全国2014年4月自考复变函数与积分变换真题

第一部分 选择题 (共40分)一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.复数z=1625825-i 的辐角为（ ） A.arctan12 B.-arctan 12 C.π-arctan 12 D. π+arctan 122.方程Rez 2=1所表示的平面曲线为（ ）A.圆B.直线C.椭圆D.双曲线 3.复数z=--355(cossin )ππi 的三角表示式为（ ） A.-+34545(cos sin )ππiB.34545(cos sin )ππ-iC. 34545(cos sin )ππ+iD.--34545(cos sin )ππi4.设z=cosi ，则（ ）A.Imz=0B.Rez=πC.|z|=0D.argz=π5.复数e 3+i 所对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.设w=Ln(1-i)，则Imw 等于（ ） A.-π4B.2401k k ππ-=±⋅⋅⋅,,, C.π4D.2401k k ππ+=±⋅⋅⋅,,, 7.函数w=z 2把Z 平面上的扇形区域：0<argz<π3，0<|z|<2映射成W 平面上的区域（ ） A.0<argw<23π，0<|w|<4 B.0<argw<π3，0<|w|<4 C.0<argw<23π，0<|w|<2D.0<argw<π3，0<|w|<2 8.若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分f z z a dz n C ()()-+⎰1等于（ ）A.211πin f a n ()!()()++ B.2πi n f a !() C.2πif a n ()() D.2πi n f a n !()() 9.设C 为正向圆周|z+1|=2，n 为正整数，则积分dz z i n C()-+⎰1等于（ ）A.1B.2πiC.0D.12πi10.设C 为正向圆周|z|=1，则积分dzz C ||⎰等于（ ） A.0B.2πiC.2πD.-2π11.设函数f z ed z()=⎰ξξξ0，则f(z)等于（ ）A.ze z +e z +1B.ze z +e z -1C.-ze z +e z -1D.ze z -e z +112.设积分路线C 是由点z=-1到z=1的上半单位圆周，则z zdz C+⎰12等于（ ）A.2+πiB.2-πiC.--2πiD.-+2πi13.幂级数z n n n -=∞∑11!的收敛区域为（ ） A.0<|z|<+∞ B.|z|<+∞ C.0<|z|<1D.|z|<114.z=π3是函数f(z)=sin()z z --ππ33的（ ） A.一阶极点 B.可去奇点 C.一阶零点D.本性奇点15.z=-1是函数cot ()πzz +14的（ ） A.3阶极点 B.4阶极点 C.5阶极点 D.6阶极点16.幂级数()!()!n n z n n+=∞∑120的收敛半径为（ ） A.0B.1C.2D.+∞17.设Q(z)在点z=0处解析，f(z)=Q z z z ()()-1，则Res[f(z),0]等于（ ）A.Q(0)B.-Q(0)C.'Q ()0D.-'Q ()018.下列积分中，积分值不为零的是（ ） A.()z z dz C323++⎰，其中C 为正向圆周|z -1|=2B.e dz z C ⎰，其中C 为正向圆周|z|=5C.zzdz C sin ⎰，其中C 为正向圆周|z|=1 D.cos zz dz C -⎰1，其中C 为正向圆周|z|=2 19.映射w=z 2+2z 在下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（ ） A.|z+1|>12B.|z+1|<12 C.|z|>12D.|z|<1220.下列映射中，把角形域0<argz<π4保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ） A.w=z z 4411+- B.w=z z 4411-+ C.w=z i z i44-+ D.w=z i z i44+-21.复数z=4+48i 的模|z|= . 22.设z=(1+i)100，则Imz= . 23.设z=e 2+i ，则argz= . 24.f(z)=z 2的可导处为 . 25.方程lnz=π3i 的解为 . 26.设C 为正向圆周|z|=1，则()1zz dz C +=⎰.27.设C 为正向圆周|z -i|=12，则积分e z z i dz z Cπ()-=⎰2.28.设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=sinπζζζ3-⎰zd C，其中|z|<2，则'=f ()1 . 29.幂级数n nz nn n !=∞∑1的收敛半径为 .30.函数f(z)=1111115z z z [()]+++⋅⋅⋅++在点z=0处的留数为 .三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）31.求u=x 2+2xy -y 2的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)=1. 32.计算积分I=z zz dz C+⎰||的值，其中C 为正向圆周|z|=2. 33.试求函数f(z)=e d z-⎰ζζ2在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域.34.计算积分I=e z i z i dz zCπ()()-+⎰223的值，其中C 为正向圆周|z -1|=3.四、综合题（下列3个题中，35题必做，36、37题中只选做一题，需考《积分变换》者做37题，其他考生做36题，两题都做者按37题给分。

2014---2015学年第1学期:复变函数与积分变换（30学时，A 卷）参考答案及评分标准一．填空题1、3; 2;2、e -; i π-2;3、0;4、0;5、πi ;6、12<+i z ;7、 -+-!6!4!2142z z ; 8、3; 9、t cos ; 10、1. 二．解：令,θi e z = 则,θθd ie dz i =,izdzd =θ 且根据Euler 公式, 有 ()(),2121cos 1--+=+=z z e e i i θθθ ()(),21212cos 2222--+=+=z z e e i i θθθ则有()()⎰⎰=--⋅+-+=-112220256cos 452cos 12z iz dzzz z z d πθθθ ()⎰=+-+=122425216z dz z z z z i().61⎰==z dz z f i 4分上述积分中被积函数()z f 有三个有限奇点 .2,21,0 而在积分曲线1=z 围成区域内只有二个奇点,21,0 分别是二级和一级极点. 6分 根据留数定理, 有()[]()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰21,Re 0,Re 2)(z f s z f s i dz z f Cπ. 8分根据留数计算规则, 分别有⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→)(21lim 21),(Re 21z f z z f s z()221lim 2421-+=→z z z z ()2124221=-+=z z z z1217-=; 11分[][])(lim0),(Re 20z f z dzd z f s z →=2521lim 240+-+=→z z z dz d z ()()()()2242302525412524lim+--+-+-=→z zz z z z z z()()()()224232525412524=+--+-+-=z z z z z z z z.45=14分 所以有 ()[](),6121,Re 0,Re -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+z f s z f s.3)(i dz z f Cπ-=⎰则积分πθθθπ2cos 452cos 1220=-⎰d 15分三．解： (1) 解：根据钟形脉冲函数的Fourier 变换公式, 有822222][ωπ--=e e F t. 2分又22cos 22ti t i e e t -+=, 根据Fourier 变换位移性质, 有[][]()2222222221]2[cos t t i t t i t e e F e e F et F ----⋅+⋅=⋅[][])(21222222+=--=-+=ωωωωtt e F e F())(42828)2(22+---+=ωωπee . 6分根据能量谱密度的定义()()2ωωF S =得到函数222cos )(te t tf -⋅=的能量谱密度())2(84)2(44)2(222+----++=ωωωπωee eeS . 8分（2）解：根据能量谱密度()ωS 和相关函数()τR 之间有关系式, 有()()[]ωτS F R 1-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=--+-----414)2(14)2(122248ωωωππe F e e F e F 2分根据Fourier 变换的位移性质, 有,4124)2(122⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----ωτωe F e e F i .4124)2(122⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----ωτωe F e e F i 4分 则有()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=----4141222248ωωττππτe F e e F eeR i i 注意到 τττ2cos 222=+-i i e e , 则()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=---41122cos 4ωτπτe F e R . 6分 根据钟形脉冲函数的Fourier 变换公式 []βωββπ422--=e eF t , 有22141τωπ---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡e e F . 所以有()()212cos 4ττπτ--+=ee R . 8分四．解：根据Laplace 变换积分性质, 有[]t e L sdt t e L t tt 2sin 1]2sin [0--=⎰. 2分 由42]2[sin 2+=s t L , 根据Laplace 变换的位移性质, 有 ()412]2sin [2++=-s t e L t ,即422]2sin [2++=-s s t e L t. 4分 所以有 ()522]2sin [2++=⎰-s s s dt t e L tt . 6分 五．解：(1) 根据Euler 公式和Fourier 变换的定义, 有[]⎰+∞∞-⋅-=dx xe x F x i ω2sin 2sin⎰∞+∞-⋅--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dx e i e e xi xi x i ω222 ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰+∞∞-⋅+-+∞∞-⋅--dx e dx e i x i x i 2221ωω. 4分 根据基本公式可以得到[]()()[]2222212sin +--=ωπδωπδix F ()()[]22--+=ωδωδπi . 8分(2) 对方程两边关于函数自变量x 作Fourier 变换. 记()()[]x y F Y =ω. 根据Fourier 变换的微分和积分性质, 有()()[]02sin 322=++x F i Y Y i ωωωω. 2分 利用(1)的结论, 有()()()()[]221232+---=ωδωδωπωωY . 4分 根据Fourier 逆变换的定义和-δ函数的筛选性质, 有()()[]ωY F x y 1-=()()[]⎰+∞∞--+--=ωωωωδωδωd e xi 122432()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---=⎰⎰∞+∞-∞+∞-ωωωωδωωωωδωωd e d e xi x i 12124322⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅--⋅=-==22221143ωωωωωωωωxi xi e e()x i xi e e 2221-+=x 2cos =. 8分六．解：根据Laplace 变换的位移性质, 有()[]()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=--1212122211s s L s F L()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=--11122212s s L et. 2分 令()()()11122++=ss s G ，则()s G 有两个一级极点i i ,-和一个二级极点-.14分 根据求Laplace 逆变换的留数公式, 有()[]()[]()[]()[]1,Re ,Re ,Re 1-++-=-s G e s i s G e s i s G e s s G L st st st . 6分根据留数计算规则, 有()[]()()[]s G e i s i s G e s st is st +=--→lim ,Re()()i s s e stis -+=-→21lim()()is sti s s e -=-+=21()212i i e it --=-.4it e --=9分()[]()()[]s G e i s i s G e s st is st -=→lim ,Re()()i s s e stis ++=→21lim()()is sti s s e =++=21()212i i e it +=.4it e -=12分()[]()()[]s G e s ds d s G e s st s st 211lim1,Re +=--→1lim21+=-→s e ds d sts()()2221121lim +-+=-→s se s te stst s()()1222121-=+-+=s ststs se s te().21t e t -+=15分代入上式，并利用Euler 公式, 有()[]()4211itit t e e e t s G L---+-+=()2cos 1te t t -+=-. 所以有()[]().cos 1231t t e t e t s F L ---⋅-+=17分。

复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模 ，幅角 。

)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，，。

3．Ln z 在 的区域内连续。

4．的解极域为：。

z z f =)(5．的导数。

xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。

=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。

8．幂函数的映照特点是：。

9．若=F [f (t )]，则= F 。

)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。

二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。

三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。

⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。

)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。

)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。

⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。

复变函数考试题及答案自考一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是复数z = 3 + 4i的共轭复数？A. 3 - 4iB. -3 + 4iC. -3 - 4iD. 3 + 4i答案：A2. 如果复变函数f(z)在点z₀处解析，那么它的导数f'(z₀)等于：A. 极限lim(Δz→0) [f(z₀ + Δz) - f(z₀)] / ΔzB. f(z₀)的实部C. f(z₀)的虚部D. f(z₀)的模答案：A3. Cauchy积分定理适用于：A. 仅在实数域B. 仅在复平面上的简单闭合曲线C. 仅在复平面上的开区域D. 所有以上情况答案：C4. 如果一个复变函数在某区域内除了一个孤立奇点外处处解析，那么这个函数在该区域内：A. 一定有原函数B. 一定没有原函数C. 可能是周期函数D. 以上都不对答案：A5. 复变函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)中，u和v分别表示：A. 实部和虚部B. 模和辐角C. 辐角和模D. 都不对答案：A6. 以下哪个是复变函数的柯西-黎曼方程？A. ∂u/∂x = ∂v/∂yB. ∂u/∂y = -∂v/∂xC. ∂u/∂x = ∂v/∂yD. ∂u/∂y = ∂v/∂x答案：B7. 复变函数的级数展开式中的系数是：A. 常数B. 复数C. 实数D. 以上都不对答案：B8. 如果一个复变函数在某个区域内处处连续，那么它的模：A. 也必定处处连续B. 可能不连续C. 必定不连续D. 以上都不对答案：A9. 复变函数的Taylor级数展开是关于：A. 模的展开B. 辐角的展开C. z的展开D. 共轭复数的展开答案：C10. 下列哪个是复变函数的Laurent级数展开的一个特性？A. 它只能展开在解析函数上B. 它包含负幂项C. 它只能展开在奇点附近D. 以上都是答案：B二、填空题（每题3分，共30分）11. 复数z = 2 - 3i的模是________。

复变函数与积分变换试题一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)1.z=2-2i ，|z 2|=（ ）A.2B.8C.4D.82.复数方程z=cost+isint 的曲线是（ ）A.直线B.圆周C.椭圆D.双曲线3.Re(e 2x+iy )=（ ）A.e 2xB.e yC.e 2x cosyD.e 2x siny4.下列集合为有界单连通区域的是（ ）A.0<|z-3|<2B.Rez>3C.|z+a|<1D.π≤<πargz 215.设f(z)=x 3-3xy 2+(ax 2y-y 3)i 在Z 平面上解析，则a=（ ）A.-3B.1C.2D.36.若f(z)=u(x ，y)+iv(x ，y)在Z 平面上解析，v(x,y)=e x (ycosy+xsiny)，则u(x ，y)=（）A.e x (ycosy-xsiny)B.e x (xcosy-xsiny)C.e x (ycosy-ysiny)D.e x (xcosy-ysiny) 7.⎰=-3|i z |zdz =（ ）A.0B.2πC.πiD.2πi 8.⎰=---11212z z sinzdz |z |=（ ） A.0 B.2πisin1C.2πsin1D.1sin 21i π9.⎰302dz zcosz =（ ） A.21sin9 B.21cos9 C.cos9D.sin9 10.若f(z)=tgz ，则Res[f(z)，2π ]=（ ） A.-2πB.-πC.-1D.0 11.f(z)=2i)z(z cosz -在z=1处泰勒展开式的收敛半径是（ ） A.0B.1C.2D.3 12.z=0为函数cosz 1的（ ） A.本性奇点B.极点C.可去奇点D.解析点 13.f(z)=)z )(z (121--在0<|z-2|<1内的罗朗展开式是（ ） A.∑∞=-01n n n z )( B.∑∞=-021n n z )z ( C.∑∞=-02n n )z ( D.∑∞=---0121n n n )z ()(14.线性变换ω=iz z i +-（ ） A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Im ω>0B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<115.函数f(t)=t 的傅氏变换J [f(t)]为（ ）A.δ(ω)B.2πi δ(ω)C.2πi δ'(ω)D.δ'(ω)二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)16.若z 1=e 1+i π,z 2=3+i ，则z 1·z 2=________.17.若cosz=0，则z=________.18.设f ′(z)=⎰==ζ<-ζζζL )z (f L )|z (|，则｜：｜， 55d ζz)( cos e 2________. 19.幂级数∑∞=1n n n z n !n 的收敛半径是________.20.线性映射ω=z 是关于________的对称变换.三、计算题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)21.计算复数z=327-的值.22.已知调和函数v=arctg xy ,x>0，求f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式. 23.设f(z)=x 2+axy+by 2+i(-x 2+2xy+y 2)为解析函数，试确定a ，b 的值.24.求积分I=⎰+C dz z i 的22值，其中C ：|z|=4为正向. 25.求积分I=⎰+C zdz )i z (e 的42值，其中C ：|z|=2为正向. 26.利用留数计算积分I=⎰C zsinzdz ，其中C 为正向圆周|z|=1. 27.将函数f(z)=ln(3+z)展开为z 的泰勒级数.28.将函数f(z)=()22+z z 在圆环域0<|z|<2内展开为罗朗级数. 四、综合题(下列3个小题中，第29小题必做，第30、31小题中只选做一题。

2014年复变函数与积分变换练习题参考答案一、选择题 （ 每题2分，共16分） 1．设{|1||3}P z z =<<，则P 为【 B 】(A)无界区域 (B) 多连通区域 (C)单连通区域 (D) 闭区域. 2. 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000z x iy =+处连续的充要条件是【 D 】 (A) 函数)(z f 在区域D 内可导 (B) 函数),(y x u 在点00,()x y 处连续(C) 函数),(y x v 在点00,()x y 处连续(D) 函数),(y x u 和),(y x v 在点00,()x y 处连续.3. 若),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析，则下列命题中错误的是 【 D 】 (A) 函数)(z f 在区域D 内可导(B) 函数),(),,(y x v y x u 是区域D 内的调和函数(C) 函数),(),,(y x v y x u 在区域D 内满足柯西-黎曼方程 (D) 函数),(y x u 是),(y x v 在区域D 内的共轭调和函数 4．设C 为|1|0z r-=>的正向圆周，则1Czdz z =-⎰【 B 】(A) 0 (B) 2i π (C) 1 (D) 4i π5. 下列复数项级数中绝对收敛的是【 A 】(A)1(6+8)!nn i n ∞=∑(B) ∑∞=-1)1(n n(C) ∑∞=1n nni (D)113()2nn i ∞=+∑6．下列函数中以0=z 为本性奇点的是【 D 】(A) 2sin z z z - (B) z z sin (C) z sin 1 (D) 1()z cos 7．函数()h z 在单连通区域D 内解析是函数()h z 在D 内存在原函数的【 B 】 (A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)既非必要条件也非充分条件.8．指数衰减函数,0()=0,0t e t f t t α-⎧>⎨<⎩（其中α>0）的傅里叶变换是【 B 】 (A) 1j αω- (B) 1j αω+ (C) 11j ω+ (D) 1j ωα+二、填空题（每题2分，共14分）9.设复数z=+ 42ie π .10．计算复值函数(1)n i L += ln2(/32)k i ππ++ .11．已知C 为|1|2z -=的正向圆周，求3z Cedz z=⎰i π .12．设C 为正向圆周1||=z ,则积分2116Cdz z=-⎰ 0 .13．幂级数061nn zn ∞=+∑的收敛半径 R= 1 .14．映射2z z ω=+在点1+zi =处的伸缩率是 .15．设k 为实常数， 2()sin f t t kt t =+,则)(t f 的拉普拉斯变换为222322()ks s k s++ . 三、计算题（每题5分，共25分）16．讨论函数3232()3(3)f z y x y i x xy =-+-的解析性， 其中z x yi =+,求导函数()f z '. （参考习题集P16第5题）17．利用留数计算43|z|=1/51dz z z-⎰. （习题集P46第4题）解 令430=zz- 得到=0=1z z ，为函数431()z zf z -=孤立奇点，…….. (1分)但是=1z 在圆||=1/5z 之内，=0z 是431()z zf z -=的三阶极点。

1全国2018年4月自学考试复变函数与积分变换试题课程代码：02199一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.arg(-1+i 3)=( ) A.-3π B.3π C.π23 D.π23+2n π 2.w =|z |2在z =0( ) A.不连续 B.可导 C.不可导D.解析3.设z =x +iy ，则下列函数为解析函数的是( ) A.f (z )=x 2-y 2+i 2xy B.f (z )=x -iy C.f (z )=x +i 2yD.f (z )=2x +iy4.设C 为由z =-1到z =l 的上半圆周|z |=1，则⎰Cz z d ||=( )A.2πiB.0C.1D.25.设C 为正向圆周|z |=1，则⎰-Cz z z)2(d =( )A.-πiB.0C.πiD.2πi6.设C 为正向圆周|z |=2，则⎰-Ciz i z z e 3)(d z =( )A.0B.e -1C.2πiD.-πe -1i2 7.z =0是3sin z z 的极点，其阶数为( )A.1B.2C.3D.48.以z=0为本性奇点的函数是( ) A.zzsin B.2)1(1-z zC.z1eD.1e 1-z9.设f (z )的罗朗展开式为-11)1(22---z z +(z -1)+2(z -l)2+…+n (z -1)n +…则Res[f (z ),1]=( ) A.-2 B.-1C.1D.2 10.设z =a 为解析函数f (z )的m 阶零点，则函数)()(z f z f '在z =a 的留数为( )A.-mB.-m +lC.m -1D.m二、填空题(本大题共6小题，每小题2分,共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.|z -i |=|z -1|的图形是_______________. 12.设z =i i ，则Im z =_______________.13.设C 为由点z =-l-i 到点z =l+i 的直线段，则⎰Cz 3 d z =_______________.14.设C 是顶点为z=±21,z=±i 56的菱形的正向边界，则⎰-Ciz e 2dz=______________. 15.设C 为正向圆周|z|=1，则⎰Cz cos z d z =_________.16.函数21-z 在点z =4的泰勒级数的收敛半径为_________. 三、计算题（本大题共8小题，共52分） 17.设z =x +iy ,求复数11+-z z 的实部与虚部.（6分） 18.求复数i 8-4i 25+i 的模.(6分)19.求f (z )=(z -1)2e z 在z =1的泰勒展开式.(6分)3 20.求f (z )=)2)(1(2--z z 在圆环域1<|z|<2内的罗朗展开式.(6分)21.求解方程cos z =2.（7分）22.设z =x +iy ,试证v (x ,y )=x 2+2xy -y 2为调和函数，并求解析函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y ).(7分) 23.设C 为正向圆周|z-2|=1,求⎰-Cz z z 2)2(e d z .(7分)24.设C 为正向圆周|z|=1，求⎰Cz1sind z .(7分) 四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。

第一套第一套一、选择题（每小题3分，共21分）1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。

A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。

2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。

A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C +3.2|2|1(2)z dzz -==-⎰（ ）。

A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。

A. 101()2()n n f d c iz ξξπξ+=-⎰ B. 0()!n n f z c n =C. 201()2n k f d c iz ξξπξ=-⎰D. 210!()2()n n k n f d c iz ξξπξ+=-⎰5. z=0是函数zz sin 2的（ ）。

A.本性奇点B.极点C. 连续点D.可去奇点6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。

A.1z zw -=B. z 1z w -=C. zz 1w -= D. z11w -=7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。

A.22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. ks 1.二、填空题（每小题3分，共18分）1.23(1)i += [1] ；----------------------------------------装--------------------------------------订-------------------------------------线----------------------------------------------------2. 幂级数∑∞=1n nn z ！收敛于 [2] ；3. 设0Z 为复函数）（z f 的可去奇点，则）（z f 在该点处的留数为 [3] . ；4. 通过分式线性映射z kz λωλ-=-（k 为待定复常数）可将 [4] 映射成单位圆内部1ω<；5. 一个一般形式的分式线性映射可由z b ω=+、az ω=、1zω=三种特殊形式的映射复合而成，分别将ω平面看成z 平面的平移映射、旋转与伸缩映射、 [5] ； 6. 求积分()i x e x dx ωδ∞--∞=⎰[6] ；三、判断题 （每小题2分，共10分）1. 平面点集D 称为一个区域，如果D 中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来，这样的集合称为连通集。

复变函数自考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 在复变函数中，下列哪一项不是复数的基本概念？A. 复数域B. 共轭复数C. 复数的模D. 复数的导数答案：D2. 复变函数中的柯西-黎曼方程是指什么？A. 函数的实部和虚部满足的方程B. 函数的导数满足的方程C. 函数的积分满足的方程D. 函数的级数展开满足的方程答案：A3. 下列哪一项不是解析函数的特征？A. 在定义域内处处可导B. 在定义域内连续C. 导数在定义域内连续D. 柯西-黎曼方程成立答案：B4. 复变函数的级数展开中，幂级数的收敛半径是什么？A. 函数的模的最大值B. 函数的实部的最大值C. 函数的虚部的最大值D. 函数的模的倒数答案：D5. 复变函数的积分路径必须是？A. 直线B. 曲线C. 可以是任意形状的连续路径D. 必须闭合的路径答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 复数 \( z = a + bi \)（其中 \( a, b \in \mathbb{R} \)）的共轭复数是 \( \_\_\_\_\_\_\_\)。

答案：\( a - bi \)7. 如果 \( f(z) \) 是解析函数，那么 \( f(z) \) 的导数 \( f'(z) \) 满足________。

答案：柯西-黎曼方程8. 复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \) 的实部 \( u(x, y) \) 和虚部 \( v(x, y) \) 必须满足________。

答案：偏导数的连续性9. 复变函数的级数展开中的幂级数 \( \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z- z_0)^n \) 在 \( |z - z_0| < R \) 内收敛，其中 \( R \) 是收敛半径，且 \( R \) 满足________。

答案：Cauchy-Hadamard公式10. 复变函数的积分 \( \oint_C f(z)dz \) 表示沿着闭合路径 \( C \) 的积分，根据柯西积分定理，如果 \( f(z) \) 在闭合路径 \( C \) 内解析，则 \( \oint_C f(z)dz = \_\_\_\_\_\_\_\)。