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人教版九年级数学下册第26章《二次函数》-二次函数y=a(x-h)^2的图象与性质课件(21张ppt)

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2.2 二次函数的图象与性质二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 课件 初中数学北师大版九年级下册

2.2 二次函数的图象与性质二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 课件 初中数学北师大版九年级下册
(1,0).

2
(2)抛物线 y=- (x+3) 的开口向下,对称轴为直线 x=-3,顶点坐标为

(-3,0).
6.已知抛物线y=a(x-h)2向右平移4个单位长度后,所得的图象与抛物
线y=-2(x-5)2 重合,求a,h的值.
解:抛物线y=-2(x-5)2的顶点坐标为(5,0).把点(5,0)向左平移4个单
函数图象如图所示.
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0),函数有最
小值0,
当x>3时,y随x的增大而增大;当x<3时,y随x的增大而减小.
1.将二次函数y=-3x 2 的图象平移后,得到二次函数y=-3(x-1) 2 的图
象,平移方法正确的是(
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
而减小.
新知应用
2
1.已知抛物线 y=a(x+m) (m 为常数)的顶点在 y 轴的右侧,且 am<0,则
此图象的开口方向 向上 .

2
2.画出函数 y= (x-3) 的图象,并说出此函数的性质(开口方向、对称

轴、顶点坐标、最值、增减性).
解:当x=0或x=6时,y=4.5;当y=0时,x=3;当x=1或x=5时,y=2.
新知应用
1.在平面直角坐标平面内,把二次函数y=(x+1)2的图象向左平移2个
单位长度,那么图象平移后的函数表达式是( D )
A.y=(x+1)2-2
B.y=(x-1)2
C.y=(x+1)2+2
D.y=(x+3)2
2.函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x2的图象向 左

《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》二次函数PPT课件

《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》二次函数PPT课件


2
h 0, k 0 y ax k

2

k 0, h 0 y a x h
典例精析
例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，
则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( A )
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是
二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数
难点：通过图象，观察抛物线y=a(x−ℎ)2 +k与抛物线y=ax2的平移规律。
二次函数"y=a(x−ℎ)^2+k的图象
通过描点法画出 = −
1
2
+1
2
− 1的图象？
【列表】
… -4
-3
-2
-1
0
1
2
…
…
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
…
1
= − 2 ( +
1)2 −1
-5.5
二次函数"y=a(x−ℎ)^2+k的图象
y
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
x
D.第一、三、四象限
【分析】观察图象可知二次函数y=a(x+m)2+n中a>0，m<0，n<0,所以
y=mx+n的图象经过二、三、四象限。
1
通过描点法画出 = − 2 + 1
2
− 1的图象？
x=-1
【描点】
y
根据表中x，y的数值在坐标平面中描出对应的点
0
-4
【连线】
-2
用平滑曲线顺次连接各点，就得到

数学九年级人教版 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 (共16张PPT)

数学九年级人教版 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 (共16张PPT)

拓展延伸
7. 小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线
y=
1 5
x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，
则她与篮底的距离l是(
A.3.5 m B.4 m
) B
C.4.5 m
D.4.6 m
课堂小结
y=ax2
向上(k>0)[或 向下(k<0)]平 移|k|个单位
向右(h>0)[或向左 (h<0)]平移|h|个单位
3
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点， 因此，可设这段抛物线对应的函数是y=a(x-1)² +3（0≤x≤3） 由这段抛物线经过点(3,0)可得 0=a(3-1)² +3，
解得a 3 4
3
因此y=- 3 ( x 1)2 3(0 x 3) 4
当x=0时，y=2.25，也就是说，水管应长2.25m.
1
2 -1 怎样移动抛物线y - 1 x 2可以得到抛物线y - 1 （x 1） ？ 2 2
y - 1 x 2 向左平移一个单位 2
2 y -1 （x +1 ）
y O -4 -2 -2 2 4 x
向 下 平 移 一 个 单 位
2
-4
-6
y - 1 x2 2
还有其他平移 方法吗？
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
新课导入
问题：说说抛物线y=ax2的平移规律.
y=ax2+k y=ax2
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
推进新课
知识点1
二次函数y=a(x-h)2+k的图象的画法

二次函数y=a(x-h)^2的图像和性质

二次函数y=a(x-h)^2的图像和性质

y=-2x2 y=-2(x+1)2 y=-2(x-1)2
画出二次函数 考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.: 解:先列表 描点
x x
1 y ( x 1) 2 2 1 y ( x 1) 2 2
1 1 2 y ( x 1) 、 y ( x 1) 2 的图象,并 2 2
点坐标 （x-h)2的形
式，并说出开口方向，顶点坐标和对称轴。
(1) y x 6x 9
2
1 2 (2) y x 2 x 2 2
2
2
在同一坐标系中作出下列二次函数:
1 2 y x 2
1 y ( x 2) 2 2
1 2 y x 2 2
1 y ( x 2) 2 2
6 5 4
观察三条抛物线的 相互关系,并分别指 出它们的开口方向, 对称轴及顶点.
-8
y
1 2 x 2
y
1 x 2 2 2
y= 2（x-3）2 y= −2（x+3）² y= −2（x-2）2
y= 3（x+1）2
二次函数y=a（x-ｈ）2的性质
y＝a(x-ｈ)2
a>0
a<0
图象
h>0
开口
h<0
h>0
h<0
对称性
顶点 增减性
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
二次函数y=ax2+c的性质
y＝ax2+c
图象
a>0
a<0

二次函数y=a(x-h)2的图象

二次函数y=a(x-h)2的图象
3、将抛物线y=ax2向右平移3个单位，且经过点 （1，4），求函数解析式。
7.抛物线y=3(x-8)2最小值
.
9.已知二次函数y=8(x -2)2 当 时,y随x的增大而增大, 当 时，y随x的增大而减小.
1.函数y=-2（x+3）2的图象的对称轴是 ， 顶点坐标是 ，当x= 时，y有最 值 为 。 2.把二次函数y=-3x2往左平移2个单位，再与x轴 对称后，所形成的二次函数的解析式为 。
为
x=-2
下
，对称轴
(-2,0) ，顶点坐标为________.
5、形状与y=-2(x+3)2的图象形状相 同，但 开口方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物 线解析式。
6、抛物线y=4（x-3）2的开口方向 向上 ，
对称轴是 直线x=3，顶点坐标 是 （3，0） ， 顶点是最 低 点， 当x= 抛物线与x轴的交点坐标 （3，0） ，与y轴 的交点坐标 （0，36）。
x=0时,y最小=c
x=0时,y最大=c
抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上 下平移得到.
（1）抛物线y= −2x2+3的顶点坐标是 是 增大；在 ，在___
,对称轴 时，
侧，y随着x的增大而 ,它是由抛物线y= −2x2
侧，y随着x的增大而减小，当x=
函数y的值最大，最大值是
3 时，y有最 小 值，其值为 0 。
3、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的 顶点移到原点，则下列平移方法正确 的是（ C ） A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位
26.1.3
二次函数y=a(xh)2+k的图象

二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 课件

二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 课件

知
识 点
二次函数 y a(x h)2 的图象；
一
三、研读课文
探究 在同一直角坐标系中，画出函
数，y


1x
2
12
，y


1 2
x
12
的图象，并分别指出他们的开口方向、
对称轴和顶点.
三、研读课文 解：（1）列表
-3 -2 -1 1 2 3
-2

1 2
0
1 2
-2
9 2
-8
开口向上、对称轴x=2、顶点坐标（2,0）
知识点二 二次函数 y a(x h)2 的性质；
思考 抛物线 y 1 x2 与抛物线
y 1 x 1，2 y 1 x 212 有什么关系？
2
2
分y 析：1请x2在也知画识上点去一。图上把抛物线 2
知 识
y归（ 1纳）1：抛x 物12 线的形y 状为12 开x 口12向、y
二次函数 y a(x h)2 的图像和性质
一、学习目标 引导学生读懂数学书课题研究成果配套课件 课件制作：苏志朝
1、会画二次函数 y a(x h)2的图象； 2、掌握二次函数 y a(x h)2的性质；
3、比较函数 y ax2 与 y a(x h)2
的联系.
二、新课引入 1、填表：
（2）对称轴是直线 x = h
；
（3）顶点坐标是 ( h , 0 )
.
2、抛物线 y a(x h)2 与 y ax2 形状相同，位置不同，y a(x h)2 是由 y ax2 ____左__右____平移得到的. （填“上下”或“左右”）
1、抛物线 y 2(x 3)2 的开口_向__上__；

4-二次函数y=a(x-h)2图象


-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
y 1(x1)2 2
(2)抛物线 y 1(x1)2
y 1(x1)2 2
2y 1 x2 2
有什么关系?
-5 -6 -7 -8 -9
x=－1-10
y 1(x1)2 2
讨论
抛物线 y 1 有什么关系？2
次函数的图象：
y 1 x 22
2
y 1 x 22
2
y 1 x2 2
观察三条抛物线的相互关系，并分别指
出它下，y轴 （0, 2) 向上，y轴 （0, 6) 向下，y轴 （0, - 4)
下面，我们探究二次函数 y = a﹙x-h﹚2的图 像和性质,以及与y=ax2的联系与区别.
画出二次函数
y


1 2
(x
1)2、
y 1(x1)2 2
的图像,并
考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.: 解:先列表 描点
3.抛物线y=ax2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是y轴;
(3)顶点是(0,k).
抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上;
(2)对称轴是x=h; (3)顶点是(h,0).
巩固提高
1、如何平移：
y 3 (x 1)2
直线x=2
二次函数y=a（x-ｈ）2的性质
y＝a(x-ｈ)2
a>0
a<0
图象
开口 对称性
顶点 增减性
h>0

4 二次函数y=a(x-h)^2的图像与性质


观察图象,回答问题
(3) 函 数 y=3(x-1)2 2的 2 的 图 象 与 y=3x y = 3 ( x - 1) y = 3x 2 图象有什么关系? 它是轴对称图形吗 ?它的对称轴和顶 点坐标分别是什么 ? (4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值 的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而减少？
二次函数y=a(x-h)2的性质
１.顶点坐标与对称轴
y = a ( x + h)
2
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴 y=a(x-h)2 (a>0) （h，0） 直线x=h 在x轴的上方(除顶点外) 向上
(3)函数 y=3(x-1)2的图象 与 y=3x2 的图象有什么关 系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别 是什么?
二次函数y=3(x-1)2 与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=3x2整体沿x轴 向右平移了1 个单位
y = 3x
2
y = 3 ( x - 1)
2
图象是轴对称图形 对称轴是平行于 y轴的直线:x=1.
的图象
⑴完成下表,并比较3x2和3(x-1)2的值,它们 之间有什么关系?
x -3 27
2
-2 12 27
-1 3 12
0 0 3
1 3 0
2 12 3
3 27 12
4 48 27
y = 3x 2
y = 3( x - 1)
48
(2)在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和 y=3(x-1)2的图象．
函数
开口方向
在对称轴右 侧
y=ax2
a＞0

二次函数y=a(x-h)^2的图像与性质


解析式
对称轴
顶点坐标 （1，1） （-1，1） （2，1） （-2，1） （3，-2） （-3，2）
最值
X=1 解析式 X=-1
1
1
X=2
1
X=-2
1
X=3
-2
X=-3
2
X=h
(h,k)
k
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时,开口向上; (2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,k).
向上 向下 向下 向上
x=3 x=-3 x=2 x=-1
(3,3) (-3,-2) (2,-1) (-1,1)
3 -2 -1 1
结论: 一般地，抛物线 y = a(xh)2+k
与y = ax2形状相同，位置不同。
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k 与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线 y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到 抛物线y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距 离要根据h、k的值来决定.
y= 2（x-3）2+3 y= −2（x+3）2-2 y= −2（x-2）2-1
y= 3（x+1）2+1
函数 y= 2（x-3）2+3 y= −2（x+3）2-2 y= −2（x-2）2-1 y= 3（x+1）2+1
开口方向对称轴顶点 Nhomakorabea最值
增减性 x<3，递减；x>3，递增 x>-3，递减；x<-3，递增 x>-2，递减；x<-2，递增 x<-1，递减；x>-1，递增
向上平移7个单位，向右平移3个单位

人教版九年级数学下册第26章《二次函数》二次函数ya(xh)^2的图象与性质课件(21张)

y a ( x-h )2的 图 象 与 性 质
2020/3/23
在同一直角坐标系中，
画出函 y2 1数 x2与y2 1(x-22)的图象
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
函数y=-(x+3)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向左平移3个
单位长度得到.
函数y=-(x-2)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向右平移2个
单位长度得到.
y=-(x+3)2
y=-x2 y=-(x-2)2
图象向左移还是向右移,移多少个 单位长度,有什么规律吗?
2020/3/23Leabharlann 这两个函数的图象有什么关系？
y
1 2
x2
y
1( 2
x2
)2
但是对称轴和 顶点坐标不同
的图象向右 平移 h个单位得到，当h<0时，
函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象向
平移左个单位得到h 。
(1)函数y=4(x+5)2的图象可由y=4x2的图象 向左 平移5 个单位得到；y=4(x-11)2的图象 可由 y=4x2的图象向右平移11个单位得到。
(2)将函数y=-3(x+4)2的图象向 右 平移4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2(x-7)2的图象向左平移 7 个 单位得到y=2x2的图象。将y=(x-7)2的图象
向左平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
（3）将抛物线y=4x2向左平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4(x+3)2。
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向上 向上
它们有哪些相同? 有哪些不同？
这两个函数的图象有什么关系？
1 2 y x 2
1 2 y (x 2) 2
但是对称轴和 顶点坐标不同
这两个函数的图 象开口方向相同
2 函数 y 1(x 2) 的图象
1 2 y x 2
1 2 y (x 2) 2
1 2 可由 y x 的图象 2
在同一直角坐标系中，
1 2 1 2 画出函数 y x 与 y (x - 2) 的图象。 2 2
列表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … …
1 2 … y x 2 1 2 y (x 2) … 2
列表
x … -3 -2 -1 2 0 0 1 2 2 3 … … …
1 2 … 9 y x 2 2 1 2 y (x 2) … 2
这是函数
2 y a(x h) 的性质哦!
当a>0时，抛物线y=a（x-h)2的开口向上 ，对称轴 是x=h ，顶点坐标是(h,0)，在对称轴的左侧，y随x的 减小 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大 ， 增大而 当x= h 时，函数取得最 小 值，这个值等于 0 ； 当a<0时,抛物线y=a (x-h)2的开口向下 ，对称轴 是 x=h ，顶点坐标是 (h,0) ，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 减小 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大 ， 当x= h 时，函数取得最 大 值，这个值等于 0 。
（4）抛物线y=-3(x+5)2的开口 下 ，对称轴是 x=-5 ， 顶点坐标是 (-5,0) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而 增大 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 减小 ， 当x= -5 时，取得最 大 值，这个值等于 0 。 （5）抛物线y=7(x-3)2的开口 上 ，对称轴是 x=3 ， 顶点坐标是 (3,0) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而 减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大， 当x= 3 时，取得最 小 值，这个值等于 0 。
x=h时,y最大值=0
抛物线y=a(x-h)2 (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过 左右平移得到.
3.试说出函数 y ax2 k 的图象的开口方向、 对称轴和顶点坐标, 并填写下表。
开口方向 对称轴 x=h x=h 顶点坐标 (h , 0) (h , 0)
y a(x - h)
2
a>0
y=a(x-h)2 (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
a>0 向上 (h ,0) x=h
当x<h时， y随着x的增大而减小。 当x>h时， y随着x的增大而增大。
a<0 向下 (h ,0) x=h
当x<h时, y随着x的增大而增大。 当x>h时， y随着x的增大而减小。
x=h时,y最小值=0
1 图象可由y= x2 2 2
的图象沿x轴向右 平移2个单位长度 得到.
1 2 y (x 2) 2 1 函数y= (x-2)2的图象与 2 1 2 y= x 的图象的位置有什 2 么关系?
函数y=-(x+3)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向左平移3个 单位长度得到.
函数y=-(x-2)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向右平移2个 单位长度得到.
沿x轴向右平移2个单位
2
长度得到.
它的对称轴是 直线x=2, 顶点 坐标是（2，0）
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=a（x-h)2 (a≠0)的图象形状 相同 ，只是位置不同； 当h>0时，函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的 图象向 右 平移 h 个单位得到，当h<0时， 函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象向 h 平移 左 个单位得到。
y=-(x+3)2 y=-x2 y=-(x-2)2
图象向左移还是向右移,移多少个 单位长度,有什么规律吗?
根据所画出的图象，说 出这两个函数图象的开 口方向、 对称轴和顶点坐标，并 填写下表。
开口方向
1 2 y x 2 1 2 y (x - 2) 2
对称轴 y轴 x=2
顶点坐标 (0 , 0) (2 , 0)
9 2 25 2
0
1
1 2 1 2
2
3
9 2
1 2
… … …
1 2 y x 2
2
8
1 2 9 2
0
2
2
0
描点
x
1 2 y (x 2) 2
… -3 -2 -1 … …
9 2 25 2
0
1
1 2 1 2
2
3
9 2
1 2
… … …
1 2 y x 2
2
8
1 2 9 2
0
2
2
0
1 2 y x 2
你会比较这两 个函数吗?
连线
相同
1 2 y (x 2) 2
这两个函数的图 象的形状相同吗?
x
1 2 y (x 2) 2
… -3 -2 -1 … …
பைடு நூலகம்9 2 25 2
0
1
1 2 1 2
2
3
9 2
1 2
… … …
1 2 y x 2
2
8
1 2 9 2
0
2
2
0
1 2 y x 2
函数y= 1 (x-2)2的
向上 向下
a<0
y a(x - h) 的图象与性质
2
回顾：二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k
图象
a>0
a<0
k>0
开口 对称性 顶点 增减性
k<0
k>0
k<0
开口向下 开口向上 |a|越大，开口越小 关于y轴对称
(0,k)
顶点是最低点 顶点是最高点
当x<0时，y随x的增大而减小 当x<0时，y随x的增大而增大 当x>0时，y随x的增大而增大 当x>0时，y随x的增大而减小
(1)函数y=4(x+5)2的图象可由y=4x2的图象 向左 平移 5 个单位得到；y=4(x-11)2的图象 可由 y=4x2的图象向右 平移 11个单位得到。 (2)将函数y=-3(x+4)2的图象向 右 平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2(x-7)2的图象向左平移 7 个 单位得到y=2x2的图象。将y=(x-7)2的图象 向左 平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。 （3）将抛物线y=4x2向左平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4(x+3)2 。 将抛物线y=-5(x+1)2向右平移5个单位,所得的 2 抛物线的函数式是 y=-5(x-4)。
1 2
1 2
9 2
列表
x … -3 -2 -1 0 0 2 1 2 2 0 3 … … …
1 2 … 9 y x 2 2 2 1 2 … 25 y (x 2) 8 2 2
这两个函数有什么 不一样的地方?
1 2 9 2
1 2 1 2
9 2 1 2
x
1 2 y (x 2) 2
… -3 -2 -1 … …