AE•AC D．AD2＝AF•AB 解：∵DE∥BC，EF∥CD，∴∠AEF＝∠ACD，∠ADE＝∠B，又∵∠ACD＝∠B，∴∠AEF＝∠ADE，∴△AEF∽△ADE，∴，∴AE2＝AF•AD，故选项A不合题意；∵∠ACD＝∠B，∠DAC＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AB•AD，故选项B不合题意；∵DE∥BC，EF∥CD，∴，，∴，∴AD2＝AB•AF，故选项D不合题意；由题意无法证明AF2＝AE•AC，故选项C符合题意，故选：C．6．已知点A（1，2）、B（2，3）、C（2，1），那么抛物线y＝ax2+bx+1可以经过的点是（）A．点A、B、C B．点A、B C．点A、C D．点B、C解：∵B、C两点的横坐标相同，∴抛物线y＝ax2+bx+1只能经过A，C两点或A、B两点，把A（1，2），C（2，1），代入y＝ax2+bx+1得．解得，；把A（1，2），B（2，3），代入y＝ax2+bx+1得．解得，（不合题意）；∴抛物线y＝ax2+bx+1可以经过的A，C两点，故选：C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．如果线段a、b满足＝，那么的值等于．解：∵＝，∴可设a＝5k，则b＝2k，∴＝＝．故答案为：．8．已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是2﹣2．解：∵线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，∴MP＝MN＝×4＝2﹣2，故答案为：2﹣2．9．计算：2sin30°﹣tan45°＝0．解：原式＝2×﹣1＝0．10．如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是36度．解：如图所示：∵甲处看乙处为俯角36°，∴乙处看甲处为：仰角为36°，故答案为：36．11．已知AD、BE是△ABC的中线，AD、BE相交于点F，如果AD＝3，那么AF＝2．解：连接DE，∵AD、BE是△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB，DE∥AB，∴△AFB∽△DFE，∴＝＝2，∴AF＝2FD，∵AD＝3，∴AF＝2，故答案为：2．12．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设＝，＝，那么向量关于、的分解式为﹣．解：如图所示，＝，＝，则＝﹣＝﹣．故答案是：﹣．13．如果抛物线y＝（m+4）x2+m经过原点，那么该抛物线的开口方向向上．（填“向上”或“向下”）解：∵抛物线y＝（m+4）x2+m经过原点，∴m＝0，∴a＝4＞0，∴该抛物线的开口方向向上．故答案为：向上．14．如果（2，y1）（3，y2）是抛物线y＝（x+1）2上两点，那么y1＜y2．（填“＞”或“＜”）解：∵y＝（x+1）2，∴a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵抛物线y＝（x+1）2对称轴为直线x＝﹣1，∵﹣1＜2＜3，∴y1＜y2．故答案为＜．15．如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC的边BC长60厘米，高AH为40厘米，如果DE＝2DG，那么DG＝15厘米．解：∵四边形DEFG是矩形，∴DG∥BC，AH⊥BC，DG＝EF，∴AP⊥DG．设DG＝EF＝x，则GF＝DE＝2x，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴＝，∵AH＝40厘米，BC＝60厘米，∴＝，解得x＝15．∴DG＝15厘米，故答案为：15．16．秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，AD⊥AB，AD＝0.4，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF＝．解：如图，作CH⊥AB，BG⊥DE于点H，G，∵DE∥AB，∴BG⊥AB，∵AD⊥AB，∴∠DAB＝∠ABG＝∠BGD＝90°，∴四边形ADGB是矩形，∴BG＝AD＝0.4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝＝13，∵S△ABC＝BC•AC＝AB•CH，∴CH＝＝＝，∵DE∥AB，∴∠E＝∠ABC，∵∠FBE＝∠ACB＝90°，∴△FBE∽△ACB，∵CH⊥AB，BG⊥DE，∴＝，∴＝，∴BF＝．故答案为：．17．如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移得到新抛物线C2，如果“平衡点”为（3，3），那么新抛物线C2的表达式为y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣7）2﹣1．解：设将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y ＝（x﹣1﹣m）2﹣1，将（3，3）代入，得（3﹣1﹣m）2﹣1＝3．整理，得4﹣m＝±2解得m1＝2，m2＝6．故新抛物线C2的表达式为y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣7）2﹣1．故答案是：y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣7）2﹣1．18．如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为2．解：如图，∵点D是BC的中点，BC＝12，∴BD：CD＝2：1，∴BD＝8，CD＝4，过点M作MH∥AC交CD于H，∴△DHM∽△DAC，∴＝＝，∴点M是AD的中点，∴AD＝2DM，∵AC＝8，∴＝＝，∴MH＝4，DH＝2，过点M作MG∥AB交BD于G，同理得，BG＝DE＝4，∵AB＝10，BC＝12，AC＝8，∴△ABC的周长为10+12+8＝30，∵过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，∴CE+CF＝15，设BE＝x，则CE＝12﹣x，∴CF＝15﹣（12﹣x）＝3+x，EH＝CE﹣CH＝CE﹣（CD﹣DH）＝12﹣x﹣2＝10﹣x，∵MH∥AC，∴△EHM∽△ECF，∴，∴，∴x＝2或x＝9，当x＝9时，CF＝12＞AC，点F不在边AC上，此种情况不符合题意，即BD＝x＝2，故答案为：2．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．已知向量关系式（）＝，试用向量、表示向量．解：由（）＝，得＝2，所以7＝﹣2．所以＝（﹣2）．20．已知抛物线y＝x2+2x+m﹣3的顶点在第二象限，求m的取值范围．解：∵y＝x2+2x+m﹣3＝（x+1）2+m﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，m﹣4），∵抛物线y＝x2+2x+m﹣3顶点在第二象限，∴m﹣4＞0，∴m＞4．故m的取值范围为m＞4．21．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，且AB ＝6，BC＝8．（1）求的值；（2）当AD＝5，CF＝19时，求BE的长．解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴＝＝＝；（2）过D点作DM∥AC交CF于M，交BE于N，如图，∵AD∥BN∥CM，AC∥DM，∴四边形ABND和四边形ACMD都是平行四边形，∴BN＝AD＝5，CM＝AD＝5，∴MF＝CF﹣CM＝19﹣5＝14，∵NF∥MF，∴＝＝，∴NE＝MF＝×14＝6，∴BE＝BN+NE＝5+6＝11．22．如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD，现将一根木棒MN放置在该燕尾槽中，木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N与点C重合，且经过点A．已知燕尾角∠B＝54.5°，外口宽AD＝180毫米，木棒与外口的夹角∠MAE＝26.5°，求燕尾槽的里口宽BC（精确到1毫米）．（参考数据：sin54.5°≈0.81，cos54.5°≈0.58，tan54.5°≈1.40，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）解：如图，过点B作BG⊥DE于G，过点C作CH⊥AD于H．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB＝DC，∠BAD＝∠CDA，∴∠BAG＝∠CDH，∵∠BGA＝∠CHD＝90°，∴△BGA≌△CHD（AAS），∴AG＝DH，设AG＝DH＝x毫米，CH＝y毫米，则有，解得，∴BC＝GH＝AG+AD+DH＝100+180+100＝380（毫米）．23．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求证：CA2＝CE•CB；（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，∴∠EDB＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°＝∠B+∠DEB，∴∠A＝∠DEB，∵CA＝CD，∴∠A＝∠CDA，∴∠CDA＝∠DEB，∴∠CDB＝∠CED，又∵∠DCE＝∠DCB，∴△DCE∽△BCD，∴＝，∴CD2＝CE•CB，∴CA2＝CE•CB；（2）如图，∵∠ACE是直角三角形，点M是AE中点，∴AM＝ME＝CM，∴∠MCE＝∠MEC，∵∠ACB＝∠ADE＝90°，∴点A，点C，点E，点D四点共圆，∴∠AEC＝∠ADC，∴∠AEC＝∠MCE＝∠ADC＝∠CAD，又∵∠MCE+∠ACH＝90°，∴∠CAD+∠ACH＝90°，∴CH⊥AB．24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（2，4）、B（5，0）和O（0，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）联结AO，过点B作BC⊥AO于点C，与该二次函数图象的对称轴交于点P，联结AP，求∠BAP的余切值；（3）在（2）的条件下，点M在经过点A且与x轴垂直的直线上，当△AMO与△ABP 相似时，求点M的坐标．解：（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点B（5，0）和O（0，0），∴设二次函数的解析式为y＝ax（x﹣5），将点A（2，4）代入y＝ax（x﹣5）中，得4＝a×2（2﹣5），∴a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣x（x﹣5）＝﹣x2+x；（2）如图1，连接OP，过点P作PD⊥x轴于D，∴∠ODP＝90°，∵A（2，4）、B（5，0）和O（0，0），∴OB＝5，AB＝＝5，∴OB＝AB，∵BC⊥OA，∴AC＝OC，∠OBC＝∠ABC，∵BP＝BP，∴△OBP≌△ABP（SAS），∴∠BOP＝∠BAP，∵AC＝OC，A（2，4），∴点C（1，2），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+①，由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+x②，联立①②解得，或，∴P（，），∴OD＝，PD＝，∴cot∠BAP＝cot∠BOP＝＝＝；（3）设M（2，m），∵A（2，4），B（5，0），P（，），∴AM＝|m﹣4|．OA＝2，AB＝5，BP＝＝，∵BC⊥OA，∴∠ACP＝∠BCP＝90°，∴∠ABP＜90°，∠APC＜90°，∵∠BOP＜90°，∴∠BAP＜90°，∴△ABP是锐角三角形，∵△AMO与△ABP相似，∴△AMO为锐角三角形，∴点M在点A的下方，∴AM＝4﹣m，如图2，AM与x轴的交点记作点E，与BC的交点记作点F，∵AM⊥x轴，∴∠AEB＝90°，∴∠OBP+∠BFE＝90°，∵∠AFP＝∠BFE，∴∠OBP+∠AFP＝90°，∵BC⊥OA，∴∠AFP+∠OAE＝90°，∴∠OAE＝∠OBP，由（2）知，∠OBP＝∠ABP，∴∠OAE＝∠ABP，∵△AMO与△ABP相似，∴①当△OAM∽△ABP时，∴，∴，∴m＝﹣，∴M（2，﹣），②当△MAO∽△ABP时，∴，∴，∴m＝﹣，∴M（2，﹣），即满足条件的点M的坐标为（2，﹣）或（2，﹣）．25．四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC＝3CF．（1）如图1，当∠B＝90°时，求S△ABE与S△ECF的比值；（2）如图2，当点E是边BC的中点时，求cos B的值；（3）如图3，联结AF，当∠AFE＝∠B且CF＝2时，求菱形的边长．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠B＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE≌△CEF，∴，∵EC＝3CF，设CF＝x，AB＝a，则EC＝3x，BE＝a﹣3x，∴，解得，a＝4.5x，∴；（2）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，如图2，则∠AME＝∠CNF＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD，∴∠B＝∠FCN，设CF＝x，则CE＝3x，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝3x，AB＝BC＝2CE＝6x，∴BM＝AB•cos B＝6x cos B，AM＝AB•sin B＝6x sin B，CN＝CF•cos∠FCN＝x cos B，FN＝CF•sin∠FCN＝x sin B，∴ME＝BE﹣BM＝3x﹣6x cos B，EN＝EC+CN＝3x+x cos B，∵∠AEF＝90°，∴∠AEM+∠NEF＝∠AEM+∠MAE＝90°，∴∠MAE＝∠NEF，∴△AME∽△ENF，∴，即，即，整理得，2sin2B＝3﹣5cos B﹣2cos2B，∴2＝3﹣5cos B，∴cos B＝；（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，如图3，则∠AME＝∠CNF＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD，∴∠B＝∠FCN，∵∠AEF＝90°，∴∠AEM+∠NEF＝∠AEM+∠MAE＝90°，∴∠MAE＝∠NEF，∴△AME∽△ENF，∴＝，∵∠AFE＝∠B，tan B＝，tan∠AFE＝，∴，∴，∴BM＝EN，设菱形ABCD的边长为a，则AB＝BC＝a，∴BM＝a cos B，CN＝CF•cos∠FCN＝CF•cos B，∴a cos B＝EC+CF•cos B，∵CF＝2，EC＝3CF，∴EC＝6，∴a cos B＝6+2cos B，∴cos B＝，∵，AM＝AB•sin B＝a sin B，EN＝6+2cos B，ME＝a﹣a cos B﹣6，NF＝CF•sin∠FCN＝2sin B，∴，化简得，2a（sin2B+cos2B）＝6a﹣4a cos B﹣12cos B﹣36，2a＝6a﹣4a cos B﹣12cos B﹣36，a﹣a cos B﹣3cos B﹣9＝0，∵cos B＝，∴a﹣﹣﹣9＝0，解得，a＝17，或a＝0（舍），∴菱形的边长为17．。

上海市浦东新区2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，CD 是⊙O 的弦，O 是圆心，把⊙O 的劣弧沿着CD 对折，A 是对折后劣弧上的一点，∠CAD=100°，则∠B 的度数是（ ）A ．100°B ．80°C ．60°D ．50°2．4的平方根是（ ）A ．2B ．±2C ．8D ．±83．改革开放40年以来，城乡居民生活水平持续快速提升，居民教育、文化和娱乐消费支出持续增长，已经成为居民各项消费支出中仅次于居住、食品烟酒、交通通信后的第四大消费支出，如图为北京市统计局发布的2017年和2018年我市居民人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2017年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2018年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中错误的是（ ）A ．2017年第二季度环比有所提高B ．2017年第三季度环比有所提高C ．2018年第一季度同比有所提高D ．2018年第四季度同比有所提高4．一个数和它的倒数相等，则这个数是（ ）A ．1B ．0C ．±1D ．±1和05．下列运算正确的是（ ）A ．（a 2）4=a 6B ．a 2•a 3=a 6C 236=D 235=6．下图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A ．棱柱B ．圆柱C ．棱锥D ．圆锥7．下列运算结果正确的是（ ）A ．3a 2－a 2 = 2B ．a 2·a 3= a 6C ．(－a 2)3 = －a 6D ．a 2÷a 2 = a8．2018年我市财政计划安排社会保障和公共卫生等支出约1800000000元支持民生幸福工程，数1800000000用科学记数法表示为（ ）A ．18×108B ．1.8×108C ．1.8×109D ．0.18×10109．若3x ＞﹣3y ，则下列不等式中一定成立的是 （ ）A ．0x y +>B ．0x y ->C ．0x y +<D ．0x y -< 10．若分式有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞3 B ．x ＜3 C ．x≠3 D ．x=311．如图，共有12个大不相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分．现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，则能构成这个正方体的表面展开图的概率是（ ）A ．17B ．27C ．37D ．4712．如图，在菱形纸片ABCD 中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上．则sin ∠AFG 的值为（ ）A ．217B ．277C ．5714D ．77二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，点P 从点B 出发，沿B －C －D 向终点D 匀速运动，设点P 走过的路程为x ，△ABP 的面积为S ，能正确反映S 与x 之间函数关系的图象是( )A ．B ．C ．D ．14．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，将ABE △沿AE 折叠得到AFE △，点F 落在对角线AC 上．若AB AC ⊥，3AB =，5AD =，则CEF △的周长为________．15．如图，将边长为6的正方形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转30°后得到正方形A′B′C′D′，则图中阴影部分面积为_______平方单位．16．规定：[x]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x≠n+0.5，n 为整数），例如：[1.3]=1，（1.3）=3，[1.3）=1．则下列说法正确的是________．（写出所有正确说法的序号）①当x=1.7时，[x]+（x ）+[x ）=6；②当x=﹣1.1时，[x]+（x ）+[x ）=﹣7；③方程4[x]+3（x ）+[x ）=11的解为1＜x ＜1.5；④当﹣1＜x ＜1时，函数y=[x]+（x ）+x 的图象与正比例函数y=4x 的图象有两个交点．17．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B= ______18．在平面直角坐标系中，已知，A （22，0），C （0，﹣1），若P 为线段OA 上一动点，则CP+13AP 的最小值为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）如图,矩形ABCD 中,点P 是线段AD 上一动点, O 为BD 的中点, PO 的延长线交BC 于Q .(1)求证: OP OQ =;(2)若=8AD cm ,6AB cm =,P 从点A 出发,以l /cm s 的速度向D 运动(不与D 重合).设点P 运动时间为()t s ,请用t 表示PD 的长;并求t 为何值时,四边形PBQD 是菱形.20．（6分）如图，ABC △中AB AC =，AD BC ⊥于D ，点E F 、分别是AB CD 、的中点.(1)求证：四边形AEDF 是菱形(2)如果10AB AC BC ===，求四边形AEDF 的面积S21．（6分）如图，抛物线y ＝12x 2+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0），B （4，0）与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线1，交抛物线与点Q ．求抛物线的解析式；当点P 在线段OB 上运动时，直线1交BD 于点M ，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形；在点P 运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q ，使△BDQ 是以BD 为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（8分）如图，在ABC ∆中，AB ＝AC ，2A α∠=，点D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.（1）∠EDB ＝_____︒（用含α的式子表示）（2）作射线DM 与边AB 交于点M ，射线DM 绕点D 顺时针旋转1802α︒-，与AC 边交于点N. ①根据条件补全图形；②写出DM 与DN 的数量关系并证明；③用等式表示线段BM 、CN 与BC 之间的数量关系，（用含α的锐角三角函数表示）并写出解题思路. 23．（8分）某数学兴趣小组为测量如图（①所示的一段古城墙的高度，设计用平面镜测量的示意图如图②所示，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处． 已知AB ⊥BD 、CD ⊥BD ，且测得AB=1.2m ，BP=1.8m.PD=12m ，求该城墙的高度（平面镜的原度忽略不计）： 请你设计一个测量这段古城墙高度的方案．要求：①面出示意图（不要求写画法）；②写出方案，给出简要的计算过程：③给出的方案不能用到图②的方法．24．（10分）解方程：252112x x x+--＝1． 25．（10分）观察下列各式：①()()2111x x x -+=-②()()23111x x x x -++=- ③()()324111x x x x x -+++=- 由此归纳出一般规律()()111n n x x x x --++⋅⋅⋅++=__________. 26．（12分）已知函数1y x =的图象与函数()0y kx k =≠的图象交于点()P m n ,. （1）若2m n =，求k 的值和点P 的坐标；（2）当m n ≤时，结合函数图象，直接写出实数k 的取值范围.27．（12分）小张同学尝试运用课堂上学到的方法，自主研究函数y=21x 的图象与性质．下面是小张同学在研究过程中遇到的几个问题，现由你来完成：（1）函数y=21x 自变量的取值范围是 ； （2）下表列出了y 与x 的几组对应值：x … ﹣2 ﹣32m ﹣34 ﹣12 12 34 1 32 2 … y … 14 49 1 169 4 4 169 1 49 14 …表中m 的值是 ；（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出以表中各组对应值为坐标的点，试由描出的点画出该函数的图象；（4）结合函数y=21x的图象，写出这个函数的性质： ．（只需写一个）参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】试题分析：如图，翻折△ACD，点A落在A′处，可知∠A=∠A′=100°，然后由圆内接四边形可知∠A′+∠B=180°，解得∠B=80°.故选：B2．B【解析】【分析】依据平方根的定义求解即可．【详解】∵（±1）1=4，∴4的平方根是±1．故选B．【点睛】本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．3．C【解析】【分析】根据环比和同比的比较方法，验证每一个选项即可.【详解】2017年第二季度支出948元，第一季度支出859元，所以第二季度比第一季度提高，故A正确；2017年第三季度支出1113元，第二季度支出948元，所以第三季度比第二季度提高，故B正确；2018年第一季度支出839元，2017年第一季度支出859元，所以2018年第一季度同比有所降低，故C错误；2018年第四季度支出1012元，2017年第一季度支出997元，所以2018年第四季度同比有所降低，故D故选C．【点睛】本题考查折线统计图，同比和环比的意义；能够从统计图中获取数据，按要求对比数据是解题的关键．4．C【解析】【分析】根据倒数的定义即可求解.【详解】±1的倒数等于它本身，故C符合题意.故选：C.【点睛】主要考查倒数的概念及性质.倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数.5．C【解析】【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的乘法、二次根式的加法计算即可.【详解】A、原式=a8，所以A选项错误；B、原式=a5，所以B选项错误；C、原式= ==C选项正确；D D选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的乘法、二次根式的加法，熟练掌握它们的运算法则是解答本题的关键.6．D【解析】【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【详解】由俯视图易得几何体的底面为圆，还有表示锥顶的圆心，符合题意的只有圆锥．故选D．本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力以及对立体图形的认识．7．C【解析】选项A，3a2－a2 = 2 a2；选项B，a2·a3= a5；选项C，(－a2)3 = －a6；选项D，a2÷a2 = 1.正确的只有选项C，故选C.8．C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：1800000000=1.8×109，故选：C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．9．A【解析】两边都除以3，得x＞﹣y，两边都加y，得：x+y＞0，故选A．10．C【解析】【详解】试题分析：∵分式13x有意义，∴x﹣3≠0，∴x≠3；故选C．考点：分式有意义的条件．11．D【解析】【分析】由正方体表面展开图的形状可知，此正方体还缺一个上盖，故应在图中四块相连的空白正方形中选一块，再根据概率公式解答即可．【详解】因为共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分，所以剩下7个小正方形．在其余的7个小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的小正方形有4个，因此先从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是47．故选D．【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，掌握概率公式是本题的关键．12．B【解析】【分析】如图：过点E作HE⊥AD于点H，连接AE交GF于点N，连接BD，BE．由题意可得：DE=1，∠HDE=60°，△BCD是等边三角形，即可求DH的长，HE的长，AE的长，NE的长，EF的长，则可求sin∠AFG的值．【详解】解：如图：过点E作HE⊥AD于点H，连接AE交GF于点N，连接BD，BE．∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∠DAB=60°，∴AB=BC=CD=AD=4，∠DAB=∠DCB=60°，DC∥AB∴∠HDE=∠DAB=60°，∵点E是CD中点∴DE=12CD=1在Rt△DEH中，DE=1，∠HDE=60°∴DH=1，3∴AH=AD+DH=5在Rt△AHE中，22AH HE7∴7，AE⊥GF，AF=EF∵CD=BC，∠DCB=60°∴△BCD是等边三角形，且E是CD中点∴∵CD∥AB∴∠ABE=∠BEC=90°在Rt△BEF中，EF1=BE1+BF1=11+（AB-EF）1．∴EF=7 2由折叠性质可得∠AFG=∠EFG，∴sin∠EFG= sin∠AFG = 772ENEF==，故选B.【点睛】本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度是本题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．C【解析】【分析】分出情况当P点在BC上运动，与P点在CD上运动，得到关系，选出图象即可【详解】由题意可知，P从B开始出发，沿B—C—D向终点D匀速运动，则当0＜x≤2，s=1 2 x当2＜x≤3，s=1所以刚开始的时候为正比例函数s=12x图像，后面为水平直线，故选C【点睛】本题主要考查实际问题与函数图像，关键在于读懂题意，弄清楚P的运动状态14．6.【解析】【分析】先根据平行线的性质求出BC=AD=5,再根据勾股定理可得AC=4，然后根据折叠的性质可得AF=AB=3，EF=BE，从而可求出CEF△的周长.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=22BC AB - =2253-=4∵ABE △沿AE 折叠得到AFE △，∴AF=AB=3，EF=BE ，∴CEF △的周长=CE+EF+FC=CE+BE+CF=BC+AC-AF=5+4-3=6故答案为6.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，折叠的性质，三角形的周长计算方法，运用转化思想是解题的关键.15．6﹣23【解析】【分析】由旋转角∠BAB′=30°，可知∠DAB′=90°﹣30°=60°；设B′C′和CD 的交点是O ，连接OA ，构造全等三角形，用S 阴影部分=S 正方形﹣S 四边形AB′OD ，计算面积即可．【详解】解：设B′C′和CD 的交点是O ，连接OA ，∵AD=AB′，AO=AO ，∠D=∠B′=90°，∴Rt △ADO ≌Rt △AB′O ，∴∠OAD=∠OAB′=30°，∴OD=OB′=2 ，S 四边形AB′OD =2S △AOD =2×122×6=23， ∴S 阴影部分=S 正方形﹣S 四边形AB′OD =6﹣23．【点睛】此题的重点是能够计算出四边形的面积．注意发现全等三角形．16．②③【解析】试题解析：①当x=1.7时，[x]+（x）+[x）=[1.7]+（1.7）+[1.7）=1+1+1=5，故①错误；②当x=﹣1.1时，[x]+（x）+[x）=[﹣1.1]+（﹣1.1）+[﹣1.1）=（﹣3）+（﹣1）+（﹣1）=﹣7，故②正确；③当1＜x＜1.5时，4[x]+3（x）+[x）=4×1+3×1+1=4+6+1=11，故③正确；④∵﹣1＜x＜1时，∴当﹣1＜x＜﹣0.5时，y=[x]+（x）+x=﹣1+0+x=x﹣1，当﹣0.5＜x＜0时，y=[x]+（x）+x=﹣1+0+x=x﹣1，当x=0时，y=[x]+（x）+x=0+0+0=0，当0＜x＜0.5时，y=[x]+（x）+x=0+1+x=x+1，当0.5＜x＜1时，y=[x]+（x）+x=0+1+x=x+1，∵y=4x，则x﹣1=4x时，得x=；x+1=4x时，得x=；当x=0时，y=4x=0，∴当﹣1＜x＜1时，函数y=[x]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有三个交点，故④错误，故答案为②③．考点：1.两条直线相交或平行问题；1.有理数大小比较；3.解一元一次不等式组．17．【解析】如图,连接BB′，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB=AB′,∠BAB′=60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB=BB′，在△ABC′和△B′BC′中，，∴△ABC′≌△B′BC′(SSS)，∴∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′，∵∠C=90∘,AC=BC=，∴AB==2，∴BD=2×=，C′D=×2=1，∴BC′=BD−C′D=−1.故答案为：−1.点睛: 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．18．2 3【解析】【分析】可以取一点D（0，1），连接AD，作CN⊥AD于点N，PM⊥AD于点M，根据勾股定理可得AD＝3，证明△APM∽△ADO得PM APOD AD，PM＝13AP．当CP⊥AD时，CP+13AP＝CP+PM的值最小，最小值为CN的长．【详解】如图，取一点D （0，1），连接AD ，作CN ⊥AD 于点N ，PM ⊥AD 于点M ，在Rt △AOD 中，∵OA ＝2，OD ＝1，∴AD 22OA OD +3，∵∠PAM ＝∠DAO ，∠AMP ＝∠AOD ＝90°，∴△APM ∽△ADO ， ∴PM AP OD AD=， 即13PM AP =， ∴PM ＝13AP ， ∴PC+13AP ＝PC+PM ， ∴当CP ⊥AD 时，CP+13AP ＝CP+PM 的值最小，最小值为CN 的长． ∵△CND ∽△AOD ， ∴CN CD AO AD=， 2322= ∴CN ＝23． 所以CP+13AP 42． 故答案为：423． 【点睛】 此题考查勾股定理，三角形相似的判定及性质，最短路径问题，如何找到13AP 的等量线段与线段CP 相加是解题的关键，由此利用勾股定理、相似三角形做辅助线得到垂线段PM ，使问题得解.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19． (1)证明见解析；(2) PD=8-t ，运动时间为74秒时，四边形PBQD 是菱形． 【解析】【分析】 (1)先根据四边形ABCD 是矩形，得出AD ∥BC ，∠PDO=∠QBO ，再根据O 为BD 的中点得出△POD ≌△QOB ，即可证得OP=OQ ；(2)根据已知条件得出∠A 的度数，再根据AD=8cm ，AB=6cm ，得出BD 和OD 的长，再根据四边形PBQD 是菱形时，利用勾股定理即可求出t 的值，判断出四边形PBQD 是菱形．【详解】(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠PDO=∠QBO ，又∵O 为BD 的中点，∴OB=OD ，在△POD 与△QOB 中，PDO QBO OD OBPOD QOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△POD ≌△QOB ，∴OP=OQ ；(2)PD=8-t ，∵四边形PBQD 是菱形，∴BP=PD= 8-t ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，在Rt △ABP 中，由勾股定理得：AB 2+AP 2=BP 2，即62+t 2=(8-t)2，解得：t=74， 即运动时间为74秒时，四边形PBQD 是菱形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识是解题关键.注意数形结合思想的运用.20． (1)证明见解析；.【解析】【分析】（1）先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DE=12AB=AE ，DF=12AC=AF ，再根据AB=AC ，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，即可得到AE=AF=DE=DF ，进而判定四边形AEDF 是菱形；（2）根据等边三角形的性质得出EF=5，AD=53，进而得到菱形AEDF 的面积S ．【详解】解：（1）∵AD ⊥BC ，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点， ∴Rt △ABD 中，DE=12AB=AE ， Rt △ACD 中，DF=12AC=AF ， 又∵AB=AC ，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴AE=AF ，∴AE=AF=DE=DF ，∴四边形AEDF 是菱形；（2）如图，∵AB=AC=BC=10，∴EF=5，3，∴菱形AEDF 的面积S=12EF•AD ＝12×5×32532． 【点睛】 本题考查菱形的判定与性质的运用，解题时注意：四条边相等的四边形是菱形；菱形的面积等于对角线长乘积的一半．21． (1) 213222y x x =--;(2) 当m ＝2时，四边形CQMD 为平行四边形;(3) Q 1（8，18）、Q 2（﹣1，0）、Q 3（3，﹣2）【解析】【分析】（1）直接将A （-1，0），B （4，0）代入抛物线y=12x 2+bx+c 方程即可；（2）由（1）中的解析式得出点C 的坐标C （0，-2），从而得出点D （0，2），求出直线BD ：y ＝−12x+2，设点M(m ，−12m+2)，Q(m ，12m 2−32m−2)，可得MQ=−12m 2+m+4，根据平行四边形的性质可得QM=CD=4，即−12m 2+m+4＝4可解得m=2； （3）由Q 是以BD 为直角边的直角三角形，所以分两种情况讨论，①当∠BDQ=90°时，则BD 2+DQ 2=BQ 2，列出方程可以求出Q 1（8，18），Q 2（-1，0），②当∠DBQ=90°时，则BD 2+BQ 2=DQ 2，列出方程可以求出Q 3（3，-2）．【详解】（1）由题意知，∵点A （﹣1，0），B （4，0）在抛物线y ＝12x 2+bx+c 上， ∴210214402b c b c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩解得：322b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ ∴所求抛物线的解析式为 213222y x x =-- （2）由（1）知抛物线的解析式为213222y x x =--，令x ＝0，得y ＝﹣2 ∴点C 的坐标为C （0，﹣2）∵点D 与点C 关于x 轴对称∴点D 的坐标为D （0，2）设直线BD 的解析式为：y ＝kx+2且B （4，0）∴0＝4k+2，解得：1k 2=- ∴直线BD 的解析式为：122y x =+ ∵点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线1，交BD 于点M ，交抛物线与点Q∴可设点M 1m,22m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Q 213,222m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ∴MQ ＝2142m m -++ ∵四边形CQMD 是平行四边形 ∴QM ＝CD ＝4，即2142m m -++=4 解得：m 1＝2，m 2＝0（舍去）∴当m ＝2时，四边形CQMD 为平行四边形（3）由题意，可设点Q 213,222m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭且B （4，0）、D （0，2）∴BQ 2＝22213(4)222m m m ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭DQ 2＝22213422m m m ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭ BD 2＝20①当∠BDQ ＝90°时，则BD 2+DQ 2＝BQ 2， ∴2222221313204(4)22222m m m m m m ⎛⎫⎛⎫++--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得：m 1＝8，m 2＝﹣1，此时Q 1（8，18），Q 2（﹣1，0）②当∠DBQ ＝90°时，则BD 2+BQ 2＝DQ 2， ∴222222131320(4)242222m m m m m m ⎛⎫⎛⎫+-+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得：m 3＝3，m 4＝4，（舍去）此时Q 3（3，﹣2）∴满足条件的点Q 的坐标有三个，分别为：Q 1（8，18）、Q 2（﹣1，0）、Q 3（3，﹣2）．【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了平行四边形及直角三角形的定义，要注意第3问分两种情形求解．22．（1）α；（2）（2）①见解析；②DM ＝DN ，理由见解析；③数量关系：sin BM CN BC α+=⋅【解析】【分析】（1）先利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B=∠C=90°﹣α，然后利用互余可得到∠EDB=α； （2）①如图，利用∠EDF=180°﹣2α画图；②先利用等腰三角形的性质得到DA 平分∠BAC ，再根据角平分线性质得到DE=DF ，根据四边形内角和得到∠EDF=180°﹣2α，所以∠MDE=∠NDF ，然后证明△MDE ≌△NDF 得到DM=DN ；③先由△MDE ≌△NDF 可得EM=FN ，再证明△BDE ≌△CDF 得BE=CF ，利用等量代换得到BM+CN=2BE ，然后根据正弦定义得到BE=BDsinα，从而有BM+CN=BC•sinα．【详解】（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠C 12=（180°﹣∠A ）=90°﹣α． ∵DE ⊥AB ，∴∠DEB=90°，∴∠EDB=90°﹣∠B=90°﹣（90°﹣α）=α．故答案为：α；（2）①如图：②DM=DN．理由如下：∵AB=AC，BD=DC，∴DA平分∠BAC．∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，∠MED=∠NFD=90°．∵∠A=2α，∴∠EDF=180°﹣2α．∵∠MDN=180°﹣2α，∴∠MDE=∠NDF．在△MDE和△NDF中，∵MED NFDDE DFMDE NDF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△MDE≌△NDF，∴DM=DN；③数量关系：BM+CN=BC•sinα．证明思路为：先由△MDE≌△NDF可得EM=FN，再证明△BDE≌△CDF得BE=CF，所以BM+CN=BE+EM+CF﹣FN=2BE，接着在Rt△BDE可得BE=BDsinα，从而有BM+CN=BC•sinα．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．23．（1）8m；（2）答案不唯一【解析】【分析】（1）根据入射角等于反射角可得∠APB=∠CPD ，由AB⊥BD、CD⊥BD 可得到∠ABP=∠CDP=90°，从而可证得三角形相似，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求出CD的长.（2）设计成视角问题求古城墙的高度.【详解】（1）解：由题意，得∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP=90°，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴AB CD BP BP=，∴CD=1.212 1.8⨯=8.答：该古城墙的高度为8m（2）解：答案不唯一，如：如图，在距这段古城墙底部am 的E 处，用高h （m ）的测角仪DE 测得这段古城墙顶端A 的仰角为α.即可测量这段古城墙AB 的高度，过点D 作DC ⊥AB 于点C.在Rt △ACD 中，∠ACD=90°，tanα=AC CD， ∴AC=α tanα，∴AB=AC+BC=αtanα+h【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．24．12x =- 【解析】【分析】先把分式方程化为整式方程，解整式方程求得x 的值，检验即可得分式方程的解.【详解】 原方程变形为2532121x x x -=--， 方程两边同乘以（2x ﹣1），得2x ﹣5＝1（2x ﹣1）， 解得12x =- ． 检验：把12x =-代入（2x ﹣1），（2x ﹣1）≠0， ∴12x =-是原方程的解， ∴原方程的12x =-． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，把分式方程化为整式方程是解决问题的关键，解分式方程时，要注意验根. 25．x n+1-1【解析】试题分析：观察其右边的结果：第一个是2x ﹣1；第二个是3x ﹣1；…依此类推，则第n 个的结果即可求得．试题解析：（x ﹣1）（n x +1n x -+…x+1）=11n x +-．故答案为11n x +-.考点：平方差公式．26．（1）12k =，222P ⎛⎫ ⎪⎪⎭，，或222P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，;(2) 1k ≥. 【解析】【分析】（1）将P （m ，n ）代入y=kx ，再结合m=2n 即可求得k 的值，联立y=1x 与y=kx 组成方程组，解方程组即可求得点P 的坐标；（2）画出两个函数的图象，观察函数的图象即可得.【详解】（1）∵函数()y kx k 0=≠的图象交于点()P m n ，，∴n=mk ，∵m=2n ，∴n=2nk ，∴k=12， ∴直线解析式为：y=12x ， 解方程组112y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得1122x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，2222x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， ∴交点P 的坐标为：（2，2）或（-2，-2）； （2）由题意画出函数1y x =的图象与函数y kx =的图象如图所示， ∵函数1y x=的图象与函数y kx =的交点P 的坐标为（m ，n ）， ∴当k=1时，P 的坐标为（1，1）或（-1，-1），此时|m|=|n|，当k>1时，结合图象可知此时|m|<|n|，∴当m n ≤时， k ≥1.【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点，待定系数法等，运用数形结合思想解题是关键.27．（1）x≠0；（2）﹣1；（3）见解析；（4）图象关于y 轴对称.【解析】【分析】（1）由分母不等于零可得答案；（2）求出y=1时x 的值即可得；（3）根据表格中的数据，描点、连线即可得；（4）由函数图象即可得．【详解】（1）函数y=21x 的定义域是x≠0， 故答案为x≠0； （2）当y=1时，21x =1， 解得：x=1或x=﹣1，∴m=﹣1，故答案为﹣1；（3）如图所示：（4）图象关于y 轴对称，故答案为图象关于y 轴对称．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数自变量的取值范围、函数值的求法、列表描点画函数图象及反比例函数的性质．。

2020年上海市浦东新区中考一模数学试卷1. （2020·上海浦东新区·模拟）在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，如果 BC =5，AB =13，那么 sinA 的值为 ( ) A ．513B ．512C ．1213D ．1252. （2020·上海浦东新区·模拟）下列函数中，是二次函数的是 ( ) A ． y =2x −1 B ． y =2x 2C ． y =x 2+1D ． y =(x −1)2−x 23. （2020·上海浦东新区·模拟）抛物线 y =x 2−4x +5 的顶点坐标是 ( ) A ． (−2,1) B ． (2,1) C ． (−2,−1)D ． (2,−1)4. （2020·上海浦东新区·模拟）如图，点 D ，E 分别在 △ABC 的边 AB ，AC 上，下列各比例式不一定能推得 DE ∥BC 的是 ( )A ．AD BD=AE CEB ．AD AB=DE BCC ．AB BD=AC CED ．AD AB=AE AC5. （2020·上海浦东新区·模拟）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 1:3，它把物体从地面点 A 处送到离地面 3 米高的 B 处，则物体从 A 到 B 所经过的路程为 ( )A ． 3√10 米B ． 2√10 米C ． √10 米D ． 9 米6. （2020·上海浦东新区·模拟）下列说法正确的是 ( )A ． a ⃗+(−a ⃗)=0B ．如果 a ⃗ 和 b ⃗⃗ 都是单位向量，那么 a ⃗=b ⃗⃗C ．如果 ∣a ⃗∣=∣∣b ⃗⃗∣∣，那么 a⃗=b ⃗⃗D ． a ⃗=−1b ⃗⃗（b ⃗⃗ 为非零向量），那么 a ⃗∥b⃗⃗7.（2020·上海浦东新区·模拟）已知x=3y，那么x+y=．x+2y8.（2020·上海浦东新区·模拟）已知线段AB=2cm，点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则线段AP=cm．9.（2020·上海浦东新区·模拟）如果两个相似三角形对应边之比是2:3，那么它们的对应中线之比是．10.（2020·上海浦东新区·模拟）如果二次函数y=x2−2x+k−3的图象经过原点，那么k的值是．11.（2020·上海浦东新区·模拟）将抛物线y=−3x2向下平移4个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为．12.（2020·上海浦东新区·模拟）如果抛物线经过点A(−1,0)和点B(5,0)，那么这条抛物线的对称轴是直线．13.（2020·上海浦东新区·模拟）二次函数y=−2(x+1)2的图象在对称轴左侧的部分是（填“上升”或“下降”）．14.（2020·上海浦东新区·模拟）如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的=．重心，过点G作GF∥AB交BC于点F，那么EFEB15.（2020·上海浦东新区·模拟）如图，已知AB∥CD∥EF，AD=6，DF=3，BC=7，那么线段CE的长度等于．16.（2020·上海浦东新区·模拟）如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，边DE与AC相交于点G，如果BC=6cm，△ABC的面积等于9cm2，△GEC的面积等于4cm2，那么CF = cm ．17. （2020·上海浦东新区·模拟）用“描点法”画二次函数 y =ax 2+bx +c 的图象时，列出了如下的表格：x⋯01234⋯y =ax 2+bx +c⋯−3010−3⋯那么当 x =5 时，该二次函数 y 的值为 ．18. （2020·上海浦东新区·模拟）在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，AC =2，BC =4，点 D ，E 分别是边BC ，AB 的中点，将 △BDE 绕着点 B 旋转，点 D ，E 旋转后的对应点分别为点 Dʹ，Eʹ，当直线 DʹEʹ 经过点 A 时，线段 CDʹ 的长为 ．19. （2020·上海浦东新区·模拟）计算：tan45∘−cos60∘2sin30∘+cot 260∘．20. （2020·上海浦东新区·模拟）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，且 AE =2ED ，连接 BE 并延长交边 CD 的延长线于点 F ，设 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗．(1) 用 a ⃗，b ⃗⃗ 表示 BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗；(2) 先化简，再求作：(−32a ⃗+b ⃗⃗)+2(a ⃗−b ⃗⃗)（不要求写作法，但要写明结论）．21. （2020·上海浦东新区·模拟）如图，在 △ABC 中，点 D ，E 分别在边 AB ，AC 上，且 AD =3，AC =6，AE =4，AB =8．(1) 如果BC=7，求线段DE的长；(2) 设△DEC的面积为a，求△BDC的面积（用a的代数式表示）．22.（2020·上海浦东新区·模拟）为了测量大楼顶上（居中）避雷针BC的长度，在地面上点A处测得避雷针底部B和顶部C的仰角分别为55∘58ʹ和57∘，已知点A与楼底中间部位D的距离约为80米，求避雷针BC的长度．（参考数据：sin55∘58ʹ≈0.83，cos55∘58ʹ≈0.56，tan55∘58ʹ≈1.48，sin57∘≈0.84，tan57∘≈1.54）23.（2020·上海浦东新区·模拟）如图，已知△ABC和△ADE，点D在BC边上，DA=DC，∠ADE=∠B，边DE与AC相交于点F．(1) 求证：AB⋅AD=DF⋅BC；(2) 如果AE∥BC，求证：BDDC =DFFE．24.（2020·上海浦东新区·模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(−1,0)，B(3,0)，与y轴相交于点C．(1) 求抛物线的表达式；(2) 连接AC，BC，求∠ACB的正切值；(3) 点P在抛物线上，且∠PAB=∠ACB，求点P的坐标．25.（2020·上海浦东新区·模拟）在Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=4，AC=3，D为AB边上一动点（点D与点A，B不重合），连接CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．(1) 如图，当ED=EB时，求AD的长；(2) 设AD=x，BE=y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；(3) 把△BCD沿直线CD翻折得△CDBʹ，连接ABʹ，当△CABʹ是等腰三角形时，直接写出AD的长．答案1. 【答案】A【解析】如图：在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=5，AB=13，sinA=BCAB =513．2. 【答案】C【解析】A．y=2x−1是一次函数，故A选项错误；B．y=2x2右边不是整式，不是二次函数，故B选项错误；C．y=x2+1右边是整式，自变量最高次数是2，是二次函数，故C选项正确；D．y=(x−1)2−x2整理为y=−2x+1是一次函数，故D选项错误．3. 【答案】B【解析】∵y=x2−4x+5=(x−2)2+1，∴顶点坐标为(2,1)．4. 【答案】B【解析】A、∵ADBD =AECE，∴DE∥BC，不符合题意；B、由ADAB =DEBC，不一定能推出DE∥BC，符合题意；C、∵ABBD =ACCD，∴DE∥BC，不符合题意；D、∵ADAB =AEAC，∴DE∥BC，不符合题意．5. 【答案】A【解析】设BC⊥AC，垂足为C，∵i=BC:AC=1:3，∴3:AC=1:3，∴AC=9，在Rt△ACB中，由勾股定理得AB=√AC2+BC2=√92+32=3√10．∴AB=3√10米．6. 【答案】D【解析】A．a⃗+(−a⃗)等于0向量，而不是0，故A选项错误；B．如果a⃗和b⃗⃗都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B选项错误；C．如果∣a⃗∣=∣∣b⃗⃗∣∣，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C选项错误；D．如果a⃗=−12b⃗⃗（b⃗⃗为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到a⃗∥b⃗⃗，故D选项正确．7. 【答案】45【解析】∵x=3y，∴x+yx+2y =3y+y3y+2y=4y5y=45．8. 【答案】√5−1【解析】由于P为线段AB=2cm的黄金分割点，且AP是较长线段，则AP=2×√5−12=√5−1．9. 【答案】2:3【解析】∵两三角形相似，且对应边比为2:3，∴相似比k=2:3．∴它们对应中线的比为2:3．10. 【答案】3【解析】∵二次函数y=x2−2x+k−3的图象经过原点，∴0=k−3，∴k=3．11. 【答案】y=−3x2−4【解析】∵y=−3x2，∴原抛物线的顶点坐标为(0,0)，∵向下平移4个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为(0,4)，∴平移后的抛物线的表达式为：y=−3x2−4．12. 【答案】x=2【解析】∵一条抛物线经过点(−1,0)，(5,0)，∴这两点关于对称轴对称，∴x=−1+52=2，即x=2．13. 【答案】上升【解析】∵二次函数y=−2(x+1)2中，a=−2<0，∴抛物线开口向下，∴对称轴左侧的函数增减性为y随x的增大而增大，∴函数图象在对称轴左侧部分是上升．14. 【答案】13【解析】∵点G是△ABC的重心，∴GE:AG=1:2，∴GE:AE=1:3，∴GF∥AB，△EGF∽△EAB，∴EFEB =GEAE=13．15. 【答案】72【解析】∵AB∥CD∥EF，∴ADDF =BCCE，∵AD=6，DF=3，BC=7，∴63=7CE，∴CE=72．16. 【答案】2【解析】∵AB∥DE，∴△ABC∽△GEC，∴S△GECS△ABC =(ECBC)2=49，∴EC6=23．∴EC=4cm，∵EF=BC=6cm，∴CF=EF−EC=6−4=2cm．17. 【答案】 −8【解析】将点 (0,−3)，(1,0)，(2,1) 代入 y =ax 2+bx +c 中得，{c =−3,a +b +c =0,4a +2b +c =1.解得，{a =−1,b =4,c =−3.∴ 抛物线表达式为 y =−x 2+4x −3， ∴ 当 x =5 时，y =−8．18. 【答案】 2√5 或 65√5【解析】如图 1，当点 A 在 ED 的延长线上时， ∵∠C =90∘，AC =2，BC =4， ∴AB =√AC 2+BC 2=√4+16=2√5， ∵ 点 D ，E 分别是边 BC ，AB 的中点， ∴DE ∥AC ，DE =12AC =1，BD =12BC =2，∴∠EDB =∠ACB =90∘． ∵ 将 △BDE 绕着点 B 旋转，∴∠BDʹEʹ=∠BDE =90∘，DʹEʹ=DE =1，BD =BD =2， ∵ 在 Rt △ABC 和 Rt △BADʹ 中， {DʹB =AC =2,AB =BA, 即 {AC =DʹB,AB =BA, ∵Rt △ABC ≌Rt △BADʹ(HL )， ∴ADʹ=BC ，且 AC =DʹB ，∴ 四边形 ACBDʹ 是平行四边形，且 ∠ACB =90∘， ∴ 四边形 ACBDʹ 是矩形，∴CD =AB =2√5；如图 2，当点 A 在线段 DʹEʹ 的延长线上时， ∵∠ADʹB =90∘，∴ADʹ=√AB 2−DʹB 2=√20−4=4， ∴AE =ADʹ−DEʹ=3， ∵ 将 △BDE 绕着点 B 旋转， ∴∠ABC =∠EBD ， ∵BEʹAB=12=BDʹBC，∴△ABE ∽△BCDʹ． ∴AEʹCDʹ=ABBC ，∴3CDʹ=2√54，CDʹ=6√55．19. 【答案】tan45∘−cos60∘2sin30∘+cot 260∘=1−122×12+(√33)2=12+13=56.20. 【答案】(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB =CD ，AB ∥CD ，AD =BC ，AD ∥BC ， ∴ABDF =AEED ， ∵AE =2ED ，∴DF =12AB ，AE =23AD ，∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗， ∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12a ⃗，AE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23b ⃗⃗， ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗+23b⃗⃗． (2) (−32a⃗+b ⃗⃗)+2(a ⃗−b ⃗⃗)=−32a ⃗+b ⃗⃗+2a ⃗−2b ⃗⃗=12a ⃗−b⃗⃗.如图，平行四边形 ABCD ，取 AB 的中点， 则 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12a ⃗，CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−b ⃗⃗， ∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−b ⃗⃗+12a ⃗=12a ⃗−b⃗⃗，∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12a ⃗−b ⃗⃗．21. 【答案】(1) ∵AD =3，AC =6，AE =4，AB =8，∴AD AC =AE AB =12，∵∠A =∠A ，∴△ADE ∽ACB ，∴DE BC =12，∵BC =7，∴DE =72．(2) ∵AE EC =46−4=2，∴S △ADES △EDC =AE EC =2．∵S △DEC =a ，∴S △ADE =2a ．∵△ADE ∽ACB ，∴S △ADE S △ACB =(12)2． ∴2a S △BDC +a+2a=14． ∴S △BDE =5a ．22. 【答案】在 Rt △ABD 中，∵tan∠BAD =BD AD ， ∴1.48=BD 80，∵AD =80 米，∴BD =118.4（米），Rt △CAD 中，∵tan∠CAD =CD AD ，∴1.54=CD AD ，∴CD =123.2（米），∴BC =CD −BD =4.8（米）．答：避雷针 BC 的长度为 4.8 米．23. 【答案】(1) ∵AD =DC ，∴∠DAC =∠C ，∵∠ADE =∠B ，∴△ABC ∽△FDA ，∴AD BC =DF AB ，∴AB ⋅AD =DF ⋅BC ．(2) ∵AE ∥BC ，∴∠E =∠EDC ，∠EAC =∠C ，∴△AEF ∽△CDF ，∴DF FE =DC AE ， ∴DF FE =AD AE ，∵∠ADC =∠ADE +∠EDC =∠B +∠BAD ，∠ADE =∠B ，∴∠BAD =∠EDC ，∴∠BAD =∠E ，∴△ABD ∽△EDA ，∴BD AD =AD AE ，∴BD CD =AD AE ， ∴BD DC =DF FE ．24. 【答案】(1) 将 A (−1,0)，B (3,0) 代入 y =−x 2+bx +c 中得，{−1−b +c =0,−9+3b +c =0, 解得，{b =2,c =3,∴ 抛物线的表达式为 y =−x 2+2x +3．(2) 如图，过点 A 作 AD ⊥BC 垂足为 D ．∵A (−1,0)，B (3,0)，C (0,3)，∴AB=4，OC=3，BC=3√2，AC=√10．∵AB⋅OC2=BC⋅AD2，∴4×32=3√2⋅AD2．∴AD=2√2．由勾股定理得CD=√2．∴tan∠ACB=ADCD =√2√2=2，即tan∠ACB=2．(3) 如图，设P在抛物线上，P(x,−x2+2x+3)，过P作PE⊥x轴，垂足为E．∵∠PAB=∠ACB，∴tan∠PAB=12，∴−x2+2x+3x+1=2或−(−x2+2x+3)x+1=2，解得x=−1（舍去）或x=1，x=−1（舍去）或x=5．当x=−1时，y=4；当x=5时，y=−12．∴P点坐标为(1,4)或(5,−12)．25. 【答案】(1) ∵ED=EB，∴∠EDB=∠B．∵CD⊥DE，∴∠CDE=∠A=90∘．∵∠ACD+∠ADC=90∘，∠ADC+∠EDH=90∘，∴∠ACD=∠EDB=∠B．∴tan∠ACD=tan∠B．∴ADAC =ACAB．∴AD3=34．∴AD=94．(2) 如图1中，作EH⊥BD于H．在Rt△ACB中，∵∠A=90∘，AC=3，AB=4，∴BC=√AC2+BC2=5．∴sin∠B =35，cos∠B =45． ∵BE =y ，∴EH =BE ⋅sin∠B =35y ，BH =BE ⋅cos∠B =45y ．∴DH =AB −AD −BH =4−x −45y ．∵∠A =∠DHE =90∘，∠ACD =∠EDH ，∴△ACD ∽△HDE ，∴AC GH =AD EH ． ∴34−x−45y =x35y． ∴y =20x−5x 29+4x (0<x <4)．(3) 7243+15√1143 或 7243−15√1143．【解析】 (3) ①如图 3−1 中，设 CBʹ 交 AB 于 K ，作 AE ⊥CK 于 E ，DM ⊥CBʹ 于 M ，DN ⊥BC 于 N ．∵AC =AB =3，AE ⊥CBʹ，∴CE =EBʹ=12CBʹ=52． ∴AE =√AC 2−CE 2=√32−(52)2=√112． ∵∠ACE =∠KCA ，∠AEC =∠KAC =90∘，∴△ACE ∽△KCA ．∴AC KC =AE KA =CE CA ，即3KC =√112KA =523． ∴AK =3√115，CK =185．∴BK =AB −AK =4−3√115．∵∠DCK =∠DCB ，DM ⊥CM ，DN ⊥CB ，∴DM =DN ．∴S △CDKS △CDB =DK DB =12CK⋅DM 12BC⋅DN =CK CB =1855=1825． ∴BD =2543BK =10043−15√1143．∴AD=AB−BD=4−(10043−15√1143)=7243+15√1143．②如图3−2中，当CBʹ交BA的延长线于K时，同法可得BD=2543BK=10043+15√1143，∴AD=AB−BD=7243−15√1143．。

--浦东新区2017学年第一学期初三教学质量检测数 学 试 卷（完卷时间:100分钟,满分:150分）２０18.1一、选择题：（本大题共6题,每题4分，满分24分)１．如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍,那么锐角A 的余切值（Ａ）扩大为原来的两倍; ﻩ(Ｂ)缩小为原来的21； (Ｃ)不变； ﻩ(D)不能确定． 2．下列函数中，二次函数是(A)54+-=x y ； （Ｂ）)32(-=x x y ； （Ｃ）22)4(x x y -+=;(D ）21xy =. 3．已知在Rt △A ＢC 中,∠C =90°,A Ｂ＝7，ＢC =5,那么下列式子中正确的是(A)75sin =A ; (B ）75cos =A ; ﻩ（Ｃ)75tan =A ; (D ）75cot =A . 4．已知非零向量a ，b ,c ，下列条件中，不能判定向量a与向量b 平行的是（A ）c a //，c b //； （=; ﻩ(Ｃ)c a =，c b 2=； (D)0=+b a ． 5.如果二次函数2y ax bx c =++的图像全部在ｘ轴的下方,那么下列判断中正确的是 (Ａ）0<a ，0<b ; ﻩﻩ ﻩ （B)0>a ,0<b ； （C)0<a ,0>c ;ﻩﻩ（D)0<a ,0<c ．6．如图，已知点D 、Ｆ在△A ＢC 的边AB 上,点E 在边ＡC 上,且ＤE ∥BC ，要使得ＥＦ∥CD ,还需添加一个条件,这个条件可以是（A)EF ADCD AB=； ﻩ (B)AE AD AC AB =； (C)AF AD AD AB =； ﻩﻩﻩ(D ）AF AD AD DB =．二、填空题：（本大题共1２题，每题４分，满分4８分)7．已知23=y x ,则yx y x +-的值是 . 8.已知线段ＭN 的长是４ｃm ，点P 是线段MN 的黄金分割点,则较长线段MP 的长是 c ｍ. ９.已知△ABC ∽△A 1B 1C 1,△A ＢC 的周长与△A 1B １Ｃ１的周长的比值是23，BE 、B 1Ｅ１分别是它 们对应边上的中线，且BE =6,则B 1E 1= .BA F E CD （第6题图）--10．计算：132()2a ab +-= ． 11.计算:3tan30sin45︒+︒= .12．抛物线432-=x y 的最低点坐标是 .13．将抛物线22x y =向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是 . １4．如图，已知直线l 1、ｌ2、l 3分别交直线l 4于点A 、Ｂ、C ，交直线ｌ５于点D 、E 、F ,且ｌ１∥l 2∥l 3，ＡB =4，A Ｃ＝6，ＤF =9，则ＤE ＝ ．１5．如图,用长为10米的篱笆,一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为ｘ米,花圃面积为S 平方米，则S 关于x 的函数解析式是 . （不写定义域).16.如图，湖心岛上有一凉亭B ，在凉亭Ｂ的正东湖边有一棵大树A ,在湖边的C 处测得Ｂ在北偏西４5°方向上,测得Ａ在北偏东30°方向上，又测得Ａ、C 之间的距离为100米，则A 、B 之间的距离是 米(结果保留根号形式）．17.已知点(-1，m ）、（2，n )在二次函数122--=ax ax y 的图像上,如果m >n ,那么a 0(用“＞”或“＜”连接）．１８.如图，已知在Rt △A ＢC 中,∠A ＣB =９0°,54cos =B ,BC=８，点D 在边ＢC 上，将 △ABC 沿着过点D 的一条直线翻折,使点B 落在AB 边上的点E 处,联结CE 、D Ｅ，当∠ＢDE =∠A ＥC 时，则BE 的长是 ．三、解答题：（本大题共7题,满分78分） 1９.（本题满分１０分)将抛物线542+-=x x y 向左平移4个单位,求平移后抛物线的表达式、顶点坐标 和对称轴.（第15题图） A DEB CFl 1 l 2 l 3l 4（第14题图）l 5 （第16题图）CB A45° 30° CBA（第18题图）2０.（本题满分10分，每小题5分）如图,已知△AB Ｃ中,点D 、E 分别在边AB 和AC 上,D Ｅ∥BC ， 且DE 经过△ABC 的重心,设BC a =.(1)=DE ．(用向量a 表示）； （2)设AB b =,在图中求作12b a +.(不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量.）2１．（本题满分1０分，其中第（１）小题4分,第(２）小题6分）ﻩ如图，已知G 、H 分别是□ABCD 对边ＡD 、ＢC 上的点,直线ＧＨ 分别交BA 和DC 的延长线于点E 、Ｆ.(１)当81=∆CDGHCFH S S 四边形时，求DGCH 的值； (２）联结BD 交ＥF 于点M ,求证：MG ME MF MH ⋅=⋅.22．(本题满分10分，其中第（1）小题4分,第（2)小题6分)如图,为测量学校旗杆A Ｂ的高度,小明从旗杆正前方3米处的点C 出发,沿坡度为3:1=i 的斜坡C Ｄ前进32米到达点Ｄ，在点Ｄ处放置测角仪，测得旗杆顶部A 的仰角为3７°,量得测角仪DE 的高为1．5米．Ａ、B 、C 、D 、E 在同一平面内,且旗杆和测角仪都与地面垂直. (1）求点D 的铅垂高度(结果保留根号）; (2)求旗杆ＡB 的高度(精确到0.1）.（参考数据:ｓin ３7°≈0.60,ｃos37°≈0.8０,t ａn37°≈0.75,73.13≈．）（第20题图）ABC DE（第22题图）（第21题图）AHF EC G D23．(本题满分１2分，其中第(1)小题6分,第（2)小题6分)如图，已知,在锐角△ＡB Ｃ中，C Ｅ⊥AB 于点E ，点Ｄ在边AC 上， 联结B Ｄ交ＣE 于点F ，且DF FB FC EF ⋅=⋅. （1)求证：BD ⊥AC ；（2）联结AF ，求证:AF BE BC EF ⋅=⋅.24.（本题满分12分，每小题4分)已知抛物线ｙ＝ａx 2＋b ｘ+5与x 轴交于点A (1,０)和点B (5，0），顶点为M .点Ｃ在x 轴的负半轴上,且AC =ＡB ,点Ｄ的坐标为(０，3),直线l 经过点C 、D ． (1）求抛物线的表达式；(2）点P 是直线ｌ在第三象限上的点,联结AP ，且线段CP 是线段CA 、C Ｂ的比例中项,求tan ∠C ＰA 的值;（3)在（2)的条件下,联结AM 、BM ，在直线ＰM 上是否存在点Ｅ,使得∠ＡE Ｍ=∠ＡM Ｂ.若存在，求出点E 的坐标;若不存在，请说明理由.A （第23题图）DEFBC（第24题图）25．(本题满分1４分,其中第（1）小题4分,第(2)小题5分，第（3）小题5分）如图,已知在△A ＢＣ中，∠ＡC Ｂ=90°,ＢＣ=2，AC ＝4,点Ｄ在射线ＢC 上,以点D 为圆心,B Ｄ为半径画弧交边ＡB 于点E ,过点Ｅ作ＥF ⊥AB 交边AC 于点F ,射线ED 交射线A Ｃ于点G . （１)求证：△ＥFG ∽△AE Ｇ；(2）设FG =x ,△EFG 的面积为y ,求ｙ关于x 的函数解析式并写出定义域； （3)联结D Ｆ，当△ＥFD 是等腰三角形时,请直接．．写出FG 的长度.（第25题备用图）ABC（第25题备用图）ABC浦东新区2０1７学年度第一学期初三教学质量检测数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：(本大题共6题,每题4分，满分24分） １.C; 2.B ； 3．A ； ４．B ； ５.Ｄ; ６．Ｃ.二、填空题：(本大题共1２题,每题４分,满分48分)7.51；8．252-； 9.4；１０．5a b -;１１.223+；1２．（０,－４);13.322-=x y ； 14．6； 1５．x x S 1022+-=;１6.50350+;17.＞；18．539．三、解答题：（本大题共7题,满分７8分)19．解：∵54442+-+-=x x y =1)2(2+-x ．…………………………………（3分） ∴平移后的函数解析式是1)2(2++=x y .………………………………（3分)顶点坐标是(-2，1)．……………………………………………………(2分） 对称轴是直线2x =-.………………………………………………… (2分）２0.解：(1)=23a ．……………………………(5分）(2）图正确得４分，结论:AF 就是所要求作的向量. …（１分)．21．(1）解：∵81=∆CDGH CFHS S 四边形， ∴ 91=∆∆DFG CFH S S ．……………………………………………………(1分）∵ □ＡＢCD 中,AD ／／BC ,∴ △CFH ∽△ＤFG . ………………………………………………(1分)∴ 91)(2==∆∆DG CH S S DFG CFH ．…………………………………………… (1分）∴ 31=DG CH ． …………………………………………………………（1分）（2)证明:∵ □ＡB ＣD 中，AD //BC , ∴ MGMH MD MB =. ……………………………………(2分） ∵ □AB ＣD中，ＡＢ//C Ｄ， ∴ MD MB MF ME =．……………………………………（2分） ∴ MG MH MF ME =．……………………………………(1分） ∴ MH MF ME MG ⋅=⋅. ……………………………（１分) ２2.解:(1)延长ED 交射线BC 于点H .由题意得DH ⊥BC .（第21题图） A BHFEC GD M（第20题图）B在Rt △CD Ｈ中，∠DHC ＝90°,tan ∠ＤＣＨ=1:i =……………（1分） ∴ ∠DCH =30°.∴ ＣD =2DH ．……………………………(1分) ∵ CD＝∴ DHＣH =3 .……………………（１分） 答：点D 的铅垂高度是3米.…………(1分)(2）过点E 作EF ⊥AB 于Ｆ.由题意得,∠AE Ｆ即为点E 观察点Ａ时的仰角,∴ ∠AEF =３7°. ∵ ＥF ⊥AB ，ＡB ⊥ＢC ，ED ⊥B Ｃ, ∴ ∠BFE =∠B =∠B ＨE ＝90°. ∴ 四边形FBHE 为矩形.∴ EF =BH ＝ＢC ＋C Ｈ=6. ……………………………………………（1分)F Ｂ=EH =ED +DH ＝１.5+3. ……………………………………(1分) 在Ｒt △ＡEF 中,∠AFE =90°,5.475.06tan ≈⨯≈∠⋅=AEF EF AF ．(1分) ∴ ＡB ＝AF +FB =6+3 ………………………………………………(1分) 7.773.16≈+≈． ……………………………………………（1分) 答:旗杆ＡB 的高度约为7．7米. …………………………………（1分)23．证明:（1）∵ DF FB FC EF ⋅=⋅,∴FCFBDF EF =. ………………………（１分） ∵ ∠EF Ｂ=∠DFC , …………………(1分）∴ △E ＦB ∽△ＤF Ｃ. …………………(1分) ∴ ∠ＦEB =∠FDC . ………………… （1分） ∵ CE ⊥AB ， ∴ ∠FEB ＝ 90°.……………………… (１分) ∴ ∠ＦＤＣ= 90°. ∴ BD ⊥ＡＣ. ………………………… （1分) (２）∵ △ＥＦB ∽△DFC ，∴ ∠ABD =∠ACE . …………………………………………… (1分）∵ CE ⊥A Ｂ，∴ ∠FEB = ∠A ＥC= 90°．∴ △ＡE Ｃ∽△FEB . ……………………………………………(1分）∴ EBECFE AE =.……………………………………………………(1分） （第22题图）A （第23题图） D EF B C∴EBFEEC AE =． …………………………………………………(１分) ∵ ∠AEC =∠FEB ＝ ９0°，∴ △AEF ∽△CEB .………………………………………………(1分）∴ EBEFCB AF =,∴ AF BE BC EF ⋅=⋅． ………………………(1分) 2４．解：(1）∵ 抛物线52++=bx ax y 与x 轴交于点A (1,0）,B （５，0）,∴ ⎩⎨⎧=++=++.0552505b a b a ；………………………解得⎩⎨⎧-==.61b a ；∴ 抛物线的解析式为562+-=x x y .……（1 （2）∵ A （1,0),Ｂ(５，0),∴ OA=1,A Ｂ＝4．∵ ＡC ＝AB 且点C 在点A 的左侧，∴ A Ｃ＝4 .∴ CB ＝CA+A Ｂ=8. ………………………………………………（1分） ∵ 线段CP 是线段ＣA 、CB 的比例中项,∴CBCPCP CA =. ∴ CP ＝24. ……………………………………………………(１分)又 ∵ ∠PCB 是公共角,∴ △CP A ∽△C ＢP .∴ ∠ＣＰA= ∠CB Ｐ． ………………………………………………(1分)过P 作PH ⊥x 轴于H .∵ O Ｃ=OD=３，∠D ＯC=９0°,∴ ∠ＤC Ｏ＝45°.∴ ∠PC Ｈ=45°∴ PH=C Ｈ=C Ｐ 45sin ＝4,∴ Ｈ(-7,0),BH=12. ∴ P (-７，-4）.∴ 31tan ==∠BH PH CBP ，31tan =∠CPA ． ………………………（1分） （３） ∵ 抛物线的顶点是M (３，－4),………………………………… (１分） 又 ∵ P (-7,-4）,∴ P Ｍ∥ｘ轴 .当点E 在M 左侧， 则∠B ＡM ＝∠A ＭE . ∵ ∠AEM=∠AMB ,∴ △ＡＥM ∽△B ＭA .…………………………………………………（１分）∴BA AM AM ME =. ∴45252=ME . （第24题图）∴ ME=5，∴ Ｅ(-2,-４). …………………………………(１分） 过点Ａ作ＡN ⊥PM 于点N ，则N (１,-４）.当点Ｅ在M 右侧时，记为点E ', ∵ ∠A E 'N=∠AE Ｎ,∴ 点E '与Ｅ 关于直线ＡN 对称,则E '（4，-4).………………(1分） 综上所述,Ｅ的坐标为（-２，-４）或（４，-４).２5.解：(1)∵ ED ＝B Ｄ，∴ ∠B ＝∠ＢED ．………………………………(1∵ ∠ACB =9０°, ∴ ∠B ＋∠Ａ=90°． ∵ EF ⊥AB ,∴ ∠B ＥF ＝9０°． ∴ ∠BED +∠GEF =90°．∴ ∠A =∠G ＥF ． ………………………………（1分∵ ∠Ｇ是公共角, ……………………………（1分） ∴ △EFG ∽△A ＥG ． （2）作ＥＨ⊥ＡF 于点Ｈ.∵ 在Ｒt △ABC 中，∠ACB ＝90°,ＢＣ=2,AC =4, ∴ 21tan ==AC BC A . ∴ 在Rt △AEF 中，∠AEF =90°，21tan ==AE EF A . ∵ △EFG ∽△ＡＥＧ, ∴21===AE EF GA GE EG FG .……………………………………………(1分) ∵ FG =x ,∴ EG =2ｘ，AG =４x .∴ A Ｆ=3x . ……………………………………………………………（1分） ∵ ＥH ⊥AF ，∴ ∠A ＨE =∠ＥHF =9０°. ∴ ∠ＥF Ａ+∠ＦEH ＝90°. ∵ ∠AEF =90°， ∴ ∠A +∠EF A ＝90°． ∴ ∠A =∠F ＥH ．∴ tan Ａ =tan ∠F ＥH ．∴ 在Rt △ＥH Ｆ中,∠EH Ｆ＝90°，21tan ==∠EH HF FEH .∴ ＥH =２ＨＦ．∵ 在R ｔ△ＡEH 中,∠AHE ＝90°，21tan ==AH EH A ．∴ AH ＝２EH ． ∴ AH ＝4HF ． ∴ ＡＦ=5HF ．∴ ＨF ＝x 53.∴ x EH 56=．…………………………………………………………(１分）∴ 253562121x x x EH FG y =⋅⋅=⋅⋅=.………………………………（1分) 定义域:（340≤<x ).……………………………………………（1分）(３）当△E ＦD 为等腰三角形时，ＦＧ的长度是:254,273．……（5分)。

上海市浦东新区2019-2020学年中考一诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．y=（m ﹣1）x |m|+3m 表示一次函数，则m 等于（ ）A ．1B ．﹣1C ．0或﹣1D ．1或﹣12．如图，直线y ＝kx+b 与y ＝mx+n 分别交x 轴于点A （﹣1，0），B （4，0），则函数y ＝（kx+b ）（mx+n ）中，则不等式()()0kx b mx n ++>的解集为（ ）A ．x ＞2B ．0＜x ＜4C ．﹣1＜x ＜4D ．x ＜﹣1 或 x ＞43．如果2a b -=，那么22b a a b a a-+÷的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-4．已知(AC BC)ABC ∆<，用尺规作图的方法在BC 上确定一点P ，使PA PC BC +=，则符合要求的作图痕迹是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得A ．B ．C．D．6．如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿A→B→C方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF⊥AE交CD于点F，设点E运动路程为x，CF＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，给出下列结论：①a＝3；②当CF＝14时，点E的运动路程为114或72或92，则下列判断正确的是( )A．①②都对B．①②都错C．①对②错D．①错②对7．有15位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前8位同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这15位同学的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差8．若x是2的相反数，|y|=3，则12y x的值是（）A．﹣2 B．4 C．2或﹣4 D．﹣2或49．如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（）A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．5cm210．将2001×1999变形正确的是（）A．20002﹣1 B．20002+1 C．20002+2×2000+1 D．20002﹣2×2000+1 11．下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．12．-2的绝对值是（）A．2 B．-2 C．±2 D．1 2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．甲、乙两人5次射击命中的环数分别为，甲：7，9，8，6，10；乙：7，8，9，8，8；x x =甲乙 =8，则这两人5次射击命中的环数的方差S 甲2_____S 乙2（填“＞”“＜”或“=”）．14．若关于x 的不等式组3122x a x x ->⎧⎨->-⎩无解， 则a 的取值范围是 ________. 15．写出一个比2大且比5小的有理数：______．16．如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是__________.17．如图，六边形ABCDEF 的六个内角都相等．若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的周长等于_________．18．若关于x 的方程x 2-2x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为___．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）﹣（﹣1）2018+4﹣（13）﹣1 20．（6分）如图，AB 是⊙O 的直径，BE 是弦，点D 是弦BE 上一点，连接OD 并延长交⊙O 于点C ，连接BC ，过点D 作FD ⊥OC 交⊙O 的切线EF 于点F ．（1）求证：∠CBE ＝12∠F ； （2）若⊙O 的半径是23，点D 是OC 中点，∠CBE ＝15°，求线段EF 的长．21．（6分）某海域有A 、B 两个港口，B 港口在A 港口北偏西30°方向上，距A 港口60海里，有一艘船从A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B 港口南偏东75°方向的C 处，求：（1）∠C= °；（2）此时刻船与B 港口之间的距离CB 的长（结果保留根号）．22．（8分）高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A 是某市一高考考点，在位于A 考点南偏西15°方向距离125米的C 点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C 点北偏东75°方向的F 点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由.（3取1.732）23．（8分）已知抛物线2y x bx c =++过点(0,0)，(1,3)，求抛物线的解析式，并求出抛物线的顶点坐标.24．（10分）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售一部，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/部．月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内，含10部，每部返利0.5万元，销售量在10部以上，每部返利1万元．① 若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价为 万元；② 如果汽车的销售价位28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么要卖出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）25．（10分）如图，△ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ，点D 是AB 上一点，过点D 作DE ⊥BC 交BC 于点E ，交CA 延长线于点F ．证明：△ADF 是等腰三角形；若∠B ＝60°，BD ＝4，AD ＝2，求EC 的长，26．（12分）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？27．（12分）计算：22b a b -÷（a a b-﹣1）参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】由一次函数的定义知，|m|=1且m-1≠0，所以m=-1，故选B.2．C【解析】【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．【详解】∵直线y 1＝kx+b 与直线y 2＝mx+n 分别交x 轴于点A(﹣1，0)，B(4，0)，∴不等式(kx+b)(mx+n)＞0的解集为﹣1＜x ＜4，故选C ．【点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．3．D【解析】【分析】先对原分式进行化简，再寻找化简结果与已知之间的关系即可得出答案．【详解】22()()=b a a b b a b a b a a a ba a a -++-÷⨯=-+ 2ab -=Q()2b a a b ∴-=--=-故选：D ．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的基本性质是解题的关键．4．D【解析】试题分析：D 选项中作的是AB 的中垂线，∴PA=PB ，∵PB+PC=BC ，∴PA+PC=BC ．故选D ．考点：作图—复杂作图． 5．A【解析】若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．解：设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，故选A ．6．A【解析】【分析】由已知，AB=a ，AB+BC=5，当E 在BC 上时，如图，可得△ABE ∽△ECF ，继而根据相似三角形的性质可得y=﹣2155a x x a a ++-，根据二次函数的性质可得﹣215551·5223a a a a a +++⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，由此可得a=3，继而可得y=﹣218533x x +-，把y=14代入解方程可求得x 1=72，x 2=92，由此可求得当E 在AB 上时，y=14时，x=114，据此即可作出判断． 【详解】解：由已知，AB=a ，AB+BC=5，当E 在BC 上时，如图，∵E 作EF ⊥AE ，∴△ABE ∽△ECF ，∴AB CE BE FC=， ∴5a x x a y-=-， ∴y=﹣2155a x x a a++-， ∴当x=522b a a +-=时，﹣215551·5223a a a a a +++⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 解得a 1=3，a 2=253（舍去）， ∴y=﹣218533x x +-， 当y=14时，14=﹣218533x x +-， 解得x 1=72，x 2=92， 当E 在AB 上时，y=14时， x=3﹣14=114， 故①②正确，故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，综合性较强，弄清题意，正确画出符合条件的图形，熟练运用二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．7．B【解析】【分析】由中位数的概念，即最中间一个或两个数据的平均数；可知15人成绩的中位数是第8名的成绩．根据题意可得：参赛选手要想知道自己是否能进入前8 名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【详解】解：由于15个人中，第8名的成绩是中位数，故小方同学知道了自己的分数后，想知道自己能否进入决赛，还需知道这十五位同学的分数的中位数．故选B．【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．8．D【解析】【分析】直接利用相反数以及绝对值的定义得出x，y的值，进而得出答案．【详解】解：∵x是1的相反数，|y|=3，∴x=-1，y=±3，∴y-12x=4或-1．故选D．【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，正确得出x，y的值是解题关键．9．C【解析】【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE 等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可求得△PBC的面积．【详解】延长AP交BC于E．∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∴∠ABP＝∠EBP，∠APB＝∠BPE＝90°．在△APB和△EPB中，∵，∴△APB≌△EPB（ASA），∴S△APB＝S△EPB，AP＝PE，∴△APC和△CPE等底同高，∴S△APC＝S△PCE，∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE S△ABC＝4cm1．故选C．【点睛】本题考查了三角形面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出S△PBC＝S△PBE+S△PCE S△ABC．10．A【解析】【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可得出答案．【详解】解：原式=(2000+1)×(2000-1)=20002-1，故选A．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．11．B【解析】试题分析：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选B．【考点】中心对称图形．12．A【解析】【分析】根据绝对值的性质进行解答即可【详解】解：﹣1的绝对值是：1．故选：A．【点睛】此题考查绝对值，难度不大二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．＞【解析】【分析】分别根据方差公式计算出甲、乙两人的方差，再比较大小．【详解】 ∵x x =甲乙=8，∴2S 甲=15[（7﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（6﹣8）2+（10﹣8）2]=15（1+1+0+4+4）=2，2S 乙=15[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]=15（1+0+1+0+0）=0.4，∴2S 甲＞2S 乙． 故答案为：＞．【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．14．2a ≥-【解析】【分析】首先解每个不等式，然后根据不等式无解，即两个不等式的解集没有公共解即可求得．【详解】3122x a x x ->⎧⎨->-⎩①②， 解①得：x ＞a+3，解②得：x ＜1．根据题意得：a+3≥1，解得：a≥-2．故答案是：a≥-2．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤.．15．2【解析】【分析】.【详解】解：2到5之间可以为：2（答案不唯一），故答案为：2（答案不唯一）．【点睛】此题考查无理数的估算，解题的关键在于利用题中所给有理数的大小求符合题意的答案.16．k＞－14且k≠1【解析】由题意知，k≠1，方程有两个不相等的实数根，所以△＞1，△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1＞1．又∵方程是一元二次方程，∴k≠1，∴k＞-1/4 且k≠1．17．2【解析】【分析】凸六边形ABCDEF，并不是一规则的六边形，但六个角都是110°，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．【详解】解：如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．∵六边形ABCDEF的六个角都是110°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等边三角形．∴GC=BC=3，DP=DE=1．∴GH=GP=GC+CD+DP=3+3+1=8，FA=HA=GH-AB-BG=8-1-3=4，EF=PH-HF-EP=8-4-1=1．∴六边形的周长为1+3+3+1+4+1=2．故答案为2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定定理；解题中巧妙地构造了等边三角形，从而求得周长．是非常完美的解题方法，注意学习并掌握．18．30°【解析】试题解析：∵关于x 的方程2sin 0x α+=有两个相等的实数根，∴(241sin 0V ，α=-⨯⨯= 解得：1sin 2α=， ∴锐角α的度数为30°；故答案为30°．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．-1.【解析】【分析】直接利用负指数幂的性质以及算术平方根的性质分别化简得出答案．【详解】原式=﹣1+1﹣3=﹣1．【点睛】本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题的关键．20．（1）详见解析；（1）6-【解析】【分析】(1)连接OE 交DF 于点H ，由切线的性质得出∠F+∠EHF =90∘，由FD ⊥OC 得出∠DOH+∠DHO =90∘，依据对顶角的定义得出∠EHF ＝∠DHO ，从而求得∠F=∠DOH ，依据∠CBE=12∠DOH ，从而即可得证； (1)依据圆周角定理及其推论得出∠F=∠COE ＝1∠CBE =30°，求出OD 的值，利用锐角三角函数的定义求出OH 的值，进一步求得HE 的值，利用锐角三角函数的定义进一步求得EF 的值．【详解】（1）证明：连接OE 交DF 于点H ，∵EF 是⊙O 的切线，OE 是⊙O 的半径，∴OE ⊥EF ．∴∠F+∠EHF ＝90°．∵FD ⊥OC ，∴∠DOH+∠DHO＝90°．∵∠EHF＝∠DHO，∴∠F＝∠DOH．∵∠CBE＝12∠DOH，∴12 CBE F ∠=∠（1）解：∵∠CBE＝15°，∴∠F＝∠COE＝1∠CBE＝30°．∵⊙O的半径是23，点D是OC中点，∴3OD=．在Rt△ODH中，cos∠DOH＝OD OH，∴OH＝1．∴232HE=-．在Rt△FEH中，tan=EHFEF∠∴3623EF EH==-【点睛】本题主要考查切线的性质及直角三角形的性质、圆周角定理及三角函数的应用，掌握圆周角定理和切线的性质是解题的关键．21．（1）60；（2）26【解析】（1）由平行线的性质以及方向角的定义得出∠FBA=∠EAB=30°，∠FBC=75°，那么∠ABC=45°，又根据方向角的定义得出∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，利用三角形内角和定理求出∠C=60°；（2）作AD⊥BC交BC于点D，解Rt△ABD，得出2，解Rt△ACD，得出6，根据BC=BD+CD即可求解.解：（1）如图所示，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABC=45°，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∴∠C=60°．故答案为60；（2）如图，作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，∵∠ABD=45°，AB=60，∴2．在Rt△ACD中，∵∠C=60°，2，∴tanC=AD CD，∴30236，∴26．答：该船与B港口之间的距离CB的长为（26）海里．22．不需要改道行驶【解析】【详解】解：过点A作AH⊥CF交CF于点H，由图可知，∵∠ACH=75°－15°=60°， ∴()3 1.732AH AC sin60125125108.252=⋅︒==⨯=米． ∵AH ＞100米，∴消防车不需要改道行驶．过点A 作AH ⊥CF 交CF 于点H ，应用三角函数求出AH 的长，大于100米，不需要改道行驶，不大于100米，需要改道行驶．23．y=2x +2x ；（－1，－1）.【解析】试题分析：首先将两点代入解析式列出关于b 和c 的二元一次方程组，然后求出b 和c 的值，然后将抛物线配方成顶点式，求出顶点坐标. 试题解析：将点（0,0）和（1,3）代入解析式得：0{13c b c =++=解得：2{0b c == ∴抛物线的解析式为y=2x +2x ∴y=2x +2x=2(1)x +－1 ∴顶点坐标为（－1，－1）.考点：待定系数法求函数解析式.24．解：（1）22.1．（2）设需要售出x 部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为：21－[27－0.1（x －1）]=（0.1x ＋0.9）（万元），当0≤x≤10，根据题意，得x·（0.1x ＋0.9）＋0.3x=12，整理，得x 2＋14x －120=0，解这个方程，得x 1=－20（不合题意，舍去），x 2=2．当x ＞10时，根据题意，得x·（0.1x ＋0.9）＋x=12，整理，得x 2＋19x －120=0，解这个方程，得x 1=－24（不合题意，舍去），x 2=3．∵3＜10，∴x 2=3舍去．答：要卖出2部汽车．【解析】一元二次方程的应用．（1）根据若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，得出该公司当月售出3部汽车时，则每部汽车的进价为：27－0.1×2=22.1．，（2）利用设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润，根据当0≤x≤10，以及当x＞10时，分别讨论得出即可．25．（1）见解析；（2）EC＝1．【解析】【分析】（1）由AB＝AC，可知∠B＝∠C，再由DE⊥BC，可知∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，然后余角的性质可推出∠F＝∠BDE，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F＝∠FDA，于是得到结论；（2）根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵FE⊥BC，∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，∴∠F＝∠BDE，而∠BDE＝∠FDA，∴∠F＝∠FDA，∴AF＝AD，∴△ADF是等腰三角形；（2）∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵∠B＝60°，BD＝1，∴BE＝12BD＝2，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝AD+BD＝6，∴EC＝BC﹣BE＝1．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、余角的性质、对顶角的性质等知识点，关键根据相关的性质定理，通过等量代换推出∠F＝∠FDA，即可推出结论．26．（1）两次下降的百分率为10%；（2）要使每月销售这种商品的利润达到110元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.1元．【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为 x ，（1﹣x ）2 为两次降价后的百分率，40元 降至 32.4元 就是方程的等量条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得 110 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可【详解】解：（1）设每次降价的百分率为 x ．40×（1﹣x ）2＝32.4x ＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%； （2）设每天要想获得 110 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由题意，得()4030y (448)5100.5y --⨯+= 解得：1y ＝1.1，2y ＝2.1，∵有利于减少库存，∴y ＝2.1．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 110 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.1 元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．27．1a b+ 【解析】【分析】根据分式的混合运算法则把原式进行化简即可.【详解】原式=()()b a b a b +-÷（a a b -﹣a b a b--） =()()b a b a b +-÷a a b a b-+- =()()b a b a b +-•a b b -=1a b．【点睛】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式的混合运算的法则是解答此题的关键.。

上海市浦东新区2019-2020学年中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为弧BD 的中点，若∠DAB=50°，则∠ABC 的大小是（ ）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°2．下列各运算中，计算正确的是（ ）A ．1234a a a ÷=B ．()32639a a =C ．()222a b a b +=+D ．2236a a a ⋅=3．如图，AB ∥CD ，FH 平分∠BFG ，∠EFB ＝58°，则下列说法错误的是（ ）A ．∠EGD ＝58°B ．GF ＝GHC ．∠FHG ＝61°D ．FG ＝FH4．如图，△ADE 绕正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转90°，得△ABF ，连接EF 交AB 于H ，有如下五个结论①AE ⊥AF ；②EF ：AF=2：1；③AF 2=FH•FE ；④∠AFE=∠DAE+∠CFE ⑤ FB ：FC=HB ：EC ．则正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 5．若函数2m y x +=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞﹣2B ．m ＜﹣2C ．m ＞2D ．m ＜26．下列运算正确的是（ ）A ．x 2•x 3＝x 6B ．x 2+x 2＝2x 4C ．（﹣2x ）2＝4x 2D ．（ a+b ）2＝a 2+b 27．一个几何体的俯视图如图所示，其中的数字表示该位置上小正方体的个数，那么这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．8．下列计算，结果等于a4的是（）A．a+3a B．a5﹣a C．（a2）2D．a8÷a29．下列各数中是有理数的是（）A．πB．0 C．2D．35 10．如图，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集（）A．53xx≥-⎧⎨>-⎩B．53xx>-⎧⎨≥-⎩C．53xx<⎧⎨<-⎩D．53xx<⎧⎨>-⎩11．衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意，列方程为()A．3036101.5x x-=B．3030101.5x x-=C．3630101.5x x-=D．3036101.5x x+=12．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果∠1=30°，那么∠2的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．某市对九年级学生进行“综合素质”评价，评价结果分为A，B，C，D，E五个等级．现随机抽取了500名学生的评价结果作为样本进行分析，绘制了如图所示的统计图．已知图中从左到右的五个长方形的高之比为2：3：3：1：1，据此估算该市80000名九年级学生中“综合素质”评价结果为“A”的学生约为_____人．14．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（3a，a）是反比例函数kyx（k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为▲ ．15．若二次函数y＝－x2－4x＋k的最大值是9，则k＝______．16．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=5．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为2；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+6；⑤S正方形ABCD=4+6．其中正确结论的序号是．17．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为__________．18．把抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的新的抛物线的表达式是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴交于点A，顶点为点B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线BC的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为1．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移（）个单位后与直线BC只有一个公共点，求的取值范围．20．（6分）列方程解应用题：某市今年进行水网升级，1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13，小丽家去年12月的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3，求该市今年居民用水的价格．21．（6分）M中学为创建园林学校，购买了若干桂花树苗，计划把迎宾大道的一侧全部栽上桂花树（两端必须各栽一棵），并且每两棵树的间隔相等，如果每隔5米栽1棵，则树苗缺11棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完，求购买了桂花树苗多少棵？22．（8分）某学校要了解学生上学交通情况，选取七年级全体学生进行调查，根据调查结果，画出扇形统计图（如图），图中“公交车”对应的扇形圆心角为60°，“自行车”对应的扇形圆心角为120°，已知七年级乘公交车上学的人数为50人．（1）七年级学生中，骑自行车和乘公交车上学的学生人数哪个更多？多多少人？（2）如果全校有学生2400人，学校准备的600个自行车停车位是否足够？23．（8分）矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC边于点E，P为DE上的一点（PE＜PD），PM⊥PD，PM交AD边于点M．（1）若点F是边CD上一点，满足PF⊥PN，且点N位于AD边上，如图1所示．求证：①PN=PF；②DF+DN=2DP；（2）如图2所示，当点F在CD边的延长线上时，仍然满足PF⊥PN，此时点N位于DA边的延长线上，如图2所示；试问DF，DN，DP有怎样的数量关系，并加以证明．24．（10分）工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？25．（10分）如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，点P是边OB上的点．（1）利用直尺和圆规在图1确定点P，使得PM=PN；（2）设OM=x，ON=x+4，①若x=0时，使P、M、N构成等腰三角形的点P有个；②若使P、M、N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是____________．26．（12分）如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD 为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°.求这两座建筑物的高度（结果保留根号）.27．（12分）作图题：在∠ABC 内找一点P ，使它到∠ABC 的两边的距离相等，并且到点A 、C 的距离也相等．（写出作法，保留作图痕迹）参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】连接OC ，因为点C 为弧BD 的中点，所以∠BOC=∠DAB=50°，因为OC=OB ，所以∠ABC=∠OCB=65°，故选C ．2．D【解析】【分析】利用同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及完全平方公式即可判断．【详解】A 、12394a a a a ÷=≠，该选项错误；B 、()32663279a a a =≠，该选项错误；C 、()222222a b a ab b a b +=++≠+，该选项错误；D 、2236a a a ⋅=，该选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、除法法则，幂的乘方法则以及完全平方公式，正确理解法则是关键． 3．D【解析】【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到正确的结论．【详解】解：AB CD EFB 58∠︒Q P ，＝，EGD 58＝∠∴︒，故A 选项正确；FH BFG ∠Q 平分，BFH GFH ∠∠∴＝，又AB CD Q PBFH GHF ∠∠∴＝，GFH GHF ∠∠∴＝，GF GH ＝，∴故B 选项正确； BFE 58FH ∠︒Q ＝，平分BFG ∠， ()118058612BFH ︒︒︒∴∠=-=， AB CD Q PBFH GHF 61∠∠∴︒＝＝，故C 选项正确；FGH FHG ∠∠≠Q ，FG FH ∴≠，故D 选项错误；故选D ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等． 4．C【解析】【分析】由旋转性质得到△AFB≌△AED，再根据相似三角对应边的比等于相似比，即可分别求得各选项正确与否. 【详解】解：由题意知，△AFB≌△AED∴AF=AE，∠FAB=∠EAD，∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°.∴AE⊥AF，故此选项①正确；∴∠AFE=∠AEF=∠DAE+∠CFE，故④正确；∵△AEF是等腰直角三角形，有：1，故此选项②正确；∵△AEF与△AHF不相似，∴AF2=FH·FE不正确.故此选项③错误，∵HB//EC，∴△FBH∽△FCE，∴FB:FC=HB:EC，故此选项⑤正确.故选：C【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练地应用旋转的性质以及相似三角形的性质是解决问题的关键.5．B【解析】【分析】根据反比例函数的性质，可得m+1＜0，从而得出m的取值范围．【详解】∵函数2myx+=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，∴m+1＜0，解得m＜-1．故选B．6．C【解析】【分析】根据同底数幂的法则、合并同类项的法则、积的乘方法则、完全平方公式逐一进行计算即可．【详解】A、x2•x3＝x5，故A选项错误；B、x2+x2＝2x2，故B选项错误；C、(﹣2x)2＝4x2，故C选项正确；D、( a+b)2＝a2+2ab+b2，故D选项错误，故选C．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方以及完全平方公式，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键7．A【解析】【分析】一一对应即可.【详解】最左边有一个，中间有两个，最右边有三个，所以选A.【点睛】理解立体几何的概念是解题的关键.8．C【解析】【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．【详解】A．a+3a=4a，错误；B．a5和a不是同类项，不能合并，故此选项错误；C．（a2）2=a4，正确；D．a8÷a2=a6，错误．故选C．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方，关键是正确掌握计算法则．9．B【解析】【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，结合无理数的定义进行判断即可得答案．【详解】A、π是无限不循环小数，属于无理数，故本选项错误；B、0是有理数，故本选项正确；C是无理数，故本选项错误；D故选B．【点睛】本题考查了实数的分类，熟知有理数是有限小数或无限循环小数是解题的关键．10．B【解析】【分析】根据数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集，再对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：由数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集为：x≥-3，A、不等式组53xx≥-⎧⎨>-⎩的解集为x＞-3，故A错误；B、不等式组53xx>-⎧⎨≥-⎩的解集为x≥-3，故B正确；C、不等式组53xx<⎧⎨<-⎩的解集为x＜-3，故C错误；D、不等式组53xx<⎧⎨>-⎩的解集为-3＜x＜5，故D错误．故选B．【点睛】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，根据题意得出数轴上不等式组的解集是解答此题的关键．11．A【解析】【分析】根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数-改良后种植的亩数10=亩，根据等量关系列出方程即可．【详解】设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为：3036101.5x x-=．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．12．D【解析】如图，因为，∠1=30°，∠1+∠3=60°，所以∠3=30°，因为AD∥BC，所以∠3=∠4，所以∠4=30°，所以∠2=180°-90°-30°=60°，故选D.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．16000【解析】【分析】用毕业生总人数乘以“综合素质”等级为A的学生所占的比即可求得结果．【详解】∵A，B，C，D，E五个等级在统计图中的高之比为2：3：3：1：1，∴该市80000名九年级学生中“综合素质”评价结果为“A”的学生约为80000×223311++++=16000，故答案为16000.【点睛】本题考查了条形统计图的应用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．14．3yx =．【解析】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数图象的对称性，正方形的性质．【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的，设小正方形的边长为b，图中阴影部分的面积等于9可求出b的值，从而可得出直线AB的表达式，再根据点P（2a，a）在直线AB上可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式：∵反比例函数的图象关于原点对称，∴阴影部分的面积和正好为小正方形的面积．设正方形的边长为b，则b2=9，解得b=3．∵正方形的中心在原点O ，∴直线AB 的解析式为：x=2．∵点P （2a ，a ）在直线AB 上，∴2a=2，解得a=3．∴P （2，3）．∵点P 在反比例函数3y x=（k ＞0）的图象上，∴k=2×3=2． ∴此反比例函数的解析式为：． 15．5【解析】y=−(x−2)2+4+k ，∵二次函数y=−x2−4x+k 的最大值是9，∴4+k=9，解得：k=5，故答案为：5.16．①③⑤【解析】【分析】①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD ，再结合已知条件利用SAS 可证两三角形全等； ②过B 作BF ⊥AE ，交AE 的延长线于F ，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE ，结合△AEP 是等腰直角三角形，可证△BEF 是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF 、BF ；③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB ，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证； ④连接BD ，求出△ABD 的面积，然后减去△BDP 的面积即可；⑤在Rt △ABF 中，利用勾股定理可求AB 2，即是正方形的面积．【详解】①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠EAB=∠PAD ，又∵AE=AP ，AB=AD ，∵在△APD 和△AEB 中，AE AP EAB PAD AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APD ≌△AEB （SAS ）；故此选项成立；③∵△APD≌△AEB，∴∠APD=∠AEB，∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，∴∠BEP=∠PAE=90°，∴EB⊥ED；故此选项成立；②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，∵AE=AP，∠EAP=90°，∴∠AEP=∠APE=45°，又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，∴∠FEB=∠FBE=45°，又∵BE= 22BP PE-= 52-= 3，∴BF=EF=62，故此选项不正确；④如图，连接BD，在Rt△AEP中，∵AE=AP=1，∴2又∵5∴3∵△APD≌△AEB，∴3∴S △ABP+S △ADP=S △ABD-S △BDP= 12S 正方形ABCD-12×DP×BE=12×（6）-12×33=126故此选项不正确．⑤∵6AE=1，∴在Rt△ABF中，AB 2=（AE+EF）2+BF 2，∴S 正方形ABCD=AB 2，故此选项正确．故答案为①③⑤．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识．17．1【解析】【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•110 （n≥3）可得方程110（x﹣2）＝1010，再解方程即可．【详解】解：设多边形边数有x条，由题意得：110（x﹣2）＝1010，解得：x＝1，故答案为：1．【点睛】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•110 （n≥3）．18．y=1（x﹣3）1﹣1．【解析】【分析】抛物线的平移，实际上就是顶点的平移，先求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移规律，推出新抛物线的顶点坐标，根据顶点式可求新抛物线的解析式．【详解】∵y=1x1的顶点坐标为（0，0），∴把抛物线右平移3个单位，再向下平移1个单位，得新抛物线顶点坐标为（3，﹣1），∵平移不改变抛物线的二次项系数，∴平移后的抛物线的解析式是y=1（x﹣3）1﹣1．故答案为y=1（x﹣3）1﹣1．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)1+k （a，b，c 为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）（2）．【解析】试题分析：（1）首先根据抛物线求出与轴交于点A，顶点为点B的坐标，然后求出点A 关于抛物线的对称轴对称点C的坐标，设设直线BC的解析式为．代入点B，点C的坐标，然后解方程组即可；（2）求出点D、E、F的坐标，设点A平移后的对应点为点，点D平移后的对应点为点．当图象G向下平移至点与点E重合时，点在直线BC上方，此时t=1；当图象G向下平移至点与点F重合时，点在直线BC下方，此时t=2．从而得出.试题解析：解：（1）∵抛物线与轴交于点A，∴点A的坐标为（0，2）．1分∵，∴抛物线的对称轴为直线，顶点B的坐标为（1，）．2分又∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，∴点C的坐标为(2，2)，且点C在抛物线上．设直线BC的解析式为．∵直线BC经过点B（1，）和点C(2，2)，∴解得∴直线BC的解析式为．2分（2）∵抛物线中，当时，，∴点D的坐标为(1，6)．1分∵直线中，当时，，当时，，∴如图，点E的坐标为(0，1)，点F的坐标为(1，2)．设点A平移后的对应点为点，点D平移后的对应点为点．当图象G向下平移至点与点E重合时，点在直线BC上方，此时t=1；5分当图象G向下平移至点与点F重合时，点在直线BC下方，此时t=2．6分结合图象可知，符合题意的t的取值范围是．7分考点：1.二次函数的性质；2.待定系数法求解析式；2.平移.20．2.4元/米3【解析】【分析】利用总水费÷单价=用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m 3，进而得出等式即可．【详解】解：设去年用水的价格每立方米x 元，则今年用水价格为每立方米1.2x 元 由题意列方程得：301551.2x x-= 解得x 2=经检验，x 2=是原方程的解 1.2x 2.4=(元/立方米)答：今年居民用水的价格为每立方米2.4元．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，正确表示出用水量是解题关键．21．购买了桂花树苗1棵【解析】分析：首先设购买了桂花树苗x 棵，然后根据题意列出一元一次方程，从而得出答案．详解：设购买了桂花树苗x 棵，根据题意，得：5(x+11-1)=6(x-1)， 解得x=1．答：购买了桂花树苗1棵．点睛：本题主要考查的是一元一次方程的应用，属于基础题型．解决这个问题的关键就是找出等量关系以及路的长度与树的棵树之间的关系．22．（1）骑自行车的人数多，多50人；（2）学校准备的600个自行车停车位不足够，理由见解析【解析】分析: （1）根据乘公交车的人数除以乘公交车的人数所占的比例，可得调查的样本容量，根据样本容量乘以自行车所占的百分比，可得骑自行车的人数，根据有理数的减法，可得答案；（2）根据学校总人数乘以骑自行车所占的百分比，可得答案.详解:（1）乘公交车所占的百分比60360=16， 调查的样本容量50÷16=300人，骑自行车的人数300×120360=100人， 骑自行车的人数多，多100﹣50=50人；（2）全校骑自行车的人数2400×120360=800人， 800＞600，故学校准备的600个自行车停车位不足够．点睛: 本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.23．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）DN DF-，证明见解析．【解析】【分析】（1）①利用矩形的性质，结合已知条件可证△PMN≌△PDF，则可证得结论；②由勾股定理可求得DP，利用①可求得MN=DF，则可证得结论；（2）过点P作PM1⊥PD，PM1交AD边于点M1，则可证得△PM1N≌△PDF，则可证得M1N=DF，同（1）②的方法可证得结论．【详解】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°．又∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠EDC=45°；∵PM⊥PD，∠DMP=45°，∴DP=MP．∵PM⊥PD，PF⊥PN，∴∠MPN+∠NPD=∠NPD+∠DPF=90°，∴∠MPN=∠DPF．在△PMN和△PDF中，PMN PDFPM PDMPN DPF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△PMN≌△PDF（ASA），∴PN=PF，MN=DF；②∵PM⊥PD，DP=MP，∴DM2=DP2+MP2=2DP2，∴DP．∵又∵DM=DN+MN，且由①可得MN=DF，∴DM=DN+DF，∴DP；（2）DN DF-=．理由如下：过点P作PM1⊥PD，PM1交AD边于点M1，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°．又∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠EDC=45°；∵PM1⊥PD，∠DM1P=45°，∴DP=M1P，∴∠PDF=∠PM1N=135°，同（1）可知∠M1PN=∠DPF．在△PM1N和△PDF中111PM N PDFPM PDM PN DPF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△PM1N≌△PDF（ASA），∴M1N=DF，由勾股定理可得：21DM=DP2+M1P2=2DP2，∴DM12DP．∵DM1=DN﹣M1N，M1N=DF，∴DM1=DN﹣DF，∴DN﹣DF=2DP．【点睛】本题为四边形的综合应用，涉及矩形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识．在每个问题中，构造全等三角形是解题的关键，注意勾股定理的应用．本题考查了知识点较多，综合性较强，难度适中．24．裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.【解析】试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x）dm，宽为（6-2x）dm，根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.试题解析：设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.25．（1）见解析；（2）①1；②：x=0或2﹣4或4＜x＜2；【解析】【分析】（1）分别以M、N为圆心，以大于12MN为半径作弧，两弧相交与两点，过两弧交点的直线就是MN的垂直平分线；（2）①分为PM=PN，MP=MN，NP=NM三种情况进行判断即可；②如图1，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；如图4，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．【详解】解：（1）如图所示：（2）①如图所示：故答案为1．②如图1，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，∴MC⊥OB，∵∠AOB=45°，∴△MCO是等腰直角三角形，∴MC=OC=4，∴42=OM，当M与D重合时，即424=-=时，同理可知：点P恰好有三个；x OM DM如图4，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆．则⊙M 与OB 除了O 外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN 为顶角，MN 为腰，符合条件的点P 有一个，以N 圆心，以MN 为半径画圆，与直线OB 相离，说明此时以∠PNM 为顶角，以MN 为腰，符合条件的点P 不存在，还有一个是以NM 为底边的符合条件的点P ；点M 沿OA 运动，到M 1时，发现⊙M 1与直线OB 有一个交点； ∴当442x <<时，圆M 在移动过程中，则会与OB 除了O 外有两个交点，满足点P 恰好有三个； 综上所述，若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x 的值是：x=0或424x =-或442x <<．故答案为x=0或424x =-或442x <<．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，有难度，本题通过数形结合的思想解决问题，解题的关键是熟练掌握已知一边，作等腰三角形的画法．26．甲建筑物的高AB 为（303－30）m ，乙建筑物的高DC 为303m【解析】【详解】如图，过A 作AF ⊥CD 于点F ，在Rt △BCD 中，∠DBC=60°，BC=30m ，∵CD BC=tan ∠DBC ， ∴3，∴乙建筑物的高度为3；在Rt△AFD中，∠DAF=45°，∴DF=AF=BC=30m，∴AB=CF=CD﹣DF=（303﹣30）m，∴甲建筑物的高度为（303﹣30）m．27．见解析【解析】【分析】先作出∠ABC的角平分线，再连接AC，作出AC的垂直平分线，两条平分线的交点即为所求点．【详解】①以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BC、AB于D、E两点；②分别以D、E为圆心，以大于12DE为半径画圆，两圆相交于F点；③连接AF，则直线AF即为∠ABC的角平分线；⑤连接AC，分别以A、C为圆心，以大于12AC为半径画圆，两圆相交于F、H两点；⑥连接FH交BF于点M，则M点即为所求．【点睛】本题考查的是角平分线及线段垂直平分线的作法，熟练掌握是解题的关键．。

2020年上海市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列根式中，与√3是同类二次根式的是()A. 4√6B. √18C. √32 D. √122.用换元法解方程x2−12x −4xx2−12=3时，设x2−12x=y，则原方程可化为()A. y−1y −3=0 B. y−4y−3=0 C. y−1y+3=0 D. y−4y+3=03.空气是由多种气体混合而成的，为了简明扼要地介绍空气的组成情况，较好地描述数据，最适合使用的统计图是()A. 扇形统计图B. 条形统计图C. 折线统计图D. 以上都可以4.若反比例函数y=kx的图象经过点(2,3)，则k的值是()A. 2B. 3C. 6D. 15.下列命题中，正确的是()A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 有一个角为90°的四边形是平行四边形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线相等的菱形是正方形6.下列图形中可由其中的部分图形经过平移得到的是()A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.计算：2a2⋅3ab=______．8.已知函数f(x)=1x−2，那么f(0)=______．9.若正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图像经过第一、三象限，则k的值可以是____.(写出一个值即可)．10.若关于x的方程2x2−3x+k=0有两个相等的实数根，则k值为．11.从0～9这些自然数中，任取一个，是4的倍数的概率是______ ．12. 如果将抛物线y =3(x +1)2向上平移1个单位，再向左平移2个单位，那么所得到的抛物线的表达式是______．13. 每年5月11日是由世界卫生组织确定的世界防治肥胖日，某校为了解全校2000名学生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，根据体质指数(BMI)标准，体重超标的有15名学生，则估计全校体重超标学生的人数为________名．14. 如图所示，为了测量一棵树AB 的高度，测量者在D 点立一高CD =2米的标杆，现测量者从E 处可以看到杆顶C 与树顶A 在同一直线上，如果测得BD =20米，FD =4米，EF =1.8米，则树的高度为__________．15. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，联结AE 、BD 交于点F ，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用a ⃗ 、b ⃗ 表示DF ⃗⃗⃗⃗⃗=______．16. 波波和爸爸两人以相同路线从家出发，步行前往公园．图中OA 、BC 分别表示爸爸和波波所走的路程y(米)与爸爸步行的时间x(分)的函数图象，已知爸爸从家步行到公园所花的时间比波波的2倍还多10分钟．则在步行过程中，他们父子俩相距的最远路程是______ 米．17. 如图，在△ABC 中，∠CAB =90°，AB =6，AC =4，CD 是△ABC 的中线，将△ABC 沿直线CD 翻折，点B′是点B 的对应点，点E 是线段CD 上的点，如果∠CAE =∠BAB′，那么CE 的长是______．18. 如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E ，交边AD 于点F ，已知AD =5，AE =2，AF =4.如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O有两个公共点，那么r 的取值范围是______．三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）19. 化简：(12)−2−|2√2−3|+3√18；20. 解不等式组{2x ≤x +4x+33−x <−1．四、解答题（本大题共5小题，共58.0分）21. 如图，在四边形ABCD 中，∠BCD 是钝角，AB =AD ，BD 平分∠ABC ，若CD =3，BD =2√6，sin∠DBC =√33，求对角线AC 的长．22.某旅游商店8月份营业额为15万元，9月份下降了20%.受“十一”黄金周以及经济利好因素的影响，10月份、11月份营业额均比上一个月有所增长，10月份增长率是11月份增长率的1.5倍，已知该旅游商店11月份营业额为24万元．(1)问：9月份的营业额是多少万元？(2)求10月份营业额的增长率．23.如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．(1)求证：△ABE≌△ADE；(2)求证：EB2=EF⋅EG；(3)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，AE：EC=1：3，求BG的长．24.在平面直角坐标系xOy中抛物线y=−x2+bx+c经过点A、B、C，已知A(−1,0)，C(0,3)．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M(m,0)是x轴上一动点，若∠MNC=90°，直接写出实数m的取值范围．25.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．(1)求证：OD⊥BE．(2)若DE=√6，AB=6，求AE的长．(3)若△CDE的面积是△OBF面积的2，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由．3【答案与解析】1.答案：D解析：此题主要考查同类二次根式的定义，属于基础题，化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．可先将各二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同即可作出判断．解：A．4√6与√3不是同类二次根式，故本选项错误；B.√18=3√2与√3不是同类二次根式，故本选项错误；C.√32=√62与√3不是同类二次根式，故本选项错误；D.√12=2√3与√3是同类二次根式，故本选项正确；故选D．2.答案：B解析：【试题剖析】【试题解析】解：∵设x2−12x=y，∴x2−12x −4xx2−12=3，可转化为：y−4y=3，即y−4y−3=0．故选：B．直接利用已知将原式用y替换得出答案．此题主要考查了换元法解分式方程，正确得出y与x值间的关系是解题关键．3.答案：A解析：此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答．条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可．解：根据统计图的特点可知：空气是由多种气体混合而成的，为了简明扼要地介绍空气的组成情况，较好地描述数据，最适合使用的统计图是扇形统计图；故选A．4.答案：C解析：本题主要考查的是反比例函数的图象，求反比例函数的解析式的有关知识．把点(2,3)代入已知函数解析式，列出关于k的方程，通过解方程来求k的值．，解：由题意得3=k2解得k=6．故选C．5.答案：D解析：解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形还可能是等腰梯形，故错误；B、有一个角是90°的平行四边形是矩形，故错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；D、对角线相等的菱形是正方形，正确；故选D．利于平行四边形的判定方法、矩形的判定方法及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的判定方法、矩形的判定方法及正方形的判定方法，难度不大．6.答案：A解析：根据平移的性质，平移不改变图形的形状和大小对各选项分析判断即可得解．本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．解：A、可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项正确；B、不可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项错误；C、不可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项错误；D、不可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项错误．故选：A．7.答案：6a3b解析：解：2a2⋅3ab=6a3b，故答案为：6a3b.根据单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，计算可得．本题主要考查单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则．8.答案：−12解析：本题考查了函数值的知识，将自变量的取值代入函数解析式即可求得答案．将x=0代入f(x)=1x−2求解即可．解：∵函数f(x)=1x−2，∴f(0)=10−2=−12，故答案为：−12．9.答案：2(答案不唯一)解析：本题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，图象经过二、四象限，y 随x的增大而减小．根据正比例函数的性质可得k>0，写一个符合条件的数即可．解：∵正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过一、三象限，∴k>0∴k的值可以是2．故答案为2．10.答案：98解析：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．根据关于x的方程2x2−3x+k=0有两个相等的实数根可得△=(−3)2−4×2k=0，求出k的值即可．解：∵关于x的方程2x2−3x+k=0有两个相等的实数根，∴△=(−3)2−4×2k=0，∴9−8k=0，∴k=9．8故答案为9．811.答案：310解析：解：∵从0−9这10个自然数中任取一个数，每个数被取到的机会相同，即这10个结果出现的机会相同，在这10个数中是4的倍数的有0，4，8共3个数，∴P(是4的倍数)=3．10．故答案为：310首先得出从0−9有10个自然数，在这10个数中是4的倍数的有0，4，8共3个数，进而得出概率．此题主要考查了概率公式，正确理解列举法求概率应用的条件，是解题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12.答案：y=3(x+3)2+1解析：解：抛物线y=3(x+1)2的顶点坐标为(−1,0)，把点(−1,0)向上平移1个单位，再向右平移2个单位得到点(−3,1)，所以所得到的抛物线的表达式为y=3(x+3)2+1．故答案为y=3(x+3)2+1．先得到抛物线y=3(x+1)2的顶点坐标为(−1,0)，再根据题意把点(−1,0)向上平移1个单位，再向左平移2个单位得到点(−3,1)，则可根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13.答案：150解析：本题考查用样本估计总体．用全校学生乘以样本中体重超标学生占的比例，即可求解．=150(名)解：2000×15200故答案为150．14.答案：3米解析：本题考查相似三角形的应用，属于中档题．过E作EH⊥AB于H，交CD于G，利用相似三角形的性质即可得出结论．解：如图，过E作EH⊥AB于H，交CD于G；则：CG=CD−EF=0.2米，EG=FD=4米，EH=BF=BD+DF=24米；可得CG//AH ，可知：△CEG∽△AEH ，则有：CG AH =EG EH ，即：0.2AH =424，解得：AH =1.2米；∴AB =AH +BH =AH +EF =3米，故答案为3米．15.答案：−13a ⃗ −12b ⃗解析：本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF⃗⃗⃗⃗⃗ 即可解决问题． 解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB//CD ，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ， ∵DE =DC ，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12b ⃗ ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −12b ， ∵DE//AB ，∴EF ：AF =DE ：AB =1：2，∴EF =13AE ，∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ ， ∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ −12b ⃗ ， 故答案为−13a ⃗ −12b ⃗ ． 16.答案：1200解析：解：波波所花的时间为(50−10)÷2=20(分钟)，爸爸的速度为3000÷50=60(米/分钟)，波波的速度为3000÷20=150(米/分钟)．根据题意得：线段OA的解析式为y=60x(0≤x≤50)；线段BC的解析式为y=150(x−10)=150x−1500(10≤x≤30)．当x=10时，60x−(150x−1500)=600；当x=30时，150x−1500−60x=1200．∵1200>600，∴他们父子俩相距的最远路程是1200米．故答案为：1200．根据父子所需时间之间的关系可算出波波所花的时间，由速度=路程÷时间即可分别算出父亲及波波的速度，再根据路程=速度×时间即可找出线段OA、BC的函数解析式，代入x=10及x=30求出y 值，比较后即可得出结论．本题考查了一次函数的应用，根据路程=速度×时间找出线段OA、BC的函数解析式是解题的关键．17.答案：165解析：解：如图，∵△CDB′是由△CDB翻折，∴∠BCD=∠DCB′，∠CBD=∠CB′D，AD=DB=DB′，∴∠DBB′=∠DB′B，∵2∠DCB+2∠CBD+2∠DBB′=180°，∴∠DCB+∠CBD+∠DBB′=90°，∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∠ACD+∠CDA=90°，∴∠ABB′=∠ACE，∵AD =DB =DB′=3，∴∠AB′B =90°，∵∠ACE =∠ABB′，∠CAE =∠BAB′，∴△ACE∽△ABB′，∴∠AEC =∠AB′B =90°，在Rt △ADC 中，∵AC =4，AD =3，∴CD =√AC 2+AD 2=5， ∵12AC ⋅AD =12⋅CD ⋅AE ， ∴AE =AC⋅ADCD =125，在Rt △ACE 中，CE =√AC 2−AE 2=√42−(125)2=165．故答案为165． 先证明∠AB′B =90°，再证明△ACE∽△ABB′，得到∠AEC =90°，利用面积法求出AE ，再利用勾股定理求出EC 即可．本题考查翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会利用相似三角形证明直角，属于中考常考题型．18.答案：√10−√5<r <√10+√5解析：解：如图，连接EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAC =90°，则EF 是⊙O 的直径，取EF 的中点O ，连接OD ，作OG ⊥AF ，则点G 是AF 的中点，∴GF =12AF =2，∴OG 是△AEF 的中位数，∴OG=12AE=1，∴OF=√OG2+GF2=√5，OD=√OG2+DG2=√10，∵圆D与圆O有两个公共点，∴√10−√5<r<√10+√5，故答案为：√10−√5<r<√10+√5．连接EF，知EF是⊙O的直径，取EF的中点O，连接OD，作OG⊥AF，知点G是AF的中点，据此可得GF=12AF=2，OG=12AE=1，继而求得OF=√OG2+GF2=√5，OD=√OG2+DG2=√10，最后根据两圆的位置关系可得答案．本题主要考查圆与圆的位置关系，解题的关键是掌握圆周角定理、圆心角定理、三角形中位线定理、勾股定理、矩形的性质及圆与圆的位置关系等知识点．19.答案：解：原式=4−(3−2√2)+3√2，=4−3+2√2+√22，=1+52√2．解析：这是一道考查实数的运算的题目，解题关键在于根据负整数指数幂和绝对值以及去分母，将原式进行化简，再进行合并．20.答案：解：解不等式2x≤x+4，得：x≤4，解不等式x+33−x<−1，得：x>3，则不等式组的解集为3<x≤4．解析：求得每一个不等式的解集，再进一步求得公共部分即可．此题考查一元一次不等式组的解集求法，其简单的求法就是利用口诀求解，“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”．21.答案：解：过D作DE⊥BC交BC的延长线于E，如图，则∠E=90°，∵sin∠DBC=√3，BD=2√6，3∴DE=2√2，∵CD=3，∴CE=1，BE=4，∴BC=3，∴BC=CD，∴∠CBD=∠CDB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠CDB，∴AB//CD，同理AD//BC，∴四边形ABCD是菱形，连接AC交BD于O，则AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=√6，∴OC=√BC2−BO2=√3，∴AC=2√3．解析：本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形有关知识，过D作DE⊥BC交BC的延长线于E，得到∠E=90°，根据三角形函数的定义得到DE=2√2，推出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=√6，根据勾股定理得到结论．22.答案：解：(1)9月份的营业额=15×(1−20%)=12(万元)；(2)设11月份的增长率为x，则10月份的增长率为1.5x，依题意，得：12(1+1.5x)(1+x)=24，, x2=−2(不合题意，舍去)，解得：x1=13=0.5．∴10月份的增长率为1.5×13答：10月份的增长率为50%．解析：本题考查了一元二次方程的应用，若原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x，经过第一次调整，就调整到a×(1±x)，再经过第二次调整就是a×(1±x)(1±x)=a(1±x)2.增长用“+”，下降用“−”．(1)用8月份的营业额×(1+增长率)计算九月份的营业额即可；(2)设设11月份的增长率为x，则10月份的增长率为1.5x，依题意，得：12(1+1.5x)(1+x)=24，解方程即可．23.答案：解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠BAC=∠DAC，又AE=AE，∴△ABE≌△ADE(SAS)；(2)∵AB//CG，∴∠ABG=∠EGD，由(1)得△ABE≌△ADE，∴ED=EB，∠ABG=∠ADE，∴∠EGD=∠ADE，∵∠FED=∠DEG，∴△EDF∽△EGD，∴EDEG =EFED，所以ED2=EF⋅EG；∴EB2=EF⋅EG；(3)∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC=AB=4．连接BD交AC于O，则AC⊥BD，OA=OC=2，OB=2√3，∵AE ：EC =1：3，∴AE =OE =1．∴BE =√(2√3)2+1=√13．∵AD//BC ，∴AE EC =EF BE =13， ∴EF =13BE =√133． 由(2)得EB 2=EF ⋅EG ，∴EG =√13)2√133=3√13， ∴BG =BE +EG =4√13．解析：【试题解析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定性质菱形的性质．线段间的转化是解题的关键．(1)用SAS 证明即可；(2)先证明△EDF∽△EGD ，得到ED 2=EF ⋅EG ，代换ED =EB 即可；(3)根据已知先求出BE 和EF 值，再根据EB 2=EF ⋅EG 求出EG 值，最后用BG =BE +EG 计算即可．24.答案：解：(1)由题意得：{−1−b +c =0c =3， 解得：{b =2c =3， ∴抛物线解析式为y =−x 2+2x +3；(2)令−x 2+2x +3=0，∴x 1=−1，x 2=3，即B(3,0)，设直线BC 的解析式为y =kx +b′，∴{b′=33k +b′=0， 解得：{k =−1b′=3， ∴直线BC 的解析式为y =−x +3，设P(a,3−a)，则D(a,−a 2+2a +3)，∴PD =(−a 2+2a +3)−(3−a)=−a 2+3a ，∴S △BDC =S △PDC +S △PDB =12PD ⋅a +12PD ⋅(3−a) =12PD ⋅3 =32(−a 2+3a) =−32(a −32)2+278， ∴当a =32时，△BDC 的面积最大，此时P(32,32)；(3)由(1)，y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4，∴E(1,4)，设N(1,n)，则0≤n ≤4，取CM 的中点Q(m 2,32)，∵∠MNC =90°，∴NQ =12CM ，∴4NQ 2=CM 2，∵NQ 2=(1−m 2)2+(n −32)2， ∴4[(1−m 2)2+(n −32)2]=m 2+9，整理得，m =n 2−3n +1，即m =(n −32)2−54，∵0≤n ≤4，当n =32时，m 最小值=−54，n =4时，，综上，m 的取值范围为：−54≤m ≤5．解析：(1)由y =−x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，A(−1,0)，C(0,3)，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；(2)首先令−x 2+2x +3=0，求得点B 的坐标，然后设直线BC 的解析式为y =kx +b′，由待定系数法即可求得直线BC 的解析式，再设P(a,3−a)，即可得D(a,−a 2+2a +3)，即可求得PD 的长，由S △BDC =S △PDC +S △PDB ，即可得S △BDC =−32(a −32)2+278，利用二次函数的性质，即可求得当△BDC 的面积最大时点P 的坐标；(3)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m =(n −32)2−54，然后根据n 的取值得到最小值和最大值．此题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的最值问题等知识．此题综合性很强，难度较大． 25.答案：(1)证明见解析；(2)4；(3)AC =√2BC ．解析：(1)连接AD.根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及平行线的性质即可证明；(2)先证△CDE∽△CAB 得CE CB =DE AB ，据此求得CE 的长，依据AE =AC −CE =AB −CE 可得答案；(3)由BD =CD 知S △CDE =S △BDE ，证△OBF∽△ABE 得，据此知S △ABE =4S △OBF ，结合S ▵CDE S ▵OBF =23知S △ABE =6S △CDE ，S △CAB =8S △CDE ，由△CDE∽△CAB 知，据此得出CDCA =2√2，结合BD =CD ，AB =AC 知BC AB =√2，从而得出答案．【详解】(1)连接AD ，∵AB 是直径，∴∠AEB =∠ADB =90°，∵AB =AC ，∴∠CAD =∠BAD ，BD =CD ，∴BD ⌢=ED ⌢，∴OD ⊥BE ；(2)∵∠AEB =90°，∴∠BEC =90°，∵BD =CD ，∴BC =2DE =2√6，∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠BAC+∠BDE=180°，∵∠CDE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠BAC，∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB，∴CECB =DEAB，即2√6=√66，∴CE=2，∴AE=AC−CE=AB−CE=4；(3)∵BD=CD，∴S△CDE=S△BDE，∵BD=CD，AO=BO，∴OD//AC，∵△OBF∽△ABE，∴，∴S△ABE=4S△OBF，∵S▵CDES▵OBF =23，∴S△ABE=4S△OBF=6S△CDE，∴S△CAB=S△CDE+S△BDE+S△ABE=8S△CDE，∵△CDE∽△CAB，∴，∴CDCA =2√2，∵BD=CD，AB=AC，∴BCAB =√2，即AC=√2BC．本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质及等底共高三角形的面积关系的问题．。

2020年上海市中考数学一模试卷含答案解析一．选择题（共6小题，每题4分，满分24分）1．函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+2B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2C．y＝﹣2（x+1）2+2D．y＝﹣2（x+1）2﹣22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则sin B的值为（）A．B．C．D．3．下列说法中，正确的是（）A．如果k＝0，是非零向量，那么k＝0B．如果是单位向量，那么＝1C．如果||＝||，那么＝或＝﹣D．已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥4．如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A、B，如果线段AB与网格线的其中两个交点为M、N，那么AM：MN：NB的值是（）A．3：5：4B．3：6：5C．1：3：2D．1：4：25．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（）A．33°B．36°C．42°D．49°6．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE②△DFP∽△BPH③DP2＝PH•PC；④FE：BC＝，其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共12小题，每题4分，满分48分）7．如果tanα＝，那么锐角α的度数是．8．已知f（x）＝，那么f（3）＝．9．已知线段AB＝2，如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么AP的值为．10．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，如果x1＜x2＜2，那么y1y2．（填“＞”“＜”或“＝”）11．如果点A（﹣3，y1）和点B（﹣2，y2）是抛物线y＝x2+a上的两点，那么y1y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）．12．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3在对称轴右侧的部分是的．（填“上升”或“下降”）13．如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为米．14．如图，在菱形ABCD中，O、E分别是AC、AD的中点，联结OE．如果AB＝3，AC＝4，那么cot∠AOE＝．15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD＝．16．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为．17．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF 与△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为．18．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC上，且∠DAC＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为．三．解答题（共7小题，满分78分）19．计算：3tan30°﹣+cos45°+20．已知：在平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2．（1）根据条件画图：作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF交CE于点G．（2）设＝，＝，那么向量＝；（用向量、表示），并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．21．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD＝150°时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？22．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝4，tan B＝3．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点．（1）求证：DE＝CF；（2）求：直径AB的长．23．水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C处，测得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求该水城门AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）24．已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝﹣2的抛物线经过点C（0，2），与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求∠BCO的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO＝∠BCO，求点P 的坐标．25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF ⊥AD交射线DE于点F．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长；（3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，每题4分，满分24分）1．【分析】先确定物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），再把点（0，0）平移所得对应点的坐标为（1，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．故选：B．2．【分析】根据三角函数的定义解决问题即可．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝＝＝5，∴sin B＝＝，故选：A．3．【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．【解答】解：A、如果k＝0，是非零向量，那么k＝0，错误，应该是k＝．B、如果是单位向量，那么＝1，错误．应该是||＝1．C、如果||＝||，那么＝或＝﹣，错误．模相等的向量，不一定平行．D、已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥，正确．故选：D．4．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出即可．【解答】解：∵＝，＝，∴AM：MN：NB＝1：3：2，故选：C．5．【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可知，物线开口向上，该函数的对称轴x＞且x＜54，∴36＜x＜54，即对称轴位于直线x＝36与直线x＝54之间且靠近直线x＝36，故选：C．6．【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，在正方形ABCD中，∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°∴∠ABE＝∠DCF＝30°，∴BE＝2AE；故①正确；∵PC＝CD，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°，∵∠DBA＝45°，∴∠PBD＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，∵∠DFP＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH；故②正确；∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴，∴DP2＝PH•PC，故③正确；∵∠ABE＝30°，∠A＝90°∴AE＝AB＝BC，∵∠DCF＝30°，∴DF＝DC＝BC，∴EF＝AE+DF＝﹣BC，∴FE：BC＝（2﹣3）：3故④正确，故选：D．二．填空题（共12小题，每题4分，满分48分）7．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案．【解答】解：∵tanα＝，∴锐角α的度数是：60°．故答案为：60°．8．【分析】将x＝3代入f（x）＝计算即可．【解答】解：当x＝3是，f（3）＝＝，故答案为．9．【分析】直接利用黄金分割的定义计算．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP＝AB＝×2＝﹣1．故答案为﹣1．10．【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x﹣2）2的开口向上，对称轴为直线x＝2，则在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以x1＜x2＜2时，y1＞y2．【解答】解：∵y＝（x﹣2）2，∴a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵抛物线y＝（x﹣2）2对称轴为直线x＝2，∵x1＜x2＜2，∴y1＞y2．故答案为＞．11．【分析】根据二次函数的图象和性质得出抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，再比较即可．【解答】解：∵y＝x2+a，∴抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，∵﹣3＜﹣2＜0，∴y1＞y2，故答案为：＞．12．【分析】根据a＜0，知抛物线开口向下，则在对称轴右侧的部分呈下降趋势．【解答】解：∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴对称轴右侧的部分呈下降趋势．故答案为：下降．13．【分析】过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，∴△ODG∽△OCH，∴＝，∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，∴CD＝AB＝3.5m，OD＝OA＝3m，CH＝0.3m，∴OC＝0.5m，∴＝，∴DG＝1.8m，∵OE＝0.6m，∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6＝2.4m．故答案为：2.4．14．【分析】连接OD，根据菱形的性质、勾股定理求出OD，根据三角形中位线定理得到∠AOE＝∠ACD，根据余切的定义计算，得到答案．【解答】解：连接OD，∵四边形ABCD为菱形，∴OD⊥AC，OA＝OC＝AC＝2，由勾股定理得，OD＝＝＝，∵O、E分别是AC、AD的中点，∴OE∥CD，∴∠AOE＝∠ACD，∴cot∠AOE＝cot∠ACD＝＝＝，故答案为：．15．【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC 的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解．【解答】解：延长AD和BC交于点E．∵在直角△ABE中，tan A＝＝，AB＝3，∴BE＝4，∴EC＝BE﹣BC＝4﹣2＝2，∵△ABE和△CDE中，∠B＝∠EDC＝90°，∠E＝∠E，∴∠DCE＝∠A，∴直角△CDE中，tan∠DCE＝tan A＝＝，∴设DE＝4x，则DC＝3x，在直角△CDE中，EC2＝DE2+DC2，∴4＝16x2+9x2，解得：x＝，则CD＝．故答案是：．16．【分析】r的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4；由勾股定理，得：AB2＝32+42＝25，∴AB＝5；又∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∴CD＝r；∵S△ABC＝AC•BC＝AB•r，∴r＝，故答案为：．17．【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DEF∽△ABC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：如图，在△DEF中，DE＝，EF＝2，DF＝，则＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△DEF∽△ABC，△DEF的面积＝×2×1＝1，故答案为：1．18．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得＝，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴＝，∴＝，∴CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴＝，即＝，∴DM＝，MB＝BD﹣DM＝，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，（不用四点共圆，可以先证明△BMA∽△EMD，推出△BME∽AMD，推出∠ADB＝∠BEM也可以！）∴＝，∴BE＝＝1．故答案为：1．三．解答题（共7小题，满分78分）19．【分析】代入特殊角的三角函数值即可．【解答】解：原式＝3×﹣+×+＝﹣2+2+﹣1＝2﹣1．20．【分析】（1）首先作∠BCD的平分线，然后作BE的垂直平分线即可；（2）首先判定△GEF∽△GCD，然后根据AB：BC＝3：2，得＝＝，进而得出EF＝CD，CG＝CE，最后根据向量运算即可得结论，即可画出分向量．【解答】解：（1）作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF 交CE于点G．作图如下：（2）∵CE为∠BCD的平分线，∴∠BCE＝∠DCE又∵AB∥CD∴∠DCE＝∠BEC∴△GEF∽△GCD∵AB：BC＝3：2∴＝＝∴EF＝CD，CG＝CE∵＝，＝，∴＝＝，＝＝∵+＝，＝﹣﹣∴＝﹣（+）＝﹣（+）＝﹣﹣同理可得，＝﹣＝（+）＝（﹣）＝﹣）在向量和方向上的分向量，如图所示：故答案为：＝．21．【分析】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．（2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE是矩形，∴∠OBA＝90°，∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°，∴OD＝BD•sin60°＝20（cm），∴DE＝OD+OE＝OD+AB＝（20+5）cm；（2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH，∴在Rt△CGB中，sin∠CBH＝，∴CG＝10cm，∴KH＝10cm，∵∠BCG＝90°﹣60°＝30°，∴∠DCK＝150°﹣90°﹣30°＝30°，在Rt△DCK中，sin∠DCK＝＝＝，∴DK＝10cm，∴（20+5）﹣（15+10）＝10﹣10，答：比原来降低了（10﹣10）厘米．22．【分析】（1）直接利用垂径定理结合平行线分线段成比例定理得出DH＝HC，进而得出答案；（2）过点A作AG⊥BC，垂足为点G，再利用已知结合勾股定理得出答案．【解答】（1）证明：过点O作OH⊥DC，垂足为H．∵AD∥BC，∠ADC＝90°，OH⊥DC，∴∠BCN＝∠OHC＝∠ADC＝90°．∴AD∥OH∥BC．又∵OA＝OB．∴DH＝HC．∵OH⊥DC，OH过圆心，∴EH＝HF，∴DH﹣EH＝HC﹣HF．即：DE＝CF．（2）解：过点A作AG⊥BC，垂足为点G，∠AGB＝90°，∵∠AGB＝∠BCN＝90°，∴AG∥DC．∵AD∥BC，∴AD＝CG．∵AD＝2，BC＝4，∴BG＝BC﹣CG＝2．在Rt△AGB中，∵tan B＝3，∴AG＝BG•tan B＝2×3＝6．在Rt△AGB中，AB2＝AG2+BG2∴AB＝．23．【分析】在Rt△ABD中可得出BD＝，在Rt△ABC中，可得BC＝，则可得BD﹣BC＝13，求出AB即可．【解答】解：由题意得，∠ABD＝90°，∠D＝20°，∠ACB＝31°，CD＝13，在Rt△ABD中，∵tan∠D＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，∴BC＝＝，∵CD＝BD﹣BC，∴13＝，解得AB≈11.7米．答：水城门AB的高为11.7米．24．【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将A，B的坐标及对称轴方程代入即可；（2）分别求出点B，C的坐标，直接在Rt△OBC中，根据余切定义即可求出；（3）设点E的坐标是（x，0），求出点E的坐标，再求出CE的解析式，即可求出其与抛物线的交点坐标．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将点C（0，2）、A（﹣3，0）、对称轴直线x＝﹣2代入，得：，解得：，，∴这条抛物线的表达式为；（2）令y＝0，那么，解得x1＝﹣3，x2＝﹣1，∵点A的坐标是（﹣3，0），∴点B的坐标是（﹣1，0），∵C（0，2），∴OB＝1，OC＝2，在Rt△OBC中，∠BOC＝90°，∴；（3）设点E的坐标是（x，0），得OE＝|x|．∵∠CEO＝∠BCO，∴cot∠CEO＝cot∠BCO，在Rt△EOC中，∴，∴|x|＝4，∴点E坐标是（4，0）或（﹣4，0），∵点C坐标是（0，2），∴，∴，或解得和（舍去），或和（舍去）；∴点P坐标是（，）或（，）．25．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAD ＝∠CDE，得到△BAD∽△CDE，根据相似三角形的性质证明结论；（2）证明DF∥AB，根据平行线的性质得到＝，证明△BDA∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案；（3）分点F在DE的延长线上、点F在线段DE上两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∠ADC＝∠BAD+∠B，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，∴△BAD∽△CDE，∴＝，即AB•CE＝BD•CD；（2）解：∵DF平分∠ADC，∵∠CDE＝∠BAD，∴∠ADE＝∠BAD，∴DF∥AB，∴＝，∵∠BAD＝∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠C，又∠B＝∠B，∴△BDA∽△BAC，∴＝，即＝解得，BD＝，∴＝，解得，AE＝；（3）解：作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝HC＝BC＝8，由勾股定理得，AH＝＝＝6，∴tan B＝＝，∴tan∠ADF＝＝，设AF＝3x，则AD＝4x，由勾股定理得，DF＝＝5x，∵△BAD∽△CDE，∴＝，当点F在DE的延长线上，F A＝FE时，DE＝5x﹣3x＝2x，∴＝，解得，CD＝5，当EA＝EF时，DE＝EF＝2.5x，∴＝，解得，CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝；当AE＝AF＝3x时，DE＝x，∴＝，解得，CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝；当点F在线段DE上时，∠AFE为钝角，∴只有F A＝FE＝3x，则DE＝8x，∴＝，解得，CD＝20＞16，不合题意，∴△AEF是等腰三角形时，BD的长为11或或．。

2020年上海市浦东新区初三一模数学试卷一、选择题1. 在Rt ABC V 中，∠C =90°，如果BC =5，AB =13，那么sinA 的值为（ ）A . 513B . 512C . 1213D .1252. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A . 21y x =-B . 22y x =C . 21y x =+D .()221y x x =--3. 抛物线245y x x =-+的顶点坐标是（ ） A . ()2,1-B . （2,1）C . ()2,1--D . ()2,1-4. 如图，点D 、E 分别在ABC V 的边AB 、AC 上，下列各比例式不一定能推得DE //BC 的是（ ） A .AD AEBD CE=B .AD DEAB BC=C .AB ACBD CE=D .AD AEAB AC=5. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1:3，它把物体从地面点A 处送到离地面3米高的B 处，则物体从A 到B 所经过的路程为（ ）A .B . 米C .D . 9米6. 下列说法正确的是（ ）A . ()0a a +-=r rB . 如果a r 和b r 都是单位向量，那么a b =r rC . 如果a b =r r，那么a b =r rD . 如果12a b =-r r （b r为非零向量），那么a r //b r二、填空题7. 已知3x y =，那么2x yx y+=+____________8. 已知线段AB =2cm ，P 是线段AB 的黄金分割点，P A >PB ，那么线段P A 的长度等于____________cm 9. 如果两个相似三角形对应边之比是2:3，那么它们的对应中线之比是____________ 10. 如果二次函数223y x x k =-+-的图像经过原点，那么k 的值是____________11. 将抛物线23y x =-向下平移4个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为____________ 12. 如果抛物线经过点()1,0A -和点B （5,0），那么这条抛物线的对称轴是直线____________ 13. 二次函数()221y x =-+的图像在对称轴左侧的部分是____________（填“上升”或“下降”）14. 如图，在ABC V 中，AE 是BC 边上的中线，点G 是ABC V 的重心，过点G 作GF //AB 交BC 于点F ，那么EFEB=____________ 15. 如图，已知AB //CD //EF ，AD =6，DF =3，BC =7，那么线段CE 的长度等于____________16. 如图，将ABC V 沿射线BC 方向平移得到DEF V ，边DE 与AC 相交于点G ，如果BC =6cm ，ABCV 的面积等于92cm ，GEC V 的面积等于42cm ，那么CF =____________cm17. 用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++的图像时，列出了如下的表格：那么当时，该二次函数y 的值为____________18. 在Rt ABC V 中，∠C =90°，AC =2，BC =4，点D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，将BDE V 绕着点B 旋转，点D 、E 旋转后的对应点分别为点'D 、'E ，当直线''D E 经过点A 时，线段'CD 的长为____________三、解答题19. 计算：2tan 45cos60cot 602sin 30︒-︒+︒︒20. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，且AE =2ED ，联结BE 并延长交边CD 的延长线于点F ，设,BA a BC b ==u u u r r u u u r r .（1）用,a b r r 表示,BE DF u u u r u u u r；（2）先化简，再求作：()322a b a b ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭r r r r （不要求写作法，但要写明结论）21. 如图，在ABC V 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD =3，AC =6，AE =4，AB =8. （1）如果BC =7，求线段DE 的长；（2）设DEC V 的面积为a ，求BDC V 的面积（用a 的代数式表示）.22. 为了测量大楼顶上（居中）避雷针BC 的长度，在地面上点A 处测得避雷针底部B 和顶部C 的仰角分别为55°58’和57°，已知点A 与楼底中间部位D 的距离约为80米，求避雷针BC 的长度（参考数据：sin5558'0.83,cos5558'0.56,tan5558' 1.48,sin570.84︒≈︒≈︒≈︒≈)23. 如图，已知ABC V 和ADE V ，点D 在BC 边上，DA =DC ，∠ADE =∠B ，边DE 与AC 相交于点F . （1）求证：AB AD DF BC ⋅=⋅；（2）如果AE //BC ，求证：BD DFDC FE=.24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为()()1,0,3,0A B -，与y 轴相交于点C . （1）求抛物线的表达式；（2）联结AC 、BC ，求∠ACB 的正切值；（3）点P 在抛物线上，且∠P AB =∠ACB ，求点P 的坐标.25. 在Rt ABC V 中，∠A =90°，AB =4，AC =3，D 为AB 边上一动点（点D 与点A 、B 不重合），联结CD ，过点D 作DE ⊥DC 交边BC 于点E . （1）如图，当ED =EB 时，求AD 的长；（2）设,AD x BE y ==，求y 关于x 的函数解析式并写出函数定义域；（3）把BCD V 沿直线CD 翻折得'CDB V ，联结'AB ，当'CAB V 是等腰三角形时，直接写出AD 的长.参考答案一、选择题1. A2. C3. B4. B5. A6. D二、填空题7.458. 1 9. 2:3 10. 3 11. 234y x =-- 12. 2x =13. 上升 14. 13 15. 72 16. 2 17. 8- 18.三、解答题19. 原式=56 20.（1）23BE a b =+u u u r r r ，12DF a =u u u r r（2）原式=12a b -r r，作图略21.（1）72（2）5BDC S a =V 22. 约4.8米23.（1）证明略 （2）证明略24.（1）223y x x =-++ （2）2（3）点P 坐标为（1,4）或()5,12- 25.（1）94（2）()22050494x x y x x-=<<+（3）7243。