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2019年高中数学 第一章 数列 1.3 等比数列 1.3.2 第2课时 数列求和习题课达标练习5

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1.3.2等比数列复习课件

1.3.2等比数列复习课件
若 a,G,b 成等比数列，则 G叫作 a 与 b 的等比中项 G2 ab
知识梳理
2．等比数列有关公式
（1） 等比数列的通项公式 an a1qn 1 (a1 0, q 0),
（2） 等比数列前n项和公式
na1，
q1
Sn
a1(1 qn ) a1 anq , q 1
1q
1q
知识梳理
3.等比数列的单调性
3．一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，求前3n项的和． 4．等比数列中，若正整数 m, n, p, q满足 m n p , q
试比较 am an与ap aq 的大小关系．
a1q8 0, a1 q,
由2(an
an 2 )
5an
得
1
an 0, 2(1 q2 ) 5q，
因为数列单调递增 a1 2, q
2an (1 q2 ) 5qan， q 1 ,或q 2， 2 2，
an 2 2n 1 2n.
（3）在各项均为正数的等比数列 an 中，若 a2 1, a8 a6 2a4，
求 a6的值. 解 设公比为 q, 则a8
求公比 q 的值;
（2）单调递增的等比数列 an 中，且 a52
a10 , 2(an
an
）
2
5an 1,
求通项公式 an ;
（3）在各项均为正数的等比数列 an 中，若 a2 1, a8 a6 2a4，
求 a6的值.
练习一
（1）已知等比数列 an 的前n项和为 Sn ，且 a3 7, S3 21,
北师大版 高中数学 必修5 第一章 数 列
§3.2 等比数列（复习课）
知识梳理
1．等比数列有关定义
（1） 等比数列 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都

等比数列的性质(第2课时)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

等比数列的性质(第2课时)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
l
90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1
月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前
一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么
生产该产品一年后，月不合格的数量能否控制在100个以内？
解：从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列{ }，{ }.
3.等比数列{ }是有穷数列，则与首末两项距离相等的两项的积相等，且等于首末
两项的积.
练习
方法技巧：
4.在等比数列{ }中，每隔项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等
比数列，公比为 +1 .
5.在等比数列{ }中，当，，(, , ∈ ∗ )成等差数列时， ， ， 成等比
新知探索
思考1：已知 > 0且 ≠ 1，如果数列 是各项均为正的等比数列，那么数列
l
是否一定是等差数列？
证明：∵设各项均为正的等比数列{ }的首项为1 ，公比为，则
+1 − =
+1


= .
所以， 是以 1 为首项， 为公差的等差数列.
8 9
由等比数列的性质知7 10 = 8 9 ，
1
7
∴
+
1
8
+
1
9
+
1
10
=
7 +8 +9 +10
8 9
=
15
8பைடு நூலகம்
9
−8
5
3
=− .
15
，8 9
8
=
9
− ，则
8
练习
题型二：灵活设元求解等比数列问题

2019-2020学年数学北师大版必修5课件：1.3.2 等比数列的前n项和

2019-2020学年数学北师大版必修5课件：1.3.2 等比数列的前n项和
=a1b1+db1(q+q2+…+qn-1)-anb1qn,
∴当 q=1 时,Sn=b1(a1+a2+…+an)
=b1·������(������12+������������); 当 q≠1 时,Sn=������1������11-���-���������������������1������������+db1·������((11--���������������)���2-1).
当q≠-1或k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.
【做一做2】
设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若������������63=3,则������������96=(
)
A.2
B.73
C.83
D.3
解析:根据等比数列的性质,S3,S6-S3,S9-S6仍然成等比数列.
∵������������63=3,∴不妨设 S3=x(x≠0),则 S6=3x, ∴S6-S3=2x,∴S9-S6=4x, ∴S9=7x.∴������������96 = 73.故选 B.
答案:4-������2+������4
-8-
3.2 等比数列的前n项和
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思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)若数列{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,则Sn,S2n-Sn,
S3n-S2n一定成等比数列. ( ) (2)数列a,a2,a3,…,an,…的前n项和为
答案:B
-4-
3.2 等比数列的前n项和

等比数列课件(第2课时)-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

等比数列课件(第2课时)-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
4.3.1等比数列的概念（第2课时）
人教A版选择性必修第二册
复习巩固
类比等差数列学习了等比数列的定义和通项公式，我们知道等差数列存在
很多性质，例如
在等差数列an 中，公差为 d

若 m n s t , 则am an as at (m, n, s, t N ).
特别地，若m n 2s, 则am an 2as (m, n, s N ).
解不等式104(1+r)4 -104 ≥491，得r≥1.206%
所以，当季度利率不小于1.206％时，按季结算得利息不少于按
月结算得利息.
对实际问题抽象、简化
确定“本金”、“利率”、“本利和”、
“利息”对应的数学式子
梳理出变量之间的关系
ห้องสมุดไป่ตู้
将复利问题转化为相应的等比数列模型
用数学方法解决实际问题
总结反思
请小组讨论你本节课的收获
数列{an }是等差数列
数列{an }是各项为正的等比数列
数列{ }是等比数列
数列{logban }是等差数列
例 已知{an}，{bn}是项数相同的等比数列，那么数列{anbn}还
是等比数列吗？试证明你的观点.
证明：设{an}的公比为p，{bn}的公比为q，则
课本34页练习
性质3
an
a4 a3a5 a2a6 a1a7
2
根据上面的实例，猜想等比数列的性质
等比数列的性质1
设等比数列 an , 公比为 q.
ap.aq=as.at
在等比数列{an}中，由
p+q=s+t
特别地：①若p+q=2t，则ap.aq=(at)2

等比数列的概念及其通项公式 高中数学北师大版选择性必修第二册

等比数列的概念及其通项公式 高中数学北师大版选择性必修第二册
a1
−2
an＝(－2)·(－2)n－1，即an＝－2n或an＝(－2)n.
题型一 等比数列的基本运算
例1 在等比数列{an}中
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
状元随笔
a7
(1)由 ＝q3便可求出q，再求出a1，则an＝a1qn－1
a4
(2)两个条件列出关于a1 ，q的方程组，求出a1 ，q后再由an＝1求n；
D．32
答案：C
解析：∵{an}是等比数列，∴a2a6＝a24 ＝36.
故选C.
)
4．若三个数3－ 5，x，3＋ 5成等比数列，则x＝________.
±2
解析：由等比中项知：x2＝(3－ 5)(3＋ 5)＝4.
∴x＝±2.
题型一 等比中项
1
例1 (1)(多选题)等比数列{an}中， a1＝ ， q＝2，则 a4 与 a8 的等比
3
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
1
3
1
2
解析：(1)当n＝1时，S1＝ (a1－1)＝a1，解得：a1＝－ ，
1
1
当n＝2时，S2＝ (a2－1)＝a1＋a2，解得a2＝ .
3
4
(2)证明：当n≥2时，
1
1
an＝Sn－Sn－1＝ (an－1)－ (an－1－1)，
3
3
1
1
得
2n
解析：∵2(an＋an＋2)＝5an＋1
∴2an＋2an·q2＝5an·q
即2q2－5q＋2＝0
1
解得q＝2或q＝
2
∵等比数列{an}为递增数列

高中数学北师大版必修5第1章3《等比数列》(第2课时 等比数列的性质)ppt同步课件

高中数学北师大版必修5第1章3《等比数列》(第2课时 等比数列的性质)ppt同步课件

课堂典例讲练
运用等比数列性质解题
•
求a10.
在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝162，
• [分析] 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项
公式[解，析求] 得解q法，一再：求设a公10比. 为 q，由题意得
a1q＝2 a1q5＝162
，解得a1＝23 q＝3
，或a1＝－23 q＝－3
[解析] 设数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1， bn＝1n[lga1＋lg(a1q)＋lg(a1q2)＋…＋lg(ka1qn－1)]， 解得 bn＝1n[nlga1＋12n(n－1)lgq＋lgk] ＝lga1＋12(n－1)lgq＋1nlgk，
∴bn＋1－bn＝[lga1＋12nlgq＋n＋1 1lgk]－[lga1＋12(n－1)lgq＋ 1 nlgk]
∵an＝logabn＋b 对一切正整数 n 恒成立．
∴54－ ＋lbo－gal6o＝ga06＝0 ，∴a＝5 6，b＝1.
易混易错点睛
四个实数成等比数列，且前三项之积为 1，后三 项之和为 134，求这个等比数列的公比．
[误解] 设这四个数为 aq－3，aq－1，aq，aq3，由题意得 a3q－3＝1，① aq－1＋aq＋aq3＝134.② 由①得 a＝q，把 a＝q 代入②并整理， 得 4q4＋4q2－3＝0，解得 q2＝12或 q2＝－32(舍去)，故所求的公 比为12.
• (8){an}是等差数列，c是正数，则数列{can}是等比
________数列．
• (a9≠)1{)a是n}是__等__比__数__列数，列且．an>0，则{logaan}(a>0，
• 等2．差 等比数列中的设项方法与技巧
• (1)若____或________．

等比数列的概念(第一课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

an 2
a2
a3
以上各式相乘得：
a 2 a 3 a4
a1 a2 a3
an 1 an
q q q
a n 2 a n 1
an
q n1，an a1q n1
a1
q q n 1
n-1个
又a1=a1q0=a1q1-1，即当n=1时上式也成立.
an=a1qn-1 (n∈ ∗ )
所以 5 =± 576=±24
因此， 的第5项是24或-24
典例分析
例2 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.
n 1

a

a
q
①
n
1
解:由题意,得
，
m 1

am a1q ②
①的两边分别除以②的两边,得
an
q n m ,即an am q n m .
常数列一定是等差数列，公差为0；
非零常数列是等比数列，公比为1.
追问3：是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？
非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1.
新知探究二：等比中项
问题3 类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？
等比中项
等差中项
定
义
关
系
如果三个数a，A，b组成等
如果三个数a，G，b组成等
q 3
解 2 :由题意,得a22 a1a3 36,∴a2 6.
a4
2
当a2 6时,a4 54,∴q
第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列.
解：设前三项的公比为q,后三项的公差为d ,则数列的各项的各项依次为

2018年高中数学 第一章 数列 1.3 等比数列 1.3.2 第2课时 数列求和习题课 北师大版必修5


(2)令{cn}的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝112＋214＋318＋…＋n＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋12＋14＋18＋…＋12n ＝n（n2＋1）＋1211－－1212n＝n（n2＋1）＋1－12n. 即数列{cn}的前 n 项和为 Sn＝n2＋2 n＋1－12n.
(2)由第一问知，an＝2n－1，bn＝3n－1. 因此 cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1. 从而数列{cn}的前 n 项和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1 ＝n（1＋22n－1）＋11－－33n＝n2＋3n－2 1.
如果一个数列的通项公式可写成 cn＝an±bn 的形式，而数列{an}， {bn}是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么 可采用分组转化法求和．
3.已知 an＝3nn，求数列{an}的前 n 项和 Sn.
解：Sn＝13＋322＋333＋…＋n3－n－11＋3nn， 13Sn＝312＋323＋…＋n－3n 1＋3nn＋1， 两式相减得 23Sn＝13＋312＋313＋…＋31n－3nn＋1
＝1311－－1331n－3nn＋1 ＝12－2×1 3n－3nn＋1， 所以 Sn＝34－4×13n－1－2×n3n＝34－24n×＋33n .
规范解答
数列求和
(本题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n2＋8n， {bn}是等差数列，且 an＝bn＋bn＋1. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)令 cn＝（（abn＋n＋12））n＋n1，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
【解】 (1)由题意知，当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝6n＋5， 当 n＝1 时，a1＝S1＝11，
【解】 (1)设{an}的公比为 q， 由题意知：a1(1＋q)＝6，a21q＝a1q2. 又 an>0，解得：a1＝2，q＝2， 所以 an＝2n.

高中数学第一章数列第3节等比数列3.1等比数列第2课时等比数列的性质课件北师大版必修5

第五页，共38页。
教材整理 2 等比中项
阅读教材 P25 练习 2 以上最后两段部分，完成下列问题． 等比中项 如果在 a 与 b 中插入一个数 G，使 a，G等，b比成数列(děnɡ bǐ ，sh那ù l么iè)称 G 为 a,b 的 等比中项，且 G＝± ab .
第六页，共38页。
(1)2＋ 3与 2－ 3的等比中项为________． (2)在 2 和 8 之间插入两个数 m，n 使 2，m，n,8 成等比数列，则 m·n＝________. 【解析】 (1)设 2＋ 3与 2－ 3的等比中项为 m，则 m2＝(2＋ 3)(2－ 3)， 所以 m＝±1. (2)由m2 ＝8n得 m·n＝16. 【答案】 (1)±1 (2)16
[构建·体系]
第三十页，共38页。
1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比 q 为( )
A．2
B．3
C．4
D．8
【解析】 【答案】
a5＝a2·q3，所以 q3＝aa52＝8，∴q＝2. A
第三十一页，共38页。
2．在等比数列{an}中，若 a6＝6，a9＝9，则 a3 等于( )
第二十三页，共38页。
已知{an}是等比数列． (1)若 a2·a6·a10＝1，求 a3·a9 的值； (2)若 an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求 a3＋a5； (3)若 an＞0，a5a6＝9，求 log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 的值． 【精彩点拨】 利用等比数列的性质求解．
第七页，共38页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________

高中数学 第一章 数列 1.3 等比数列 1.3.2 第2课时 数列求和习题课达标练习5

—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————1.3.2 第2课时 数列求和习题[A 基础达标]1．数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项和为( ) A.14 B ．512 C.34D ．712解析：选B.依题意b n ＝1a n＝1n 2＋3n ＋2＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，所以{b n }的前10项和为S 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫111－112＝12－112＝512，故选B.2．若数列{a n }的通项公式a n ＝2n＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n 为( ) A ．2n＋n 2－1 B ．2n ＋1＋n 2－1C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n＋n 2－2解析：选 C.S n ＝(2＋22＋23＋ (2))＋[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＝2（1－2n）1－2＋n （1＋2n －1）2＝2n ＋1－2＋n 2.3．数列{a n }中，a n ＝1n （n ＋1），其前n 项和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10D ．9解析：选B.数列{a n }的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910，所以n ＝9，于是直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0即为10x ＋y ＋9＝0.所以其在y 轴上的截距为－9.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n 等于( ) A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n >3 D ．⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ，n >3 解析：选C.因为由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2.所以a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7，n ≤3时，a n <0，n >3时，a n >0，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n >3.5．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项和为S n ，则S n ＝( )A ．2nB ．2n－n C ．2n ＋1－nD ．2n ＋1－n －2解析：选D.因为a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1，所以S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2（1－2n）1－2－n ＝2n ＋1－n －2.6．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n－12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于________．解析：a n ＝2n－12n ＝1－12n ，所以S n ＝n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n －1＋12n ＝32164＝5＋164，所以n ＝6. 答案：67．已知ln x ＋ln x 2＋…＋ln x 10＝110，则ln x ＋ln 2x ＋ln 3x ＋…＋ln 10x ＝________． 解析：由ln x ＋ln x 2＋…＋ln x 10＝110. 得(1＋2＋3＋…＋10)ln x ＝110，所以ln x ＝2. 从而ln x ＋ln 2x ＋…＋ln 10x ＝2＋22＋23＋…＋210＝2（1－210）1－2＝211－2＝2 046.答案：2 0468．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，n 为奇数，－n 2，n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于________．解析：由题意，a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100. 答案：1009．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N ＋.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)na n ，求数列{b n }的前2n 项和． 解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知，a n ＝n ，故b n ＝2n＋(－1)nn . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋ (22)，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2（1－22n）1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.10．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ， 且S n ＝a n （a n ＋1）2，n ∈N ＋；(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12S n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .解：(1)证明：因为S n ＝a n （a n ＋1）2，n ∈N ＋， 所以当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1（a 1＋1）2，所以a 1＝1.当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a 2n ＋a n ，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1， 得2a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －1. 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， 因为a n ＋a n －1＞0， 所以a n －a n －1＝1(n ≥2)．所以数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列． (2)由(1)可得a n ＝n ，S n ＝n （n ＋1）2，b n ＝12S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1. 所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.[B 能力提升]11．化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1的结果是( )A ．2n ＋1＋n －2 B ．2n ＋1－n ＋2 C ．2n －n －2D ．2n ＋1－n －2解析：选D.因为S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1，所以2S n ＝n ×2＋(n－1)×22＋(n －2)×23＋…＋2×2n －1＋2n ，有2S n －S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －1＋2n－n ，得S n ＝2n ＋1－2－n .12．已知数列{a n }中，a n ＝4×(－1)n －1－n (n ∈N ＋)，则数列{a n }的前2n 项和S 2n ＝________．解析：S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝[4(－1)0－1]＋[4(－1)1－2]＋[4(－1)2－3]＋…＋ [4(－1)2n －1－2n ]＝4[(－1)0＋(－1)1＋(－1)2＋…＋(－1)2n －1]－(1＋2＋3＋…＋2n )＝－2n （2n ＋1）2＝－n (2n ＋1)．答案：－n (2n ＋1)13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数.设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ， 由b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2， 所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝2n －1.(2)由a 1＝3，a n ＝2n ＋1得S n ＝n (n ＋2)， 则n 为奇数时，c n ＝2S n ＝1n －1n ＋2.n 为偶数时，c n ＝2n －1，所以T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c 2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n )＝⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋…＋22n －1) ＝1－12n ＋1＋2（1－4n）1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n －1)．14．(选做题)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2. (1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n ＋1(x n ＋1, n ＋1)得到折线P 1 P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .解：(1)设数列{x n }的公比为q ，由已知q ＞0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2.所以3q 2－5q －2＝0. 因为q ＞0， 所以q ＝2，x 1＝1，因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1.(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1. 由(1)得x n ＋1－x n ＝2n－2n －1＝2n －1，记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，由题意得b n ＝（n ＋n ＋1）2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2.①又2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1.②①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋2（1－2n －1）1－2－(2n ＋1)×2n －1.所以T n ＝（2n －1）×2n＋12.。

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1.3.2 第2课时 数列求和习题[A 基础达标]1．数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项和为( ) A.14 B ．512 C.34D ．712解析：选B.依题意b n ＝1a n＝1n 2＋3n ＋2＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，所以{b n }的前10项和为S 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫111－112＝12－112＝512，故选B.2．若数列{a n }的通项公式a n ＝2n＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n 为( ) A ．2n＋n 2－1 B ．2n ＋1＋n 2－1C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n＋n 2－2解析：选 C.S n ＝(2＋22＋23＋ (2))＋[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＝2（1－2n）1－2＋n （1＋2n －1）2＝2n ＋1－2＋n 2.3．数列{a n }中，a n ＝1n （n ＋1），其前n 项和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10D ．9解析：选B.数列{a n }的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910，所以n ＝9，于是直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0即为10x ＋y ＋9＝0.所以其在y 轴上的截距为－9.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n 等于( ) A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n >3 D ．⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ，n >3 解析：选C.因为由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2. 所以a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7，n ≤3时，a n <0，n >3时，a n >0，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n >3.5．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项和为S n ，则S n ＝( )A ．2nB ．2n－n C ．2n ＋1－nD ．2n ＋1－n －2解析：选D.因为a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1，所以S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2（1－2n）1－2－n ＝2n ＋1－n －2.6．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n－12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于________．解析：a n ＝2n－12n ＝1－12n ，所以S n ＝n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n －1＋12n ＝32164＝5＋164，所以n ＝6. 答案：67．已知ln x ＋ln x 2＋…＋ln x 10＝110，则ln x ＋ln 2x ＋ln 3x ＋…＋ln 10x ＝________． 解析：由ln x ＋ln x 2＋…＋ln x 10＝110. 得(1＋2＋3＋…＋10)ln x ＝110，所以ln x ＝2. 从而ln x ＋ln 2x ＋…＋ln 10x ＝2＋22＋23＋…＋210＝2（1－210）1－2＝211－2＝2 046.答案：2 0468．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，n 为奇数，－n 2，n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于________．解析：由题意，a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100. 答案：1009．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N ＋.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)na n ，求数列{b n }的前2n 项和． 解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知，a n ＝n ，故b n ＝2n＋(－1)nn . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋ (22)，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2（1－22n）1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.10．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ， 且S n ＝a n （a n ＋1）2，n ∈N ＋；(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12S n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .解：(1)证明：因为S n ＝a n （a n ＋1）2，n ∈N ＋， 所以当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1（a 1＋1）2，所以a 1＝1.当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a 2n ＋a n ，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1， 得2a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －1. 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， 因为a n ＋a n －1＞0， 所以a n －a n －1＝1(n ≥2)．所以数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列． (2)由(1)可得a n ＝n ，S n ＝n （n ＋1）2，b n ＝12S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1. 所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.[B 能力提升]11．化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1的结果是( )A ．2n ＋1＋n －2 B ．2n ＋1－n ＋2 C ．2n －n －2D ．2n ＋1－n －2解析：选D.因为S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1，所以2S n ＝n ×2＋(n－1)×22＋(n －2)×23＋…＋2×2n －1＋2n ，有2S n －S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －1＋2n－n ，得S n ＝2n ＋1－2－n .12．已知数列{a n }中，a n ＝4×(－1)n －1－n (n ∈N ＋)，则数列{a n }的前2n 项和S 2n ＝________．解析：S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝[4(－1)0－1]＋[4(－1)1－2]＋[4(－1)2－3]＋…＋ [4(－1)2n －1－2n ]＝4[(－1)0＋(－1)1＋(－1)2＋…＋(－1)2n －1]－(1＋2＋3＋…＋2n )＝－2n （2n ＋1）2＝－n (2n ＋1)．答案：－n (2n ＋1)13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数.设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ， 由b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2， 所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝2n －1.(2)由a 1＝3，a n ＝2n ＋1得S n ＝n (n ＋2)， 则n 为奇数时，c n ＝2S n ＝1n －1n ＋2.n 为偶数时，c n ＝2n －1，所以T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c 2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n )＝⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋…＋22n －1) ＝1－12n ＋1＋2（1－4n）1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n －1)．14．(选做题)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2. (1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n ＋1(x n ＋1, n ＋1)得到折线P 1 P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .解：(1)设数列{x n }的公比为q ，由已知q ＞0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2.所以3q 2－5q －2＝0. 因为q ＞0， 所以q ＝2，x 1＝1，因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1.(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1. 由(1)得x n ＋1－x n ＝2n－2n －1＝2n －1，记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，由题意得b n ＝（n ＋n ＋1）2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2.①又2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1.②①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋2（1－2n －1）1－2－(2n ＋1)×2n －1. 所以T n ＝（2n －1）×2n＋12.。