(完整版)常用矢量公式

数学准备知识

§1 矢量代数

一．矢量定义

垐,,AAAAAAAArrr （单位矢量）

在坐标系中 31iiiAAerr 直角系 zyzAAiAjAkrrrr

方向余弦：

cos,cos,cos,coscoscosxyzAxAyAzAeeeAAAArrrr31222221231()iiAAAAAAr

二．矢量运算

加法： ABBArrrr 交换律

()()ABCABCrrrrrr 结合律

31()iiiiABABerrr 满足平行四边形法则

标量积：31cosiiiABABABrr

ABBArrrr 交换律

()ABCABACrrrrrrr 分配律

矢量积：123123123sinneeeABABeAAABBBrrrrrr

()ABCABACrrrrrrr 分配律

ABBArrrr 不满足交换律

混合积： 123123123()()()AAAABCBCACABBBBCCCrrrrrrrrr 双重矢积：()()()()()ABCBACCABACBABCrrrrrrrrrrrrrrr

（点3乘2，点2乘3）

()()ABCABCrrrrrr

三．矢量微分

ˆˆdAdAdAAAdtdtdtr

()dABdBdAABdtdtdtrrrrrr

()dABdBdAABdtdtdtrrrrrr

四．并矢与张量

并矢： ABrr(一般 ABBArrrr)，有九个分量。

若某个量有九个分量，它被称为张量

33,1,iiijijijijijTABABeeTeertrrrrr ijeerr为单位并矢，张量的九个基。

矢量与张量的矩阵表示：123,iiAAAeAAArr 或123(,,)AAAA

13123211223313(,,)iiiBABAAABABABABABBrr

TABrtr 111213212223313233TTTTTTTTTT

单位张量： 31ijieetrrl 100010001l 张量运算：

,()iijijjijTVTVeettrr

与矢量点乘： ABCABCACBACBCBACBABCABCArrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr

CABCABBCABACBACrrrrrrrrrrrrrrr

与矢量叉乘：ABCABCCABCABrrrrrrrrrrrr并矢并矢

两并矢点乘：ABCDABCDABCADCDABrrrrrrrrrrrrrrrrr (并矢)

两并矢二次点乘： :ABCDBCADrrrrrrrr 标量

与单位张量点乘： CCCtrrtrll

ABABABtrrtrrrrll

:ABABtrrrrl

课堂练习（15-20分钟）

1． 计算 ABABrrrr 2BArr

2． 求证， Mbacabcrrrrrrr与矢量Cr垂直。（求MCrr）。

3． 计算下列各式：

⑴ ()aabrrr ⑵ ()abarrr ⑶ ()jikrrr ⑷ ()kijrrr

（0， 2()abaabrrrr， －1， 1）

4． 证明下列各式：

⑴ ()()()()()()abcdacbdadbcrrrrrrrrrrrr

⑵ ()()()0abcbcacabrrrrrrrrr

证： ⑴ ()()[()]abcdcdabrrrrrrr

[()()]()()()()()()()()cdbadabbcadbcbdaacbdbcadrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr

⑵ ()()()abcbcacabrrrrrrrrr

()()()()()()0acbabcbacbcacbacabrrrrrrrrrrrrrrrrrr §2. 场的概念和标量场的梯度

一、 场的概念：

描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。 如：强度场、速度场、引力场、电磁场。

描述场用一个空间中和时间坐标的函数：

(,,,)(,)(,,,)(,)xyztxtAxyztAxtrrrr标量场矢量场

当,Ar与t无关时称为稳恒场（稳定场、静场），有关则称为变化场（时变场）。当已知场函数则可以了解场的各种性质：如,Ar随时空的变化关系（梯、散、旋度）。同样已知梯、散、旋度场函数可以确定场函数（以后主要讨论的问题）。

二、标量场的梯度

在,MM两点全微分：ddxdydzxyz

xyzddxedyedzerrrrl

xyzdeeeddxyzrrrrrll

ldedrl （dedlrlrl，drl方向上的单位矢量）

cos （为与drl之间的夹角）

在M点方向上导致有无穷多个，其中有一个最大，即

max0,ddl, 定义梯度 grad

意义：空间某点上标量场函数的最大变化率，刻画了标量场的空间分

布特征。已知梯度即可求出沿任一方向的方向导致。

等值面： ()xr常数的曲面称为等值面。 梯度与等值面的关系：梯度等值面。

证： 对等值面上一点，沿等值的方向导数为零。

即cos的为2，所以与等值面垂直。

三、 矢量微分算子（直角坐标系中的表示形式）

xyzeeexyzrrr 具有矢量性质，分量是微分符号。

xyzeeexyzrrr ，  ，不能互换

它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。

yxzxyzxxyyzzAAAAeeeeAeAeAxyzxyzrrrrrrr yyxxzzxyzAAAAAAAeeeyzzxxyrrrr

xyzxyzeeexyzAAArrr

四、举例

（1）求半径rr的数值12222rrxxyyzzr的梯度。此例中,PP点均可变动。一般称P为源点（一后电场中电荷所在点）。P为场点（观测点）。

解：固有两个变量,,xyz和,,xyz我们可求r和r

112()2rxxxxxrrQ 而,ryyrzzyrzr

xyzxxyyzzrreeerrrrrrrr

（2）求 ()。 解：()xxxQ， ()yyy，

()zzz

()xyzxyzeeeeeexyzxyzrrrrrr

§3. 高斯定理与矢量场的散度

一、 矢量场的通量

1． 矢量族：在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它沿某一曲线的切线方向，这条曲线形成一条矢量线，又叫场线（对静电场称为电力线），无穷多条这样的曲线构成一个矢量族。

2． 通量： Adsrr称为Ar通过面元dsr的通量，记作dAdsrr，记作dAdsrr，有限面积S，通量上SAdsrr，闭合曲面S，通量上SAdsrrÑ，dsr方向，由面内指向面外。

>0， 场线进入的少，穿出得多，称S面内有源。

=0， 场线进入的与穿出得同样多，称S面内无源。

<0， 场线进入的少，穿出得少，称S面内有负源。

意义： 用来描述空间某一范围内场的发散或会聚，它只具有局域性质，不

能反映空间一点的情况。

二、高斯定理 yxzSVVAAAAdsAdVdxdydzxyzrrrÑ

一种面积分与体积分的变换关系，有时称为高斯公式（证明略）

三、矢量场的散度

为了反映空间某一点发散与会聚的情况，可以将S面缩小到体元V，体元仅包围一个点，此时，高斯定理可以改为 SAdsAVrrrÑ，我们 用单位体积的通量来描述，则有SAdsAVrrrÑ，取极限0limSVAdsAVrrrÑ称为矢量Ar的散度。（>0, 有源；=0,无源，<0,负源）。有时表示成divAr（divergence）。若空间各点处处0Ar，则称Ar为无源场。

例题：

1. 求rr，其中xyzrxxeyyezzerrrr

3xrxrL

2. 求3rrr，12222(0)rxxyyzzr

3333rxxyyzzrxryrzrr

3443330xxyyxxyyrrrrrL

3. 求证：AAArrr。

证： xyzAAAAxyzr

yxzxyzAAAAAAxyzxyzAArr