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隐函数及参数方程求导一、隐函数求导1.1隐函数的定义在数学中，对于一个方程y=f(x)可能存在的解x=g(y)可以表示为隐函数。
在隐函数中，无法通过常规的代数运算将自变量和因变量分离。
1.2隐函数求导的方法隐函数求导是指在一个隐函数方程中，通过对x或y的求导来求解另一个变量。
设隐函数方程为F(x, y) = 0，其中x为自变量，y为因变量。
要求隐函数的导数dy/dx，可以采用如下步骤：1. 对方程两边同时对x求导，得到：∂F/∂x + (∂F/∂y)(dy/dx) = 0。
2. 将dy/dx项移到方程左边，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
1.3隐函数求导的例题考虑方程x^2 + y^2 = 1，我们需要求解dy/dx。
根据求导公式，将方程两边对x求导，得到：2x + 2y(dy/dx) = 0。
将dy/dx项移到方程左边，并且整理方程，得到：dy/dx = - x / y。
2.1参数方程的定义在数学中，一个方程系统中的自变量和因变量都是以参数的形式表示的，这样的方程系统称为参数方程。
参数方程可以表示为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是自变量，而t则是一个参数。
2.2参数方程求导的方法参数方程求导是指在一个参数方程中，通过对参数t的求导来求解x和y的导数。
设参数方程为x = f(t)和y = g(t)，我们需要求解dx/dt和dy/dt。
1. 对x = f(t)和y = g(t)两个方程同时对t求导，得到：dx/dt =f'(t)和dy/dt = g'(t)。
2. 这样我们就得到了x和y对t的一阶导数，然后可以通过dx/dt和dy/dt得到dy/dx，即：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (g'(t)) / (f'(t))。
2.3参数方程求导的例题考虑参数方程x = cos(t)和y = sin(t)，我们需要求解dy/dx。
习题 2.5
1求下列隐函数的导数dy dx (1) y +xe y =1； (2) xy 2+e y =cos (x +y 2)；
(3) x cos y =sin (x +y )； (4) arc sin x ∙ln y +tany =e 2x ；
解：（1）在等式两边对x 求导，得到
''''(1)0y y y y y x e xe y y xe e ++=++=，
解得
'y =y y
xe
e +-1。
（2）在等式两边对x 求导，得到
()()222sin 12y y xyy e y x y
yy '''++=-+⋅+ ()()222sin 22sin y y x y y xy e y x y ++'=-+++
（3）在等式两边对x 求导，得到
()()cos sin cos 1y x y y x y y ''-⋅=+⋅+
()()
cos cos sin cos y x y y x y x y -+'=++ （4）在等式两边对x 求导，得到
22ln arcsin sec 2x y y x y y e y
''+⋅+⋅=
2sec y y y '=
+
2ln x y e y
-=2．求曲线xy +ln y =1在M(1，1)点的切线和法线方程.
解 对方程两边求导，得到''0y y xy y
++=，解得2'1y y xy =-+，将(1,1)代入得到1'(1)2y =-。
于是切线方程为11(1)2
y x -=--，即 230x y +-=，
法线方程为12(1)y x -=-，即
210x y --=。
3． 对下列参数形式的函数求dy dx ： (1) {x =shat y =chbt (2) {x =t+1t y =t−1t (3) {x =√1+t y =√1−t
(4) {x =e −2t cos 2t y =e −2t sin 2t (5) {x =ln (1+t 2)y =t −arc tan t
解：（1） （2）12
12
'(1)'1'(1)'dy y t t dx x t t ----+-====--。
（3
）''dy y dx x === （4）222222'2sin 2sin cos (sin cos )tan '2cos 2cos (sin )sin cos t t t t dy y e t e t t t t t dx x e t e t t t t
-----+-===-+-+。
（5）221
1'12'2
1dy y t t t dx x t -
+===+。
4. 证明曲线{x =a (cos t +t sin t )y =a (sin t −t cos t )
，(a >0) 上任一点的法线到原点距离等于a . 证明 曲线上点))(),((t y t x 处的切线斜率为t dx
dy tan =, 法线斜率为t cot -. 于是该点的法线方程可表示为. 从而原点)0,0(到该法线的距离为a t a t a t t x t t y =+=+|cos sin ||cos )(sin )(|22
5. 证明：星形线x =acos 3φ，y = asin 3φ，0≤φ≤2π上任意点（不在坐标轴上）处的切线被x 轴与 y 轴所截的线段之长是定数. 证明：223sin cos tan 3cos sin dy
dy a d dx dx a d ϕϕϕϕϕϕ
ϕ
===-- 'sh 'ch dy y b bt dx x a at
==0))((cos ))((sin =-+-t x x t t y y t
切线方程为：
()33sin tan cos y a x a ϕϕϕ-=--
与x 轴交点为()cos ,0a ϕ，与y 轴交点为()0,sin a ϕ，所以所截的线段之长为：
a =。
