(同济大学)线性代数第五版课后答案

同济版 工程数学-线性代数第五版答案全集

成都大学诗叶子制作 - 1 - 第一章 行列式

1 利用对角线法则计算下列三阶行列式

(1)381141102

解 381141102

2(4)30(1)(1)118

0132(1)81(4)(1)

2481644

(2)bacacbcba

解 bacacbcbaacbbaccbabbbaaaccc

3abca3b3c3

(3)222111cbacba

解 222111cbacbabc2ca2ab2ac2ba2cb2

(ab)(bc)(ca)

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成都大学诗叶子制作 - 2 - (4)yxyxxyxyyxyx

解

yxyxxyxyyxyx

x(xy)yyx(xy)(xy)yxy3(xy)3x3

3xy(xy)y33x2 yx3y3x3

2(x3y3)

2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数

(1)1 2 3 4

解 逆序数为0

(2)4 1 3 2

解 逆序数为4 41 43 42 32

(3)3 4 2 1

解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1

(4)2 4 1 3

解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3

(5)1 3    (2n1) 2 4    (2n)

解 逆序数为2)1(nn

3 2 (1个)

5 2 5 4(2个) 同济版 工程数学-线性代数第五版答案全集

成都大学诗叶子制作 - 3 - 7 2 7 4 7 6(3个)

     

(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6    (2n1)(2n2) (n1个)

(6)1 3    (2n1) (2n) (2n2)    2

解 逆序数为n(n1) 

3 2(1个)

5 2 5 4 (2个)

     

(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6    (2n1)(2n2) (n1个)

4 2(1个)

6 2 6 4(2个)

     

(2n)2 (2n)4 (2n)6    (2n)(2n2) (n1个)

3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项

解 含因子a11a23的项的一般形式为

(1)ta11a23a3ra4s

其中rs是2和4构成的排列 这种排列共有两个 即24和42

所以含因子a11a23的项分别是

(1)ta11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44

(1)ta11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42

4 计算下列各行列式 同济版 工程数学-线性代数第五版答案全集

成都大学诗叶子制作 - 4 - (1)71100251020214214

解

71100251020214214010014231020211021473234cccc34)1(143102211014

14310221101401417172001099323211cccc

(2)2605232112131412

解

2605232112131412260503212213041224cc041203212213041224rr

0000003212213041214rr

(3)efcfbfdecdbdaeacab

解 efcfbfdecdbdaeacabecbecbecbadf

abcdefadfbce4111111111 同济版 工程数学-线性代数第五版答案全集

成都大学诗叶子制作 - 5 - (4)dcba100110011001

解

dcba100110011001dcbaabarr10011001101021

dcaab101101)1)(1(1201011123cdcadaabdcc

cdadab111)1)(1(23abcdabcdad1

5 证明:

(1)1112222bbaababa(ab)3;

证明

1112222bbaababa00122222221213ababaabaabacccc

abababaab22)1(2221321))((abaabab(ab)3 

(2)yxzxzyzyxbabzaybyaxbxazbyaxbxazbzaybxazbzaybyax)(33;

证明

bzaybyaxbxazbyaxbxazbzaybxazbzaybyax 同济版 工程数学-线性代数第五版答案全集

成都大学诗叶子制作 - 6 -

bzaybyaxxbyaxbxazzbxazbzayybbzaybyaxzbyaxbxazybxazbzayxa

bzayyxbyaxxzbxazzybybyaxzxbxazyzbzayxa22

zyxyxzxzybyxzxzyzyxa33

yxzxzyzyxbyxzxzyzyxa33

yxzxzyzyxba)(33

(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222ddddccccbbbbaaaa;

证明

2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(ddddccccbbbbaaaa(c4c3 c3c2 c2c1得)

5232125232125232125232122222ddddccccbbbbaaaa(c4c3 c3c2得) 同济版 工程数学-线性代数第五版答案全集

成都大学诗叶子制作 - 7 - 022122212221222122222ddccbbaa

(4)444422221111dcbadcbadcba

(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd);

证明

444422221111dcbadcbadcba

)()()(0)()()(001111222222222addaccabbaddaccabbadacab

)()()(111))()((222addaccabbdcbadacab

))(())((00111))()((abdbddabcbccbdbcadacab

)()(11))()()()((abddabccbdbcadacab

=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd) 同济版 工程数学-线性代数第五版答案全集

成都大学诗叶子制作 - 8 - (5)1221 1 000 00 1000 01axaaaaxxxnnnxna1xn1    an1xan 

证明 用数学归纳法证明

当n2时 2121221axaxaxaxD 命题成立

假设对于(n1)阶行列式命题成立 即

Dn1xn1a1 xn2    an2xan1

则Dn按第一列展开 有

1 11 00 100 01)1(11xxaxDDnnnn

xD n1anxna1xn1    an1xan 

因此 对于n阶行列式命题成立

6 设n阶行列式Ddet(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转 依次得

nnnnaaaaD11111



11112

nnnnaaaaD 

11113

aaaaDnnnn

证明DDDnn2)1(21)1( D3D 

证明 因为Ddet(aij) 所以 同济版 工程数学-线性代数第五版答案全集

成都大学诗叶子制作 - 9 -

nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaD2211111111111

)1(





)1()1(331122111121nnnnnnnnaaaaaaaa

DDnnnn2)1()1()2( 21)1()1(

同理可证

nnnnnnaaaaD

)1(11112)1(2DDnnTnn2)1(2)1()1()1(

DDDDDnnnnnnnn)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(

7 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)

(1)aaDn1 1, 其中对角线上元素都是a 未写出的元素都是0