2014届天津高三第一次六校联考数学试卷(理科)答案

34i，即求出值【解析】作出可行域，如图：【解析】由弦切角定理得FBD EACBAE ，又AF BD AB BF =，排除A 、C. DBC ，排除B 、故选D.本题利用角与弧的关系，得到角相等，，所以||||cos1202AB AD AB AD =︒=-，所以AE AB AD λ=+，AF AB AD μ=+.因为1AE AF =，所以()()1AB AD AB AD λμ++=，即2λ2-②，①+②得5λμ+=，故选C. 【提示】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义求得2120ππ4π2233+=m 【考点】空间立体图形三视图、体积.结合图象可知01a <<或9a >.][),4∞+，所以][)9,∞+.结合图象可得01a <<或9a >.1sin 2x x ⎛+ ⎝3cos 2x x -43π3x 的范围，再利用正弦函数的性质求出再已【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法1203373734960C C C C +=. 3463k k C C -(k =3463k kC C -(k =(0,0,2)P.由E为棱PC的中点，得(1,1,1)E.证明：向量(0,1,1)BE=，(2,0,0)DC=，故0BE DC=.所以，）向量(1,2,0)BD=-，(1,0,PB=设(,,)n x y z=0,0,n BDn PB⎧=⎪⎨=⎪⎩即-⎧，可得(2,1,1)n=为平面的一个法向量,||||6n BEn BEn BE==⨯与平面PBD3）向量(1,2,0)BC=，(2,CP=-，(2,2,0)AC=，(1,0,0)AB=由点F在棱PC上，设CF CPλ=，0≤故()1,2BF BC CF BC CPλλλ=+=+=-.，得0BF AC=，因此，2(1即12BF⎛=-设(1,n x y=为平面FAB的法向量，则110,0,n ABn BF⎧=⎪⎨=⎪⎩即，可得1(0,n=-FAB的一个法向量的法向量1(0,1,0)n=121212,||||10n nn nn n-==31010.【提示】（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE ，DC 的方向向量，根据0BE DC =，可得BE DC ⊥；（2）求出平面PBD 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （3）根据BFAC ，求出向量BF 的坐标，进而求出平面F AB 和平面ABP 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F ABP 的余弦值2，有10(F P x =+，1(,)F B c c =由已知，有110F P F B =，即1.②由①和②可得234x cx +可得1F P ，1F B .利用圆的性质可得11F B F P ⊥，于是110F B F P =，得到040cx =，解得1n n a q -++1n n b q -++1,2,,n 及n a (1n a -++-()1q ++-q。

2013年高三第一次六校联考数学试卷(理科)一、选择题：（共40分，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．i 为虚数单位，则ii-+11＝ ( )． A ．－i B ．－1 C ．i D ．12. 设为向量，则“=∙”是“//”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( ) A ．11 B ．10 C ．9 D.1724. 如果执行图1的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ） A ．54 B.45 C. 65 D.565．某几何体的三视图如图2所示，则它的体积是( )． A ．8－2π3 B ．8－π3 C ．8－2π D.2π36.设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b >a >0)的半焦距为c ，直线l 过A (a,0)，B (0，b )两点，若原点O 到l的距离为34c ，则双曲线的离心率为( ) A.233或2 B ．2 C.2或233D.2337．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )．A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 38.已知函数y=f(x)是定义在数集R 上的奇函数，且当x ∈(-∞,0)时，xf /(x)<f(-x)成立，若)3(3f a =,)3(lg )3(lg f b =,)41(log )41(log 22f c =,则a,b,c 的大小关系是（ ）A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.a>c>b二、填空题：（本大题共有6小题，每小题5分，共30分）9. 某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2 :3 :5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本,样本中A 种型号产品有16件,那么此样本的容量=n ______.10.若8x ⎛ ⎝的展开式中4x 的系数为7，则实数a =_________.11．若数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋a n －1＝4(n ≥2)，则a 2013＝________.12.直线415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（为参数t ）被曲线)4πρθ=+所截的弦长为13.如图，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OB 绕点O 逆时针旋转120°到OD ，连PD 交圆O 于点E ，则PE ＝________.14.已知点(a ，b )不在直线x ＋y －2＝0的下方，则2a＋2b的最小值为________．三、解答题（本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤） 15.(13分)已知函数R x x x x f ∈--=,21cos 2sin 23)(2 (1)当]125,12[ππ-∈x 时，求函数)(x f 的最小值和最大值(2)设△A,B,C 的对边分别为a,b,c,且c=3，0)(=C f ,若sinB=2sinA ，求a,b 的值.16．（13分）一个袋中装有10个个大小相同的小球．其中白球5个、黑球4个、红球1个. (1)从袋中任意摸出2个球，求至少得到1个白球的概率；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E (ξ)．17．（13分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论； (3)求DB 与平面DEF 所成角的正弦值．18.(13分) 在直角坐标系xOy 中,点P 到两点(0,3-)、(0,3)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为C,直线y=kx+1与C 交于A 、B 两点. (1)写出C 的方程;(2)若点A 在第一象限,证明当k>0时,恒有||||OB OA >.19.（14分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S14与2(1)n a +的等比中项. （1）求证：数列{}n a 是等差数列；（2）若11b a =，且123n n b b -=+，求数列{}n b 的通项公式； （3）在（Ⅱ）的条件下，若3nn n a c b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .20.（14分） 已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >．(1)若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；(2)若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科数学试题答案与解析1. 解析()()7i 34i 7i 2525i1i 34i 2525+-+-===-+. 2. 解析 作出可行域，如图所示.由2z x y =+得122z y x =-+，故将直线12y x =-向上平移，当过()1,1A 时，z 有最小值3.3. 解析 1S =，1i =；3S =，2i =；15S =，3i =；105S =，4i =，结束循环，输出105S =.4. 解析 由240x ->得2x <-或2x >.又12log y u =为减函数，故()f x 的单调递增区间为(),2-∞-.评注 本题考查对数型复合函数的单调性，注意定义域以及同增异减的判定方法.5. 解析 由题意得2ba=且5c =.故由222c a b =+，得22254a a =+，则25a =，220b =，从而双曲线方程为221520x y -=. 6. 解析 ①F B D B A D ∠=∠，DBC DAC ∠=∠，故FBD CBD ∠=∠，即①正确.由切割线定理知②正确. ③BED AEC △△，故BE AEDE CE=，当DE CE ≠时，③不成立. ②ABF △△BDF ，故AB BDAF BF=，即AB BF AF BD ⋅=⋅，④正确.故①②④正确，选D. 7. 解析 先证“a b >” ⇒“a a b b >”.若0a b >…，则22a b >，即a a b b >；若0a b >…，则0a a b b >…；若0a b >>，则22a b <，即a a b b ->-，从而a a b b >.再证“a a b b >” ⇒“a b >”.若a ，0b …，则由a a b b >，得22a b >，故a b >； 若a ，0b …，则由a a b b >，得22a b ->-，即22a b <，故a b >；若0a …，0b <，则a b >.而0a <，0b …时，a a b b >不成立.2综上，“a b >”是“a a b b >”的充要条件.8. 解析 以AB ，AD 为基向量，则()()AE AF AB AD AD AB λμ⋅=+⋅+=22AB AD μλ++()()()1421AB AD λμμλλμ+⋅=+-+①.()()()()2112113CE CF BC DC λμλμ⋅=-⋅-=---=-②，由①②可得56λμ+=.评注 本题考查平面向量的基本定理，数量积等相关运算，难度适中等. 9. 解析43006020⨯=（名） 10. 解析 该几何体由一个圆锥和一个圆柱组成， 故体积()223120π14π22π33V m =⨯⨯+⨯⨯⨯=. 11. 解析 11S a =，2121S a =-，4146S a =-.故()()21112146a a a -=⨯-，解得112a =-. 12. 解析 由2sin 3sin B C =得23bc =，即32b c =，代入14b c a -=，整理得2a c =， 故2222229414cos 32422c c c b c a A bc c c +-+-===-⋅⋅.13. 分析 本题考查极坐标，直线与圆.将极坐标方程转化为普通方程，再结合直线与圆的位置关系求解.解析 由4sin r q =，224x y y +=，即圆的标准方程为()2224x y +-=，由sin a r q =知，直线y a =，如图所示，设圆与y 轴的另一个交点为D ，直线AB 与y 轴交点为C ，连接BD ，由对称性及AOB △是等边三角形知，30AOC BOC ∠=∠=︒，又90OBD ∠=︒，在Rt OBD △中，因为4OD =，则OB =BC =，OC ,所以.14. 分析 本题考查函数的图像变换，零点问题，利用导函数秒杀.借助函数图像，求解方程实根.解析 首先作函数()23f x x x =+的图像，如图所示，（将抛物线()23f x x x =+在x 轴下方的部分沿x 轴对称到x 轴上方，原x 轴上方的图像不变）.其次要将方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根， 等价转化为曲线()y f x =与折线1y a x =-恰有4个不同的公共点.最后结合图像，可将折线与曲线()y f x =有公共点的情况分类讨论：① 当0a ≤时，()y f x =与1y a x =-最多有2个公共点，不符合题意；② 当0a >时，又可分为折线1y a x =-左半支与曲线()y f x =有4个公共点.和折线1y a x =-左、右半支分别与曲线()y f x =有2个不同的公共点.如图所示，当折线1y a x =-的左半支与曲线()y f x =相切于点1P 时，即方程()()231x x a x -+=--的10∆=，整理得，()230x a x a +-+=，所以()2134a a ∆=--2109a a =-+()()190a a =--=，解得1a =或9a =（舍）.要使()1f x a x =-恰有4个互异的实数根，则需01a <<. 当折线1y a x =-的左半支与曲线()y f x =相切于点2P 时，即方程()231x x a x +=-的20∆=，整理得，()230x a x a +-+=，x所以()22340a a ∆=--=，解得1a =（舍）或9a =要使()1f x a x =-恰有4个互异的实数根，则需9a >.故实数a 的取值范围为()()0,19,+∞.评注 利用图像法求解方程实根问题（零点问题）时，不仅仅要看交点的个数，还要考虑函数图像本身的变化趋势.15. 解析 （I ）由已知，有()21cos sin 2f x x x x x ⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭2111πsin cos sin 2sin 22423x x x x x x ⎛⎫⋅==- ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==. （II ）因为()f x 在区间ππ,412⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上式减函数，在区间ππ,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数.π144f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π1122f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π144f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 所以函数()f x 在闭区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为14，最小值为12-.评注 本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识考查基本运算能力.16. 解析 （I ）设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则()120337373104960C C C C P A C ⋅+⋅==.所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为4960. （II ）随机变量X 的所以可能值为0，1，2，3.()()3463100,1,2,3K kC C P X k k C -===.所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 评注 本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.17. 解析 解法一：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P .由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E .（I ）证明：向量()0,1,1BE =，()2,0,0DC =，故0BE DC ⋅=.所以BE DC ⊥. （II ）向量()1,2,0BD =-，()1,0,2PB =-.设(),,x y z n =为平面PBD 的法向量，则0,0,BD PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.x y x z -+=⎧⎨-=⎩不妨令1y =，可得()2,1,1=n 为平面PBD 的一个法向量.于是有cos ,6BE BE BE⋅===⋅n n n 所以直线BE 与平面PBD . （III ）向量()1,2,0BC =，()2,2,2CP =--，()2,2,0AC =，()1,0,0AB =.由点F 在棱PC 上，设CF CP λ=，01λ剟.故()12,22,2BF BC CF BC CP λλλλ=+=+=--.由BF AC ⊥，得0BF AC ⋅=，因此，()()2122220λλ-+-=，解得34λ=.即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 设()1,,x y z =n 为平面FAB 的法向量，则110,0,AB BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,1130.222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩不妨令1z =，可得()10,3,1=-n 为平面FAB 的一个法向量.取平面ABP 的法向量()20,1,0=n ，则121212cos ,⋅==⋅n n n n n n 易知，二角面F AB P --解法二：（I ）证明：如图，取PD 的中点M ，连接EM ，AM .由于E ，M 分别为PC ，PD的中点，故//EM DC ，且12EM DC =，又由已知，可得//EM AB 且EM AB =，故四边形ABEM 为平行四边形，所以//AM BE .因为PA ⊥底面ABCD ，故PA CD ⊥，而CD DA ⊥，从而CD ⊥平面PAD，因为AM ∈平面PAD ，M E P D于是CD AM ⊥，又//AM BE ，所以BE CD ⊥.（II ）连接BM ，由（I ）有CD ⊥平面PAD ，得CD PD ⊥，而//EM CD ，故PD EM ⊥.又因为AD AP =，M 为PD 的中点，故PD AM ⊥，可得PD BE ⊥，所以PD ⊥平面BEM ，故平面BEM ⊥平面PBD ，所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE EM ⊥，可得EBM ∠为锐角，故EBM ∠为直线BE 与平面PBD 所成的角.依题意，有PD =M 为PD的中点，可得AMBE =故在直角三角形BEM中，tan EM AB EBM BE BE ∠===，因此sin EBM ∠=所以直线BE 与平面PBD. （III ）如图，在PAC △中，过点F 作//FH PA 交AC 于点H .因为PA ⊥底面ABCD ，故FH ⊥底面ABCD ，从而FH AC ⊥.又BF AC ⊥，得AC ⊥平面FHB ，因此AC BH ⊥.在底面 ABCD 内，可得3CH HA =，从而3CF FP =.在平面PDC 内，作//FG DC 交PD 于点G ， 于是3DG GP =.由于//DC AB ，故//GF AB ，所以A ，B ，F ，G四点共面.由AB PA ⊥，AB AD ⊥，得AB ⊥平面PAD ，故AB AG ⊥.所以PAG ∠为二面角F AB P --的平面角.在PAG △中，PA=2，14PG =PD =045APG ∠=，由余弦定理可得AG =cos PAG ∠=所以二面角F AB P --.评注 本题主要考查空间两条直线的位置关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.18. 解析 （I ）设椭圆右焦点2F 的坐标为(),0c .由12AB F F =，可得2223a b c +=，又222b ac =-，则2212c a =.所以椭圆的离心率e =.（II ）由（I ）知222a c =，22b c =.故椭圆方程为222212x y c c+=.设()00,P x y .由()1,0F c -，()0,B c ，有()100,F P x c y =+，()1,F B c c =.由已知，110F P F B ⋅=，即()000x c c y c ++=.又0c ≠，故有000x y c ++=.①又因为P 在椭圆上，故22002212x y c c+=.②由①②可得20040x cx +=3.而点P 不在椭圆的顶点，故043x c =-，代入①得03cy =，即HF G ABCDP点P 的坐标为4,33c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭.设圆的圆心为()11,T x y ，则1402323c x c -+==-，12323c cy c +==，进而圆的半径r =.设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y kx =.由l与圆相切，r ==，整理得2810k k -+=，解得4k =所以直线l的斜率为4或4评注 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力. 19. 分析 本题考查数列与不等式.新定义与数列相关的集合问题，要理解集合中元素的性质特征.解析 （1）当2q =，3n =时，由题意{}0,1M =，12324x x x x =++，(),1,2,3i x M i ∈=.则{}0,1,2,3,4,5,6,7A =.（2）因为,s t A ∈，所以112+++n n a s a a q q -=()()11+1++n n q q q a q ---≤…()()1111+n n n q q qa q --=-+++… ()111=1+1n n n q q a q q-----11=1n n n q a q ---+()1=11n n a q -+-.1112+++n n n n t b b b q b q q --=≥，又,n n a b M ∈，且n n a b <，所以1n n b a +≥.所以()()111111n n n n n n q q b a a q ---+>+-≥.即()1111n n n n q q t s b a -->-+≥≥，所以n n a b <，则s t <.20. 解析 （I ）由()e x f x x a =-，可得()1e x f x a '=-，下面分两种情况讨论：①0a …时，()0f x '>在R 上恒成立，可得()f x 在R 上单调递增，不合题意.②0a >时，由()0f x '=，得ln x a =-.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：这时，()f x 的单调递增区间是(),ln a -∞-；单调递减区间是()ln ,a -+∞.于是，“()y f x =有两个零点”等价于如下条件时成立：（i ）()ln 0f a ->；（ii ）存在()1,ln s a ∈-∞-，满足()10f s <；（iii ）存在()2ln ,s a ∈-+∞，满足()20f s <.由()ln 0f a ->，即ln 10a -->，解得10e a -<<.而此时，取10s =，满足()1,ln s a ∈-∞-，且()10f s a =-<；取222ln s a a=+，满足()2ln ,s a ∈-+∞， 且()22222e ln e 0a a f s a a ⎛⎫⎛⎫=-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以a 的取值范围是()10,e a -.（II ）证明：由()e x f x x a =-，有e x x a =.设()e x x g x =，由()1exxg x -'=，知()g x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减.并且，当(],0x ∈-∞时，()0g x …；当()0,x ∈+∞时，()0g x >.由已知，1x ，2x 满足()1a g x =，()2a g x =.由()10,e a -∈，及()g x 的单调性，可得()10,1x ∈，()21,x ∈+∞.对于任意的1a ，()120,e a -∈，设12a a >，()()121g g a ξξ==，其中1201ξξ<<<；()()122g g a ηη==，其中1201ηη<<<.因为()g x 在()0,1上单调递增，故由12a a >，即()()11g g ξη>，可得11ξη>，类似可得22ξη<.又由1ξ，10η>，得222111ξηηξξη<<.所以21xx 随着a 的减小而增大. （III ）证明：由11e x x a =，22e x x a =，可得11ln ln x a x =+，22ln ln x a x =+. 故221211ln ln lnx x x x x x -=-=. 设21x t x =，则1t >，且2121,ln ,x tx x x t =⎧⎨-=⎩解得1ln 1tx t =-，2ln 1t t x t =-.所以()121ln 1t t x x t ++=-.（*）令()()1ln 1x xh x x +=-，()1,x ∈+∞，则()()212ln 1x x x h x x -+-'=-.令()12ln x x x xμ=-+-，得()21x x x μ-⎛⎫'= ⎪⎝⎭.当()1,x ∈+∞时，()0x μ'>.因此，()x μ在()1,+∞上单调递增，故对于任意()1,x ∈+∞，()()10x μμ>=，由此可得()0h x '>，故()h x 在()1,+∞上单调递增. 因此，由（*）可得12x x +随着t 的增大而增大.而由（II ），知t 随着a 的减小而增大，所以12x x +随着a 的减小而增大.评注 本题主要考查函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.。

xy2O-221FEDCBA 2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2014年天津，理1，5分】i是虚数单位，复数7i34i（）（A）1i（B）1i（C）1731i2525（D）1725i77【答案】A【解析】7i34i7i2525i1i34i34i34i25，故选A．【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．（2）【2014年天津，理2，5分】设变量x，y满足约束条件2012xyx yy≥--≤+≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数2z x y=+的最小值为（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5【答案】B【解析】作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点1,1时，z取得最小值3，故选B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．（3）【2014年天津，理3，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值为（）（A）15 （B）105 （C）245 （D）945【答案】B【解析】1i时，3T，3S；2i时，5T，15S；3i时，7T，105S，4i输出105S，故选B．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．（4）【2014年天津，理4，5分】函数212log4f x x的单调递增区间是（）（A）0,（B）,0（C）2,（D）,2【答案】D【解析】240x，解得2x或2x．由复合函数的单调性知f x的单调递增区间为,2，故选D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．（5）【2014年天津，理5，5分】已知双曲线22221x ya b0,0a b的一条渐近线平行于直线l：210y x，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）（A）221520x y（B）221205x y（C）2233125100x y（D）2233110025x y【答案】A【解析】依题意得22225b acc a b，所以25a，220b，双曲线的方程为221520x y，故选A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．（6）【2014年天津，理6，5分】如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F．在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ；②2FB FD FA ；③AE CE BE DE ；④AF BD AB BF ．则所有正确 结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ 【答案】D 【解析】∵圆周角DBC ∠对应劣弧CD ，圆周角DAC ∠对应劣弧CD ，∴DBC DAC ∠=∠．∵弦切角FBD∠对应劣弧BD ，圆周角BAD ∠对应劣弧BD ，∴FBD BAF ∠=∠．∵BD 是BAC ∠的平分线，∴BAF DAC ∠=∠． ∴DBC FBD ∠=∠．即BD 平分CBF ∠．即结论①正确．又由FBD FAB ∠=∠，BFD AFB ∠=∠，得FBD FAB ∆∆．由FB FD FA FB =，2FB FD FA =⋅．即结论②成立．由BF BDAF AB=，得AF BD AB BF ⋅=⋅．即结论④成立．正确结论有①②④，故选D ．【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．（7）【2014年天津，理7，5分】设,a b R ，则|“a b ”是“a a b b ”的（ ） （A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要也不必要条件 【答案】C【解析】解法一：设f x x x ，则220,0,x x x x f x ，所以f x 是R 上的增函数，“a b ”是“a a b b ”的充要条件，故选C ． 解法二：若0a b >≥，则不等式a ab b 等价为a a b b 此时成立．若0a b >>，则不等式a ab b等价为a a b b -⋅>-⋅，即22a b <，此时成立．若0a b ≥>，不等式a a b b 等价为a a b b ⋅>-⋅，即22a b >-，此时成立，综上则“ab ”是“a ab b ”的充要条件，故选C ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质 结合分类讨论是解决本题的关键．（8）【2014年天津，理8，5分】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC ，DFDC ．若1AE AF ，23CE CF ，则（ ） （A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712【答案】C 【解析】因为120BAD，所以cos1202AB ADAB AD ．因为BE BC ，所以AEABAD ，AFAB AD ．因为1AE AF ，所以1ABADABAD，即3222① 同理可得23 ②，①+②得56，故选C ． 【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）【2014年天津，理9，5分】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 名学生． 【答案】60【解析】应从一年级抽取4604556300名．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应俯视图侧视图正视图各层的样本数之比，属于基础题．（10）【2014年天津，理10，5分】已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ． 【答案】203【解析】由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积22182014224333V πππππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+=．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．（11）【2014年天津，理11，5分】设n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为 ．【答案】12【解析】依题意得2214S S S ，所以21112146a a a ，解得112a ． 【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题． （12）【2014年天津，理12，5分】在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,abc ．已知14b ca ，2sin 3sin B C ，则cos A 的值为 ．【答案】14【解析】因为2sin 3sin B C ，所以23b c ，解得32cb ，2ac ．所以2221cos 24b c a A bc ．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题． （13）【2014年天津，理13，5分】在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线sin a 相交于,A B两点．若AOB 是等边三角形，则a 的值为 ． 【答案】3【解析】圆的方程为2224x y ，直线为y a ．因为AOB一个交点坐标为,3aa ，代入圆的方程可得3a ．【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B 坐标是解题的关键，属于基础题．（14）【2014年天津，理14，5分】已知函数23f x x x ，x R ．若方程1f x a x 个互异的实数根，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】()()0,19,+∞ 【解析】解法一：（ⅰ）当1y a x 与23y x x 相切时，1a ，此时10f x a x 恰有3个互异的实数根． （ⅱ）当直线1y a x 与函数23yxx 相切时，9a ，此时10f x a x 恰有2个互异的实数根． 结合图象可知01a 或9a ． 解法二：显然1a ，所以231x xa x ．令1tx ，则45at t． 因为,444,tt，所以45,19,tt．结合图象可得01a 或9a ．【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大． 三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）【2014年天津，理15，13分】已知函数()23cos sin 3cos 34f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭，x R ∈．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．解：（1）由已知，有2133cos sin cos 3cos 224f x xx x x2133sin cos cos 224x x x133sin 21cos2444x x13sin 2cos 244x x 1sin 223x ．所以，f x 的最小正周期22T ．（2）因为f x 在区间,412上是减函数，在区间,124上是增函数．144f，1122f， 144f．所以，函数f x 在闭区间,44上的最大值为14，最小值为12．【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式2T πω=应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题．（16）【2014年天津，理16，13分】某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院． 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（2）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：（1）设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则120337373104960C C C C P A C ． 所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为4960．所以，f x 的最小正周期22T ．（2）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3．346310k k C C P xk C 0,1,2,3k ． 所以，随机变量X 的分布列是X0 1 2 3 P1612 310 130 随机变量X 的数学期望1131612362103050E X ． 【点评】本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查应用概率解决实际问题的能力．（17）【2014年天津，理17，13分】如图，在四棱锥P ABCD 中，PA 底面ABCD ，AD AB ，//AB DC ，2AD DC AP ，1AB ，点E 为棱PC 的中点． （1）证明 BE DC ；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ，求二面角F AB P 的余弦值． 解：解法一：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得1,0,0B ，2,2,0C ，0,2,0D ， z y xPE DA0,0,2P ．由E 为棱PC 的中点，得1,1,1E ．（1）向量0,1,1BE ，2,0,0DC ，故0BE DC ．所以，BE DC ．（2）向量1,2,0BD，1,0,2PB．设,,nx y z 为平面PBD 的法向量，则00n BD n PB，即2020x y x z ，不妨令1y，可得2,1,1n 为平面PBD 的一个法向量，223cos ,36n BE n BEn BE．所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33． （3）向量1,2,0BC，2,2,2CP，2,2,0AC ，1,0,0AB ．由点F 在棱PC 上，设CF CP ，01．故12,22,2BF BCCFBCCP．由BF AC ，得0BF AC ，因此，2122220，解得34．即113,,222BF ．设1,,n x y z 为平面FAB 的法向量，则1100n AB n BF，即01130222x x y z ．不妨令1z，可得10,3,1n 为平面FAB的一个法向量．取平面ABP 的法向量20,1,0n ，则1212113310cos ,10101n n n n n n ． 易知，二面角FAB P 是锐角，所以其余弦值为31010． 解法二：（1）如图，取PD 中点M ，连接EM ，AM ．由于,E M 分别为,PC PD 的中点，故//EM DC ，且12EM DC ，又由已知，可得//EM AB 且EM AB ，故四边形ABEM 为平行四边形，所以//BE AM ．因为PA 底面ABCD ，故PA CD ，而 CD DA ，从而CD 平面PAD ，因为AM 平面PAD ，于是CD AM ，又 //BE AM ，所以BE CD ． （2）连接BM ，由（1）有CD 平面PAD ，得CD PD ，而//EM CD ，故PD EM ．又因为AD AP ，M 为PD 的中点，故PD AM ，可得PD BE ，所以PD 平面BEM ，故平面BEM 平面PBD ． 直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE EM ，可得EBM 为锐角，故EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有22PD，而M 为PD 中点，可得2AM，进而2BE ．故在直角三角形BEM 中，tan 12EM AB EBMBEBE，因此3in 3s EMB． 所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33． （3）如图，在PAC 中，过点F 作//FH PA 交AC 于点H ．因为PA 底面ABCD ，故FH 底面ABCD ，从而FH AC ．又BF AC ，得AC 平面FHB ，因此AC BH ．在底面ABCD 内，可得3CH HA ，从而3CF FP ．在平面PDC 内，作//FG DC 交PD 于点G ，于是3DG GP ．由于//DC AB ，故//GF AB ，所以,,,A B F G 四点共面．由AB PA ， AB AD ，得AB 平面PAD ，故AB AG ．所以PAG 为二面角F AB P 的平面角．在PAG 中，2PA ，1242PG PD，45APG ，由余弦定理可得102AG ，3os 10c 1PAG．所以，二面角F AB P． 【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．（18）【2014年天津，理18，13分】设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B ．已知1232AB F F ．（1）求椭圆的离心率；（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点的直线l 与该圆相切． 求 直线的斜率．解：（1）设椭圆的右焦点2F 的坐标为,0c ．由1232AB F F ，可得2223a b c ，又222b a c ，则2212c a ． 所以，椭圆的离心率22e ．223b c ，所以22223a c c ，解得2a c ，22e ．（2）由（1）知222a c ，22b c ．故椭圆方程为222212x y c c ．设00,P x y ．由1,0F c ，0,B c ，有100,F P x c y ，1,F B c c ．由已知，有110F P F B ，即000x c c y c ．又0c ，故有00x y c． ① 又因为点P 在椭圆上，故22002212x y c c ． ② 由①和②可得200340x cx ．而点P 不是椭圆的顶点，故043cx ，代入①得03cy ，即点P 的坐标为4,33c c．设圆的圆心为11,T x y ，则1402323c x c ，12323c cy c ，进而圆的半径221153rx y cc ． 设直线l 的斜率为k ，直线l 的方程为ykx ．由l 1121y r ，即22233531c c kc k ， 整理得2810k k ，解得415k ．所以，直线l 的斜率为415或415． 【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．（19）【2014年天津，理19，14分】已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合0,1,2,1,Mq ，集合112,,1,2,,n n iA x xx x x q x M in q．（1）当2q，3n 时，用列举法表示集合A ；（2）设,s t A ，112n n s a a qa q ，112n n tb b qb q ，其中,i ia b M ，1,2,,n i ．证明：若n n a b ，则st ．解：（1）当2q ，3n 时，0,1M ，12324,,1,2,3iA x xx x x M x i ．可得，0,1,2,3,4,5,6,7A ．（2）由,s tA ，112n n s a a q a q ，112n n t b b qb q ，,i i a b M ，1,2,,n i 及n n a b ，可得21111122nn n nnn sta b a b q a b q a b q21111n n q q qq qq11111nnq q q q10．所以，s t ．【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n 项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．（20）【2014年天津，理20，14分】已知函数x f xx ae a R ，x R ．已知函数y f x 有两个零点12,x x ，且12x x ．（1）求a 的取值范围；（2）证明21xx 随着a 的减小而增大；（3）证明12x x 随着a 的减小而增大． 解：（1）由x f xx ae ，可得1x fx ae ．下面分两种情况讨论：1）0a 时，0f x 在R 上恒成立，可得f x 在R 上单调递增，不合题意． 2）0a时，由0fx，得ln xa ．当x 变化时，fx ，f x 的变化情况如下表：ln axxln 1a↘ x 的单调递增区间是,ln a ；单调递减区间是ln ,a ．于是，“函数y f x 有两个零点”等价于如下条件同时成立：（1）ln 0f a ；（2）存在1,ln a s ，满足10f s ；3）存在2ln ,a s ，满足20f s ．由ln 0f a，即ln 10a ，解得10a e ，而此时，取10s ，满足1,ln a s ，且10f s a；取222ln s a a，满足2ln ,a s ，且22222ln 0aaf s eeaa．所以，a 的取值范围是10,e ．（2）由0xf x x ae ，有x xae ．设xxg x e ，由1xxg x e ，知g x 在,1上单调递增，在1,上单调递减． 并且，当,0x 时，0g x；当0,x 时，0g x ．由已知，12,x x满足1ag x ，2ag x ．由10,ae，及g x 的单调性，可得10,1x ，21,x ．对于任意的1120,,a a e，设12a a ，121gga ，其中121；122gga ，其中121．因为g x 在0,1上单调递增，故由12a a ，即11gg，可得11；类似可得22．又由11,0，得222111．所以，21x x 随着a 的减小而增大． （3）由11x x ae ，22x x ae ，可得11ln ln x ax ，22ln ln x ax ．故221211ln ln lnx x x x x x ． 设21x t x ，则1t ，且2121ln x tx x x t，解得1ln 1tx t ，2ln 1t tx t ．所以，121ln 1tt x x t ． ①令1ln 1x x h x x ，1,x ，则212ln 1x xx h x x ．令12ln u xx xx， 得21x u xx．当1,x 时，0u x．因此，u x 在1,上单调递增，故对于任意的1,x，10u x u ，由此可得0h x ，故h x 在1,上单调递增．因此，由①可得12x x 随着t 的增大而增大．而由（2），t 随着a 的减小而增大，所以12x x 随着a 的减小而增大．【评析】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目．。

天津市六校2014届高三上学期第一次联考理科数学试卷（解析版）一、选择题 1()． A．－1 C ．1 【答案】 C 【解析】C. 考点：复数的四则运算..2b a b（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】b a b=的夹角为，|b a b a b θ=⇔=或b a bC.考点：向量的数量积、平行向量.3．的最大值为( )A ．11B ．10C ．【答案】B 【解析】试题分析：不等式表示的平面区域如图所示为三角形及其内部，根据选B.考点：简单的线性规划.4）A【答案】D【解析】2xD.考点：算法与框图.5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是()．A．．【答案】A【解析】试题分析：这个几何体是一个棱长为2的的立方体中挖去一个圆锥，这个圆锥的高为2，底面半径为1A.考点：三视图、简单几何体的体积.6( )2 B．侧视图22【答案】B【解析】试题分析：由直角三角形斜边上的高的面积法或点到直线距离公式均可求得，距离为，所以，得，即)0B.考点：双曲线的离心率.7( )．A【答案】C【解析】C.考点：三角形面积公式.8是（）【解析】试题分析：因为)时，)x，所以当)时，而A.考点：函数的单调性、导数的应用.9所截的弦长．【解析】试题分析：曲线的极坐标方程化为直角坐考点：参数方程和极坐标方程.二、填空题10,,16件,= 【答案】80【解析】考点：分层抽样.117．【解析】令考点：二项式定理.12．【答案】3【解析】考点：数列的递推关系.13________．【解析】再由割线定考点：余弦定理、割线定理.14________．【答案】4【解析】试题分析：在直角坐标系中画出即OEB PCD所以4.考点：二元一次不等式表示的平面区域、基本不等式.三、解答题15(1)(2).【答案】（10；（2【解析】试题分析：（1一般地，涉及三角函数的值域问题，再利用三角函数的性质解答，也有部分题目，可转化为角的某个三角函数，然后用换元法转化为非三角函数问题；(2)在三角形中求角或边，通常对条件进行“统一”，统一为边或统一为角，主要的工具是正弦定理和余弦定理，同时不要忘记了三角形内角和定理.试题解析：（1），因为所以得最小值，当时，取得最大值0 6分（2，由正弦定理结合得，，再由余弦定理得，，解得，所以13分考点：三角函数性质、正弦定理、余弦定理.16．一个袋中装有10个大小相同的小球．其中白球5个、黑球4个、红球1个. (1)从袋中任意摸出2个球，求至少得到1个白球的概率；(2)从袋中任意摸出3【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）古典概型，“至少得到一个白球”分为“恰好1个白球”和“两个都是白球”两类，也可以先求它的对立事件“两个都不是白球的概率”；(2).试题解析：（13分 (2)0,1,2,3， 4分分8分10分12分分 考点：离散型随机变量的概率分布、离散型随机变量的数学期望.17．如图，(1)(2)(3)【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；【解析】试题分析：在空间中直线、平面的平行和垂直关系的判定，求空间中的角，可以用相关定义和定理解决，如(1)很难转化，特别求空间中的角，很难找到直线在平面内的射影，很难作出二面角，这时空间向量便可大显身手，如果图形便于建立空间直角坐标系，则更为方便，本题就是建立空间直角坐标系，写出各点坐标（1）(2)(3).(如图)，设(1)分 (2)AEBPCDF8分(3)|||BD =n |所以，DB与平面DEF所成角的正弦值的大小为分 考点：空间向量与立体几何.18,4,. (1);(2),,【答案】（1（2）详见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据椭圆的定义，可判断点的轨迹为椭圆，再根据椭圆的基本量，容易写出但如果根据特殊曲线的定义，先行判断出曲线的形状(如椭圆，圆，抛物线等)，则可直接写出其方程；（2）一般地，涉及直线与二次曲线相交的问题，则可联立方程组，或解出交点坐标，或设而不求，利用一元二次方程根与系数的关系建立关系求出参数的值(取值范围)，本. 试题解析：(1)由椭圆定义可知,,长半轴为2的椭圆,分分(2),得分分分,即在题设条件下,恒有O B.13分考点：椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系.19.（1（2（3）在（2【答案】(1)详见解析；【解析】试题分析：（1列；(2)由(1)求出其通项公式；(3)(等差乘等比型)可用错位相减法求和.证明数列为等差数列或等比数列，应紧扣定义，通过对所给条件变形，得到递推关系，而等差乘等比型数列的求和最常用的就是错位相减法，使用这个方法在计算上要有耐心和细心，注意各项的符号，防止出错.试题解析：（1分分分分∴∴数列是等差数列 5分（2）7分2为公比，4为首项的等比数列∴∴9分（3）10分12n ++①2132n ++② ① 1222n n ++-11212n n --+- 23n + 14分考点：等差数列、等比数列、错位相减法.20(1)(2)的取值范围．【答案】（1（2 【解析】试题分析：（1）由连续可导函数在极值点处的导数为0里容易忘记验证充分性，一定要注意连续可导函数在某点处导数为0，只是在该处取得极值的必要条件，而非充要条件；(2)分类讨论.，若题目改为，.试题解析：（1）解法1 1分3分5分解法2（2）解：6分∴函数在上是增函数．∴8分此时不合题意． 10分12分13分14分考点：函数与导数、函数的极值和最值.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，复数734ii+=+（ ）（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+2．设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）53．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（ ） （A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）9455．已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 （ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -=6．如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ．在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF Ð；②2FB FD FA =?；③AE CEBE DE ??；④AF BD AB BF ??．则所有正确结论的序号是 （ ）7．设,a b R Î，则|“a b >”是“a a b b >”的 （ ）（A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要又不必要条件 【答案】C ．【解析】第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共12小题，共110分．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）9．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．【答案】60．【解析】试题分析：应从一年级抽取4604556300?+++名．考点：等概型抽样中的分层抽样方法．10．已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_______3m ．俯视图侧视图正视图【答案】203p． 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是组合体，其中下半部分是底面半径为1，高为4的圆柱，上半部分是底面半径为2，高为2的圆锥，其体积为22120142233pp p 鬃+鬃=（3m ）． 考点：1．立体几何三视图；2．几何体体积的计算．11．设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________． 【答案】12-． 【解析】试题分析：依题意得2214S S S =，∴()()21112146a a a -=-，解得112a =-页眉页脚换．考点：1．等差数列、等比数列的通项公式；2．等比数列的前n 项和公式． 12．在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______． 【答案】14-． 【解析】试题分析：∵32sin 3sin ,23,,2B C b c b c =\=\=代入14b c a -=得2a c =，由余弦定理得()f x 与()g x 图象恰有四个交点．当()1y a x =-与23y x x =+（或()1y a x =--与23y x x =--）相切时，()f x 与()g x 图象恰有三个交点．把()1y a x =-代入23y x x =+，得()231x x a x +=-，即()230x a x a +-+=，由0D =，得()2340a a --=，解得1a =或9a =．又当0a =时，()f x 与()g x 仅两个交点，01a ∴<<或9a >．（方法二）显然1a ¹，∴231x x a x +=-．令1t x =-，则45a t t=++．∵(][),,444t t ???++，∴(][)45,19,t t?ゥ+++．结合图象可得01a <<或9a >．考点：方程的根与函数的零点．三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分13分）已知函数()2cos sin 34f x x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，x R ∈． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．22T pp ==． （Ⅱ）∵()f x 在区间,412pp轾犏--犏臌上是减函数，在区间,124p p 轾犏-犏臌上是增函数，144f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫，1122f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫，144f p 骣÷ç=÷ç÷ç桫，∴函数()f x 在闭区间,44p p 轾犏-犏臌上的最大值为14，最小值为12-．考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．16．（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．()()3463100,1,2,3,k k C C P x k k C -×===\随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()12362103050E X ??=+??． 考点：1．古典概型及其概率计算公式；2．互斥事件；3．离散型随机变量的分布列与数学期望．17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，AD AB ^，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点．公式121211cos ,n n n n n n ×=×来求二面角F AB P --的余弦值．综合法：先利用三垂线定理或其逆定理作出二面角F AB P --的平面角，再利用解三角形的有关知识求其余弦值． 试题解析：（方法一）依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P ．由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ．C（方法二）（Ⅰ）如图，取PD 中点M ，连结EM ，AM ．由于,E M 分别为,PC PD 的中点，故//EM DC ，且12EM DC =，又由已知，可得//EM AB 且EM AB =，故四边形ABEM 为平行四边形，∴//BE AM ．∵PA ^底面ABCD ，故PA CD ^，而CD DA ^，从而CD ^平面PAD ，∵AM Ì平面PAD ，于是CD AM ^，又//BE AM ，∴BE CD ^．（Ⅱ）连结BM ，由（Ⅰ）有CD ^平面PAD ，得CD PD ^，而//EM CD ，故PD EM ^．又∵AD AP =，M 为PD 的中点，故PD AM ^，可得PD BE ^，∴PD ^平面BEM ，故平面BEM ^平面PBD ．∴直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE EM ^，可得EBM Ð为锐角，故EBM Ð为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有PD =，而M 为PD 中点，可得AM =，进而BE =．故在直角三角形BEM中，tan EM AB EBMBEBE ?==，因此in s EMB ?，∴直线BE 与平面PBD 所C18．（本小题满分13分）设椭圆22221x ya b+=（0a b>>）的左、右焦点为12,F F，右顶点为A，上顶点为B．已知12AB F=．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点1F，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．【答案】（Ⅰ）e=；（Ⅱ）直线l的斜率为4+或4-．标为4,33c c 骣÷ç-÷ç÷ç桫．设圆的圆心为()11,T x y ，则1402323c x c -+==-，12323ccy c +==，进而圆的半径r ==．设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y kx =．由l r，整理得2810kk -+=，解得4k=?l的斜率为4+或4-．考点：1．椭圆的标准方程和几何性质；2．直线和圆的方程；3．直线和圆的位置关系． 19．（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合{}0,1,2,1,q M =-，集合{}112,,1,2,,n n i A x x x x q x q x M in -+?==++．（Ⅰ）当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ； （Ⅱ）设,s t A Î，112n n s a a q a q -=+++，112n n t b b q b q -=+++，其中,,1,2,,.i i a b M in ?证明：若n n a b <，则s t <．20．（本小题满分14分） 已知函数()xf x x ae=-()a R Î，x R Î．已知函数()y f x =有两个零点12,x x ，且12x x <．（Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）证明21x x 随着a 的减小而增大； （Ⅲ）证明12x x +随着a 的减小而增大．（2）0a >时，由()0f x ¢=，得ln x a =-．当x 变化时，()f x ¢，()f x 的变化情况如下表：这时，()f x 的单调递增区间是(),ln a -?；单调递减区间是()ln ,a -+¥．∴()121ln 1t tx x t ++=-． ①令()()1ln 1x xh x x +=-，()1,x ??，则()()212ln 1x x xh x x -+-¢=-．令()12ln u x x x x=-+-，得()21x u x x 骣-÷ç¢=÷ç÷ç桫．当()1,x ??时，()0u x ¢>．因此，()u x 在()1,+¥上单调递增，故对于任意的()1,x ??，()()10u x u >=，由此可得()0h x ¢>，故()h x 在()1,+¥上单调递增，因此，由①可得12x x +随着t 的增大而增大，而由（Ⅱ），t 随着a 的减小而增大，∴12x x +随着a 的减小而增大．考点：1．函数的零点；2．导数的运算；3.．利页眉页脚换用导数研究函数的性质．。

2014年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+•柱体的体积公式Sh V=. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合N M x N x y y M x则},44|{)},1lg(|{2<=+==等于 （ ）A ．[)+∞,0B ．[)1,0C ．()+∞,1D ．(]1,02. 已知y ,x 满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-305x y x y x ，则y x z 42+=的最小值是( )A.－6B.5C.38D.－103. 二项式612⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 展开式中的常数项是( )A ．15B ．60C ．120D ．2404. 对于实数a 和b ，定义运算b a *，运算原理如右图所示，则式子2221e ln *-⎪⎭⎫⎝⎛的值为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．23 5. 在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===，则⎪⎭⎫ ⎝⎛π-4A tan 的值为（ ）A ．31B ．43C ．31-D ．36. 线段AB 是圆10221=+y x C ：的一条直径，离心率为5的双曲线2C 以,A B 为焦点．若P是圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，则PB PA +的值为（ ）A. 22B.152C. 43D. 627. 已知实数n ,m ，若100=+≥≥n m ,n ,m 且，则1222+++n n m m 的最小值为( ) A.41B. 154 C.81D.31 8. 函数[]11,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x ⎧--∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩,则下列说法中正确命题的个数是（ ）①函数()ln(1)y f x x =-+有3个零点；②若0x >时，函数()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； ③函数()f x 的极大值中一定存在最小值；④()()()N k ,k x f x f k∈+⋅=22，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立．A ．1B ．2C ．3D ．4 第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9.设i 是虚数单位,复数ii21+= ． 10. 某几何体的三视图如图所示,其俯视图是中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为 .11. 直线()为参数m m y mx ⎩⎨⎧=λ+=1被抛物线()为参数t t x ty ⎪⎩⎪⎨⎧==241 所截得的弦长为4，则=λ .12.在ABC ∆中，060=∠A ,A ∠的平分线交BC 于D ,若3=AB ，且)R (AB AC AD ∈μμ+=31,则AD 的长为 . 13. 如图所示,已知PA 与⊙O 相切,A 为切点,过点P 的割线交圆于C B 、两点,弦AP CD //,BC AD 、相交于点E ,F 为CE 上一点,且EDF P ∠=∠,若2:3:=BE CE , 2,3==EF DE ,则PA =___________.14. 设函数()a x x x f -=的图象与函数()1-=x x g 的图象有三个不同的交点，则a 的范围是 .三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()2132++=x cos x cos x sin x f .(Ⅰ)求()x f 的最小正周期，并求出当[,]62x ππ∈时，函数)(x f 的值域； (Ⅱ)当[,]62x ππ∈时，若8()5=f x , 求()12f x π-的值. 16．（本小题满分13分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行.但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求.为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：组别 候车时间（单位：min ） 人数一 [)0,5 1 二 [)5,10 5 三 [)10,15 3四[)15,201(Ⅰ)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；(Ⅱ)现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；(Ⅲ)现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X 个组，求X 的分布列及数学期望.17．（本小题满分13分）如图，多面体ABCDEF 中，,,BA BC BE 两两垂直，且EF AB ∥，BE CD ∥，2AB BE ==，1BC CD EF ===.（Ⅰ）若点G 在线段AB 上，且3BG GA =，求证：ADF 平面∥CG ；（Ⅱ）求直线DE 与平面A DF 所成的角的正弦值； （Ⅲ）求锐二面角A DF B --的余弦值.18．（本小题满分13分）设()xx f +=121，若()()[]()(),f f a ,x f f x f n n n n n 201011+-==+其中*N n ∈．（Ⅰ）求1a ；（Ⅱ）求证：{}n a 为等比数列，并求其通项公式； （Ⅲ）若.n n nn Q ,na a a a T n n n9363642322223212+++=+++= 其中*N n ∈，试比较n2T 与n Q 的大小，并说明理由．19．（本小题满分14分）已知椭圆12222=+by a x :C (0>>b a )的离心率为22，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为28. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形BCD A 的顶点在椭圆C 上，且对角线BD AC ,均过坐标原点O ，若21-=⋅BD AC k k .(i) 求OB OA ⋅的范围；(ii) 求四边形BCD A 的面积.20．（本小题满分14分）已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴交于点M （M 异于原点），()x f 在M 处的切线为1l ，()1-x g 图象与x 轴交于点N 且在该点处的切线为2l ，并且1l 与2l 平行. (Ⅰ)求(2)f 的值；(Ⅱ)已知实数R t ∈，求函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值；(Ⅲ)令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.2014年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数学理科参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分9．i 5152+；10．π2 ； 11．0； 12 13．4315； 14．()+∞,1 三、解答题15.解：（1）1cos 21()2221sin 2cos 2122sin(2)16+=++=++=++x f x x x x x ππ=π=22T………4分 由26ππ≤≤x ，得67622πππ≤+≤x ………5分 1)62sin(21≤+≤-∴πx………6分 26ππ≤≤∴x 时，函数)(x f 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦………7分(2)83()sin(2)1,sin(2)6565=++=+=f x x x ππ则67622,26πππππ≤+≤≤≤x x 得； 所以4cos(2),65x π+=- ………9分1212+=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-x sin x f………10分=1662+⎪⎭⎫ ⎝⎛π-π+x sin ………11分=571033+………13分...........2分 ...........3分 ...........8分16.解：(Ⅰ)候车时间少于10分钟的人数为 3610510160=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯人； ………3分 (Ⅱ)设“至少有一人来自第二组为事件A ”()1211131035=-=C C A P…………7分(Ⅲ)X 的可能值为1，2，3()1201113103335=+==C C C X P ()1207122310152313252325=++⨯+==C C C C C )C C (X P ()120382331013151513=++⨯==C C C C C X P …………10分 所以X 的分布列为…………11分 408912026712038371211==⨯+⨯+=EX…………13分17．解：（Ⅰ）分别取,AB AF 的中点,M H ，连结,,MF GH DH ，则有,AG GM MF BE =. ∵AH HF =∴ 12GH MF ……………………………………………1分 又∵1,2CD BE BE MF∴CD GH∴四边形CDHG 是平行四边形 ∴CGDH ……………………………………………………2分又∵,CG ADF DH ADF ⊄⊂平面平面 ∴CG平面ADF ……………………………………………4分（Ⅱ）如图，以B 为原点，分别以,,BC BE BA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则(0,0,2),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,2,1)A C D E F(1,1,0),(1,1,2),(0,2,1)DE DA FA =-=--=- ……………………………………6分设平面ADF 的一个法向量(,,)n x y z =，则有2020n DA x y z n FA y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，化简，得32x y z y =⎧⎨=⎩ 令1y =，得(3,1,2)n = ……………8分 设直线DE 与平面ADF 所成的角为θ，则有7sin 7n DE n DEθ⋅==⋅. ………………………9分 所以直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值为77. (Ⅲ)由已知平面A DF 的法向量1n (3,1,2),BF (0,2,1)== 设平面BDF 的一个法向量2n (x,y,z),BD (1,1,0)==22n BF 02y z 0x y 0n BD 0⎧=+=⎧⎪∴∴⎨⎨+==⎩⎪⎩ z 2y,x y ∴=-=-令y 1,=-则2n (1,1,2)=-……………………………………………………11分设锐二面角B DF A --的平面角为θ 则121212n n 621cos |cos n ,n |||7|n ||n |146θ=<>===………………………12分所以锐二面角B DF A --的余弦值为7………………………13分 18.解：(Ⅰ).)(f )(f a ,)(f 412010201111=+-==…2分（Ⅱ）)(f )](f [f )(f n n n 0120011+==+.a )(f )(f )(f )(f )(f )(f a n n n n n n n n 21201021024012010111-=+-⋅-=+-=+-=+++...3分∴}a {n 是首项为41，公比为21-的等比数列． …4分 ∴}a {n 的通项公式是.*N n .)21(41a 1n n ∈-⋅=-…5分（Ⅲ）,na a )n (a a a T n n n 212321221232+-++++=-.na a )n (a a T n n n 2232212221--+++=-…6分两式相减得.na a a a a T n n n 22321223+++++=∴122221412112114123--⋅⋅++--=n n n )(n ])([T1222142116161--⋅+--=n n )(n )( …7分 ∴).n (T n n 22213191+-=…8分,)n ()n (n Q n 212914++=]21)1n 2(1[91n 3291n 3)1n 2(91n 3Q T n 22n 22n n2-++=⋅+-+⋅+=-.)1n 2(2)1n 2(291n 32n 22n 2++-⋅+= …9分.*N n ∈ ∴只要比较n 22与212)n (+大小． 当n ＝１时，.05)1n 2(22n 2<-=+-即.Q T 12< …10分 当n ＝2时，.07)1n 2(22n 2<-=+-即.Q T 24<…11分当，3n 时≥.)1n 2()n n 1(]2)1n (n n 1[)C C C (])11[(22222n n 1n 0n 2n n 2+=++≥-++>+++=+<n n 2Q T >∴故n ＝1或2时，3n ,Q T n n 2≥<时，n n 2Q T >．（结论不写不扣分）…13分19.解：（I ）由已知，22228222122a b c ,b a ,a c=+=⋅⋅= …………2分于是8222===a ,b ,c…………3分 所以椭圆的方程为14822=+y x…………4分（II ）当直线AB 的斜率不存在时，2OA OB ⋅=，所以OB OA ⋅的最大值为2. ……5分当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为m kx y +=，设),(),,(2211y x B y x A联立⎩⎨⎧=++=8222y x m kx y ，得0824)21(222=-+++m kmx x k …………6分()2222244(12)(28)8840km k m k m ∆=-+-=-+>（）…………7分⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=+22212212182214k m x x k km x x ∵21-=⋅=⋅BDAC oB oA k k k k 212121-=∴x x y y 2222212121421822121k m k m x x y y +--=+-⋅⋅-=-=∴…………8分2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++==222222142182m kkm km k m k ++-++-222812m k k -=+ 22222218214kk m k m +-=+--∴2228)4(k m m -=--∴ 2242k m ∴+= …………9分 2121y y x x OB OA +=⋅2222222222844424421212121212m m m k k k k k k ---+-=-===-+++++……10分 2242OA OB ∴-=-≤⋅<因此，[]22,OB OA -∈⋅…………11分另解：设直线AB 方程：kx y =，CD 方程：x ky 21-= 分别求出B 、A 的坐标 (2)分情况讨论， k >0时，分析B 、A 所在的象限，求范围 …………占3分 同理0<k 时 …………占1分 结论 …………占1分 (ii)设原点到直线AB 的距离为d ，则22442)4(16642||218242142||4)(2||1||||121||212222222222212212122=+-=--=+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+=+⋅-⋅+=⋅=∆m k mm m k m k m k km m x x x x m k m x x k d AB S AOB 13分284==∴∆AOB ABCD S S 四边形.…………14分20. 解: ()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ，'()2f x x a =-(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ，1'(1)1g x x -=- 由题意可得12l l k k =，即1a =， …………………2分 ∴2(),f x x x =-，2(2)222f =-= ………………3分 （2）2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+-………4分令ln u x x =，在 []1,x e ∈时，'ln 10u x =+>，∴ln u x x =在[]1,e 单调递增，0,u e ≤≤ …………5分22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122tu -=，抛物线开口向上 ①当1202t u -=≤即12t ≥时，2min 0|u y y t t ===- ……………6分 ②当122t u e -=≥即122e t -≤时，22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- …………7分 ③当1202t e -<<即12122e t -<<时，22min 12212121|()(21)224t u t t y y t t t -=--==+-+-=- ……………8分 1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+,22111'()0x F x x x x-=-=≥1x ≥得 所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增……………………………………9分 ∴1x ≥当时，F F x ≥>（）（1）0 ①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=， 得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈， …………………10分∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<、2()()F F x β< 从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设. ………………11分 ②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=， 由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤， ∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符 ………………12分 ③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥， 得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符. ……………………13分 ∴综合①、②、③得(0,1)m ∈ …………………14分。

绝密★ 启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：•如果事件A，B互斥，那么•如果事件A，B相互独立，那么()()()P A B P A P B=+()()()P AB P A P B=.•圆柱的体积公式V Sh=. •圆锥的体积公式13V Sh =.其中S表示圆柱的底面面积，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆柱的高. h表示圆锥的高.ED CBA 一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，复数734ii+=+（ ） （A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+ （2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（ ）（A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）945（4）函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（ ）（A ）()0,+¥ （B ）(),0-¥ （C ）()2,+¥ （D ）(),2-?（5）已知双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -= （6）如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF Ð；②2FB FD FA =?；③AE CEBE DE ??；④AF BDAB BF ??.则所有正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ （7）设,a b R Î，则|“a b >”是“a a b b >”的（ ） （A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要也不必要条件（8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ?，点,E F 分别在边,BC DC上，BE BC l =，DF DC m =.若1AE AF ?，23CE CF ?-，则l m +=（ ） （A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712第Ⅱ卷 注意事项：1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2013-2014学年第一学期期中六校联考高三数学（理）试卷出题人 静海一中 郭连琴 杨村一中 王蕊 一、选择题（每题 5分，共40分）1．已知)2,1(--=，)3,2(-=，当k +与2+平行，k 的值为( )A. 14 B ． －14 C ． －12 D. 122.函数2()ln(1)f x x x=+-+1的零点所在的大致区间是 （ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,)eD ．(3,4)3.已知命题p :函数()sin 2f x x =的最小正周期为π；命题q ：若函数)1(+x f 为偶函数，则)(x f 关于1=x 对称,则下列命题是真命题的是（ ） A.q p ∧B.)q (p ⌝∨C.()()p q ⌝∧⌝D.q p ∨4.已知)4cos(2)4sin(πθπθ+=-，则=-----+)sin(2)2sin()cos(3)2sin(θπθπθπθπ( )A. 4-B. -2C.34D.1- 5.已知ln32a =，lg 22b =，131log 21()4c =，则( )A.c a b >> B .a b c >> C. a c b >> D.b c a >> 6.已知函数2()ln f x a x x=+，a ∈R .设,)()(x x f x g -=且)(x g 在]4,2[上为单调递减函数, 则a 的取值范围为（ ）A. 22<aB.3≤aC.3<a D .22≤a7.定义在R 上的偶函数)(x f y =，满足)()1(x f x f -=+，且在]2,3[--上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（ ） A ．)(sin )(sin βαf f >B ．)(cos )(cos βαf f >C ． )(cos )(sin βαf f >D ． )(sin )(cos βαf f >8.已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0),1ln(0,2)(2x x x x x x f 若x a x f )1(|)(|+≥，则a 的取值范围是( )A ．[]1,3--B ．[)1,3--C ．(]1,-∞-D ．[)+∞-,3二、填空题（每题 5分，共30分）9.已知2)1(2)(2的极值点为--=x bx x f ,求b 的值为___________.10.设奇函数()()y f x x R =∈，满足对任意t R ∈都有(1)(1)f t f t +=-，且[0,1]x ∈时，2()f x x =-，则)25()3(-+f f 的值等于__________________.11．设O 是△ABC 内部一点，且AOC AOB ∆∆-=+与则,2的面积之比为________.12.⎪⎭⎫⎝⎛∈++=2,0,cos sin cos sin )(πx x x x x x f 的值域为____________.13.若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数, )0()2sin()(πθθ<<+=x x f 将)(x f y =的图像向左平移6π个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则 θ2a =____14.已知向量AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为︒60,3AB =u u u r ,2AC =u u u r 若AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ,且AP BC ⊥u u u r u u u r,则实数λ的值为__________.三、解答题（共80分）15.（本题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 对的边分别为,,a b c ，且2=c ,C C cos 6sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-π(Ⅰ)求sin sin a bA B++的值；(Ⅱ)若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABC S ∆; 16.（本题满分13分）已知函数11)(-+=x x a a x f (1>a )（Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性；（Ⅱ）求[]2,1,2∈=x a 时，求)(x f )的值域； （Ⅲ）解不等式2)(≥x f . 17.（本题满分13分）已知向量)23sin ,23(cos x x a =ρ，)2sin ,2(cos x x b -=ρ，且]23,2[ππ∈x（Ⅰ）求||b a ρρ+的取值范围；（Ⅱ）求函数||)(b a b a x f ρρρρ+-⋅=的最小值，并求此时x 的值；（Ⅲ）若||3||k k -=+，其中0>k 求⋅的最小值，并求此时，与的夹角的大小.18. （本题满分13分）已知)0(3sin 32cos 6)(2>-+=ωωωx xx f 在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，C B ,为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为正三角形．(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)当[]2,0∈x 时，求函数)(x f 的值域； (Ⅲ)若).1(,32,310,536)(000-⎪⎭⎫⎝⎛-∈=x f x x f 求且 19. （本题满分13分）已知321()43f x x ax bx =+++3()g x mx =-262mx +(0)m ≠,()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为1033y x =-+(Ⅰ)求实数,a b 的值；(Ⅱ)讨论方程[])3,0(2)(∈-=x k x f 的根的个数;(Ⅲ)是否存在实数m ，使得对任意的[]2,11-∈x ，总存在[]3,02∈x ，使得)()(21x f x g =成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.20. （本题满分14分）已知xxx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，R a ∈ (Ⅰ)讨论()f x 的单调性；(Ⅱ)是否存在实数a ，使()f x 的最小值是2，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.(Ⅲ)求证e nn 1ln 33ln 22ln 333<+++Λ.2013-2014学年度第一学期期中六校联考高三数学答题纸二、填空题（每题 5分，共30分）9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. .三、解答题（共80分）15.（本题满分13分）16.（本题满分13分）17.（本题满分13分）18.（本题满分13分）19.（本题满分14分）20.（本题满分14分）2013-2014学年第一学期期中六校联考高三(理)数学试卷参考答案1-8： DBDA BBCA9.3；10.43 11.1:2 12. ⎥⎦⎤ ⎝⎛+2221.113.12π 14. 6115.(13分) 解: (Ⅰ)由已知有C C C cos 6sincos 6cossin =⋅-⋅ππ， ………1分故C C cos 3sin =，………2分3tan =C . ………3分又π<<C 0，………4分 所以3π=C . ……5分由正弦定理可设2sin sin sin sin 6032a b c A B C =====︒，………6分所以,a A b B ==，……7分所以sin )3sin sin sin sin 3A B a b A B A B ++==++． ………8分（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，……9分 即2224()3a b ab a b ab =+-=+-，……10分 又a b ab +=，所以2()340ab ab --=，………11分 解得4ab =或1ab =-（舍去） ………12分所以11sin 422ABC S ab C ∆==⨯= ………13分 16.(13分)解(1) 0≠x Θ为奇函数)()(11)(x f x f a a x f x x∴-=-+=-∴ 4分 (2)分8]3,35[)(]2,1[分612211221)(∈∈-+=-+=∴x f x x f Xx x(3) 211)(≥-+=∴xxaa x f 分1001-3-≤xx a a 分1131≤≤x a3log 0a x ≤<∴ 13分17．(13分)（1）∵ ]23,2[ππ∈x ∴ 12cos 1≤≤-x ； ………1分x b a 2cos 22||+=+ρρ ………3分∴ 0≤||b a ρρ+≤2 ………4分（2）∵ ]23,2[ππ∈x ∴ 0cos 1≤≤-x ；…………5分∵ x x b a b a x f 2cos 222cos ||)(+-=+-⋅=ρρρρ………6分 1cos 2cos 2cos 41cos 2222-+=--=x x x x ………………7分∴ 当21cos -=x ，即π32=x 或π34=x 时，……8分||)(b a b a x f ρρρρ+-⋅=取最小值－23……9分(3)由已知1||||==b a ． ……10分 ∵ ||3||b a b a k k -=+， ∴ 222||3||b a b a k k -=+．∴ )1(41kk +=⋅b a ．…11分∵ k ＞0， ∴ 211241=≥⋅⋅⋅k k b a ．…12分 此时21=⋅b a ∴ 21||||21cos ==⋅b a θ． ∴ θ＝60°．…13分 18.(13分)1)由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋3sin ωx ＝23·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3. 2分 又正三角形ABC 的高为23，从而BC ＝4.所以函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4. 4分[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+∈65,334则2,0当ππππx x []32,3)34sin(32∈+∴ππx 6分(2)因为f (x 0)＝536， 由(1)有f (x 0)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝536， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝53. 8分 由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，知πx 04＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 9分所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝54. 10分 故56]4)34sin[(32)344sin(32)1(000-=-+=+-=-ππππππx x x f 12分13分19(14分).解（1）b ax x x f ++='2)(2 1分 31)1(,3)1(=-='f f 2分 ⎩⎨⎧-=+-=+442b a b a 4,0-==∴b a 3分 （2） 4-)(2x x f =' ]4,34[)(-∈x f 4分 (Ⅰ)42或342>--<-k k 6或32即><k k 无交点 5分 (Ⅱ)1234≤-<-k 即332即≤<k 2个交点 6分 (Ⅲ)421≤-<k63≤<k 1个交点 7分 或32=k 1个交点 8分 （3）]4,34[)(-∈x f 9分 2()3123(4)g x mx mx mx x '=-=-， 令()0g x '=，得0x = 10分 又(1)27g m -=-，(0)2g =，(2)216g m =- 由题意知)()(x f x g ⊆当0m >时， (0)2g =4<，(1)27g m -=-34-≥ (2)216g m =-34-≥ 2450≤<m 11分 当0m <时， (2)216g m =-4≤，(1)27g m -=-4≤081<≤-m 12分 故实数m 的取值范围 081-或2450<≤≤<m m 13分20．(14分)（Ⅰ）x ax x a x f 11)(,-=-= …1分 ∴当0≤a 时，/()0f x <， ()f x 单调递减区间为(]e ,0…2分当0>a 时，a x 1=， （1） 当e a ≤1时，即ea 1≥ 时， ()f x 单调递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0， ()f x 单调递增区间为 ,,1⎪⎭⎫ ⎝⎛e a …3分 （2）当e a >1时，即 e a 1< 时，()f x 单调递减区间为()e ,0，无增区间； …4分 （Ⅱ）设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值2，① 当0≤a 时，)(x f 在],0(e 上单调递减，21)()(min =-==ae e f x f ，则ea 3=（舍去）所以，此时)(x f 无最小值. …5分 ② 当e a <<10时， 2ln 1)1()(min =+==a a f x f ， 则e a =，满足条件. …6分 ③当e a≥1时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，则ea 3=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值. …7分 综上，存在实数e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值2.…8分 （Ⅲ）0ln 1)(2,=-=x x x g ,所以)(x g 单调递减区间为()+∞,e ， )(x g 单调递增区间为 (),,0e …9分 则 e e g x g 1)()(max ==…9分 所以ex x 1ln ≤ …10分则有231ln en n x ≤ …11分 所以)2)(111(1)1(11ln 3≥--=-<n n n e n n e n x …12分 则)2111(12ln 3-<e x )3121(13ln 3-<e x )4131(14ln 3-<e x MM )2)(111(1ln 3≥--<n n n e n x …13分 所以e n e n n 1)11(1ln 33ln 22ln 333<-<+++Λ …14分。