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：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．22+=++，试c ab ac bc：勾股定理是我们非常熟悉的几何知识，对于直角三角形三边具的关系，那么锐角三角形、钝角三角形的三边又是怎样的关系呢？我们可以通过作高这条辅助线，将一般三角形转化为l在平移的的直于另一轴交于点（0，123－），3－，相切时，向左平移了5秒（5个单位）5 3＝30－533，98，BF= 7 8【例4】在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O为坐标原点上确定点P,使得ΔAOP成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,……标到P为止,不必写出画法)每推销10件产品得推销费200 10件产品再提成100元．5元；7对月份每千克销售价是0．5月的销售价逐月下降；（4）7月到12月的销售价逐月月的销售差价是每千克3元；（6）7月份销售价最月与8月、5月与9月、4月与10 月、月的销售价分别相同．：可以运用二次函数的性质：增减性、对称性．最大（小）值等，⑴请写出从条形统计图中获得的一条信息；⑵请根据条形统计图中的数据补全如图3－（要求：第二版与第三版相邻人并说明这两幅统计图各有什么特点？已知一次函数y=kx－k，若y随x的增大而减小，）+；解：(1)100；（2）(6010)t⑶作OH PQOH=≈（千米），设经过t ⊥于点H，可算得1002141小时时，台风中心从P移动到H，则t=（小时），此时，==，算得52PH t201002受台风侵袭地区的圆的半径为：+⨯≈（千米）＜141（千米）601052130.5点有一涉嫌走私船只正以海里／时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好在涉嫌船只不改变航向和航速的前)Rt解决问题：如图2－6－5所示，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（2－6－6）还保留着；张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持：探究规律：（l）△ABC和△ABP，△AOC和△BOP、△CPA CPB．（2）△ABP；因为平行线间的距离相等，所以无论点P在m动到任何位置，总有△ABP与△ABC同底等高，因此，它们的面积总。
人教版2024—2025学年九年级下册中考数学二轮复习专题压轴题解题方法专题训练一、工具法例1.如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交AD 于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G．设正方形ABCD的周长为m，△CHG的周长为n，则的值为（）A．B． C．D．随H点位置的变化而变化例1 变式1变式1：点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连接BE，则∠CBE等于（）A．75° B．60° C．45° D．30°二、极值法例2.若对于任意非零实数a，抛物线y＝a（x+2）（x﹣1）总不经过点P（x0﹣3，x0﹣5），则符合条件的点P（）A．有1个B．有2个C．有3个D．有无穷多个变式2：在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y＝ax2﹣x+2（a＜0）与线段MN有一个交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．﹣1＜a＜0 C．a＜﹣1 D．﹣1≤a＜0三、特殊值法例3.若实数a，b满足ab＝1，设M＝，N＝，则M，N的大小关系是（）A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定变式3：无论m为何值，二次函数y＝x2+（2﹣m）x+m的图象总经过定点．四、特殊位置法：特殊点，特殊线，特殊角，特殊模型例4.如图，已知点A（12，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD＝AD＝8时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．5 B．2C．8 D．6变式4：（1）如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，则＝（）A． B． C． D．（2）如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（）A．2B．2 C．2D．五、排除法例5.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanA＝．点P是斜边AB上一个动点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．例5 变式5变式5：如图，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：①抛物线y＝ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；②x＞0时，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）的函数值都随着x的增大而增大；③AB的长度可以等于5；④△OAB有可能成为等边三角形；⑤当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b，其中正确的结论是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤六、转化法例6.如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD 的最小值是．（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝75°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于点E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最小值是．例6变式6（1）变式6（2）七、综合分析法例7.已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根；③a﹣b+c≥0；④的最小值为3．其中，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个变式7：如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别从点A、点D以相同速度同时出发，点E从点A向点D运动，点F从点D向点C运动，点E运动到D点时，E、F停止运动．连接BE、AF相交于点G，连接CG．有下列结论：①AF⊥BE；②点G随着点E、F的运动而运动，且点G的运动路径的长度为π；③线段DG的最小值为2﹣2；④当线段DG最小时，△BCG的面积S＝8+．其中正确的命题有．（填序号）八、特征分析法例8．如图，在平面直角坐标系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B 两点．若点A的坐标为（n，1），则k的值为（）A．B．C．D．变式8：如图，两个反比例函数y＝和y＝﹣的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为（）A．3 B．4 C．D．5例8变式8。
教学用具板书 设计教 学 流 程二 次 复 备典型例题剖析例1如图3－1－1,反比例函数y=－8x 与一次函数y=－x+2(de)图象交于A 、B 两点．（1）求 A 、B 两点(de)坐标； （2）求△AOB(de)面积．解：⑴解方程组82y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ 得121242;24x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 所以A 、B 两点(de)坐标分别为A （－2,4）B(4,－2（2）因为直线y=－x+2与y 轴交点D 坐标是(0, 2）, 所以11222,24422AOD BOD S S ∆∆=⨯⨯==⨯⨯= 所以246AOB S ∆=+= 点拨：两个函数(de)图象相交,说明交点处(de)横坐标和纵坐标,既适合于第一个函数,又适合于第二个函数,所以根据题意可以将函数问题转化为方程组(de)问题,从而求出交点坐标．例2解方程：22(1)5(1)20x x ---+= 解：令y= x —1,则2 y 2—5 y +2=0．所以y1=2或y2=12,即x—1＝2或x—1=12．所以x＝3或x=32故原方程(de)解为x＝3或x=32点拨：很显然,此为解关于x－1(de)一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦,所以可根据方程(de)特点,含未·知项(de)都是含有（x—1）所以可将设为y,这样原方程就可以利用换元法转化为含有y(de)一元二次方程,问题就简单化了．例3如图 3－1－2,梯形 ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD相交于O点,且AC⊥BD,AD=3,BC=5,求AC(de)长．解：过 D作DE⊥AC交BC(de)延长线于E,则得AD=CE、AC=DE．所以BE=BC+CE=8．因为 AC⊥BD,所以BD⊥DE．因为 AB=CD, 所以AC＝BD．所以GD=DE．在Rt△BDE中,BD2＋DE2=BE2所以BD＝22BE=4 2 ,即AC=4 2 .点拨：此题是根据梯形对角线互相垂直(de)特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形,使问题得以解决．例4已知△ABC(de)三边为a,b,c,且222a b c ab ac bc++=++,试判断△ABC(de)形状．解：因为222a b c ab ac bc ++=++, 所以222222222a b c ab ac bc ++=++, 即：222()()()0a b b c a c -+-+-= 所以a=b,a=c, b=c所以△ABC 为等边三角形．点拨：此题将几何问题转化为代数问题,利用凑完全平方式解决问题．例5△ABC 中,BC ＝a ,AC ＝b ,AB ＝c ．若90C ∠=︒,如图l,根据勾股定理,则222a b c +=.若△ABC 不是直角三角形,如图2和图3,请你类比勾股定理,试猜想22a b +与c 2(de)关系,并证明你(de)结论．证明：过B 作BD ⊥AC,交AC(de)延长线于D. 设CD 为x ,则有222BD a x =-根据勾股定理,得2222()b x a x c ++-=．即2222a b bx c ++=. ∵0,0b x >>, ∴20bx >,∴222a b c +<.情感目标并充分地利用这种结合,探求解决问题(de)思路,使问题得以解决(de)思考方法．教学重点数形结合教学难点数形结合教学用具板书设计教学流程二次复备典型例题剖析例1某公司推销一种产品,设x（件）是推销产品(de)数量,y（元）是推销费,图3－3－1已表示了公司每月付给推销员推销费(de)两种方案,看图解答下列问题：（1）求y1与y2(de)函数解析式；（2）解释图中表示(de)两种方案是如何付推销费(de)（3）果你是推销员,应如何选择付费方案解：（1）y1=20x,y2=10x+300．（2）y1是不推销产品没有推销费,每推销10件产品得推销费200元,y2是保底工资300元,每推销 10件产品再提成100元．（3）若业务能力强,平均每月保证推销多于30件时,就选择y1(de)付费方案；否则,选择y2(de)付费方案．点拨：图象在上方(de)说明它(de)函数值较大,反之较小,当然,两图象相交时,说明在交点处(de)函数值是相等(de).例2某农场种植一种蔬菜,销售员张平根据往年(de)销售情况,对今年这种蔬菜(de)销售价格进行了预测,预测情况如图3－3－2,图中(de)抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间(de)关系,观察图象,你能得到关于这种蔬菜销售情况(de)哪些信息答题要求：（1）请提供四条信息；（2）不必求函数(de)解析．解：（1）2月份每千克销售价是3．5元；7对月份每千克销售价是0．5元；（3）l月到7月(de)销售价逐月下降；（4）7月到12月(de)销售价逐月上升；（5）2月与7月(de)销售差价是每千克3元；（6）7月份销售价最低,1月份销售价最高；（7）6月与8月、5月与9月、4月与10 月、3月与11 月,2月与12 月(de)销售价分别相同．点拨：可以运用二次函数(de)性质：增减性、对称性．最大（小）值等,得出多个结论．例3某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面(de)喜欢情况,对读者作了一次问卷调查,要求读者选出自己最喜欢(de)一个版面,将所得数据整理后绘制成了如图3l司所示(de)条形统计图：⑴请写出从条形统计图中获得(de)一条信息；⑵请根据条形统计图中(de)数据补全如图3－3－3所示(de)扇形统计图（要求：第二版与第三版相邻人并说明这两幅统计图各有什么特点⑶请你根据上述数据,对该报社提出一条合理(de)建议.解：⑴：参加调查(de)人数为5000人；说明：只要符合题意,均得满分．⑵如图3－3－5所示：6．定义法：运用相关(de)定义、概念、定理、公理等内容,作出正确选择(de)一种方法．7．综合法：为了对选择题迅速、正确地作出判断,有时需要综合运用前面介绍(de)几种方法．解选择题(de)原则是既要注意题目特点,充分应用供选择(de)答案所提供(de)信息,又要有效地排除错误答案可能造成(de)于抗,须注意以下几点：（1）要认真审题；（2）要大胆猜想；（3）要小心验证；（4）先易后难,先简后繁．典型例题剖析例1若半径为3,5(de)两个圆相切,则它们(de)圆心距为（）A．2 B．8 C．2或8 D．1或4解：C 点拨：本题可采用“直接求解对照法”．两圆相切分为内切和外切,当两圆内切时,它们(de)圆心距为：5—3=2,当两圆外切时,它们(de)圆心距为：3+5=8．例2如图3－4－1所示,对a、b、c三种物体(de)重量判断正确(de)是（）A．a＜c B．a＜b C．a＞c D．b＜c解：C 点拨：根据图形可知：2a=3b,2b=3c,所以a＞b,b ＞c．因此a＞c,所以选择C．例3已知一次函数y=kx－k,若y随x(de)增大而减小,则该函数(de)图象经过（ ）A ．第一、二、三象限；B ．第一、二、四象限C 第二、三、四象限；D ．第一、三、四象限解：B 点拨：本题可采用“定义法”．因为y 随x(de)增大而减小,所以k ＜0．因此必过第二、四象限,而－k ＞0．所以图象与y 轴相交在正半轴上,所以图象过第一、二、四象限.例4下列函数中,自变量x(de)取值范围是x ≥2(de)是（ ）2.2 .x A y x B y x -=--=21.4 .2C y x D y x =-=--解：B 点拨：本题可采用“定义法”分别计算每个自变量x(de)取值范围,A ．x ≤2； B ．x ≥2；C ．－2≤x≤2； D ．x ＞2．通过比较选择B ．例5某闭合电路中,电源电压为定值,电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例,图3－4－2表示(de)是该电路中电流I 与电阻R 之间函数关系(de)图象,则用电阻R 表示电流I(de)函数解析式为（ ）A 、R I 6=B 、R I 6-=；C 、R I 3=D 、RI 2= 解：本可用定义法,选A.例6在△ABC 中,∠C=90°,如果tanA=512,那么sinB(de)教学用具板书设计教学流程二次复备典型例题剖析例1如图（8）,在某海滨城市O附近海面有一股台风,据监测,当前台风中心位于该城市(de)东偏南70°方向200千米(de)海面P处,并以20千米/ 时(de)速度向西偏北25°(de)PQ(de)方向移动,台风侵袭范围是一个圆形区域,当前半径为60千米,且圆(de)半径以10千米/ 时速度不断扩张．(1)当台风中心移动4小时时,受台风侵袭(de)圆形区域半径增大到千米；又台风中心移动t小时时,受台风侵袭(de)圆形区域半径增大到千米.(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时,这股台风是否侵袭这座海滨城市请说明理由(参考数据≈,3 1.732 1.41≈)．解：(1)100；（2）(6010)t+；⑶作OH PQOH=≈（千米）,设经⊥于点H,可算得1002141过t小时时,台风中心从P移动到H,则t=（小时）,此==,算得52201002PH t时,受台风侵袭地区(de)圆(de)半径为：601052130.5+⨯≈（千米）＜141（千米）∴城市O不会受到侵袭.点拨：对于此类问题常常要构造直角三角形．利用三角函数知识来解决,也可借助于方程．例2如图2－1－5所示,人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时,发现在其所处位置O点(de)正北方向10海里外(de)A点有一涉嫌走私船只正以 24海里／时(de)速度向正东方向航行,为迅速实施检查,巡逻艇调整好航向,以26海里／时(de)速度追赶,在涉嫌船只不改变航向和航速(de)前提下,问：⑴需要几小时才能追上(点B为追上时(de)位置)⑵确定巡逻艇(de)追赶方向（精确到0．1°）．解：设需要t小时才能追上,则A B=24 t,OB=26t．（l）在Rt△AOB中,OB2= OA2+ A B2,即（26t）2=102 +（24 t）2解得t=±l,t=－1不合题意,舍去,t=l,即需要1小时才能追上．（2）在Rt△AOB中,因为sin∠AOB=ABOB=24t26t=1213≈ ,所以∠AOB≈6 7．4°,即巡逻艇(de)追赶方向为北偏东67．4°．点拨：几何型应用题是近几年中考热点,解此类问题(de)关键是准确读图．例3某公司为了扩大经营,决定购进6台机器用于生产某种活塞.现有甲、乙两种机器供选择,其中每种机器(de)价格和每台机器日生产活塞(de)数量如下表所示.经过预算,本次购买机器所耗资金不能超过34万元.⑴按该公司要求可以有几种购买方案⑵若该公司购进(de)6台机器(de)日生产能力不能低于380个,那么为了节约资金应选择哪种方案解：（1）设购买甲种机器x台,则购买乙种机器（6－x）台.由题意,得75(6)34x x+-≤,解这个不等式,得2x≤,即x可以取0、1、2三个值,所以,该公司按要求可以有以下三种购买方案：方案一：不购买甲种机器,购买乙种机器6台；板书设计教学流程二次复备典型例题剖析例1如图2－6－1,已知抛物线(de)顶点为A(O,1),矩形CDEF(de)顶点C、F在抛物线上,D、E在x轴上,CF交y轴于点B(0,2),且其面积为8．(1)求此抛物线(de)解析式；(2)如图2－6－2,若P点为抛物线上不同于A(de)一点,连结PB并延长交抛物线于点Q,过点P、Q分别作x轴(de)垂线,垂足分别为S、R．①求证：PB＝PS；②判断△SBR(de)形状；③试探索在线段SR上是否存在点M,使得以点P、S、M为顶点(de)三角形和以点Q、R、M为顶点(de)三角形相似,若存在,请找出M点(de)位置；若不存在,请说明理由．⑴解：方法一：∵B点坐标为(0,2),∴OB＝2,∵矩形CDEF面积为8,∴CF=4.∴C点坐标为(一2,2)．F点坐标为(2,2).设抛物线(de)解析式为2=++．y ax bx c其过三点A(0,1),C(-2．2),F(2,2).得1242242x a b c a b c =⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩解得1,0,14a b c === ∴此抛物线(de)解析式为2114y x =+方法二：∵B 点坐标为(0,2),∴OB ＝2,∵矩形CDEF 面积为8, ∴CF=4.∴C 点坐标为(一2,2).根据题意可设抛物线解析式为2y ax c =+.其过点A(0,1)和C(-2．2)124c a c =⎧⎨=+⎩ 解得1,14a c == 此抛物线解析式为2114y x =+ (2)解：①过点B 作BN BS ⊥,垂足为N ．∵P 点在抛物线y=214x +l 上．可设P 点坐标为21(,1)4a a +．∴PS ＝2114a +,OB ＝NS ＝2,BN ＝a .∴PN=PS —NS=2114a - 在Rt PNB 中．PB 2＝222222211(1)(1)44PN BN a a a +=-+=+ ∴PB ＝PS ＝2114a +②根据①同理可知BQ ＝QR.∴12∠=∠,又∵ 13∠=∠,无论P点移动到任何位置,总有________与△ABC(de)面积相等．理由是：_________________.解决问题：如图 2－6－5所示,五边形 ABCDE是张大爷十年前承包(de)一块土地(de)示意图,经过多年开垦荒地,现已变成如图2－6－6所示(de)形状,但承包土地与开垦荒地(de)分界小路（2－6－6中折线CDE）还保留着；张大爷想过E点修一条直路,直路修好后,要保持直路左边(de)土地面积与承包时(de)一样多,右边(de)土地面积与开垦(de)荒地面积一样多．请你用有关(de)几何知识,按张大爷(de)要求设计出修路方案（不计分界小路与直路(de)占地面积）．（1）写出设计方案．并画出相应(de)图形；（2）说明方案设计理由．解：探究规律：（l）△ABC和△ABP,△AOC和△ BOP、△CPA和△CPB．（2）△ABP；因为平行线间(de)距离相等,所以无论点P在m上移动到任何位置,总有△ABP与△ABC同底等高,因此,它们(de)面积总相等．解决问题：⑴画法如图2－6－7所示．连接EC,过点D作DF∥EC,交CM于点F,连接EF,EF即为所求直路位置．⑵设EF交CD于点H,由上面得到(de)结论可知：SΔECF =SΔECD,SΔHCF=SΔEDH,所以S五边形ABCDE=S五边形ABCFE,S五边形EDCMN=S四边形EFMN．点拨：本题是探索规律题,因此在做题时要从前边问题中总结出规律,后边(de)问题要用前边(de)结论去一做,所以要连接EC,过D作DF∥EC,再运用同底等高(de)三角形(de)面积相等．例3如图2－6－8所示,已知抛物线(de)顶点为M（2,－4）,且过点A(－1,5),连结AM交x轴于点B．⑴求这条抛物线(de)解析式；⑵求点 B(de)坐标；⑶设点P（x,y）是抛物线在x轴下方、顶点 M左方一段上(de)动点,连结 PO,以P为顶点、PQ为腰(de)等腰三角形(de)另一顶点Q在x轴上,过Q作x 轴(de)垂线交直线AM于点R,连结PR．设面 PQR(de)面积为S．求S与x之间(de)函数解析式；⑷在上述动点P（x,y）中,是否存在使SΔPQR=2(de)点因为QR 与x 轴垂直且与直线AM 交于点R,所以R 点(de)坐标为（2x,－6x+2）如图2－6－9所示,作P H ⊥OR 于H,则PH=|||2|,|62|Q P x x x x x QR x -=-==-+而S=△PQR(de)面积=12 QR ·P H= 12|62|x x -+ 下面分两种情形讨论：①当点Q 在点B 左方时,即0＜x ＜13时, 当R 在 x 轴上方,所以－6x ＋2＞0．所以S=12（－6x ＋2）x=－3x 2+x ； ②当点Q 在点B 右方时,即13＜x ＜2时 点R 在x 轴下方,所以－6x ＋2＜0．所以S=12[－（－6x ＋2）]x=3x 2－x ； 即S 与x 之间(de)函数解析式可表示为2213(0)313(2)3x x x S x x x ⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩（4）当S=2时,应有－3x 2+x =2,即3x 2 －x+ 2=0,显然△＜0,此方程无解．或有3x 2－x =2,即3x 2 －x －2=0,解得x 1 =1,x 2＝－23。
中考数学第二轮复习资料—专题复习（一）、初中阶段主要的数学思想1.数形结合的思想把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机的结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得到解决的思想方法，在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获取简便易行的方法。
涉及实数与数轴上点的对应关系，公式、定理的几何背景问题，函数与方程的对应关系等。
一：【要点梳理】1.数形结合思想方法是初中数学中一种重要的思想方法.数是形的抽象概括,形是数的直观表现,用数形结合的思想解题可分两类:一是利用几何图形的直观表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等;二是运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等2.热点内容(1).利用数轴解不等式(组)(2).研究函数图象隐含的信息,判断函数解析式的系数之间的关系,确定函数解析式和解决与函数性质有关的问题.(3).研究与几何图形有关的数据,判断几何图形的形状、位置等问题.(4).运用几何图形的性质、图形的面积等关系,进行有关计算或构件方程(组),求得有关结论等问题.二：【例题与练习】1.选择：（1）某村办工厂今年前5个月生产某种产品的总量c（件）关于时间t（月）的图象如图所示，则该厂对这种产品来说（）A.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量逐月减少B.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量与3月持平C.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产D.1月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产（2）某人从A 地向B 地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟以内收费2．4元每加 1分钟加收 1元，则表示电话费y （元）与通话时间(分）之间的关系的图象如图所示，正确的是（ ）（3）丽水到杭州的班车首法时间为早上6时,末班车为傍晚18时,每隔2小时有一班车发出,且丽水到杭州需要4个小时.图中相遇的次数最多为( )A.4次B.5次C.6次.D.7次 2.填空：（1）已知关于X 的不等式2x-a>-3的解集如图所示,则a 的值等于 （2）如果不等式组8 4x-1x mx ⎧+⎪⎨⎪⎩的解集为x>3,则m 的取值范围是3.考虑2xy =的图象,当x=－2时,y= ；当x<-2时,y 的取值范围是 。
阅读理解型问题一、中考专题诠释阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.二、解题策略与解法精讲解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.三、中考考点精讲考点一：阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题例1 （2015•某某某某，第10题，4分）定义运算：a⊗b=a（1﹣b）．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2⊗（﹣2）=6，②a⊗b=b⊗a，③若a+b=0，则（a⊗a）+（b⊗b）=2ab，④若a⊗b=0，则a=0或b=1，其中结论正确的序号是（）A．①④B．①③C．②③④D．①②④考点：整式的混合运算；有理数的混合运算．专题：新定义．分析：各项利用题中的新定义计算得到结果，即可做出判断．解答：解：根据题意得：2⊗（﹣2）=2×（1+2）=6，选项①正确；a⊗b=a（1﹣b）=a﹣ab，b⊗a=b（1﹣a）=b﹣ab，不一定相等，选项②错误；（a⊗a）+（b⊗b）=a（1﹣a）+b（1﹣b）=a+b﹣a2﹣b2≠2ab，选项③错误；若a⊗b=a（1﹣b）=0，则a=0或b=1，选项④正确，故选A点评：此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．对应训练1．（2015•永州，第10题3分）定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（）A．[x]=x（x为整数）B．0≤x﹣[x]＜1C．[x+y]≤[x]+[y]D．[n+x]=n+[x]（n为整数）考点：一元一次不等式组的应用．专题：新定义．分析：根据“定义[x]为不超过x的最大整数”进行计算．解答：A、∵[x]为不超过x的最大整数，∴当x是整数时，[x]=x，成立；B、∵[x]为不超过x的最大整数，∴0≤x﹣[x]＜1，成立；C、例如，[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+（﹣4）=﹣10，∵﹣9＞﹣10，∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]，∴[x+y]≤[x]+[y]不成立，D、[n+x]=n+[x]（n为整数），成立；故选：C．点评：本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解新定义．新定义解题是近几年中考常考的题型．考点二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法例2 （2015•某某省某某市，第16题，5分）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1:2:1，，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示。
专题二阅读理解专题考纲要求阅读理解类问题是近几年中考的新题型，主要目的是考查学生通过阅读，学习新的知识、感悟数学思想和方法．它能较好地体现知识的形式、发展的过程．要求学生理解问题，并对其本质进行概括及迁移发展．阅读题共有三类：(1)图文型(用文字和图形相结合展示条件和问题)；(2)表文型(用文字和表格相结合的形式展示条件和问题)；(3)改错型．无论哪种类型，其解题步骤分为三步：(1)快速阅读，把握大意；(2)仔细阅读，提炼信息或方法；(3)总结方法，建立解决问题的模式．【课堂精讲】例1阅读例题，模拟例题解方程．解方程x2＋|x－1|－1＝0.解：(1)当x－1≥0即x≥1时，原方程可化为：x2＋x－1－1＝0即x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2(不合题意，舍去)(2)当x－1＜0即x＜1时，原方程可化为：x2－(x－1)－1＝0即x2－x＝0，解得x3＝0，x4＝1(不合题意，舍去)综合(1)、(2)可知原方程的根是x1＝1，x2＝0.请你模拟以上例题解方程：x2＋|x＋3|－9＝0.解析：(1)当x＋3≥0时，即x≥－3时．原方程可化为：x2＋x－6＝0.解得x1＝2，x2＝－3.(2)当x＋3＜0时，即x＜－3时．原方程可化为：x2－x－12＝0.解得x3＝－3，x4＝4.经检验，x3＝－3，x4＝4都不符合题意，舍去．综合(1)、(2)可知原方程的根为x1＝2，x2＝－3.点评：解决这类题的策略是先理解例题的思想方法，再把这种思想方法迁移到问题中从而得到解决．例2条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA ＋PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA＋PB ＝A′B的值最小模型应用：(1)如图1，正方形ABCD边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB＋PE的最小值是______；(2)如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求PA＋PC最小值是______；(3)如图3，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值是______．解析：关键在于把握题中的两点：第一是动点在哪条线上运动？这条线就确定为对称轴；第二是画出一个点的对称点，并确定符合条件的动点的位置，再进行解答．(1)在图1中，点B关于AC的对称点是D，连接DE交AC于点P，此时点P就符合条件，再进行计算．(2)在图2中，点A关于OB的对称点是点D，连接DC交OB于点P，点P就是符合条件的点．PA＋PC的最小值是CD，求出CD的长即可．(3)在图3中，作出P关于OB、OA的对称点P′和P″.连接P′P″交OB、OA于R、Q.再连接PR、PQ.则△PRQ的周长最小，此时△PRQ的周长＝P′P″的长．在等腰直角形P′OP″中．求出P′P″的长即可．523102答案：【课堂提升】1．阅读材料，解答问题．用图象法解一元二次不等式，x2－2x－3＞0.解：设y＝x2－2x－3，则y是x的二次函数．∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y＝0时，x2－2x－3＝0.解得x1＝－1，x2＝3.∴由此得抛物线y＝x2－2x－3的大致图象如图所示：观察函数图象可知：当x＜－1或x＞3时，y＞0.∴x 2－2x －3＞0的解集是：x ＜－1或x ＞3.(1)观察图象，直接写出一元二次不等式：x 2-2x-3＜0的解集是________；(2)仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x 2-5x+6＜0的解集.2. 阅读下列材料：解答“已知x ﹣y =2，且x ＞1，y ＜0，试确定x +y 的取值范围”有如下解法：解∵x ﹣y =2，∴x =y +2又∵x ＞1，∵y +2＞1．∴y ＞﹣1．又∵y ＜0，∴﹣1＜y ＜0． …①同理得：1＜x ＜2． …②∴x +y 的取值范围是0＜x +y ＜2请按照上述方法，完成下列问题：（1）已知x ﹣y =3，且x ＞2，y ＜1，则x +y 的取值范围是 ．（2）已知y ＞1，x ＜﹣1，若x ﹣y =a 成立，求x +y 的取值范围（结果用含a 的式子表示）．3.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）A ． 1，2，3B ． 1，1，C ． 1，1，D ． 1，2，中，任意两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)的对称中心的坐标为(， )．122x x +122y y +(1)如图，在平面直角坐标系中，若点P1(0，－1)，P2(2,3)的对称中心是点A，则点A的坐标为________；(2)另取两点B(－1.6,2.1)，C(－1,0)．有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A，B，C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，…，则点P3，P8的坐标分别为____、____；(3)求出点P的坐标，并直接写出在x轴上与点P、点C构成等腰三角形的点的坐标．【高效作业本】专题二阅读理解专题1.如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．规定“把正方形ABCD先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过次变换后，正方形ABCD 的对角线交点M的坐标变为( )A．(—,2) B．（一，一2）C. (—,—2) D. (—,2)2.定义新运算：对于任意实数a，b都有a△b=ab﹣a﹣b+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：2△4=2×4﹣2﹣4+1=8﹣6+1=3，请根据上述知识解决问题：若3△x的值大于5而小于9，求x的取值范围．(2)若关于的方程2＋＋＝0的两个根为1，2，将你发现的结论一般化，并写出来．4．阅读下面的例题：解方程x2－|x|－2＝0解：(1)当x≥0时，原方程化为x2－x－2＝0解得x1＝2，x2＝－1(不合题意，舍去)(2)当x＜0时，原方程化为x2＋x－2＝0，解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－2所以原方程的解是x1＝2，x2＝－2请参照例题，解方程：x2－|x－3|－3＝0.【答案】专题二阅读理解专题答案1.分析：（1）观察图象即可写出一元二次不等式：x2-2x-3＜0的解集；（2）先设函数解析式，根据a的值确定抛物线的开口向上，再找出抛物线与x轴相交的两点，就可以画出抛物线，根据y＜0确定一元二次不等式x2-2x-3＜0的解集．解：（1）观察图象，可得一元二次不等式x2-2x-3＜0的解集是：-1＜x＜3（2）设y=x2-5x+6，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x2-5x+6=0，解得x1=2，x2=3．∴由此得抛物线y=x2-5x+6的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当2＜x＜3时，y＜0．∴x2-5x+6＜0的解集是：2＜x＜3点评：本题主要考查在直角坐标系中利用二次函数图象解不等式，可作图利用交点直观求解集．2.解：（1）∵x﹣y=3，∴x=y+3，又∵x＞2，∴y+3＞2，∴y＞﹣1．又∵y＜1，∴﹣1＜y＜1，…①同理得：2＜x＜4，…②解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．故选：D．(2)(－5.2,1.2)；(2,3)(提示：P 1(0，－1)，P 2(2,3)，P 3(－5.2,1.2)，P 4(3.2，－1.2)，P 5(－1.2,3.2)，P 6(－2,1)，P 7(0，－1)，P 8(2,3))(3)∵P 1(0，－1)→P 2(2,3)→P 3(－5.2,1.2)→P 4(3.2，－1.2)→P 5(－1.2,3.2)→P 6(－2,1)→P 7(0，－1)→P 8(2,3)→…，∴P 7的坐标和P 1的坐标相同，P 8的坐标和P 2的坐标相同，即坐标以6为周期循环． ∵÷6＝335…2.∴P 的坐标与P 2的坐标相同，即P (2,3)；在x 轴上与点P ，点C 构成等腰三角形的点的坐标为(－3 －1,0)，(2,0)，(3 －1,0)，(5,0)．【高效作业本】1.分析：首先求出正方形对角线交点坐标分别是（2，2），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的点M 的对应点的坐标，即可得规律．解答：∵正方形ABCD ，点A (1，3)、B (1,1)、C (3,1)．∴M 的坐标变为(2,2)∴根据题意得：第1次变换后的点M 的对应点的坐标为（2－1，－2），即（1，－2）， 第2次变换后的点M 的对应点的坐标为：（2－2，2），即（0，2），第3次变换后的点M 的对应点的坐标为（2－3，－2），即（－1，－2），第2014次变换后的点M 的对应点的为坐标为（2－2014， 2），即（－2012， 2） 故答案为A ．点评：此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第n 次变换后的点M 的对应点的坐标为：当n 为奇数时为（2－n ，－2），当n 为偶数时为（2－n ，2）是解此题的关键．2.分析：首先根据运算的定义化简3△x ，则可以得到关于x 的不等式组，即可求解． 解答：3△x=3x ﹣3﹣x+1=2x ﹣2，根据题意得：，解得：＜x ＜．点评：本题考查了一元一次不等式组的解法，正确理解运算的定义是关键．3.(1)－12 －2 －14 －3 143 (2)ax2＋bx ＋c ＝a(x －x1)(x －x2)4.解析：(1)当x －3≥3，原方程为 x 2－(x －3)－3＝0∵x ≥3∴不符合题意，都舍去(2)当x－3＜0时，即x＜3，原方程化为x2＋(x－3)－3＝0解得x2＋(x－3)＝0解得x1＝－3或x2＝2(都符合题意)所以原方程的解是x1＝3或x2＝2.答案：x＝－3或x＝2。
第二轮复习七 阅读理解题Ⅰ、综合问题精讲 ：阅读理解型问题以内容丰富、构思新颖别致、题样多变为特点．知识的覆盖面较大，它可以是阅读课本原文，也可以是设计一个新的数学情境，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法和思想，然后在把握本质，理解实质的基础上作出回答．这类问题 的主要题型有：阅读特殊范例，推出一般结论；阅读解题过程，总结解题思路和方法；阅读新知识，研究新问题等．这类试题要求考生能透彻理解课本中的所学内容，善于总结解题规律，并能准确阐述自己的思想和观点，考查学生对数学知识的理解水平、数学方法的运用水平及分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力、随机应变能力和知识的迁移能力等．因此，在平时的学习和复习中应透彻理解所学内容．搞清楚知识的来龙去脉，不仅要学会数学知识，更要掌握在研究知识的过程中体现出的数学思想和方法． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（2005，模拟，9分）如图 2－7－1所示，正方形ABCD 和正方形EFGH 的边长分别为2 2 和2 ，对角线BD 、FH 都在直线l 上，O 1、O 2分别是正方形的中心，线段O 1O 2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O 在直线 l 上平移时，正方形 EFH 也随之平移，在平移时正方形EFGH 的形状、大小没有改变．（1）计算：O 1D=_______，O 2 F=______；（2）当中心O 2在直线 l 上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O 1 O 2 =_________.（3）随着中心 O 2在直线 l 上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围．（不必写出计算过程）解：（1）O 1D=2，O 2 F=1；（2）O 1 O 2 =3；（2）当O 1 O 2＞3或0≤O 1 O 2＜1时，两个正方形无公共点；当O 1 O 2=1时，两个正方形有无数个公共点；当1＜O 1 O 2＜3时，两个正方形有2个公共点．点拨：本题实际上考查的知识点是“两圆的位置关系”，但形式有所变化．因此，可以再次经历探索两个圆之间的位置关系，认真分析并总结两圆五种位置关系所对应的圆心距d 与半径R 和r 的数量关系，五种位置关系主要由两个因素确定：①公共点的个 数；②一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部，按这两个因素为线索来探究位置关系．然后，把这种利用平移实验直观探索方法迁移到研究“两个正方形的位置关系”上来．【例2】（2005，内江，9分）阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+()121+=n n n ，其中ｎ是正整数。
专题七——阅读理解问题考查学生的阅读理解能力、自学能力，同时考查学生的数学意识和数学应用能力，这类题目能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程，符合学生的认知规律．阅读理解题一般是提供一定的材料，或介绍一个概念，或给出一种解.体，现学现用是它的最大特征。
阅读理解题一般篇幅比较长,由“阅读”和“问题”两部分构成,其阅读部分往往为学生提供一个自学材料,其内容多以定义一个新概念(法则),或展示一个解题过程,或给出一种新颖的解题方法,或介绍某种图案的设计流程等。
学生必须通过自,把握其本质,才可能会解答试题中的问题。
新知识应用型指通过对题目所给材料的阅读，从中获取新的数学公式、定理、性质、运算法则或解题思路等，进而运用这些知识和已有知识解决题目提出的问题．2．归纳概括型要求通过对阅读材料的阅读理解，将得到的信息通过观察、分析、归纳、类比，作出合理的推断，大胆的猜测，得出题目必要的结论，并以此解决问题．解题关键是理解材料中所,有纯文型(全部用文字展示条件和问题)、图文型(用文字和图形结合展示条件和问题)、表文型(用文字和表格结合展示条件和问题)、改错型(条件、问题、解题过程都已展示,但解题过程一般要改正).考查内容可以是学过知识的深入探索,也可以是新知识的理解运用.阅读理解题按解题方法不同常见的类型有:(1)定义概念与定义法则型;(2)解题示范(改;(3)迁移探究与拓展应用型等.,难点是理解,关键是应用。
解决阅读理解问题的基本思路是“阅读→分析→理解→解决问题”。
具体做法：①认真阅读材料，把握题意，注意一些数据、关键名词；②全面分析，理解材料所蕴含的基本概念、原理、思想和方法，提取有价值的数学信息；③对有关信息进行归纳、整合，并且和方程、不等式、函数或几何等数学模型结合来解答。
阅读时要理解材料的脉络,要对提供的文字、符号、图形等进行分析,在理解的基础上迅速整理信息,及时归纳要点,挖掘其中隐含的数学思想方法,运用类比、转化、迁移等方法,构建相应的数学模式或把要解决的问题转化为常规问题。
