解析黑龙江省实验中学高二上学期期中考试数学试题含解析

黑龙江省大庆市实验中学实验一部2024-2025学年高二上学期10月阶段性质量检测数学试题一、单选题1．若直线经过()1,0A、(B 两点，则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．已知向量()a =r，向量12b ⎛= ⎝⎭r ，则向量a r 在向量b r 上的投影向量为（ ） A．)B．()C．(D．14⎛ ⎝⎭3．已知方程224250x y x y c ++--=表示圆的方程，则c 的取值范围为（ ） A ．1c >- B ．1c ≥- C ．1c >D ．1c ≤4．已知(2,1,4),(1,1,2),(7,5,)a b c m =-=--=v v v，若,,a b c r r r 共面，则实数m 的值为（ ）A ．607B ．14C ．12D ．6275．如图，在四面体ABCD 中，DA ⊥平面ABC ，CA CB ⊥，CA CB AD ==，E 为AB 的中点，F 为DB 上靠近B 的三等分点，则直线DE 与CF 所成角的余弦值为（ ）ABC ．15D ．166．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，113πBAD DAA BAA ∠=∠=∠=，M 为11AC 与11B C 的交点，若AB a u u u r r=，AD b =u u u r r ，1AA c =u u u r r ，下列说法正确的是（ ）A ．1122CM a b c =-++u u u u r r r rB ．13π,CM AC =u u u u r u u u u rC ．1BD =u u u u rD ．12AC CM ⋅=-u u u r u u u u r7．在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，EF 是正方体1111ABCD A B C D -外接球的直径，点P 是正方体1111ABCD A B C D -表面上的一点，则EP PF ⋅u u u r u u u r的取值范围是（ ）A ．9,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．5,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知正方体1111ABCD A B C D -边长为2，动点M 满足1AM xAB yAD z AA =++u u u u r u u u r u u u r u u u r（0x ≥，0y ≥，0z ≥），则下列说法正确的个数是（ ）①当1x y ==，12z =时，则直线AM ⊥平面1A BD②当14x =，0z =，[]0,1y ∈时，1B M MD +③当1x y +=，[]0,1z ∈时，AM 的取值范围为④当1x y z ++=，且AM =时，则点M A ．4B ．3C ．2D ．1二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．直线l 的方程为()22250mx m y +-+=，则不存在实数m ，使直线l 经过坐标原点()0,0B ．方程()32y k x -=+表示过点 −2,3 的所有直线C ．当点()3,2P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时，m 的值为1-D ．已知直线l 过定点()1,0P 且与以()2,3A -，()3,2B --为端点的线段有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是(]1,3,2∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭10．已知正方形ABCD 在平面直角坐标系xOy 中，且AC ：210x y -+=，则直线AB 的方程可能为（）A ．310x y ++=B ．310x y -+=C ．310x y ++=D ．310x y -+=11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，若一点P 在底面ABCD 内（包括边界）移动，且满足11B P D E ⊥，则（ ）A ．1D E 与平面11CC D D 的夹角的正弦值为13B ．1A 点到1D E 的距离为3C ．线段1B P 的长度的最大值为D ．PA u u u r 与PE u u u r 的数量积的范围是4,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、填空题12．直线l 过点()2,1P -，且()1,2A -和()5,8B 两点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为. 13．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，DAB ∠为直角，AB CD ∥，22AD CD AB ===，E ，F 分别为PC ，CD 的中点，()0PA m m =>，且二面角E BD C--的平面角大于60°，则m 的取值范围是.14．已知实数0m ≥，0n ≥，且满足42m n +=成立，则2m 的最小值与最大值的和是.四、解答题15．若三条直线1:320l x y -+=，2:230l x y ++=，3:0l mx y +=.(1)当3l 与1l 垂直时，1l 与3l 的交于点P ，2l 与3l 的交于点Q ，求PQ 和点P 到2l 的距离. (2)若三条直线不能构成三角形，求m 的值. 16．直线l 的方程为()1310a x y a +---=，R a ∈. (1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于点,A B ，点O 是坐标原点. （ⅰ）若AOB V 的面积为16，求a 的值； （ⅱ）当AOB V 的面积最小时，求直线l 的方程. 17．ABC V 的三个顶点分别是()4,0A ，()0,2B ，()3,1C .(1)求边AB 上的中线所在直线1l 的方程，求边AB 上的高所在直线2l 的方程； (2)（ⅰ）求ABC V 的外接圆G （G 为圆心）的标准方程；（ⅱ）若点P 的坐标是()6,0，点Q 是圆G 上的一个动点，点M 满足13PM PQ =u u u u r u u u r，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AB BC ⊥，E 为PD 的中点.(1)若EA EC =，证明：CD ⊥平面ACP ；(2)已知4=AD ，2BC =，1AB =，斜线PB 和平面ABCD 所成的角的正切值为2，求平面ACE 和平面PCD 的夹角的余弦值.19．如图，已知四边形ABCD为菱形，4AB=，π3DAB∠=，将菱形ABCD绕AD所在直线旋转到AEFD的位置，使得平面AEFD⊥平面ABCD，连接BE，CF，得到几何体ABE DCF-，M、N分别为AF、BD上的动点，且AMAFλ=，2BNBDλ=，其中01λ<≤.(1)求BE的长；(2)是否存在λ，使得直线//MN平面BCFE，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.(3)求MN的最小值，并求MN取最小值时，点M到平面BCFE的距离与点N到平面BCFE 的距离的比值.。

黑龙江省实验中学2020~2021学年上学期高二年级十二月考试数学试题(文)一､选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分) 1. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若21x >，则1x >”的否命题为“若21x >，则1x ≤”B. “1x =-”是“2230x x --=”的充要条件C. 命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++<”D. 命题“若x y =，则cos cos x y =”的逆否命题为真命题 D利用原命题与否命题的关系可判断A 选项的正误；利用集合的包含关系可判断B 选项的正误；利用特称命题的否定可判断C 选项的正误；判断原命题的真假，可判断D 选项的正误. 对于A 选项，命题“若21x >，则1x >”的否命题为“若21x <，则1x ≤”，A 选项错误； 对于B 选项，解方程2230x x --=可得1x =-或3,{}1- {}1,3-，所以，“1x =-”是“2230x x --=”的充分不必要条件，B 选项错误；对于C 选项，命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，C 选项错误；对于D 选项，命题“若x y =，则cos cos x y =”为真命题，该命题的逆否命题也为真命题，D 选项正确.故选：D.2. a ∈R ，|a |<4成立的一个必要不充分条件是（ ） A. a <4 B. |a |<3 C. a 2<16 D. 0<a <3A 分析】 利用集合法判断.因为|a |<4的解集是()4,4-，A. 因为()4,4- (),4-∞，所以a <4是|a |<4成立的一个必要不充分条件；B. 因为()3,3- ()4,4-，所以|a |<3是|a |<4成立的一个充分不必要条件；C. 因为a 2<16的解集是()4,4-，所以a 2<16是|a |<4成立的一个充要条件；D. 因为()0,3 ()4,4-，所以0<a <3是|a |<4成立的一个充分不必要条件；故选：A 3. 直线x sin α-y +2=0的倾斜角的取值范围是（ ） A. [0,)πB. 30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C. 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π D. 0,,42πππ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭B根据直线方程，得到斜率为sin k α=-，推出斜率的范围，进而可得倾斜角的范围. 直线sin 20x y α++=的斜率为sin k α=-， ∵1sin 1α-≤≤， ∴11k -≤≤∴倾斜角的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：B. 关键点点睛：该题考查的是有关根据直线方程求直线倾斜角的取值范围的问题，正确解题的关键是要明确倾斜角与斜率的关系，以及斜率的范围.4. 圆心在x 轴上，且过点(2,4)的圆与y 轴相切，则该圆的方程是( ) A. 22100x y y ++= B. 22100x y y +-= C. 22100x y x ++= D. 22100x y x +-=D利用待定系数法确定圆的方程即可.很明显圆心位于x 轴正半轴，设圆心坐标为()(),00m m >，则圆的半径R m =， 不妨设圆的方程为()222x m y m -+=，该圆过点()2,4，则：()22224m m -+=，解得：5m =，则圆的方程为：()22255x y -+=， 整理为一般式即：22100x y x +-=. 本题选择D 选项.求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．5. 过双曲线2221(0)4x y b b-=>的左焦点的直线交双曲线的左支于A 、B 两点，且6AB =，这样的直线可以作2条，则b 的取值范围是（ ） A. (]0,2 B. ()0,2C. (D. (D由双曲线的通径与弦长AB 的关系,即可求得b 的取值范围.由题意过双曲线2221(0)4x y b b-=>的左焦点F 作直线l 与双曲线交于A ,B 两点,使得||6AB =,A ,B 位于双曲线的左支,当直线的斜率不存在时, AB 最短, 此时线段AB 称为双曲线的通径，222b AB b a==，要使6AB =这样的直线有且仅有两条,则需222||6b b AB a=<=,解得0b <<, 故选：D.本题考查直线与双曲线的位置关系，关键在于理解有且只有两条直线的含义和需满足的条件，属于中档题.6. 在平面直角坐标系Oxy 中，点B 与点(1,1)A -关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13，则动点P 的轨迹方程为（ ）A. 2232x y -=-B. 2232(1)x y x -=≠±C. 2232x y -=D. 2232(1)x y x -=-≠±D根据题意得(1,1),(1,1)A B --，设(,(1)P x y x ≠±，再根据斜率之积化简即可得答案.解：由题意得，(1,1),(1,1)A B --， 设(,(1)P x y x ≠±， 则11,11AP BP y y k k x x -+==+-. 由13AP BP k k ⋅=得：111113AP BP y y k k x x -+⋅=⋅=+-， 整理得2232(1)x y x -=-≠±.故选：D.本题考查直接法求曲线的轨迹方程，是基础题.7. 在抛物线28y x =中，以()1,1-为中点的弦所在直线的方程是（ ） A. 430x y --= B. 430x y +-=C. 430x y +-=D. 430x y ++= C先设弦的两端点的坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，代入抛物线方程，两式作差，求出弦所在直线的斜率，进而可求出直线方程.设以()1,1-为中点的弦的两端点的坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，由题意可得，21122288y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差可得，22121288y y x x -=-，所以1212128842AB y y k x x y y -====--+- 因此所求直线的方程为()()141y x --=--，整理得430x y +-=.故选：C.8. 设1F ，2F 分别为双曲线22134x y -=的左，右焦点，点P 为双曲线上的一点.若12120F PF ∠=︒，则点P 到x 轴的距离为（ ）A. 21B.C.D. C如图，设1=PF m ，2=PF n ，由双曲线定义知m n -平方得：22212m n mn +-=，在12F PF △中利用余弦定理可得：2228m n mn ++=，即可得到163mn =，再利用等面积法即可求得PD由题意，双曲线22134x y -=中，2223,4,7a b c ===如图，设1=PF m ，2=PF n ，由双曲线定义知=223m n a -= 两边平方得：22212m n mn +-=在12F PF △中，由余弦定理可得：2222cos120428m n mn c +-==，即2228m n mn ++= 两式相减得：316mn =，即163mn =利用等面积法可知：11sin120222mn c PD =⨯⨯，即1632732PD ⨯=⨯解得42121PD =故选：C.关键点睛：本题考查双曲线的定义及焦点三角形的几何性质，解题的关键是熟悉焦点三角形的面积公式推导，也可以直接记住结论：（1）设1F ，2F 分别为椭圆22221x y a b+=的左，右焦点，点P 为椭圆上的一点，且12F PF θ∠=，则椭圆焦点三角形面积122tan2F PF Sb θ=（2）设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=的左，右焦点，点P 为双曲线上的一点，且12F PF θ∠=，则双曲线焦点三角形面积122tan2F PF b Sθ=9. 若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上点的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为A. 2B. 3C. 6D. 8C由椭圆方程得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)， 则OP FP ⋅＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)＝20x ＋x 0＋20y ∵P 为椭圆上一点，∴204x ＋203y ＝1.∴OP FP ⋅＝20x ＋x 0＋320(1)4x -＝204x ＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2. ∵－2≤x 0≤2.∴OP FP ⋅的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6.10. 设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，若在右支上存在点A ，使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. B. (1,2)C. )+∞D. (2,)+∞C先记双曲线的两焦点坐标为()1,0F c -，()2,0F c ，设(),A m n ，根据点2F 到直线1AF 的距离为2a ，得出直线1AF 的方程，联立该直线与双曲线方程，根据点A 的位置，列出不等式求解，即可得出结果.由题意，记双曲线的两焦点坐标为()1,0F c -，()2,0F c ， 设(),A m n ，则直线1AF 的方程为()ny x c m c=++，即()0nx m c y nc -++=， 又点2F 到直线1AF 距离为2a ，2a =，整理得()a n m c b=+；因此直线1AF 的方程为0ax by ac -+=，由222201ax by ac x y ab -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y ，整理得：()4424422420b a x a cx a c a b ----=， 因为点A 为双曲线右支上一点，因此直线1AF 与双曲线必有两不同交点，且两交点横坐标一正一负，则()()() 24444224 42244424a cb a ac a ba c a bb a⎧∆=-+-+>⎪⎨+⎪-<-⎩，即()()62222444a b a a c bb a⎧+-+>⎪⎨->⎪⎩，即()()62222422a b a a c bb a⎧+-+>⎪⎨->⎪⎩，因此只需220b a->，即2220c a->，所以离心率222c cea a==>.故选：C.关键点点睛：求解本题的关键在于确定,,a b c三者之间关系；由题中条件，先得出直线1AF的方程，联立直线与双曲线方程消去y得到关于x的方程，根据方程根的分布情况，列出不等式求解即可. 11. 三棱锥P--ABC中，P A⊥平面ABC，2,3,6,3BAC AP BCπ∠===则该三棱锥外接球的表面积为（）A. 45πB. 63πC. 57πD. 84πC将三棱锥P-ABC中放在圆柱12O O中，由正弦定理得ABC的外接圆1O的直径2r，再结合勾股定理求得外接球的直径，从而求得表面积.作出ABC的外接圆1O由于P A⊥平面ABC，可将三棱锥P-ABC中放在圆柱12O O中，如图所示：因为2,6,3BAC BCπ∠==由正弦定理得ABC的外接圆1O的直径为223sin3BCrπ==∠，又3AP=则三棱锥P-ABC外接球的直径为()()2222294857R PA r=+=+=，故外接球的表面积为2457S Rππ==故选：C方法点睛：求外接球半径的常用方法：（1）补形法：侧面为直角三角形或正四面体或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；（2）利用球的性质：几何体在不同面均对直角的棱必然是球的直径；（3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.12. 在抛物线24y x =上有一动点P ，(2,3)A ，记P 到y 轴的距离为d ，则PA d -（ ） A. 有最大值无最小值 B. 有最小值无最大值 C. 既有最大值也有最小值 D. 无最大值也无最小值C由1d PF =-得1PA d PA PF -=-+，故当,,A P F 三点共线时取最值.依题意知点(2,3)A 在抛物线24y x =上方，抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，准线为1x =-，所以1PF d =+，则1d PF =-则1PA d PA PF -=-+又因为PA PF AF -≤==当,,AP F三点共线时等号成立，所以11PA d -≤故PA d -既有最大值也有最小值故选：C本题的关键是由抛物线定义将P 到y 轴的距离d 转化为PF 来计算. 二､填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13. 已知点P (x ,y )在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则z x y =-的最大值为________. 2画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由z x y =-得y x z =-．平移直线y x z =-，由图形可得当直线y x z =-经过可行域内的点A 时，直线y x z =-在y 轴上的截距最小，此时z 取得最大值． 由题意得点A 的坐标为（2,0）． ∴max z 202=-=． 答案：2点睛：利用线性规划求目标函数最值的步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l ；(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要进行目标函数l 和可行域边界的斜率的大小比较；(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． 14. 若坐标原点到抛物线2y mx =的准线距离为2，则m =___________.18± 根据抛物线性质可得结果.由2y mx =化为标准方程21x y m =，准线方程14y m=-，故由题意124m -=， 得18m =±.故答案为：18±15. 设椭圆()222210x y a b a b +=>>的焦点为12,F F ，P 是椭圆上一点，且123F PF π∠=，若12F PF △的外接圆和内切圆的半径分别为,R r ，当4R r =时，椭圆的离心率为___________.23在12F PF △中，利用正弦定理：12122sin F F R F PF =∠，求得233R c =，1346r R c ==，设12,PF m PF n ==，再利用余弦定理求得mn ，然后由121sin 23F PF S mn π=()122m n c r =++求解. 椭圆的焦点为()()1212,0,,0,2F c F c F F c -=，在12F PF △中，由正弦定理得：12122432sin 3sin3F F c R c F PF π===∠，解得23R c =，134r R c ==， 设12,PF m PF n ==，在12F PF △中，由余弦定理得：()222242cos33c m n mn m n mn π=+-=+-，解得()2243a c mn -=，所以()122231sin 233P F Fa c S mn π-==△， 又()()1231226F PF c a c Sm n c r +=++=， 所以()()223336a c c a c -+=， 整理得22230a c ac --=，即2320e e +-=， 解得23e =或1e =-（舍去） 故答案为：2316. 已知圆22:(1cos )(2sin )1M x y θθ--+--=，直线:20l kx y k --+=，下面五个命题： ①对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点； ②存在实数k 与θ，直线l 和圆M 相切； ③存在实数k 与θ，直线l 和圆M 相离；④对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切； ⑤对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切.其中真命题的代号是______________________（写出所有真命题的代号）.①②④由题意结合直线的性质和圆性质整理计算即可求得最终结果.直线:20l kx y k --+=恒过定点()1,2，将1,2x y ==代入()()22121x cos y sin θθ--+--=，等式成立，即圆过定点()1,1， 据此可知：对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；存在实数k 与θ，直线l 和圆M 相切；不存在实数k 与θ，直线l 和圆M 相离；说法①②正确，说法③错误；对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切；说法④正确；当0θ=时，圆的方程为：()()22221x y -+-=，此时不存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切，即说法⑤错误.综上可得：真命题的代号是①②④.本题主要考查直线恒过定点问题，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三､解答题(本大题共3题，共36分)17. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，左、右顶点为A 、B ，3FA =，1FB =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求直线12y x =+被椭圆C 截得的弦长. （1）22143x y +=；（2）1827. （1）设椭圆的半焦距为c ，由题意可得3a c +=，1a c -=，解得a ，c ，求得b ，可得椭圆的方程；（2）联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值.（1）设椭圆的半焦距为c ，由||3FA =，1FB =，可得3a c +=，1a c -=，解得2a =，1c =， 则22413b a c -=-=， 即有椭圆的方程为22143x y +=；（2）联立直线12y x =+和椭圆223412x y +=， 可得274110x x +-=，设被椭圆C 截得的弦的端点的横坐标分别为1x ，2x ， 则1247x x +=-，12117x x =-，==.【点睛】思路点睛： 求解椭圆中的弦长问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及弦长公式，即可求出结果；有时也可由直线与椭圆方程联立求出交点坐标，根据两点间距离公式求出弦长.18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：22221(0)x y a b a b +=>>倍，点(2，1)在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与圆O ：222x y +=相切，切点在第一象限，与椭圆C 相交于P ，Q 两点，若OPQ△的面积为5，求直线l 的方程. （1）22163x y +=；（2）y =+342y x =-+. 【分析】（1）根据题中条件，结合椭圆的性质，列出方程组，求出22,a b ，即可得出椭圆方程； （2）先由题中条件，确定直线l 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y kx m =+，根据直线与圆相切，得出2222m k =+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，结合弦长公式，点到直线距离公式，以及三角形面积公式，由OPQ △的面积为5，列出方程求出k ，得出m ，进而可得直线方程.（1）由题意椭圆C 倍，点(2，1)在椭圆C 上，可得22222411a a b c a b⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得26a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22163x y +=. （2）因为切点在第一象限，直线的斜率存在，不妨设直线PQ 的方程为y kx m =+，即0kx y m -+=，且0k <，0m >，=2222m k =+，联立22026kx y m x y -+=⎧⎨+=⎩，得222(12)4260k x kmx m +++-=， 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则有122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，所以PQ == 点O 到直线PQ的距离为d ==可得212125OPQ S k ==+，解得22k =，或218k =， 当22k =时，28m =，当218k =时，294m =，所以k =m =，或k =m =，则直线方程为y =+32y x =+. 思路点睛：由圆锥曲线中三角形的面积求参数时，一般需要联立直线与曲线方程，结合韦达定理、弦长公式，以及三角形面积公式，表示出三角形的面积，结合题中条件列出方程求解，即可得出参数，从而可得出结果.19. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点,02p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线与抛物线在第一象限相切于点B ，点B 到坐标原点O的距离为（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点()8,0M 任作直线l 与抛物线C 相交于P ，Q 两点，请判断x 轴上是否存点T ，使得点M 到直线PT ，QT 的距离都相等.若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由. （1）28y x =；（2）存在；点T 的坐标为()8,0-.（1）设直线AB 的方程为()02p y k x k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，与抛物线方程联立，利用判别式等于0，解得1k =，B 点坐标为,2p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据点B 到坐标原点O的距离为 （2）设直线:8l x ny =+，假设存在这样的点T ，设()11,P x y ，()22,Q x y ，点(),0T t ，联立方程28,8,y x x ny ⎧=⎨=+⎩消去x 整理成关于y 的一元二次方程，根据韦达定理得到12y y +和12y y ，将点M 到直线PT ，QT 的距离都相等转化为直线PT ，QT 的斜率互为相反数，根据PT QT k k +0=可得结果.（1）设直线AB 的方程为()02p y k x k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， 联立方程组22,,2y px p y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩消去x 得，2220ky py kp -+=， 由222440p k p ∆=-=，因为0p >，解得1k =（1k =-舍），所以由2220y py p -+=可得y p =，所以2p x =， 所以B 点坐标为,2p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则OB ==，解得4p =， 故抛物线C 的标准方程为28y x =.（2）设直线:8l x ny =+，假设存在这样的点T ，设()11,P x y ，()22,Q x y ，点(),0T t ，联立方程28,8,y x x ny ⎧=⎨=+⎩消去x 整理得28640y ny --=，可得128y y n +=，1264y y =-， 若点M 到直线PT ，QT 的距离相等，则直线PT ，QT 的斜率互为相反数，有12121212088PT QT y y y y k k x t x t ny t ny t +=+=+=--+-+-（先假设1x t ≠，2x t ≠）， 可得()()1221880y ny t y ny t +-++-=， 整理得，()()1212280ny y t y y +-+=，得2(64)(8)80n t n ⨯-+-⨯=对任意的n 都成立，得8t .显然18x ≠-且28x ≠-. 故存在这样的点T 的坐标为()8,0-.。

辽宁省实验中学2024—2025学年度上学期期中阶段测试高二年级物理试卷考试时间75分钟 试题满分100分一、选择题（1～7单选，每题4分。

8～10多选，每题6分，漏选得3分、错选不得分。

共计46分）1．图中与磁现象有关的四个实验，其对应判断正确的是（ ）A ．甲图中小磁针的偏转情况形象描述了磁体周围磁场的分布B ．乙图说明磁场对电流有力的作用，根据该原理制成了电动机C ．丙图表明通电导线周围存在着磁场，这一物理现象是法拉第发现的D ．丁图中左边铁钉吸引大头针较多，表明左侧线圈内电流大，电磁铁磁性强2．如图所示，某型号霍尔元件（导电自由电荷为电子），匀强磁场B 垂直于霍尔元件竖直向下，工作电源E 给电路中提供的电流为I 时，产生的霍尔电压为U ；元件厚度为d ，闭合开关、，下列判断中正确的是（ ）A ．4点电势比2点电势高B ．增加磁感应强度，电压表示数将减小C ．滑动变阻器接入电路的阻值变大，电压表示数将减小D ．仅减小霍尔元件厚度为d ，电压表示数不变3．如图所示，质量为m 、带电荷量为－q 的三个相同带电小球a 、b 、c ，从同一高度以初速度水平抛出，小球a 只在重力作用下运动，小球b 在重力和洛伦兹力作用下运动，小球c 在重力和电场力作用下运动，它们落地的时间分别为ta 、tb 、tc ，落地过程中重力的冲量分别为Ia 、Ib 、Ic ，落地时的动能分别为Ea 、Eb 、Ec ，落地时重力的瞬时功率分别为Pa 、Pb 、Pc ，则以下判断中正确的是（ ）A ．ta ＝tb ＜tcB ．Ia ＝Ib ＝IcC ．Ea ＜Eb ＜EcD ．Pa ＝Pb ＞Pc 1K 2K 0v4．如图所示，两足够长的平行导轨竖直放置，水平部分粗糙并固定在绝缘水平面上，弯曲部分光滑，两部分平滑连接，空间中存在竖直向下的匀强磁场，导轨右端与定值电阻相连。

让导体棒ab从弯曲导轨上某位置由静止开始下滑，在水平导轨上运动一段距离后静止，导体棒ab运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，导轨电阻不计。

2017-2018学年黑龙江省齐齐哈尔实验中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2+4y′2=1，则曲线C的方程为（）A．25x2+36y2=1 B．9x2+100y2=1 C．10x+24y=1 D．x2+y2=12．（5分）在极坐标系中，若点A（3，），B（﹣3，），则△AOB（O为极点）的面积为（）A．4 B．C．2 D．3．且与极轴的倾斜角为45°的直线的极坐标方程是（）A． B．C．D．4．，N（0，5），△MNP的周长为36，则△MNP的顶点P的轨迹方程为（）A． +=1（x≠0）B． +=1（x≠0）C． +=1（y≠0）D． +=1（y≠0）5．（5分）已知双曲线=1的一条渐近线方程为y=，则双曲线的焦距为（）A． B．2C．2 D．106．在曲线上运动，则x+2y的最大值为（）A．B．C．2 D．47．（5分）在极坐标系中，若点A（3，），B（﹣3，），则△AOB（O为极点）的面积为（）A．B．3 C．D．98．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．9．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是钝角三角形．则该双曲线离心率的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（1+，+∞）C．（1，1+） D．（ +1，+∞）10．上，若||+||=4，线段AB的中点到直线x=的距离为1，则p的值为（）A．1 B．1或3 C．2 D．2或611．（5分）P是长轴在x轴上的椭圆=1上的点F1，F2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c，则|PF1||PF2|的最大值与最小值之差一定是（）A．1 B．a2C．b2D．c212．A．B．C． +1 D．﹣1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.）13．（5分）在极坐标系中，以点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是．14．=x3﹣ax2﹣bx+a2，在x=1时有极值10，则a、b的值为．15．2+（y﹣5）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值是．16．（5分）若等轴双曲线C的左、右顶点A，B分别为椭圆的左、右焦点，点P是双曲线上异于A，B的点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）在直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．18．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），试求的值．19．=kx3﹣3x2+1（k≥0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的极小值大于0，求k的取值范围．20．是二次函数，f'（x）是它的导函数，且对任意的x∈R，f'（x）=f（x+1）+x2恒成立．（Ⅰ）求f（x）的解析表达式；（Ⅱ）设t＞0，曲线C：y=f（x）在点P（t，f（t））处的切线为l，l与坐标轴围成的三角形面积为S（t）．求S（t）的最小值．21．、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．22．（12分）已知椭圆C：的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切．A、B是椭圆的左、右顶点，直线l过B点且与x轴垂直．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设G是椭圆C上异于A、B的任意一点，作GH⊥x轴于点H，延长HG到点Q使得|HG|=|GQ|，连接AQ并延长交直线l于点M，N为线段MB的中点，判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系，并证明你的结论．2017-2018学年黑龙江省齐齐哈尔实验中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2+4y′2=1，则曲线C的方程为（）A．25x2+36y2=1 B．9x2+100y2=1 C．10x+24y=1 D．x2+y2=1【解答】解：把代入曲线x′2+4y′2=1，可得（5x）2+4（3y）2=1，化为25x2+36y2=1，即为曲线C的方程．故选：A．2．A．4 B．C．2 D．【解答】解：抛物线y=ax2，可化为，其准线方程为y=﹣∵抛物线y=ax2的准线方程为y=﹣1，∴∴a=故选B．3．且与极轴的倾斜角为45°的直线的极坐标方程是（）A． B．C．D．【解答】解：在直角坐标系中，过点（2，π）且与极轴的倾斜角为45°的直线方程是y=x+2，其极坐标方程为ρsinθ=ρcosθ+2，即．故选B．4．，N（0，5），△MNP的周长为36，则△MNP的顶点P的轨迹方程为（）A． +=1（x≠0）B． +=1（x≠0）C． +=1（y≠0）D． +=1（y≠0）【解答】解：由题意可知，△MNP的顶点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆（除去上下顶点），又c=5，2c+2a=36，∴a=13，则b2=a2﹣c2=144．∴△MNP的顶点P的轨迹方程为+=1（x≠0）．故选：B．5．（5分）已知双曲线=1的一条渐近线方程为y=，则双曲线的焦距为（）A． B．2C．2 D．10【解答】解：曲线=1的一条渐近线方程为y=，可得：=，解得m=4，则b=2，a=3，∴c=．双曲线的焦距为2．故选：B．6．在曲线上运动，则x+2y的最大值为（）A．B．C．2 D．4【解答】解：由P在椭圆方程上，设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ≤2π）则x+2y=2cosθ+2sinθ=2sin（θ+），由正弦函数的性质可知：﹣1≤sin（θ+）≤1，则x+2y的最大值为：2，故选：A．7．（5分）在极坐标系中，若点A（3，），B（﹣3，），则△AOB（O为极点）的面积为（）A．B．3 C．D．9【解答】解：∵在极坐标系中，点A（3，），B（﹣3，），O为极点，∴在平面直角坐标系中，A（，），B（﹣，﹣），O（0，0），∴=（﹣，﹣），=（），||==3，||==3，cos＜＞===﹣，∴sin＜＞==，∴△AOB（O为极点）的面积为：==．故选：C．8．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选D．9．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是钝角三角形．则该双曲线离心率的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（1+，+∞）C．（1，1+） D．（ +1，+∞）【解答】解：根据题意，可得|AB|=，|F1F2|=2c，由双曲线的对称性，可知△ABF2为等腰三角形，只要∠AF2B为钝角，即|AF1|＞|F1F2|即可．∴不等式＞2c，化简得c2﹣a2＞2ac，两边都除以a2，可得e2﹣2e﹣1＞0解之得e∈（1+，+∞），负值舍去．故选：B．10．上，若||+||=4，线段AB的中点到直线x=的距离为1，则p的值为（）A．1 B．1或3 C．2 D．2或6【解答】解：分别过A、B作准线l：x=﹣的垂线，垂足分别为C、D，设AB中点M在准线上的射影为点N，连接MN，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）根据抛物线的定义，得∴梯形ACDB中，中位线MN=（）=2，可得x0+=2，x0=2﹣，∵线段AB的中点M到直线的距离为1，可得|x0﹣|=1∴|2﹣p|=1，解之得p=1或3故选：B．11．（5分）P是长轴在x轴上的椭圆=1上的点F1，F2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c，则|PF1||PF2|的最大值与最小值之差一定是（）A．1 B．a2C．b2D．c2【解答】解：由题意，设|PF1|=x，∵|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=2a﹣x∴|PF1||PF2|=x（2a﹣x）=﹣x2+2ax=﹣（x﹣a）2+a2，∵a﹣c≤x≤a+c，∴x=a﹣c时，y=﹣x2+2ax取最小值b2，x=a时，y=﹣x2+2ax取最大值为a2，∴|PF1||PF2|的最大值和最小值之差为a2﹣b2=c2，故选：D．12．A．B．C． +1 D．﹣1【解答】解：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|∴=设PA的倾斜角为α，则sinα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PM的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为丨PA丨﹣丨PB丨=2（﹣1）∴双曲线的离心率为=+1．故选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.）13．（5分）在极坐标系中，以点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是ρ=sinθ．【解答】解：如图所示，点即，r=．设圆上任意一点P（ρ，θ），则∠OAP=θ，由OA=1，∠OPA=90°，∴ρ=1sinθ=sinθ．故答案为：ρ=sinθ．14．=x3﹣ax2﹣bx+a2，在x=1时有极值10，则a、b的值为．【解答】解：对函数f（x）求导得f′（x）=3x2﹣2ax﹣b，又∵在x=1时f（x）有极值10，∴，解得或，验证知，当a=3，b=﹣3时，在x=1无极值，故答案为．15．2+（y﹣5）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值是5．【解答】解：如图所示：利用抛物线的定义知：|MP|=|MF|，当M、A、P三点共线时，|MA|+|MF|的值最小即：CM⊥x轴，此时|MA|+|MF|=|AP|=|CP|﹣1=6﹣1=5，故答案为：5．16．（5分）若等轴双曲线C的左、右顶点A，B分别为椭圆的左、右焦点，点P是双曲线上异于A，B的点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2=1．【解答】解：椭圆的焦点在x轴上，焦点F1（﹣a，0），F2（a，0），由题意可得：等轴双曲线C：x2﹣y2=a2，设点P（x0，y0），且x02﹣y02=a2，则k1=，k2=，∴k1k2=×==1，∴k1k2=1．故答案为：1．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）在直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．【解答】解：（1）由ρcos（θ﹣）=1得ρ（cosθ+sinθ）=1，从而C的直角坐标方程为x+y=1即x+y=2θ=0时，ρ=2，所以M（2，0）θ=时，ρ=，所以N（，）；（2）M点的直角坐标为（2，0）N点的直角坐标为（0，）所以P点的直角坐标为（1，），则P点的极坐标为（，），所以直线OP的极坐标方程为θ=，ρ∈（﹣∞，+∞）．18．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），试求的值．【解答】解：（I）由，展开化为ρ2=（ρcosθ﹣ρsinθ），化为x2+y2=4x﹣4y，即（x﹣2）2+（y+2）2=8．（II）把直线l的参数方程是（t为参数）代入圆的方程可得：，∴t1+t2=﹣2，t1t2=﹣4＜0．|t1﹣t2|===2．∴====．19．=kx3﹣3x2+1（k≥0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的极小值大于0，求k的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（I）当k=0时，f（x）=﹣3x2+1，∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，0]，单调减区间[0，+∞）．…（2分）当k＞0时，f'（x）=3kx2﹣6x=3kx（x﹣）∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，0]，[，+∞），单调减区间为[0，]．…（6分）（II）当k=0时，函数f（x）不存在最小值．…（7分）当k＞0时，依题意f（）=﹣+1＞0，…（9分）即k2＞4，…（11分）由条件k＞0，所以k的取值范围为（2，+∞）…（12分）20．是二次函数，f'（x）是它的导函数，且对任意的x∈R，f'（x）=f（x+1）+x2恒成立．（Ⅰ）求f（x）的解析表达式；（Ⅱ）设t＞0，曲线C：y=f（x）在点P（t，f（t））处的切线为l，l与坐标轴围成的三角形面积为S（t）．求S（t）的最小值．【解答】（本小题满分12分）解：（I）设f（x）=ax2+bx+c（其中a≠0），则f'（x）=2ax+b，f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+c=ax2+（2a+b）x+a+b+c．由已知，得2ax+b=（a+1）x2+（2a+b）x+a+b+c，∴，解之，得a=﹣1，b=0，c=1，∴f（x）=﹣x2+1．…（4分）（II）由（I）得，P（t，1﹣t2），切线l的斜率k=f'（t）=﹣2t，∴切线l的方程为y﹣（1﹣t2）=﹣2t（x﹣t），即y=﹣2tx+t2+1．…（6分）从而l与x轴的交点为A（，0），l与y轴的交点为B（0，t2+1），∴S（t）=（其中t＞0）．…（8分）∴S′（t）=．…（10分）当0时，S'（t）＜0，S（t）是减函数；当t时，S'（t）＞0，S（t）是增函数．∴[S（t）]min=S（）=．…（12分）21．、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为．根据题意知，解得，故椭圆C的方程为．（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为．当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）．由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即==。

黑龙江省高二数学上学期期中试题理（扫描版）一、 选择题BCBDCC CACABD 二、填空题13.10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭[]0,8 三、解答题17. 解：（1）设(),M x y ，因为2AM BM k k ⋅=-，所以()2111y yx x x ⋅=-≠±+-化简 得：()22221x y x +=≠± …………….4分（2）设()11,C x y ，()22,D x y 当直线l x ⊥轴时，直线l 的方程为12x =，则1,22C ⎛ ⎝⎭，1,2D ⎛ ⎝⎭，其中点不是N ，不合题意 设直线l 的方程为112y k x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭将()11,C x y ，()22,D x y 代入()22221x y x +=≠±得221122x y += （1） 222222x y += （2）（1）-（2） 整理得：()12121212221121x x y y k x x y y +-⨯==-=-=--+⨯直线l 的方程为112y x ⎛⎫-=--⎪⎝⎭，经检验符合0∆> 即所求直线l 的方程为2230x y +-= …………10分 18.解：（Ⅰ）连结1A C 交1AC 于点O ，连结OD1A C 交1AC 于点O ∴O 是1A C 的中点又D 是BC 的中点 ∴OD 是1A BC ∆的一条中位线∴ 1A B ∥OD 又 1OD ADC ⊂平面∴ 1A B ∥平面1ADC ………5分（Ⅱ）以点D 为坐标原点，DB 所在直线为X 轴，AD 所在直线为Y 轴，垂直于面ABC 的直线为Z 轴，建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A （0，0），C （12-，0，0）11C 012-（，，） 在平面ADC 1中，DA=（0，0），1DC = 1012（，，）-设m=(,,)ｘｙｚ为平面ADC 1的一个法向量，则有1m?DA=0m?DC =0⎧⎪⎨⎪⎩，即0102y x z ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩不妨令2x =，则1z =，0y =，所以()2,0,1m =又1A 012⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，则()10,0,1A A →=- 设1A A 与平面1ADC 所成角为θ，则1sin cos ,m A A θ==11·m A A mA A⋅=5∴ 1A A 与平面1ADC 所成角的正弦值为5. ………………12分19. 解：（1）22194x y += ………4分（2）由题可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为()6y k x =-，()0,0P x ， 则()()()()1212021010200660PM PN y y k k k x x x k x x x x x x x +=+=⇒--+--=--即()()12012026120x x x x x x -+++=①联立()()222222149108936360946x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+⨯-=⎨⎪=-⎩，且0∆>，则21222122108499363649k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⨯-⎪=⎪+⎩将其代入①得()()2220003546964902k kx x k x --+++=⇒=故0x 的值为32…………….12分 20. 解：（1）取AD 中点O ,连接,,OP OB BD . 因为PA PD =,所以PO AD ⊥.因为菱形ABCD 中,60BCD ∠=,所以AB BD =. 所以BO AD ⊥.因为BO PO O ⋂=,且,BO PO ⊂平面POB ,所以AD ⊥平面POB . 所以AD PB ⊥. ………………5分 （2）由（1）可知，BO AD ⊥，PO AD ⊥， 因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD底面ABCD AD =，所以PO ⊥底面ABCD ．以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系O xyz -．则0()10D -，，，0()13E -，，，()001P ，，，0()23C -，，，()100A ，，， 设() 01PQ PC λλ=<<，(2)31PC -=-，，，(10)1PA =-，，．设(),,Q x y z ，则( ,),1PQ x y z =-，又因为 23()PQ PC λλλλ=--=，，，所以2 31x y z λλλ=-⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，即1()23Q λλλ--+，，，( 0)30DE =，，， 1231()DQ λλλ--=，，， 131PE =--（，，）， 23PQ λλλ=--（，，）， 设平面DEQ 的法向量()1,,n x y z =，则1130 (12)(1)0n DE y n DQ x z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩， 所以平面DEQ 的法向量为1 1021()n λλ--=，，， 设平面PEQ 的法向量为2( ),,n x y z =，则2220 0n PQ x y z nPE x z λλ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取1y =，得2 n =（， 因为平面DEQ ⊥平面PEQ ，所以12 0110210n n λλ=⨯-+⨯-=⋅（）（），解得12λ=， 故Q 为PC 中点时，平面DEQ ⊥平面PEQ ． …………………12分 21. 解：(1)设AB 直线方程为1x ty =+，与24y x =联立得 2440y ty --=，0∆> 恒成立设()()1122,,,A x y B x y ， 124y y =-，1212111()2222AOB S y y y y ∆=-=+≥⨯= 所以面积最小值为2.当且仅当122y y =-= 时取得。

黑龙江省大庆市实验中学实验二部2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数为（ ）A ．8.4B ．8.5C ．8.6D ．8.72．哈尔滨的冰雪旅游在冬季吸引了大量游客，在2023年度，哈尔滨市共接待总游客量达到1.35亿人次，同比增长145.78%，比2019年增长41.4%.甲、乙、丙三人从冰雪大世界、太阳岛和中央大街三个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲去过冰雪大世界，所以甲不选冰雪大世界，则不同的选法有（ ）A ．12B ．16C ．18D ．243．已知二项式(12)n x +（其中*n ÎN 且5n ³）的展开式中3x 与4x 的系数相等，则n 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．84．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其样本相关系数的比较，下列结论正确的是（ ）A ．24310r r r r<<<<B ．42130r r r r<<<<二、多选题四、解答题15．工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从该厂这批产品中任取一件.(1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少?16．记n S ，n T 分别为数列{}na ，{}nb 的前n 项和，2n n S a +=，12n n n a b b ++=，322S T =．（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.。

参考答案：1．C 2．D 3．D 4．A 5．B 6．D 7．A 8．C9．AD 10．CD 11．ABD 12．BD13．1414．[2,6] 15． 16．417．（1）1m =-，（2）10x y -+=或2y x =【分析】（1）由题意可知0m ≠，所以可得2814m m m +-=≠-，从而可求出m 的值； （2）将点()1,P m 的坐标代入直线2l 的方程中，求出m 的值，从而可得点P 的坐标，然后设出直线l 方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程【详解】解：（1）因为12l l //，所以0m ≠，且2814m m m +-=≠-， 由21m m m +=，得220m m --=，解得1m =-或2m =（舍去） 所以1m =-，（2）因为点()1,P m 在直线2l 上，所以40m m +-=，得2m =，所以点P 的坐标为(1,2)，所以设直线l 的方程为2(1)y k x -=-（0k ≠），令0x =，则2y k =-，令0y =，则21x k=-， 因为直线l 在两坐标轴上的截距之和为0， 所以2120k k-+-=，解得1k =或2k =， 所以直线l 的方程为10x y -+=或2y x =18．(1)（x －20）2＋（y －2＝100(2)有触礁的风险【分析】（1）过A 作y 轴垂线，垂足为B ，求出圆心（20，，进而求出圆的标准方程.（2）求出航行的直线方程：050)y x -=-，根据直线与圆的位置关系即可求解.(1)如图，过A 作y 轴垂线，垂足为B ，30AOB ∠=︒且OA ＝40∴AB＝20，BO ==20，设圆方程：（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2∴（x －20）2＋（y －2＝100(2)当船向东行驶50海里进B （50，0）则北偏西30°，直线的倾斜角120α=︒tan120k ∴=︒=则直线方程：050)y x -=-0y +-=圆心到直线距离d ===d r ==，有触礁的风险．19．（∴）见解析；（∴ 【详解】试题分析：（∴）取PB 的中点G ，连接EG 、FG ，由已知结合三角形中位线定理可得//DE FG 且DE FG =，得四边形DEGF 为平行四边形，从而可得//DF EG ，再由线面平行的判定可得//DF 平面PBE ；（∴）利用等积法可得：D PBE P BDE V V =﹣﹣，代入棱锥体积公式可得点F 到平面PBE 的距离．试题解析：（∴）证明：取点G 是PB 的中点，连接EG ，FG ，则//FG BC ，且12FG BC =， ∴//DE BC 且12DE BC =， ∴//DE FG 且DE FG =，∴四边形DEGF 为平行四边形，∴//DF EG ，∴//DF 平面PBE ．（∴）解：由（∴）知//DF 平面PBE ，所以点D 到平面PBE 的距离与F 到平面PBE 的距离是相等的，故转化为求点D 到平面PBE 的距离，设为d ．利用等体积法：D PBE P BDE V V --=，即1133PBE BDE S d S PD ∆∆⋅=⋅，112BDE S DE AB ∆=⨯⨯=，∴PE BE ==PB =∴PBE S ∆=∴d =点睛：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题；在证明线面平行的过程中，常见的方法有：1、构造三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行；在该题中利用的是构造平行四边形.求点到面的距离主要是利用等体积法.20．(1)1x =或158390x y +-= (2)223()(1)12x y -+-=【分析】（1）由直线l 被圆C截得的弦长为求得圆心到直线l 的距离为1d =，分直线l 的斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.（2）设点(,)P x y ，11(,)N x y ，根据线段MN 的中点为P ，求得112123x x y y =-⎧⎨=-⎩，结合N 在圆C 上，代入即可求解.（1）解：由题意，圆22:(2)(1)4C x y -++=，可得圆心(2,1)C -，半径2r =，因为直线l 被圆C截得的弦长为则圆心到直线l的距离为1d =， 当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程为1x =，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3(1)y k x -=-，即30kx y k --+=，1=，解得158k =-，即158390x y +-=， 综上可得，所求直线的方程为1x =或158390x y +-=.（2）解：设点(,)P x y ，11(,)N x y因为点(1,3)M ，线段MN 的中点为P ，可得111232x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得112123x x y y =-⎧⎨=-⎩， 又因为N 在圆C 上，可得()()222122314x y --+-+=，即223()(1)12x y -+-=， 即点P 的轨迹方程为223()(1)12x y -+-=. 21．(1)见解析【分析】（1）由题意，可取PC 中点M ，连接,EM FM ，则易知平面EMF ∴平面PAD ,由条件易证AB ⊥平面PAD ，则AB ⊥平面EMF ，又EF ⊂平面EMF ，根据线面垂直的定义，从而问题可得证；（2）由题意，采用坐标法进行求解，可取AD 中点O 为坐标原点，过O 点作平行于AB 的直线为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，分别算出平面BEF和平面EFC 的法向量，结合图形，二面角B EF C --为锐角，从而问题可得解.【详解】（1）取PC 中点M ，连结EM ，FM ，∴ABCD 是正方形，∴AB AD ⊥， 又∴1==PA AB，PB =∴AB PA ⊥，∴AB ⊥面PAD ，∴AB PD ⊥，又∴E ，F ，M 都是中点，∴//EM BC ，//MF PD ，∴AB ⊥面EMF ，∴AB EF ⊥；（2）建立如图空间直角坐标系，由题意得11,,02B⎛⎫-⎪⎝⎭，11,,02C⎛⎫⎪⎝⎭，11,,022F⎛⎫⎪⎝⎭，11,24E⎛-⎝⎭，则1,1,02BF⎛⎫=- ⎪⎝⎭，30,,4EF⎛=⎝⎭，1,0,02CF⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面BEF的法向量为()1111,,n x y z=，则11n BFn EF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111234x yy⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，令11y=，则12x=，1z(1n =，同理得平面CEF的法向量为(2n =，∴1212122cos,2n nn nn n⋅==.【点睛】此题主要考查立体几何中异面直线垂直的证明，二面角的三角函数值的求解，以及坐标法在解决立体几何问题中的应用等有关方面的知识和技能，属于中档题型，也是常考题型.坐标法在解决立体几何中的一般步骤，一是根据图形特点，建立空间直角坐标系；二是将几何中的量转化为向量，通过向量的运算；三是将运算得到的结果翻译为几何结论. 22．(1)22143x y+=(2)λμ+为定值83-，理由见详解【分析】（1）根据题意列式求解,,a b c；（2）由题意知可知直线AB的斜率存在，设其方程为()()()11221,,,,y k x P x y Q x y=-，则()0,M k-，由已知向量等式可得,λμ，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系即可证明λμ+为定值.【详解】（1）由题意可得22212bceaa b c⎧=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得21abc=⎧⎪⎨⎪=⎩故椭圆C的方程22143x y+=.（2）λμ+为定值83-，理由如下：由（1）可得()1,0F，由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l ：()()()11221,,,,y k x P x y Q x y =-，则()0,M k -，联立方程()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=， 则()()()()22222221212228412844341214410,,4343k k k k k k x x x x k k -∆=--+-=+>+==++， ()()()()11112222,,1,,,,1,MP x y k PF x y MQ x y k QF x y =+=--=+=--，∴MP PF λ=，MQ QF μ=，则()()112211x x x x λμ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，可得112211x x x x λμ⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩， ()()()22221212122212121222241282843438412111314343k k x x x x x x k k k k x x x x x x k k λμ--+-+++=+===-----++-+++（定值）. 【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题.定值问题在变化中所表现出来的不变的量，用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.。

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知向量(1,3,2)a =-，(2,1,1)b =-，则|2|a b +=（ ）A ．50B ．14C ．D 【答案】C【解析】根据空间向量运算的坐标表示公式、空间向量模的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为向量(1,3,2)a =-，(2,1,1)b =-，所以222(0,5,5)20(5)5a b a b +=-∴+=+-+故选：C【点睛】本题考查了空间向量数乘运算、加法运算、模的坐标表示公式，考查了数学运算能力. 2．若直线l 的方程为sin 10x y θ++=，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．0,B ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πC ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】D【分析】结合直线方程可得sin [1,1]k θ=-∈-，再由tan [1,1]α∈-，求解即可. 【详解】由题意，sin 10sin 1x y y x θθ++=⇔=--， 即直线的斜率sin [1,1]k θ=-∈-，不妨记倾斜角为,[0,]ααπ∈，即tan [1,1]α∈-， 即30,,44ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：D3．已知圆22:450C x y x +--=，则过点(1,2)P 的最短弦所在直线l 的方程是( ) A ．3270x y +-= B ．240x y +-= C ．-230x y -= D ．-230x y +=【答案】D【分析】由题可知，当直线l 与直线CP 垂直时，所截得弦长最短，再由点斜式确定直线l 的方程. 【详解】由题可知，当直线l 与直线CP 垂直时，所截得弦长最短，P (1,2)，圆C ：x 2＋y 2－4x －5＝0，标准方程为22(2)9x y -+=，∴(2,0)C ，20212CP k -==--； ∴112=-=l CP k k ； 由点斜式得直线l 方程为：12(1)2y x -=-，即230x y -+=.故选D.【点睛】本题考查求解直线方程的点斜式法，考查直线与圆的位置关系和圆的弦长变化规律，以及互相垂直的两直线斜率关系，考查用几何法解决直线与圆的综合问题的能力.4．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆22216x y b+=的蒙日圆为2210x y +=，则该椭圆的离心率为（ ）A B ．13C ．23D 【答案】A【分析】由题可得2610b +=，然后利用离心率公式即得. 【详解】由题可得2610b +=，∴24b =，即椭圆为22164x y +=，∴c e a ==故选：A.5．已知i ，j ，k 是三个不共面的向量，22AB i j k =-+，23BC i j k =+-，35CD i j k λ=+-，且A ，B ，C ，D 四点共面，则λ的值为（ ）．A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】B【分析】根据已知条件用i ，j ，k 表示AC ，AD ，再由空间共面向量定理设AD x AB y AC =+，再列方程组，解方程组即可求解.【详解】因为22AB i j k =-+，23BC i j k =+-，35CD i j k λ=+- 所以3AC AB BC i j k =+=-- ，()326A AC D CD i j k λ+==++-，由空间共面向量定理可知，存在实数,x y 满足AD x AB y AC =+， 即()()()326232i j k x i j k i j k y λ++-=-+-+-， 所以332262x y x y x y λ+=+⎧⎪=--⎨⎪-=-⎩，解得221x y λ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以λ的值为1，故选：B.6．一入射光线经过点(2,6)M ，被直线l ：30x y -+=反射，反射光线经过点(3,4)N -，则反射光线所在直线方程为（ ） A ．2130x y -+= B ．6220x y -+= C ．3150x y -+= D ．6270x y -+=【答案】D【分析】求得点(2,6)M 关于直线l ：30x y -+=的对称点M '的坐标，可得M N '的方程，即反射光线所在直线方程.【详解】解：因为点(2,6)M 关于l ：30x y -+=的对称点为(3,5)M '， 所以反射光线M N '的方程为6270x y -+=. 故选：D.7．已知圆221:20C x y x ++=，圆222:60C x y y +-=相交于P ，Q 两点，其中1C ，2C 分别为圆1C 和圆2C 的圆心.则四边形12PC QC 的面积为（ ）A ．3B ．4C ．6 D．【答案】A【分析】求得12,C C PQ ，由此求得四边形12PC QC 的面积. 【详解】圆1C 的圆心为()1,0-，半径11r =； 圆2C 的圆心为()0,3， 所以12C C ==由2220x y x ++=、2260x y y +-=两式相减并化简得30x y +=， 即直线PQ 的方程为30x y +=，()1,0-到直线PQ ，所以2216211010PQ ⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 所以四边形12PC QC 的面积为121161032210C C PQ ⨯⨯=⨯⨯=. 故选：A8．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C 的方程为2244x y +=，其左、右焦点分别是1F ，2F ，直线l 与椭圆C 切于点P ，且1||1PF =，过点P 且与直线l 垂直的直线'l 与椭圆长轴交于点M ，则12||:||F M F M =A 23B ．2C ．1:3D ．3【答案】C【详解】由椭圆的光学性质得到直线'l 平分角12F PF ，因为12111122221sin 21sin 2PMF PMF F P PM F PM S F M PF SF M PF F P PM F PM ∠===∠ 由11PF =，124PF PF +=得到23PF =，故12:F M F M = 1:3. 故答案为C.二、多选题9．已知空间中三点(0,1,0),(2,2,0),(1,3,1)A B C -，则下列结论正确的有（ ） A ．AB AC ⊥B ．与AB 共线的单位向量是(1,1,0)C ．AB 与AC 55D ．平面ABC 的一个法向量是(1,2,5)m =- 【答案】AD【分析】对于A ，通过计算AB AC ⋅来判断，对于B ，利用共线单位向量的定义求解，对于C ，利用向量的夹角公式求解，对于D ，利用法向量的定义求解.【详解】对于A ，因为(0,1,0),(2,2,0),(1,3,1)A B C -，所以(2,1,0),(1,2,1)AB AC ==-， 所以220AB AC ⋅=-+=，所以AB AC ⊥，所以A 正确， 对于B ，因为(2,1,0)AB =，所以与AB共线的单位向量为22AB AB⎫==⎪⎪⎝⎭， 或AB AB⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以B 错误， 对于C ，因为(2,1,0),(1,2,1)AB AC ==-， 所以2cos ,05AB AC AB AC AB AC⋅-===，所以C 错误，对于D ，因为(1,2,5)m =-，(2,1,0),(1,2,1)AB AC ==-， 所以2200,1450m AB m AC ⋅=-+=⋅=--+=，所以,m AB m AC ⊥⊥，所以平面ABC 的一个法向量是(1,2,5)m =-，所以D 正确， 故选：AD.10．已知直线l 的一个方向向量为31,62u ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且l 经过点(1,2)-，则下列结论中正确的是（ ） A ．l 的倾斜角等于150︒ B ．l 在x C ．l 320y -+=垂直D ．l 上不存在与原点距离等于18的点【答案】CD【分析】由已知得直线l的斜率1k ==可判断A 选项；得直线l 的方程为21)y x +=-，令0y =可判断B 320y -+=的斜率为可判断C 选项；求得原点到直线l 的距离可判断D 选项．【详解】由已知得直线l的斜率1k ==θ，则tan θ=，所以120θ︒=，故A 选项错误；直线l的方程为21)y x +=-20y ++-=，所以它在x轴上的截距等于1-故B 选项错误；320y -+=(1=-，所以两直线垂直，故C 选项正确； 原点到直线l的距离118d =>，即l 上的点与原点的最小距离大于18，故l 上不存在与原点距离等于18的点，D 选项正确．故选：CD.【点睛】本题考查直线的斜率、倾斜角、在x 轴上的截距，以及两直线垂直的条件，属于基础题. 11．已知圆221:230O x y x +--=和圆222:210O x y y +--=的交点为A ，B ，则（ ） A ．圆1O 和圆2O 有两条公切线 B ．直线AB 的方程为10x y -+=C ．圆2O 上存在两点P 和Q 使得||||PQ AB >D ．圆1O 上的点到直线AB的最大距离为2【答案】ABD【分析】A ：判断两圆相交可得切线条数；B ：两圆相交，做差可得公共弦方程；C ：判断弦AB 经过圆心，则弦为最长弦，不再存在比AB 更长的弦；D ：求圆心到直线的距离加半径即为到直线AB 的最大距离.【详解】解：对于A ，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；对于B ，将两圆方程作差可得2220x y -+-=，即得公共弦AB 的方程为10x y -+=，故B 正确； 对于C ，直线AB 经过圆2O 的圆心(0,1)，所以线段AB 是圆2O 的直径，故圆2O 中不存在比AB 长的弦，故C 错误；对于D ，圆1O 的圆心坐标为(1,0)，半径为2，圆心到直线:10AB x y -+==以圆1O 上的点到直线AB的最大距离为2+D 正确. 故选：ABD.12．已知椭圆22:12520x y M +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，左、右顶点分别是1A ，2A ，点P 是椭圆上异于1A ，2A 的任意一点，则下列说法正确的是（ ）A ．125PF PF +=B ．直线1PA 与直线2PA 的斜率之积为45-C ．存在点P 满足1290F PF ∠=︒D ．若12F PF △的面积为P的横坐标为【答案】BD【分析】根据椭圆的定义判断A ，设(,)P x y ，计算斜率之积，判断B ，求出当P 是短轴端点时的12F PF ∠后可判断C ，由三角形面积求得P 点坐标后可判断D ．【详解】由题意5,a b c ===1(F，2F ，1(5,0)A -，2(5),0A ，短轴一个顶点2B ，12210PF PF a +==，A 错；设(,)P x y ，则2212520x y +=，2220(1)25x y =-， 所以1222221420(1)552525255PA PA y y y x k k x x x x =⨯==-⨯=-+---，B 正确；因为22221tan 12OF OB F OB ∠===<，所以22045OB F ︒<∠<︒，从而12222290F B F OB F ∠=∠<︒，而P 是椭圆上任一点时，当P 是短轴端点时12F PF ∠最大，因此不存在点P 满足1290F PF ∠=︒，C 错； (,)P x y，1212132PF F P P S F F y y ===△4P y =，则21612520P x +=，P x =D 正确． 故选：BD ．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的标准方程，椭圆的定义及椭圆的性质．有结论如下：椭圆上的点与两焦点连线的斜率为定值，椭圆上的点对两焦点的张角最大时，点为短轴端点．三、填空题13．如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，则EF BA ⋅=___________.【答案】14【分析】设,,AB a AC b AD c ===，然后以,,a b c 为基底向量将EF ，BA 表示出来，再由向量的数量积运算可得答案.【详解】设,,AB a AC b AD c ===，则1a b c ===且两两夹角为60︒ 所以12a b b c a c ⋅=⋅=⋅= ()11222c aEF BD AD AB -==-=，BA AB a =-=- 所以()()211224EF BA c a a c a a-⋅=-⋅-=⋅=-故答案为：1414．已知点(),P x y 是圆22:320C x y +-+=上一点，则31x +的范围是_____． 【答案】[2,6]【分析】求出圆心和半径，而31x +表示圆上的点到直线310x y +=的距离的2倍，所以求出圆到直线310x y +=的距离，从而可求得结果. 【详解】由222320x y y +-+=，得22(3)1x y +-=， 所以圆心3)C ，半径为1，31x +表示圆上的点到直线310x y +=的距离的2倍，因为圆心3)C 到直线310x y +=的距离为31213d +==+，所以圆上的点到直线310x y +=的距离的最小值为1，最大值为3， 所以31x y +的最小值为2，最大值为6， 所以31x y +的范围为[2,6]，故答案为：[2,6].15．已知圆()()22:114M x y ++-=，直线:40l x y --=，P 为直线l 上的动点，过P 做圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，则四边形PAMB 的面积的最小值为________【答案】214【分析】结合图形，根据直线与圆相切的性质，利用点到直线的距离、三角形的面积公式求解.【详解】由题知，⊙M ：()()22114x y ++-=，圆心为()1,1-，半径2r =， 圆心M 到直线:40l x y --=上的点P 的最短距离为221143211d ---=+，所以切线长22min 18414PA d r =-- 故四边形PAMB 的面积的最小值为222142PAMMA PAS S ⋅==⨯=故答案为：21416．已知F 是椭圆22:143x y C +=的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点Q 坐标为(2,1) ，则||||PQ PF +的最大值为________．【答案】4224【分析】设椭圆右焦点(1,0)F '，根据椭圆的定义将||||PQ PF +转化为2PQ PF PQ a PF '+=+-，结合图形的几何性质，即可求得答案. 【详解】由22:143x y C +=可知2a = ， 设椭圆右焦点(1,0)F '，则24PQ PF PQ a PF QF ''+=+-≤+224(21)(10)42=-+-=当且仅当P ，Q ，F '共线时且当P 在QF '的延长线上时等号成立．||||PQ PF ∴+的最大值为42故答案为：42四、解答题17．已知直线1:(2)80l m x my ++-=与直线2:40,l mx y m R +-=∈． （1）若12l l //，求m 的值；（2）若点()1,P m 在直线2l 上，直线l 过点P ，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l 的方程． 【答案】（1）1m =-，（2）10x y -+=或2y x = 【分析】（1）由题意可知0m ≠，所以可得2814m m m +-=≠-，从而可求出m 的值； （2）将点()1,P m 的坐标代入直线2l 的方程中，求出m 的值，从而可得点P 的坐标，然后设出直线l 方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程 【详解】解：（1）因为12l l //，所以0m ≠，且2814m m m +-=≠-， 由21m mm +=，得220m m --=，解得1m =-或2m =（舍去） 所以1m =-，（2）因为点()1,P m 在直线2l 上，所以40m m +-=，得2m =，所以点P 的坐标为(1,2)， 所以设直线l 的方程为2(1)y k x -=-（0k ≠），令0x =，则2y k =-，令0y =，则21x k =-，因为直线l 在两坐标轴上的截距之和为0， 所以2120k k-+-=，解得1k =或2k =， 所以直线l 的方程为10x y -+=或2y x =18．一艘科考船在点O 处监测到北偏东30°方向40海里处有一个小岛A ，距离小岛10海里范围内可能存在暗礁．(1)若以点O为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，写出暗礁所在区域边界的⊙A方程．(2)科考船先向东行驶了50海里到达B岛后，再以北偏西30°方向行驶的过程中，是否有触礁的风险？【答案】(1)（x－20）2＋（y－203）2＝100(2)有触礁的风险【分析】（1）过A作y轴垂线，垂足为B，求出圆心（20，203），进而求出圆的标准方程.（2）求出航行的直线方程：03(50)-=--，根据直线与圆的位置关系即可求解.y x【详解】（1）如图，过A作y轴垂线，垂足为B，AOB∠=︒且OA＝4030∴AB＝20，22BO=-=，圆心（20，203）4020203设圆方程：（x－a）2＋（y－b）2＝r2∴（x－20）2＋（y－203）2＝100（2）当船向东行驶50海里进B （50，0）则北偏西30°，直线的倾斜角120α=︒tan1203k ∴=︒=- 则直线方程：03(50)y x -=--35030x y ∴+-=圆心到直线距离20320350310353231d +-===+ 75100d r =<=，有触礁的风险．19．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD DC ==，点E ，F 分别为AD ，PC 的中点．(1)证明：//DF 平面PBE ；(2)求点F 到平面PBE 的距离．【答案】(1)见解析6【分析】(1) 取PB 的中点G ，连接EG ， FG ，则可证//DF EG ，进而由线面平行的判定定理即可得证；（2）//DF 平面PBE ，转化为点D 到平面PBE 的距离，再由等体积法求解.【详解】（1）取PB 的中点G ，连接EG ， FG ，如图，则//FG BC ，且12FG BC =， ∵//DE BC 且1=2DE BC ， ∴//DE FG 且DE FG =，∴四边形DEGF 为平行四边形，∴//DF EG ，EG ⊂平面PBE ，DF ⊄平面PBE ，//DF ∴平面PBE ；（2）因为//DF 平面PBE ，所以点D 到平面PBE 的距离与F 到平面PBE 的距离是相等的，故转化为求点D 到平面PBE 的距离，设为d ．利用等体积法： D PBE P BDE V V --=， 即1133PBE BDE S d S PD ⋅=⋅△△， 而112BDE S DE AB =⨯⨯=△， ∵在Rt ,Rt PDE BEA 中，5PE BE ==Rt PDB 中，3PB =∴()()221532362PBE S =-∴66d ==． 即点F 到平面PBE 620．已知点(1,3)M ，圆22:(2)(1)4C x y -++=.(1)若直线l 过点M ，且被圆C 截得的弦长为23l 的方程；(2)设O 为坐标原点，点N 在圆C 上运动，线段MN 的中点为P ，求点P 的轨迹方程.【答案】(1)1x =或158390x y +-=(2)223()(1)12x y -+-=【分析】（1）由直线l 被圆C 截得的弦长为23l 的距离为1d =，分直线l 的斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.（2）设点(,)P x y ，11(,)N x y ，根据线段MN 的中点为P ，求得112123x x y y =-⎧⎨=-⎩，结合N 在圆C 上，代入即可求解.【详解】（1）解：由题意，圆22:(2)(1)4C x y -++=，可得圆心(2,1)C -，半径2r =， 因为直线l 被圆C 截得的弦长为23， 则圆心到直线l 的距离为2223()12d r =-=， 当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程为1x =，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3(1)y k x -=-，即30kx y k --+=，则221311k kk ++-=+，解得158k =-，即158390x y +-=， 综上可得，所求直线的方程为1x =或158390x y +-=.（2）解：设点(,)P x y ，11(,)N x y因为点(1,3)M ，线段MN 的中点为P ，可得111232x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得112123x x y y =-⎧⎨=-⎩， 又因为N 在圆C 上，可得()()222122314x y --+-+=，即223()(1)12x y -+-=， 即点P 的轨迹方程为223()(1)12x y -+-=. 21．如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，1PA PD AB ===，2PB PC ==，E ，F 分别是PB ，CD 的中点.（1）求证AB EF ⊥；（2）求二面角B EF C --的余弦值.【答案】(1)见解析2. 【分析】（1）由题意，可取PC 中点M ，连接,EM FM ，则易知平面EMF ∥平面PAD ,由条件易证AB ⊥平面PAD ，则AB ⊥平面EMF ，又EF ⊂平面EMF ，根据线面垂直的定义，从而问题可得证；（2）由题意，采用坐标法进行求解，可取AD 中点O 为坐标原点，过O 点作平行于AB 的直线为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，分别算出平面BEF 和平面EFC 的法向量，结合图形，二面角B EF C --为锐角，从而问题可得解.【详解】（1）取PC 中点M ，连结EM ，FM ，∵ABCD 是正方形，∴AB AD ⊥，又∵1==PA AB，PB =∴AB PA ⊥，∴AB ⊥面PAD ，∴AB PD ⊥，又∵E ，F ，M 都是中点，∴//EM BC ，//MF PD ，∴AB ⊥面EMF ，∴AB EF ⊥；（2）建立如图空间直角坐标系，由题意得11,,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,24E ⎛- ⎝⎭，则1,1,02BF ⎛⎫=-⎪⎝⎭，30,,4EF ⎛= ⎝⎭，1,0,02CF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设平面BEF 的法向量为()1111,,n x y z =，则1100n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111102304x y y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 令11y =，则12x =，1z =(1n =，同理得平面CEF 的法向量为(2n =， ∴1212122cos ,2n n n n n n ⋅==. 【点睛】此题主要考查立体几何中异面直线垂直的证明，二面角的三角函数值的求解，以及坐标法在解决立体几何问题中的应用等有关方面的知识和技能，属于中档题型，也是常考题型.坐标法在解决立体几何中的一般步骤，一是根据图形特点，建立空间直角坐标系；二是将几何中的量转化为向量，通过向量的运算；三是将运算得到的结果翻译为几何结论.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，离心率为12，上顶点为(． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与y 轴交于点M ，若MP PF λ=，MQ QF μ=，判断λμ+是否为定值？并说明理由．【答案】(1)22143x y += (2)λμ+为定值83-，理由见详解【分析】（1）根据题意列式求解,,a b c ；（2）由题意知可知直线AB 的斜率存在，设其方程为()()()11221,,,,y k x P x y Q x y =-，则()0,M k -，由已知向量等式可得,λμ，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系即可证明λμ+为定值.【详解】（1）由题意可得22212b c e a a b c ⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 故椭圆C 的方程22143x y +=. （2）λμ+为定值83-，理由如下： 由（1）可得()1,0F ，由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l ：()()()11221,,,,y k x P x y Q x y =-，则()0,M k -，联立方程()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=， 则()()()()22222221212228412844341214410,,4343k k k k k k x x x x k k -∆=--+-=+>+==++， ()()()()11112222,,1,,,,1,MP x y k PF x y MQ x y k QF x y =+=--=+=--，∵MP PF λ=，MQ QF μ=，则()()112211x x x x λμ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，可得112211x x x x λμ⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩， ()()()22221212122212121222241282843438412111314343k k x x x x x x k k k k x x x x x x k k λμ--+-+++=+===-----++-+++（定值）. 【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题.定值问题在变化中所表现出来的不变的量，用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.。

山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题 2024.11（选择性必修—检测）说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。

每小题只有一个选项符合题意）1.已知空间向量，，，若，，共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.42.“”是“直线与直线平行”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.给出下列说法，其中不正确的是（）A.若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量B.若，则点是线段的中点C.若，则，，，四点共面D.若平面，的法向量分别为，，且，则3.若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个4.实数，满足，则的最小值为（ ）A. B.7C. D.36.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A.()1,2,0a = ()0,1,1b =- ()2,3,c m = a b cm =1m =-()1:2310l mx m y +++=2:30l x my ++=a b ∥a b c2PM PA PB =+M AB 2OA OB OC OD =+-A B C D αβ()12,1,1n =- ()21,,1n t =-αβ⊥3t =1:43l x y +=2:0l x y +=3:2l x my -=m x y 2222x y x y +=-3x y -+3+:20l kx y --=:1C x =-k k >5k <≤k <<1k <≤7.在三棱锥中，为的重心，，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）A.B.C.1D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ）A.C.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列说法正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.圆与直线必有两个交点C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为D.设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是10.已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.焦距为2B.椭圆的标准方程为P ABC -G ABC △PD PA λ= PE PB μ= 12PF PC =λ()0,1μ∈PG DEF M 12PM PG =λμ+122343()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P C 1O 1F P 2PF x 12PF F △2O 1O 2O 1O 2O C 123522:4O x y +=10mx y m +--=x y a b 1x y a b+=()2,2A -()1,1B :10l ax y ++=AB a (]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，()2222:10x y E a b a b +=>>23F F '()1,1A P E E 22195x y +=C.D.的最大值为11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）A.平面B.，，，四点共面C.点到平面的距离为D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.）12.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.13.如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是______.14.杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）.会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先AF '=PA PF +6AG ⊥BCDG A F C D B ACD E BC DE AF 12⎡⎢⎣l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭l ()8,0A ()0,4B -()3,0P AB OB OB P画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆的方程为，下顶点为，为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为______；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为______.图1 图2 图3四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知两直线和的交点为.（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程.16.（15分）已知椭圆，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且点在第一象限，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.17.（15分）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.图1 图2（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得与平面的值；若不存在，请说明理由.E()222210x ya ba b+=>>10,2A⎛⎫-⎪⎝⎭O P C2PO PA=C Q QC Q a1:20l x y++=2:3210l x y-+=Pl P310x y++=lC()1,01l P C()2222:10x yC a ba b+=>>⎛⎝C12l C M N M A B CAMBN SABCD AB CD∥3BADπ∠=224AB AD CD===P AB AC DP O ACD△AC ACD'△D O OP'⊥D AC'⊥ABCPD'Q CQ BCD'PQPD'18.（17分）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；（3）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由.19.（17分）已知点，是平面内不同的两点，若点满足（，且），则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求，，的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，求证：不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.:40l x ++=C l C x l C 2y kx =-C M N 120MCN ︒∠=2y kx =-()0,1M C A B A x y N y ANB ∠N A B P PAPBλ=0λ>1λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()2,0A -()(),2B a b a ≠-(),A B λ221240x y x +-+=a b λQ (),A B OQ O 0b =λ=a μ(),A B μ山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题参考答案 2024.11选择题1234567891011ABCBDDCCBDBCDABD填空题12..13.，.解答题15.【答案】（1）（2）.【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为，……1分联立方程组，解得.直线和的交点.……3分又直线过点，则，解得，即直线的方程为.……5分（2）设所求圆的标准方程为，的斜率为，故直线的斜率为1，由题意可得，……8分解得，……11分故所求圆的方程为.(()1,-∞-+∞ ,20,3⎛⎫-⎪⎝⎭a >340x y ++=221140333x y x y +++-=l 310x y ++=l 130x y C ++=203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩∴1:20l x y ++=2:3210l x y -+=()1,1P --l P 1130C --+=14C =l 340x y ++=()()222x a y b r -+-=1:20l x y ++=1-CP ()()()()2222221110111a b r a b r b a ⎧--+--=⎪⎪-+-=⎨⎪+⎪=+⎩216162518a b r ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩2211256618x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为一般式：.……13分16.【答案】（1）（2）【详解】（1）由椭圆，解得，……2分由椭圆过点，得，联立解得，，……4分所以椭圆的方程为.……5分（2）由题意可设，点在第一象限，，……6分设，，点，到直线的距离分别为，，由，消可得，，，……8分10分，，直线的一般式方程：，，，，……12分14分当时，有最大值为……15分17.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【详解】（1）证明：在梯形中，，22114333x y x y+++-=2214xy+=2222:1x yCa b+==2a b= C⎛⎝221314a b+=2a=1b=C2214xy+=1:2l y x m=+M11m∴-<<()11,M x y()22,N x y A B l1d2d221412xyy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y222220x mx m++-=122x x m∴+=-21222x x m=-MN∴===()2,0A()0,1B l220x y m-+=1d∴=2d=12d d∴+=()121122AMN BMNS S S MN d d∴=+=⋅+==△△m=S13ABCD AB CD∥，，为的中点，，，，……1分是正三角形，四边形为菱形，，，……3分，，又，，平面，平面，……5分平面，平面平面.……6分（2）存在，，理由如下：……8分平面，，，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，……11分设，，，， (12)分设与平面所成角为，则，即，，解得，224AB AD CD ===3BAD π∠=P AB CD PB ∴∥CD PB =BC DP =ADP ∴△DPBC AC BC ∴⊥AC DP ⊥AC D O ⊥' D O OP '⊥AC OP O = AC OP ⊂ABC D O ∴'⊥ABC D O ⊂' D AC '∴D AC '⊥ABC 13PQ PD '=D O ⊥' BAC OP AC ⊥OA ∴OP OD 'O OA OP OD 'x y z ()C ()2,0B ()0,0,1D '()0,1,0P )2,1BD ∴'=- )CD '=CBD '(),,n x y z =00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'' 200y z z -+=+=⎪⎩1x =0y =z =(1,0,n ∴=()01PQ PD λλ'=≤≤)CP =()0,1,1PD =-'),CQ CP PQ CP PD λλλ∴=+=+=- CQ BCD 'θsin cos ,CQ n CQ n CQ n θ⋅====23720λλ-+=01λ≤≤ 13λ=线段上存在点，且，使得与平面……15分18.【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）设圆心，则，……2分解得或（舍），故圆的方程为.……4分（2）由题意可知圆心到直线的距离为，……6分，解得.……8分（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由得，……10分，……12分若轴平分，则，即，即，即，即，即，……14分当时，上式恒成立，即；……15分当直线的斜率不存在或斜率为0时，易知满足题意；综上，当点的坐标为时，轴平分.……17分19.【答案】（1），，（2）（3）证明见解析【详解】（1）因为以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，……1分所以，……3分∴PD 'Q 13PQ PD '=CQ BCD '224x y +=k =()0,4N ()(),04C a a >-422a +=0a =8a =-C 224x y +=C 2y kx =-2sin 301︒=1=k =AB AB ()10y kx k =+≠()()0,0N t t >()11,A x y ()22,B x y 224,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()221230k x kx ++-=12221k x x k -∴+=+12231x x k -=+y ANB ∠AN BN k k =-12120y t y t x x --+=1212110kx t kx tx x +-+-+=()()1212210kx x t x x +-+=()()22126011t k k k k -⨯--+=++40k kt -+=4t =()0,4N AB ()0,4N N ()0,4y ANB ∠2a =0b =λ=[]1,3(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-()()()()22222222222222244162212224PA x y x y x x x y ax by a b a x by a bx a y b PB+++++===+--++--+-+-+-因为为常数，所以，，且，……5分所以，，.……6分（2）解：由（1）知，，设，由，所以，……7分，整理得，即，所以，……9分，……10分由，得，即的取值范围是.……12分（3）证明：若，则以—阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.……15分由点，关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称……17分22PA PB2λ2240a b -+=0b =2a ≠-2a =0b =λ==()2,0A -()2,0B (),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--≥42890x x --≤()()22190x x +-≤209x ≤≤OQ ==209x ≤≤13OQ ≤≤OQ []1,30b =(),A B ()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()2,0A -(),0B a 2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-a μ(),A B μ。