一元微积分(第一章 函数、极限、连续)共13页文档

第 1 页 第一章 函数、极限、连续

重点：1、求函数的极限（最重要的方法是L’P法则）

2、无穷小的比较

3、考察分段函数在分段点的连续性

4、间断点的判定及分类

5、介值定理

一、函数

1、函数的定义及表示法【理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系式】

函数概念 ()yfx

函数的两要素 定义域对应规则

函数的表示方法

① 显函数： ()yfx

② 隐函数：由方程(,)0Fxy确定的函数()yyx.

例：1yyxe确定了()yyx01xy．

③ 参数方程表示的函数：由方程()()xxtyyt确定的函数()yyx.

例：2ln(1)arctanxtyt 确定了()yfx.

④ 积分上限函数： ()()xaxftdt．

例：2311()(1)3xxtdtx

⑤ 概率表示的函数：()()FxPXx， 其中X为随机变量，x为实数.

⑥ 分段函数：自变量不同范围内用不同式子表示的一个函数．

【例】 ,0()sin,0axxfxxxx ； 1sin,0()0,0xxfxxx .

如 A. 绝对值表示的函数 11111xxyxxx ； 第 2 页 B. 极限表示的函数 2211()lim0111nnnxxxfxxxxxx ；

C. 其他形式 2022101()max{1,}12xxfxxxx ．

10sgn()0010xyxxx-------符号函数

[]yx取整函数．

2、函数的性质 【了解函数的有界性，单调性，周期性，奇偶性】

①．有界性：()fx在某区间I内有定义，若存在0M，对任意xI，总有()fxM， 则称()fx在某区间I内有界.否则称()fx在某区间I内无界.

例：2111sin1,(0);arctan,();,1,()2121xxxxxRxRxxe．

②．单调性：()fx在某区间I内有定义，若12,xxI，当12xx时12()()fxfx，就称()fx

单调上升；当12xx时，12()()fxfx，就称()fx单调下降． 不含等号时称严格单增（或单减）.

③．奇偶性：若()()fxfx， 则称()fx为偶函数，偶函数的图形关于y轴对称；

若()()fxfx，则称()fx为奇函数，奇函数的图形关于原点对称．

④．周期性：()()(0)fxTfxT． （主要是三角函数）

【例1】 讨论2()ln(1)fxxx的奇偶性． 【奇函数】

【例2】 设sin()tanxfxxxe，则()fx是（ ）．

A. 偶函数 B. 无界函数 C. 周期函数 D. 单调函数．

【解】 因为 2xk时， ()fx，所以()fx非有界即为无界函数.

3、 基本初等函数 【掌握基本初等函数的性质及图形】 （反、对、幂、三、指）

① 常数函数---yC

② 幂函数---yx （为常数） 例：21,yxyyxx 第 3 页 ③ 指数函数---xya （0,1aa） ，xye

④ 对数函数---logayx （0,1aa） ， lnyx， lgyx

⑤ 三角函数---sin,cos,tanyxyxyx

⑥ 反三角函数---arcsin,arctanyxyx

4、 复合函数、反函数、初等函数 【了解反函数和隐函数的概念，理解复合函数及分段函数的概

念，了解初等函数的概念】

① 复合函数 (),()[()yfuuxyfx；f为外层函数，称为内层函数．

② 反函数 ()yyx的反函数为1()xfy或1()yfx.

【例】 333yxxyyx称为是函数3yx的反函数.

【例】 sinxye 看作是由 ,sinuyeux 复合而成的复合函数.

③ 初等函数：由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算而得的用一个数学式子

表示的函数. 注意：分段函数一般不是初等函数。

【例】 设21()1xxfxxx， ()lngxx， 求(()),(())fgxgfx．

【解】 2221ln(x)0g(x)g(x)1ln(x)ln(x)1f(g(x))=g(x)g(x)1ln(x)ln(x)11ln(x)xexexee或．

二、极限 【理解极限的概念，理解左、右极限的概念及极限存在与左、右极限的关系】

1、 定义：若当x 时，()fxA，则称 lim()xfxA．

结论：000lim()lim()lim()xxxxxxfxAfxfxA．

2、 性质【掌握极限的性质】

①．极限存在的唯一性：极限存在则唯一．

②．局部有界性：若lim()xfxA，则在x的一定范围内有 ()fxM.

③．保号性：若lim()0(0)xfxA，则在x的一定范围内()0(0)fx． 第 4 页 ④．若()lim()xfxgx存在，则当 lim()0xgx时，一定有 lim()0xfx ．

【例】 由 0(0)0()lim1()0,lim()01cosxUxfxfxfxx.

【例】 由

0(0)00()0()lim1lim()0,0()0xUxxfxfxfxxxfx.

【例】 由 2()()lim2()0()()xaUafxfxfxxa单调递增.

3、无穷小及其比较 【理解无穷小、无穷大及无穷小阶的概念，会用等价无穷小求极限】

定义：若lim()0xfx， 则称x时，()fx为无穷小量．

若lim()xfx，则称x时，()fx为无穷大量． （注意区别无穷大量与无界函数）

性质：① 有限个无穷小的和（积）仍为无穷小．

② 常数与无穷小的乘积仍为无穷小．

③ 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小．

【即(),lim()0lim()()0xxgxMfxfxgx】

【例】 求 2limarctan1xxxx． 【0】

无穷小的比较

若和为自变量同一变化趋势下的无穷小量，

① 若lim0x，称是比高阶的无穷小，记为()o．

② 若limxC，（0C），称和为同阶无穷小．

③若lim1x，称和为等价无穷小，记为~．

④若limkxC，(0C),则称是的k阶无穷小．

4. 求极限的方法 【掌握洛必塔法则、极限的四则运算法则、极限存在的两个准则、两个重要极限，会用它们求极限】

①. 用洛必塔法则求极限 第 5 页 未定型 000,,,0,1,,00 的极限一般可用洛必塔法则来求.

0,0 型直接用，0000()()limlim()()()xxxxfxfxgxgx存在或为，其他五种未定型的极限必须化为

上述形式才能用洛必塔法则来求.

【例1】 求 00000022limlimlimlim2sin1cossincosxxxxxxxxxxxxeexeeeeeexxxxx．

【例2】 求 2223200000sin11sin1sinsincos11limlnlimln(11)limlimlim36xxxxxxxxxxxxxxxxxxx .

【例3】 求 22223220000011tantansec1tan1limlimlimlimlimtantan333xxxxxxxxxxxxxxxxxxx .

【例4】 求 1ln1limlimexpexplimexplim1xxxxxxxxxxxxeeexeexxee .

【例5】 求 2220003sin13sin13sin131limlimlim1(1cos)ln(1)22222xxxxxxxexexexxxxx .

【例6】 121201122012120ln12lnlnlnlimlimlnln1limnxxxnxxxxnnxxxxxxxnnxnxaaanaaaaaannaaanaaaxaaanaaaeee求

【例7】 （2009数三）求30coscoscos022000sin3limlimlim221133xxxxxxeeeexeexxx

②．利用四则运算法则求极限（和、差、积、商的极限当每一个极限存在且分母极限不为零时可分别求）

【例1】 求 1112123113limlim2333213xxxxxxxx ．

【例2】 求 44lim(3)limlim2311131nnnnnnnnnnnnnn ． 第 6 页 【例3】 求 222012310lim2310lim[10(()().....())]10101010nnnnnnnn .

③．利用左、右极限求极限

000lim()lim()lim()xxxxxxfxAfxfxA．

【例1】 设ln(1)0()001110xxxfxxxxxx， 求 0lim()xfx．

【解】

000112lim()limlim1(11)xxxxxxfxxxxx，

则 0lim()xfx=1 ．

【例２】 求 01111limarctan1xxxxee

【解】

00111101limarctanlim()01221xxxxxee ；

00011111111110limarctanlimarctanlim1102211xxxxxxxxxeeee ，则 01111limarctan21xxxxee ．

④．利用极限存在的两个准则求极限

（Ⅰ）若 ()()()gxfxhx ，且 lim()lim()xxgxhxA，则lim()xfxA．

（Ⅱ）若数列nx单调递增有上界（或数列nx单调递减有下界），则数列nx一定有极限．

【例1】 求 22212lim()12nnnnnnnnn ．

【解】 因 222222(1)1212(1)2()1212(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

而 22(1)(1)1limlim2(1)2()2nnnnnnnnnnn ，