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第三章集中量数详解

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集中量数

集中量数

X
C

fX
C

用原始数据及根据次数分布表计算的平均数，在数 值上有少许差异，但并不影响以后的统计分析。
某次考试成绩数据已经处理为次数图，根据次数图，求该成绩的平均值？ 分组区间 XC组中值 f频数 96~ 97 2 fXC 194 d 6 fd 12 AM=79
93~
90~ 87~ 84~ 81~ i=3
Mo
M M

M M
d o

1 3
例：求数据11、11、11、11、13、13、13、17、17、18的众数。
2.众数的意义与应用
意义：众数的概念简单明了，容易理解，但
不稳定，受分组影响，亦受样本变动影响； 反应不够灵敏；公式计算得出的众数只是一 个估计值；不能作进一步代数运算；因此， 众数不是一个优良的集中量数。
第三章 集中量数
第一节 算术平均数
算术平均数，简称平均数或均数、均值。一般用M 表示。 ㈠平均数计算方法 1.未分组数据计算平均数的方法 公式： X X

i
N
∑X表示原始分数的总和，N表示分数的个数。

⒉用估计平均数计算平均数 条件：数据数目及每个观测数据值都很大，应用 基本公式计算较麻烦。 公式：
X X1 25 -2 27 0 28 1 27 0 25 -2 29 2 30 3 34 7 32 5 33 6
X=27+(-2+0+1+0+-2+2+3+7+5+6)/10 =29
使用次数分布表计算平均数的方法
公式 N 其中，X为各分组区间的组中值，f为各组次数， 为数据的总次数（等于N） f fd X AM 简便计算可写作： ×i N AM为估计平均数，i为组距，d X i AM 称为组差数

统计心理-第三章 集中量数

统计心理-第三章 集中量数

例。
XT

ni X i ni
加权平均数
例1：某小学三年级举行英语测验。甲班32名学生的平均 分为72.6，乙班40名学生平均分为80.2，丙班36名学生的 平均分为75分。求全年级英语测验的总平均分数。
xwN1xN 11NN 2x22N N 33x3
加权平均数
例2：某课题组在8个省区进行一项调查，各省区的取样 人数和平均分数见下表，求该项调查的总平均数。
2
中数；若数据个数为偶数时，则 X N 2 X N 2 1 2为中 数。
①求数列4，6，7，8，12的中数。 ②有2，3，5，7，8，10，15，19共8个数，求其中数。
（二）中数的计算方法
（2）一组数据中有重复数值的情况
①当重复数值没有位于数列中间时 求数列5，5，6，10，12，15，17的中数。
集中趋势与离中趋势
集中趋势是指数据分布中大量数据向某方向集中 的程度。
集中趋势与离中趋势
集中趋势是指数据分布中大量数据向某方向集中 的程度。
离中趋势是指数据分布中数据彼此分散的程度。 集中量数与差异量数：描述一组数据集中趋势和
离中趋势的统计量，共同描述一组数据的全貌及 统计特征。 测度集中趋势即寻找数据水平的代表值或中心值 集中量数包括算术平均数、中数、众数、加权平 均数、几何平均数、调和平均数等。
Mo3Md2M
第三节 其他集中量数
一、加权平均数 所得数据单位权重不相等时要使用加权平均数。
k
M WW 1X W 1 1W W 2X 22 W W nnXni
1
W
k
i
W
X
i
i
i1
W为权数，指各变量在构成总体中的相对重要性。

第三章 集中量数

第三章 集中量数

例：某门课程期中考试成绩与期末考试成绩的权数分 别为3和7。已知某个考生期中考了92分，期末考了85分。 若不考虑其他因素，问该生在这门课上的成绩是多少。
W1 X 1 W2 X 2 Wn X n 解： X w W1 W2 Wn 92 3 85 7 = 3 7 =87.10
众数的优缺点
众数虽然简明易懂，但是它并不具备一个良好的集中 量的基本条件。它主要在以下情况下使用：
当需要快速而粗略地找出一组数据的代表值时； 当一组数据出现不同质的情况时 当次数分布中有极端数据时 当粗略估计次数分布的形态时，有时利用平均数与众数之 差，表示次数分布是否偏态的指标。
第二节
中数与众数
一、中数的概念 中位数是位于以一定顺序（从小到大或 从大到小）排列的一组数据中央位置的数值， 在这一数值上、下各有一半频数分布着。用 Md表示。
二、中位数的计算方法
1．总频数为奇数
某项研究调查了 25 名大学教师的月经济收入， 结果如下（单位：元） ： 2275， 3300，3326， 3358， 3363， 3394， 3402， 3455， 3467，3485， 3500， 3565， 3587， 3592， 3618， 3633，3646， 3674， 3720， 3734， 3756， 3775， 3820， 5695， 7100
1.原始数据计算法 上学期考试结束后某专业学生的分数： 97，93，71，86，88，78，91，86，90， 47，88，74，78，75，85,98，98，100， 75，85，93，91，81，91，93，96，88， 75，100，98,94，97，97，97，77，98， 95
X 1 X 2 X N X N

第三章：集中和差异量数

第三章：集中和差异量数

平均数的优点
反应灵敏 计算严密 计算简单 简明易解 适合进一步数学运算 受抽样影响较少
平均数的缺点
易受极端数据影响 缺失数据存在时无法计算平均数
应用平均数的原则
同质性原则：三同（测量手段、观测标准、 同质性原则：三同（测量手段、观测标准、 观测对象特质） 观测对象特质） 非万能原则： 非万能原则：与个体数据结合 非绝对确定性原则： 非绝对确定性原则：与标准差或方差相结合 的原则
问题3 问题
方差的哪一部分可加，哪一部分不可加？ 方差的哪一部分可加，哪一部分不可加？ P94：关于标准差的有效运算说明了什么？ ：关于标准差的有效运算说明了什么？ 结合标准差的概念和下面的示意图回答。 结合标准差的概念和下面的示意图回答。
问题4 问题
P95：猜测“ P95：猜测“同团体异特质是什么意 ”“异团体同特质是什么意思 异团体同特质是什么意思？ 思？”“异团体同特质是什么意思？” P96：解释公式4 P96：解释公式4-16 P98：解释标准差的明确性。 P98：解释标准差的明确性。 P98：解释标准差的稳定性。 P98：解释标准差的稳定性。 什么叫线性，线性转换，并举例说明。 什么叫线性，线性转换，并举例说明。 P104： Q三个离散量数中 谁最大？ 三个离散量数中， P104：S AD Q三个离散量数中，谁最大？ 为什么？ 为什么？
标准差的特殊运算
加C 乘C 先乘C后加C 先乘C后加C
标准差的应用
差异系数 标准分数 异常值的取舍
差异系数
S CV = ×100% X
标准分数
1. Z分数 Z分数是最典型的标准分数，它是以 原始分数的平均数为零点，以标准差为 单位，表示一个分数在团体中所处位置 的相对位置量数。即以标准差为单位来 衡量一个原始分数与平均数间的差距的 数。

第三章集中量数

第三章集中量数

三、算术平均数的性质
一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘积， 一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘积， 即 ∑ X = NX 一组变量值的离均差之和等于零， 一组变量值的离均差之和等于零，即
∑ (X − X ) = 0
在一组变量值中，每个变量值加上或减去 、乘以或 在一组变量值中，每个变量值加上或减去、 除以常数 ， 所得的平均数等于原平均数减去或 加上，除以或乘以常数 加上， 。
i N Mdn = La − − Fa f 2
5 57 = 74.5 − − 24 = 74.5 − 1.5 = 73 15 2
分组次数表与重复次数中位数的联系
1N Mdn = Lb + − Fb f 2
三、百分位数与四分位数
（一）百分位数：在任一百分位上的数值。
例3-6：五名学生的物理成绩分别55,64,89,98, 34请问五名学生的平均成绩是多少？
解：1、排序：34、55、64、89、98 2、 N=5，为奇数 为奇数 N +1 3、 中数位置= 2 =3 4、排在第 个位置上的数是 ，所以中位数 排在第3个位置上的数是 排在第 个位置上的数是64， 是64 答：五名同学的的物理平均成绩是64分。 五名同学的的物理平均成绩是 分
Fl →u
Fu→l
Fa = 24
57 54 46 33 18 9 3 1 —
3 11 24 39 48 54 56 57 —
④代入公式计算中数
i N Mdn = Lb + − Fb f 2 5 57 = 69.5 + − 18 = 69.5 + 3.5 = 73 15 2
例3-7:六架直升飞机的最大速度分别为 六架直升飞机的最大速度分别为450km/h、 六架直升飞机的最大速度分别为 、 420km/h、500km/h 、 530km/h 、600km/h 、 、 1100km/h，请问平均速度是多少 ，请问平均速度是多少? 1、排序：420、450、500、530、600、1100 N 2、N=6，为偶数 中数位置= 2

02第三、第四章_集中量数-差异量数解析

02第三、第四章_集中量数-差异量数解析
表示。
百分位数的计算方法
Pp Lb pn f b
i fp
（4．4）
公式中:Lb为百分位数所在组的精确下限
fb为百分位数所在组下限以下的累积频数 p为百分数
n为数据总和
fp为百分位数所在组的频数
i为组距
３．中位数的特点及应用

中位数是根据全部数据的个数来确定其位置的，
意义简明，对按顺序排列的数据来讲，计算中位数
第三章 集中量数

集中量用来表现数据资料的
典型水平或集中趋势（central tendency）。

常用的集中量包括算术平均
数、加权平均数、中位数和众数
等等。
一、算术平均数
算术平均数（arithmetic average ）
一般简称为平均数（average）或均 数、均值（mean）。 一般用Ｍ，或者用 X 表示。 算术平均数是最常用的集中量。
（5．1）
其中： n f b25 Q1 LQ1 4 i f Q1
3n f b75 Q3 LQ3 4 i f Q3
（5．２a）
（5．２b）
用中位数作集中量时，常用四分位距作差异量。
二、平均差
平均差（average deviation 或者
mean deviation）是指一组数据中，每一
二、中位数
中位数（median）又称为中数，
是按顺序排列的一组数据中位于中 间位置的数。
中位数是常用集中量的一种。 一般用Md或Mdn表示。
1、中位数的计算方法
原始数据计算法

首先将一组数据按顺序排列
n 1 若n为奇数 , 则Md 为第 个数 2
Xn Xn 若n为偶数, 则Md

心理统计学第三章集中量数


04 集中量数的计算方法
简单平均数计算方法
总结词
简单平均数是集中量数中最基本的计算方法，它通过将一组数值相加后除以数值 的数量来得出平均值。
详细描述
简单平均数计算公式为 $overline{x} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_i$，其中 $n$ 是数值的数量，$x_i$ 是每一个数值。这种方法适用于数据分布均匀且无异常值的 情况。
对未来研究的展望
01 02
探索新的集中量数
随着数据类型和复杂性的增加，传统的集中量数可能无法满足某些研究 需求。未来研究可以探索新的集中量数，以更准确地描述数据的集中趋 势。
改进现有集中量数的计算方法和性质
现有集中量数的计算方法和性质可能存在一些局限性和不足之处，未来 研究可以尝试改进这些方法和性质，以提高集中量数的准确性和可靠性。
06 总结与展望
总结心理统计学第三章集中量数的要点
集中量数
集中量数是描述数据集中趋势的统计量，用于反映一组 数据的中心位置或典型值。
常见集中量数
常见的集中量数包括算术平均数、中位数和众数等。
算术平均数
算术平均数是所有数值的和除以数值的个数，是最常用 的集中量数之一。它具有线性性和可加性，能够反映数 据的平均水平。
在社集中量数来描述被调查者的社会特征， 例如通过平均年龄和标准差等指标来分析被调查者的社会 经济地位和人口结构。
社会政策制定
政府和社会组织可以利用集中量数来制定社会政策，例如 通过分析不同地区居民的平均收入和收入分布来制定社会 保障政策。
社会问题研究
研究者可以利用集中量数来研究社会问题，例如通过平均 失业率和标准差等指标来分析社会经济不平等和就业状况。

教育统计学第三章 集 中 量


（5） 设有一批数据 x1 , x2 , L , xn ；令
y i = kxi + c
(i = 1, 2 , L, n ; k c
知有50个数，只知其和为316，而不知其 具体数各是多少。若作变换yi = 2 xi − 10 ，求平均数。
平均数的近似计算方法：
x x
x − Md 1 = x − Mo 3
算术平均数、中位数、 算术平均数、中位数、众数在三种分布形态 中的位置关系
正态
正偏态
负偏态
M O ≈ 3Md − 2 x
fa M O = Lb + i f a + fb
分布 的 数 上 次数的 分布 分布 众数 次
皮尔逊经验公式 3 的 的
算数平均数、中位数、众数三者的关系： 算数平均数、中位数、众数三者的关系：
• 如果一个数据组的次数分布曲线呈正态，则算术 如果一个数据组的次数分布曲线呈正态， 平均数、中位数、众数三者相等， 平均数、中位数、众数三者相等， ·中位数位于三者中间，在负偏态时， ＜ 中位数位于三者中间，在负偏态时， Md＜Mo；在正偏态时，Mo＜Md＜ 且有： ＜ ；在正偏态时， ＜ ＜ ，且有：
第三章 集 中 量
数据还有两个重要的统计特征： 数据还有两个重要的统计特征：集中趋 势和离散趋势。 势和离散趋势。这两种趋势用量数描述就是 集中量和差异量 集中量是代表一批数据典型水平或集中趋 集中量是代表一批数据典型水平或集中趋 势的量， 势的量，它是反映次数分布中大量数据向某 一点集中的情况 我们常用的集中量有：算术平均数、 我们常用的集中量有：算术平均数、加权 平均数、中位数、众数等。 平均数、中位数、众数等。
三、由多组平均数求整体平均数的计算公式

第三章集中量数


Mo = 3Mdn− 2 X
M o = Lb +
fa ⋅i fb
9
1
集中量数的选择与应用
一、均数、中数、众数的关系 正态分布时 ：
X = Mdn = Mo
数据分布为偏态分布时，
(X − Mdn) : (X − Mo) = 1 : 3
众数、中位数和均值的关系图
均值 中位数 众数 均值 = 中位数 = 众数 众数 中位数 均值
1 1 1 1 1 + + ⋅⋅⋅ + N X1 X 2 XN 1 N = = 1 1 1 ∑ ∑ N X X MH =
17
本章学习要求
这节课你学到了什么知识？ ？ 这节课你学到了什么知识 ☆ 本章学习要求： 本章学习要求：
理解各集中量数的意义与作用 算术平均数、 算术平均数、加权平均数的计算与应用 集中量数的选择
N 2
Mdn =
+X
N +1 2
6
解：1、排序 例3-6：五名 学生的物理成 绩分别55,64, 89,98,34请问 五名学生的平 均成绩是多 少？
2、 N=5，为奇数 为奇数 3、中数位置=
N +1 2
=3
4、中位数是 中位数是64
例3-7:六架直升飞机的最大速度分别为450km/h、 420km/h、 500km/h 、 530km/h 、600km/h 、1100km/h，请问平均速 度是多少?
X =
∑
Xi
N
3
例3-1：10名学生的心理与教育 统计成绩为68，77，63，79， 70，79，70，79，86，80。 试问这组数的平均数为多少？ 试问这组数的平均数为多少？

统计学 第3章集中量数


MW
W1 X1 W2 X 2 W1 W2

72 4 86 6 46
80.4
3、计算方法
3）加权算数平均数(weighted mean)的计算：
用M W 表示
如高考的标准分换算法。 研究生入学考试总分不一样。 P69例3-7
3、计算方法
4）使用次数分布表计算平均数：
与无重复数据时求中数的方法相同； 当中间的数值为重复数时：可将重复数看
作一个连续区间，然后根据中间数在区间 内的位置来确定中位数。
3、计算方法
2）一组数据中有重复数据 当重复数值没有位于数列中间时，求中数
与无重复数据时求中数的方法相同； 当中间的数值为重复数时：可将重复数看
作一个连续区间，然后根据中间数在区间 内的位置来确定中位数。
例如：P70 例3-8
2、几何平均数的应用
2）应用几何平均数的变式计算： 一组数据彼此间变异较大，几乎按一定的比 例关系变化，所要求的不是平均数，而是平 均增长率。平均增长率=平均发展速度-1
学习方面的进步率 学生或人口增加率 教育经费增加率
本章主要内容
一．算术平均数 二．中数 三．众数 四．平均数、中数、众数三者之间的关系 五．加权平均数 六．几何平均数 七．调和平均数
平均数
中数
众数
① 感应灵敏② 严密确 ③④
定③ 意义简明，易理
于
优 点
解④ 容易计算⑤ 适合
代数法的处理⑥ 少受
抽
③④
样变动的影响
1．加权平均数 2．离差、相关计算 应 3、统计推断 用
1．有极端数值时 2．模糊数据时 3．快速估计集中
量数时
1．有极端数值时 2、数据不同质时 3、粗略估计数据的
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（二）运算性质与特点 1. 性质 （1）数据组全部观测值与其平均数的离差之和必定为0
（2）每一个观测值都加上（或减去）一个相同的常数C后，则计 算变换后数据的平均数，等于原有数据的平均数加上（或减去） 这个常数C。估计平均数的公式就是根据此特性建立的。
（3）每一个观测值都乘以（或除以）一个相同的常数C后， 则计算变换后数据的平均数，等于原有数据的平均数乘以 （或除以）这个常数C。
（2）有重复数值的情况
➢ 当重复数值没有位于数列中间，与前面计算方 法一样。
➢ 当重复数值位于数列中间，先求出重复数据的 实际含义，然后再根据前面进行其运算。
2. 分组以后求中数（P64），其公式为： 3. 中数的优缺点与应用（P65）
二、众数 （一）众数的内涵和特点
内涵：众数（Mode）是指在一组量数中，出现 频率最多的量数，用符号Mo
按下列公式来计算平均数：
（三）用估计平均数计算算术平均数的方法
先设定一个估计平均数，用符号AM表示。根据性质2， 先给各个数据减去一个常数，再求其平均值，最后再将所 得结果加上该常数，便可得到所要求的平均数。
AM越接近平均数 ，
就越小，计算越简便。
对于等组距的，参见书p57。
三、算术平均数的优缺点：P60 四、计算和应用算术平均数的原则：p61
第一节 算术平均数 第二节 中数与众数 第三节 其它集中量数
一、算术平均数的内涵及其性质
（一）内涵：一组同质数据值的总和除以数据总个数所得的
商称为算术平均数。用符号 数， 表示总体平均数。
（读作X杠）表示样本平均
它是统计学中最易理解最常应用的一种集中量指标。常
用M（Mean）表示。
设变量
代表各次观测值，N为观测的次数：
特点：（1）获取容易；（2）在一组量数中， 众数可能不只一个；（3）在分组次数分布中， 众数受组距和组限的影响很大。
（二）计算方法（P64）
用观察法求众数 用公式计算众数 （1）金氏（W. L.king）插补法
或 L是众数所在组的下限；U是众数所在组的上限；
是众数所在组下限相邻组的次数； 是众数所在组上限相邻 组的次数。
（4）常数的算术平均数等于该常数
二、算术平均数的计算方法 （一）原始数据计算方法
（二）用次数分布表求算术平均数方法
1. 简单次数分布表求算术平均数 当某种观测值，因按某种需要，编写了简单次数分布表或 当原始数据中相等观测值较多时，可先编制成简单次数分 布表：（也可称为加权平均数）
2. 分组次数分布表（组中点）求算术平均数的方法 如果统计资料因某种需要，已编成了分组次数分布表，可
作业：
P79 T1 ，T4， T5 某小组10个学生的数学测验分数：79、62、84、90、71、
76、83、98、77、78，求其算术平均数 48为学生数学分数如下表，求其算术平均数。
分数 95~ 90~ 85~ 80~ 75~ 70~ 65~ 60~ 55~ 50~ 45
频数 6 5 7 7 7 8 3 2 0 2 1
第三章 集中量数
次数分布的两个基本特征: 集中趋势与离中趋势 集中量数是代表一组数据一般水平或集中趋势的统计量。反映
频率分布中大量数据向某一点集中的情况。 集中量数的作用：
1. 向研究者提供整个分布中多数数据的集结点位置 2. 集中反映一批数据在整体上的数量大小 3. 一批数据的典型代表值
常用的集中量数：算术平均数、众数、中数、 众数、几何平均数、调和平均数
（2）皮尔逊（K.pearson）近似公式法
当一组量数的平均数与中数求出后，若是正态 分布（或者是单峰对称分布），其众数与平均 数、中数相同。
若是单峰的微偏态分布
（三）众数的意义与应用P66
一、加权平均数 加权平均数是不同比重数据（或平均数）的平均数，用
表示。计算方法如下： 第一种方法：
W为各观察值的权数；X表示不同比重的观察值 第二种方法：
一、中数 （一）中数的内涵与性质
内涵：中数是指一组按大小顺序排列起来的量数的中 间位置的数。也称中位数。用符号Md表示。
性质： 1. 不受两极变量影响 2. 对开放分布（无上限或无下限），也可计算中数
（二）中数的计算方法（p63） 1. 未分组数据求中数的方法(先将其数据按取值大小排列) （1）无重复数值的情况 ➢ 数据个数为奇数，则中数为 位置的那个数； ➢ 数据个数为偶数，则中数为居于中间位置两个数的平均 数，即第 与第 位置的两个数据相加除以2。
三、调和平均数（P73） 符号MH表示。在计算中先将各个数据取
倒数平均，然后再取倒数。
主要是用来描述学习速度或速率方面的问题。
作业：
T3，T4，T6，T7，T8
n为各组频数； 表示各组的平均数
二、几何平均数(p67)
N个数统计指标。
应用：
直接应用基本公式急速几何平均数 应用几何平均数的变式计算
（1）学习方面的进步率（P71） （2）学生或人口增加率的估计 （3）教育经费的增加率