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常用矢量公式

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数学准备知识

§1 矢量代数

一．矢量定义

垐,,AAAAAAAA （单位矢量）

在坐标系中 31iiiAAe 直角系 zyzAAiAjAk

方向余弦：

cos,cos,cos,coscoscosxyzAxAyAzAeeeAAAA31222221231()iiAAAAAA

二．矢量运算

加法： ABBA 交换律

()()ABCABC 结合律

31()iiiiABABe 满足平行四边形法则

标量积：31cosiiiABABAB

ABBA 交换律

()ABCABAC 分配律

矢量积：123123123sinneeeABABeAAABBB

()ABCABAC 分配律

ABBA 不满足交换律

混合积： 123123123()()()AAAABCBCACABBBBCCC 双重矢积：()()()()()ABCBACCABACBABC

（点3乘2，点2乘3）

()()ABCABC

三．矢量微分

ˆˆdAdAdAAAdtdtdt

()dABdBdAABdtdtdt

()dABdBdAABdtdtdt

四．并矢与张量

并矢： AB(一般 ABBA)，有九个分量。

若某个量有九个分量，它被称为张量

33,1,iiijijijijijTABABeeTee ijee为单位并矢，张量的九个基。

矢量与张量的矩阵表示：123,iiAAAeAAA 或123(,,)AAAA

13123211223313(,,)iiiBABAAABABABABABB

TAB 111213212223313233TTTTTTTTTT

单位张量： 31ijiee 100010001 张量运算：

,()iijijjijTVTVee

与矢量点乘： ABCABCACBACBCBACBABCABCA

CABCABBCABACBAC

与矢量叉乘：ABCABCCABCAB并矢并矢

两并矢点乘：ABCDABCDABCADCDAB (并矢)

两并矢二次点乘： :ABCDBCAD 标量

与单位张量点乘： CCC

ABABAB

:ABAB

课堂练习（15-20分钟）

1． 计算 ABAB 2BA

2． 求证， Mbacabc与矢量C垂直。（求MC）。

3． 计算下列各式：

⑴ ()aab ⑵ ()aba ⑶ ()jik ⑷ ()kij

（0， 2()abaab， －1， 1）

4． 证明下列各式：

⑴ ()()()()()()abcdacbdadbc

⑵ ()()()0abcbcacab

证： ⑴ ()()[()]abcdcdab

[()()]()()()()()()()()cdbadabbcadbcbdaacbdbcad

⑵ ()()()abcbcacab

()()()()()()0acbabcbacbcacbacab §2. 场的概念和标量场的梯度

一、 场的概念：

描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。 如：强度场、速度场、引力场、电磁场。

描述场用一个空间中和时间坐标的函数：

(,,,)(,)(,,,)(,)xyztxtAxyztAxt标量场矢量场

当,A与t无关时称为稳恒场（稳定场、静场），有关则称为变化场（时变场）。当已知场函数则可以了解场的各种性质：如,A随时空的变化关系（梯、散、旋度）。同样已知梯、散、旋度场函数可以确定场函数（以后主要讨论的问题）。

二、标量场的梯度

在,MM两点全微分：ddxdydzxyz

xyzddxedyedze

xyzdeeeddxyz

lded （ded，d方向上的单位矢量）

cos （为与d之间的夹角）

在M点方向上导致有无穷多个，其中有一个最大，即

max0,dd, 定义梯度 grad

意义：空间某点上标量场函数的最大变化率，刻画了标量场的空间分

布特征。已知梯度即可求出沿任一方向的方向导致。

等值面： ()x常数的曲面称为等值面。 梯度与等值面的关系：梯度等值面。

证： 对等值面上一点，沿等值的方向导数为零。

即cos的为2，所以与等值面垂直。

三、 矢量微分算子（直角坐标系中的表示形式）

xyzeeexyz 具有矢量性质，分量是微分符号。

xyzeeexyz ，  ，不能互换

它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。

yxzxyzxxyyzzAAAAeeeeAeAeAxyzxyz yyxxzzxyzAAAAAAAeeeyzzxxy

xyzxyzeeexyzAAA

四、举例

（1）求半径r的数值12222rrxxyyzz的梯度。此例中,PP点均可变动。一般称P为源点（一后电场中电荷所在点）。P为场点（观测点）。

解：固有两个变量,,xyz和,,xyz我们可求r和r

112()2rxxxxxrr 而,ryyrzzyrzr

xyzxxyyzzrreeerrrr

（2）求 ()。 解：()xxx， ()yyy，

()zzz

()xyzxyzeeeeeexyzxyz

§3. 高斯定理与矢量场的散度

一、 矢量场的通量

1． 矢量族：在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它沿某一曲线的切线方向，这条曲线形成一条矢量线，又叫场线（对静电场称为电力线），无穷多条这样的曲线构成一个矢量族。

2． 通量： Ads称为A通过面元ds的通量，记作dAds，记作dAds，有限面积S，通量上SAds，闭合曲面S，通量上SAds，ds方向，由面内指向面外。

>0， 场线进入的少，穿出得多，称S面内有源。

=0， 场线进入的与穿出得同样多，称S面内无源。

<0， 场线进入的少，穿出得少，称S面内有负源。

意义： 用来描述空间某一范围内场的发散或会聚，它只具有局域性质，不

能反映空间一点的情况。

二、高斯定理 yxzSVVAAAAdsAdVdxdydzxyz

一种面积分与体积分的变换关系，有时称为高斯公式（证明略）

三、矢量场的散度

为了反映空间某一点发散与会聚的情况，可以将S面缩小到体元V，体元仅包围一个点，此时，高斯定理可以改为 SAdsAV，我们 用单位体积的通量来描述，则有SAdsAV，取极限0limSVAdsAV称为矢量A的散度。（>0, 有源；=0,无源，<0,负源）。有时表示成divA（divergence）。若空间各点处处0A，则称A为无源场。

例题：

1. 求r，其中xyzrxxeyyezze

3xrx

2. 求3rr，12222(0)rxxyyzzr

3333rxxyyzzrxryrzr

3443330xxyyxxyyrrrrr

3. 求证：AAA。

证： xyzAAAAxyz

yxzxyzAAAAAAxyzxyzAA

§4 斯托克斯公式与矢量场的旋度

一、 矢量场的环量（环流）

矢量A沿任一闭合曲线L的积分LAdl

0表明在区域内无涡旋状态，不闭合，

0表明在区域内有涡旋状态存在，闭合，

意义：用来刻画矢量场在空间某一范围内是否有涡旋存在，具有局域性质。

二、斯托克斯公式（定理）

LSAdlAdS （证明略）

三、矢量场的旋度

当L无限缩小，它用的面积化为S时，

LnAdlASAS， nAAn，

0limLnSAdlAS SSn，n为法线上单位矢。

定义A为矢量场的旋度，它在S法线方向上的分量为单位面积上的环量。刻画矢量场场线在空间某点上的环流特征。若空间各点0A，则A称为无旋场。

例：1. 3rr

解： 它的x分量为33zzyyyrzr

33531yyzzzzzzyryrr

33531yyzzyyyyzrzrr

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矢量微分运算公式汇总

矢量微分运算公式汇总

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1.矢量的求导：

设矢量f(t)=(f1(t),f2(t),f3(t))，则它的导数为：

df/dt = (df1/dt, df2/dt, df3/dt)

2.矢量的积分：

设曲线C的参数方程为r(t)=(x(t),y(t),z(t))，则矢量场F(x,y,z)沿曲线C的积分为：

∫F·dr = ∫(F·r'(t)) dt，其中r'(t)为r(t)的导数。

3.散度：

设矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，则它的散度为：

div F = ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z

4.散度的运算公式：

（1）若U和V是标量场，F和G是矢量场，则有：

∇·(UF+VG)=U∇·F+V∇·G

∇·(F×G)=G·(∇×F)-F·(∇×G)

（2）若F是矢量场，Φ是标量场，则有：

∇·(ΦF)=(∇Φ)·F+Φ∇·F

5.旋度：

设矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，则它的旋度为： rot F = ∇×F = ( ∂R/∂y - ∂Q/∂z, ∂P/∂z - ∂R/∂x, ∂Q/∂x - ∂P/∂y )

6.旋度的运算公式：

（1）若U和V是标量场，F和G是矢量场，则有：

∇×(UF+VG)=U∇×F+V∇×G

（2）若F是矢量场，Φ是标量场，则有：

∇×(ΦF)=(∇Φ)×F+Φ∇×F

7.保守场：

若矢量场F是一个保守场，则存在标量场Φ，使得F=∇Φ。在保守场下，散度和旋度之间满足如下关系：

∇·(∇×F)=0

8.梯度：

设标量场Φ(x,y,z)

grad Φ = ∇Φ = (∂Φ/∂x, ∂Φ/∂y, ∂Φ/∂z)

9.梯度的运算公式：

若U和V是标量场，F是矢量场，则有：

∇·(U∇V)=∇U·∇V+UΔV

∇×(U∇V)=U∇×∇V=0

∇·(F×G)=G·∇×F-F·∇×G

所有矢量计算公式解析

所有矢量计算公式解析

所有矢量计算公式解析

矢量计算公式解析。

矢量是物理学和工程学中经常出现的概念，它们可以用来描述物体的运动、力和速度等。在矢量计算中，有一些常见的公式和运算规则，下面我们来逐个解析这些公式。

1. 矢量的加法和减法。

矢量的加法和减法是矢量计算中最基本的运算之一。假设有两个矢量A和B，它们的加法和减法运算分别如下：

A + B = (Ax + Bx, Ay + By)。

A B = (Ax Bx, Ay By)。

其中，Ax和Ay分别表示矢量A在x和y方向上的分量，Bx和By表示矢量B在x和y方向上的分量。通过这些公式，我们可以很容易地计算出两个矢量的和或差。

2. 矢量的数量积。

矢量的数量积又称为点积，它是矢量计算中另一个重要的运算。假设有两个矢量A和B，它们的数量积运算如下：

A·B = |A| |B| cosθ。

其中，|A|和|B|分别表示矢量A和B的模长，θ表示两个矢量之间的夹角。通过这个公式，我们可以计算出两个矢量的数量积，从而得到它们之间的关系。

3. 矢量的叉积。 矢量的叉积又称为向量积，它是矢量计算中另一个重要的运算。假设有两个矢量A和B，它们的叉积运算如下：

A×B = |A| |B| sinθ n。

其中，|A|和|B|分别表示矢量A和B的模长，θ表示两个矢量之间的夹角，n表示一个垂直于A和B所在平面的单位矢量。通过这个公式，我们可以计算出两个矢量的叉积，从而得到它们之间的关系。

4. 矢量的分解。

在实际问题中，我们经常需要将一个矢量分解成两个分量矢量，以便进行更方便的计算。假设有一个矢量A，它可以被分解成在x和y方向上的两个分量矢量Ax和Ay，分解公式如下：

A = Ax + Ay。

其中，Ax和Ay分别表示矢量A在x和y方向上的分量。通过这个公式，我们可以将一个矢量分解成两个分量矢量，从而方便进行计算。

5. 矢量的单位化。

在矢量计算中，有时我们需要将一个矢量转化为单位矢量，以便进行更方便的计算。假设有一个矢量A，它可以被单位化为单位矢量A'，单位化公式如下：

三个矢量和计算公式

三个矢量和计算公式

三个矢量和计算公式

在物理学和工程学中，矢量是一种具有大小和方向的物理量。矢量可以用来表示力、速度、位移和其他物理量，因此在许多领域都有重要的应用。在本文中，我们将讨论三个常见的矢量和计算公式，它们分别是位移矢量、速度矢量和加速度矢量。

位移矢量是描述物体从一个位置移动到另一个位置的矢量。它的大小等于物体从初始位置到最终位置的距离，方向则是从初始位置指向最终位置的方向。位移矢量通常用符号Δr表示，它的计算公式为：

Δr = r2 r1。

其中，Δr表示位移矢量，r2表示物体的最终位置，r1表示物体的初始位置。这个公式告诉我们，位移矢量的大小等于物体从初始位置到最终位置的距离，方向则是从初始位置指向最终位置的方向。

速度矢量是描述物体在单位时间内移动的距离和方向的矢量。它的大小等于物体在单位时间内移动的距离，方向则是物体在单位时间内移动的方向。速度矢量通常用符号v表示，它的计算公式为：

v = Δr / Δt。

其中，v表示速度矢量，Δr表示位移矢量，Δt表示时间间隔。这个公式告诉我们，速度矢量的大小等于物体在单位时间内移动的距离，方向则是物体在单位时间内移动的方向。

加速度矢量是描述物体在单位时间内速度改变的矢量。它的大小等于物体在单位时间内速度改变的大小，方向则是速度改变的方向。加速度矢量通常用符号a表示，它的计算公式为：

a = Δv / Δt。 其中，a表示加速度矢量，Δv表示速度改变的矢量，Δt表示时间间隔。这个公式告诉我们，加速度矢量的大小等于物体在单位时间内速度改变的大小，方向则是速度改变的方向。

这三个矢量和计算公式在物理学和工程学中有着广泛的应用。它们可以用来描述物体的运动状态，帮助我们理解物体的运动规律。通过计算位移矢量、速度矢量和加速度矢量，我们可以预测物体的运动轨迹，分析物体的运动规律，从而为工程设计和科学研究提供重要的参考依据。

除此之外，这三个矢量和计算公式还可以应用于许多实际场景中。比如，在汽车行驶过程中，我们可以利用位移矢量和速度矢量来描述汽车的运动状态，通过计算加速度矢量来评估汽车的加速性能。在航天器设计中，我们可以利用这些矢量和计算公式来分析航天器的轨道和姿态，从而确保航天器的安全运行。在机器人控制中，我们可以利用这些矢量和计算公式来规划机器人的运动轨迹，实现精准的控制和操作。

常用矢量公式

常用矢量公式

常用矢量公式

矢量是具有大小和方向的物理量，它在许多领域中都有广泛的应用，包括物理、数学、工程学和计算机科学等等。在处理矢量运算时，使用一些常用的矢量公式可以使计算更加简便高效。本文将介绍一些常用的矢量公式，包括向量运算、向量分解和向量积分等等。

1.向量运算

(1)向量加法：对于两个矢量A和B，其加法定义为：A+B=(A_x+B_x,A_y+B_y,A_z+B_z)，其中A_x,A_y和A_z分别表示A的x、y和z分量。

(2)向量减法：对于两个矢量A和B，其减法定义为：A-B=(A_x-B_x,A_y-B_y,A_z-B_z)，其中A_x,A_y和A_z分别表示A的x、y和z分量。

(3)向量数乘：对于一个矢量A和一个标量k，其数乘定义为：kA=(kA_x,kA_y,kA_z)，其中A_x,A_y和A_z分别表示A的x、y和z分量。

2.向量分解

(1) 向量的投影：对于一个矢量A和一个单位向量u，其投影的大小定义为：A_u = ，A，cosθ，其中，A，表示A的模长，θ表示A与u的夹角。

(2) 向量的分解：对于一个矢量A和一个单位向量u，其分解定义为：A = A_uu + A_⊥，其中A_uu表示A在u方向上的分量，A_⊥表示A在u方向垂直的分量。

3.向量积分 (1) 线积分：对于一个曲线C和一个矢量场F，其线积分定义为：∮C F·ds = ∮C (F_xdx + F_ydy + F_zdz)，其中F_x, F_y和F_z分别表示F的x、y和z分量，ds表示曲线C上的元素位移矢量。

(2) 曲面积分：对于一个曲面S和一个矢量场F，其曲面积分定义为：∬S F·dS = ∬S (F_xdS_x + F_ydS_y + F_zdS_z)，其中F_x, F_y和F_z分别表示F的x、y和z分量，dS表示曲面S上的元素面积矢量。

(3) 体积积分：对于一个区域V和一个矢量场F，其体积积分定义为：∭V F·dV = ∭V (F_xdV_x + F_ydV_y + F_zdV_z)，其中F_x, F_y和F_z分别表示F的x、y和z分量，dV表示区域V内的元素体积矢量。