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高一数学四第一章知识点高一数学第四章知识点数学作为一门科学，被广泛应用于各个领域中。
而高中数学作为基础部分，对于学生的数理思维培养和逻辑思维能力的提升有着重要的作用。
本章主要讲解高一数学第四章的知识点，包括概率与统计、几何运动和平面向量。
概率与统计概率与统计是数学中一门重要的应用学科，它研究随机事件的发生规律和大量数据的特征。
在高一数学中，我们首先学习了概率的基本概念和概率的计算方法。
概率的基本概念包括样本空间、随机事件和概率的定义等。
在计算概率时，我们使用了频率与概率的关系，即概率等于某一事件出现的次数除以总次数。
同时，我们还学习了加法原理和乘法原理，用于计算多个事件的概率。
几何运动几何运动是研究平面或空间中点、线、面的运动规律和几何关系的数学分支。
在高一数学中，我们主要学习了平面和空间中点的运动。
平面中点的运动可以分为平移、旋转和对称三种基本变换。
我们学习了这几种变换的性质和变换前后的关系。
同时，我们还学习了平面图形的平移、旋转和对称的关系，以及平面图形的对称性质和判定方法。
平面向量平面向量是指在平面上有大小和方向的量，它可以表示位置、速度、力等物理量。
在高一数学中，我们学习了平面向量的基本概念和运算法则。
平面向量的基本概念包括零向量、单位向量、相等向量、共线向量和坐标向量等。
我们学习了平面向量的加法、减法、数量积和向量的线性运算等运算法则。
同时，我们还学习了平面向量与平行四边形、三角形的关系，以及平面向量的表示方法和坐标表示。
概率与统计、几何运动和平面向量是高一数学第四章的重要知识点，它们的学习不仅有助于培养学生的数理思维能力，还能提高学生的实际应用能力。
概率与统计的应用广泛，可以用于解决随机事件的概率和大量数据的统计问题；几何运动可以帮助学生理解空间中物体的运动规律和几何关系；平面向量则是计算机图形学和物理学等领域的重要工具。
因此，学好这些知识点对于学生今后的学习和职业发展都具有重要的意义。
高一数学第四章知识点全部高一数学第四章主要学习了数列与数列的极限，这是一个非常重要的数学概念。
通过学习数列与极限，我们可以更好地理解数学中的序列与函数，从而为后续高中数学的学习打下坚实的基础。
在数列这一部分，我们主要学习了数列的概念、特征以及不同类型的数列。
数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的，例如1，2，3，4，5，...就是一个数列。
我们可以根据数列中的规律来计算数列的前n项和，求出数列的通项公式等。
在数列的特征这一部分，我们学习了数列的有界性、递增性与递减性。
有界性是指数列的数值在一定的范围内，不会无限制地递增或递减；递增性与递减性是指数列中的数值随着项数的增加而逐渐递增或递减。
通过研究数列的特征，我们可以更好地理解数列的性质与规律。
在数列的类型这一部分，我们学习了常见的数列形式，如等差数列与等比数列。
等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列，例如1，3，5，7，9，...就是一个等差数列；等比数列是指数列中每一项与前一项之比都相等的数列，例如1，2，4，8，16，...就是一个等比数列。
这些常见的数列形式在实际生活中有广泛的应用，比如在金融领域中的利息计算等。
除了数列的学习，我们还学习了数列的极限。
数列的极限是指数列中数值随着项数的增加无限接近于一个定值的概念。
通过数列的极限，我们可以研究数列的趋势与发展，从而更好地理解数学中的序列与函数的性质。
数列的极限也有一定的计算方法与技巧，如夹逼定理、等价无穷小等。
通过对高一数学第四章知识点的学习，我们可以更加系统地认识数列与数列的极限，并且能够合理运用这些概念与方法解决实际问题。
数列与数列的极限是数学中深入研究的核心内容，也是后续高中数学学习的基础。
掌握了数列与极限的知识，我们可以更好地理解数学的抽象性质与逻辑思维，提升自己的数学素养与解决问题的能力。
在实际应用方面，数列与数列的极限可以用来描述自然界中的各种变化规律，如人口增长、物种进化等。
高一必修4数学知识点归纳高一的数学学习是建立在初中的基础上，本文将对高一必修4的数学知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地掌握这些知识，提高数学学习成绩。
一、函数在高一必修4的数学课程中，函数是一个重要的知识点。
函数是一个对应关系，它将一个自变量的值映射到一个唯一的因变量的值。
1. 函数的基本概念函数由定义域、值域和对应关系三部分组成。
定义域是自变量的取值范围，值域是函数的所有可能输出值的集合。
对应关系可以用图像、表格或公式表示。
2. 函数的性质函数可以是奇函数或偶函数，关于原点对称或关于y轴对称。
可以是增函数或减函数，具体取决于函数值的大小随着定义域中自变量的增大而增大或减小。
3. 常见类型的函数线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数是高中数学中常见的函数类型。
针对每种类型，我们需要掌握其定义和性质，并能应用到实际问题中。
二、向量向量是高一必修4数学中的另一个重要概念。
向量可以用有向线段表示，具有模和方向两个属性。
1. 向量的基本运算向量的基本运算包括加法和数乘。
向量加法满足交换律和结合律，数乘满足结合律。
我们需要掌握向量的运算规律，并能灵活运用到具体计算中。
2. 向量的数量积和向量积向量的数量积是一个标量，用于表示两个向量之间的夹角关系。
向量的数量积还可以用于计算向量的模长。
向量积是一个向量，垂直于原来两个向量所在的平面。
三、平面向量的应用平面向量的应用非常广泛，在高一必修4的数学课程中，我们会学习到平面向量的几何应用和物理应用。
1. 平面向量的几何应用平面向量可以用于计算线段的长度、计算多边形的面积，以及求解几何问题，如线段的垂直平分线、角平分线等。
2. 平面向量的物理应用平面向量在力学中有着广泛的应用。
我们可以通过平面向量计算力的合成、力的分解，或者求解物体在平面上运动时的速度、加速度等问题。
四、概率概率是高一必修4数学中的一大重点，它用于描述事件发生的可能性。
1. 概率的基本概念概率是一个介于0和1之间的实数，表示某个事件发生的可能性。
人教版高一数学第4章知识点数学是一门科学，被广大学生所学习。
在高一阶段，学生们开始接触到一些更加深入的数学知识，其中第4章是一个非常重要的章节。
本文将讨论人教版高一数学第4章的知识点，并对其中的一些重要概念和思想进行深入探讨。
第4章的知识点主要包括函数及其性质、一次函数、二次函数和函数的图像。
函数是数学中的核心概念之一，它描述了两个变量之间的关系。
在高中数学中，我们主要关注的是实数函数，即定义域和值域都是实数集。
函数的性质是一个重要的学习内容，它可以帮助我们更好地理解函数的特点和行为。
一次函数是一种非常基础的函数类型，它的一般形式是f(x) = ax + b，其中a和b是实数常数。
一次函数的图像是一个斜率为a的直线。
通过对一次函数的学习，我们可以了解到斜率的概念和计算方法，以及如何通过函数图像来判断函数的性质。
二次函数是一种更加复杂的函数类型，它的一般形式是f(x) = ax^2+ bx + c，其中a、b和c都是实数常数且a不等于0。
二次函数的图像是一个抛物线。
在学习二次函数的过程中，我们将会探索抛物线的性质，如顶点、对称轴、焦点等，同时也会学习如何通过二次函数的方程来确定这些性质。
函数的图像是一个非常重要的概念，通过图像我们可以更直观地了解函数的性质。
在图像的学习中，我们将探讨函数在不同定义域上的行为，如增减性、最值和奇偶性等。
同时，我们还将学习如何通过给定的函数方程来画出函数的精确图像。
除了上述知识点之外，第4章还包括一些与函数相关的应用问题。
通过这些问题，我们将学会如何将数学应用到实际生活中，提升我们的问题解决能力。
总的来说，人教版高一数学第4章的知识点涵盖了函数及其性质、一次函数、二次函数和函数的图像。
通过学习这些知识，我们可以更深入地理解数学的本质和应用，提升我们的数学思维和解决问题的能力。
数学是一门较为抽象的学科，但它却无处不在，无论是在科学研究还是日常生活中，数学都扮演着重要的角色。
高一数学必修四知识点总结第1篇立体几何初步(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3)棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
(7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一xxx的几何体几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
高一数学必修四知识点总结第2篇人教版数学必修四知识点一1.正弦、余弦公式的逆向思维对于形如cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)这样的形式，运用逆向思维，化解为：cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)=cos[(α-β)+β]=cos(α)2.正切公式的逆向思维。
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高一上册数学第4章知识点高一上册数学第4章知识点回顾在高一上学期的数学学习中，我们已经掌握了许多基础的数学知识和技巧。
在第4章中，我们进一步学习了一些重要的数学知识点，包括函数、函数的图像和方程的解法等。
在本文中，我们将回顾这些知识点，加深我们的理解和应用能力。
1. 函数概念及其图像函数在数学中非常重要，也是数学学习的基石之一。
一个函数可以看作是一个输入输出的规则，给定一个输入值，函数能够计算出对应的输出值。
函数通常用 f(x) 或 y 表示。
我们可以通过函数的图像来直观地理解函数的性质。
函数的图像可以通过绘制函数的点来得到，其中横轴表示输入值，纵轴表示输出值。
函数的图像有许多形状，包括直线、抛物线、指数曲线等。
通过观察函数的图像，我们可以得出函数的特点，如定义域、值域、单调性等。
2. 一次函数及其性质一次函数是最简单也是最重要的函数之一。
它的数学表达式为 f(x)= ax + b，其中 a 和 b 是常数。
一次函数的图像是一条直线，其斜率决定了直线的倾斜程度。
我们可以通过斜率来判断一次函数的性质。
当斜率为正时，函数是递增的；当斜率为负时，函数是递减的。
当斜率为零时，函数是水平线，不增不减。
另外，斜率的绝对值越大，直线越陡峭。
3. 二次函数及其性质二次函数是一种抛物线，经常在自然界和物理学中出现。
二次函数的数学表达式为 f(x) = ax² + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数。
二次函数的图像是一个开口向上或向下的曲线，其顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。
通过观察二次函数的图像，我们可以得到一些性质。
当 a > 0 时，函数开口向上；当 a < 0 时，函数开口向下。
函数的顶点坐标决定了曲线的位置。
此外，二次函数的对称轴是一个垂直于横轴的直线。
4. 方程的解法在数学中，方程是一个等式，通常包含一个或多个未知数。
方程的解是使等式成立的未知数的值。
解方程是求解未知数的过程。
高一数学四章基础知识点高一数学中的四章基础知识点贯穿了整个学年的数学学习内容，是我们建立扎实数学基础的关键。
本文将从数学四章的内容出发，对其重点知识进行梳理和总结。
一、函数与方程函数与方程是高一数学中最基础的知识点之一，也是后续学习的衔接点。
在这一章中，我们学习了函数的概念、性质以及方程的解法和应用。
函数是数学中的重要概念，在实际问题中起到了极为重要的作用。
我们通过函数的图像、性质、特殊函数的图像以及函数之间的关系来理解函数的含义。
掌握函数的性质，能够根据函数的图像判断函数的单调性、奇偶性等，对于后续的曲线的研究以及函数的应用都是至关重要的。
方程是数学中的另一个重点，我们学习了多项式方程和分式方程的解法。
掌握了解一元一次方程和一元二次方程等基础知识，能够帮助我们解决实际问题中的各种方程，例如简单的线性问题、几何问题等。
此外，我们还学习了一些方程的应用，例如齐次方程的解、解线性方程组等等。
二、三角函数高一数学中的三角函数是我们进一步研究几何问题所必须掌握的内容。
在这一章中，我们学习了三角函数的定义、性质和应用。
三角函数是研究角的一种工具，主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
我们通过研究三角函数的定义和图像来理解三角函数的性质，例如奇偶性、周期性等。
三角函数的应用广泛，可以用来解决各种几何和物理问题，例如求解直角三角形的边长和角度、计算物体的运动轨迹等。
在学习三角函数的过程中，我们还学习了三角函数的基本关系式和化简公式，这些内容对于后续的研究和证明都具有重要的意义。
同时，我们也学习了三角函数的诱导公式和和差公式等进阶内容，这些公式的应用能够帮助我们解决一些复杂的三角函数问题。
三、数列与数学归纳法数列与数学归纳法是高一数学中的另一个重要部分。
在这一章中，我们学习了数列的概念、性质以及数学归纳法的原理和应用。
数列是一系列数按照一定规律排列组成的集合，我们通过观察数列的规律，能够找出数列的通项公式和前n项和的公式。
第一讲 认识图形【知识风向标】小朋友，你在日常生活中常常见到点、线段、射线、直线、平行线、交叉线、角（直角、锐角、钝角）等图形，这一讲，我们就来认识这些图形。
我们要初步了解这些图形的概念和一些特征，能仔细观察这些图形，认识它们。
通过比较、判断和图形的变换，帮助我们加深对这些图形的理解和认识。
学好这部分知识，可以拓展我们的知识面，从形的方面加深对周围生活事物的认识，提高我们解决数学实际问题的能力，而且可以发展我们分析、综合、抽象、概括等思维能力，也为以后进一步学习空间与图形打下较好的基础。
【竞赛方法台】许多图形都是由线和角组成的，你认识这些图形吗？1． · 这叫“点”。
“点”在纸上只占一个位置。
2． 这叫“线段”。
沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条“线段”。
图上的这两点就是线段的端点，线段有两个端点。
3．这叫“射线”。
从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条“射线”。
图上的这一点是射线的端点，射线有一个端点，另一边可延长得很远，没有尽头。
4． 这叫“直线”。
可用笔沿着直尺画出“直线”。
直线没有端点，可向两边无限延长。
5． 这两条直线互相平行，没有交点，无论延长多远都不相交。
6． · 这两条直线相交，只有一个交点。
这叫“角”。
“角”由一点引出的两条线组成。
7．顶点 角有直角、锐角和钝角。
锐角比直角小，钝角比直角大。
直角 锐角 钝角【竞赛全知道】[例1] 随意在纸上画2个点，再用直尺把这两点连起来。
看看这是什么？【分析与解】沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段。
【技巧引导】熟练掌握线段的概念的特征。
[例2] 通过不在同一条直线上的3点，可以画多少条线段？·AB ··C【分析与角】通过不在同一条直线上的3点，可以画3条线段。
【技巧引导】依次连接两点，一共可以画3条线段；AB 、AC 、BC 。
[例3] 有一把奇怪的尺子，上面只有0、1、5这几个刻度（单位：厘米），用这把尺可以画出几条不同的线段？它们的长度分别多少厘米？【分析与解】可以画0-1，1-5，0-5这三条线段，分别是1厘米、4厘米、5厘米。
幂函数的教学设计与反思灵山中学 陈嘉第一部分 教学目标以及重难点1．三维教学目标：1）知识与能力：．理解幂函数的概念；通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用。
2）过程与方法：类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研究幂函数的图象和性质。
3）情感，态度和价值观：进一步渗透数形结合与类比的思想方法；体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性。
2.教学内容分析：1）教学重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质2）教学难点：从幂函数的图象中概括其性质第二部分 教学流程一、内容归纳：幂函数的图象系练习1：求满足条件的a 的取值范围（1）223a --> （2）2255(1)(2)a a +>- （3）2233(1)(2)a a --+>- 二、拓展一：幂函数与图象变换（例4的拓展）导引：我们已经知道：1y x =，2y x =，12y x =的图象；1y x =-，2y x =-，12y x=-的图象。
前面也学习了图象变换，知道一个简单函数通过图象变换后可以得到一些较复杂函数的图象。
思考以下两个问题： ①将12y x=的图象右移2个单位，再上移动1个单位，所得函数为_____，对称中心为_____。
②将1y x =-的图象左移2个单位，再下移动1个单位，所得函数为_____，对称中心为_____。
答：①21111122(2)2(2)x x y y y x x x -+=−−−−→=−−−−→=+--代换表达式，对称中心(2,1)M （？） ②211111(2)(2)x x y y y x x x +=-−−−−→=-−−−−→=--++代换表达式-，对称中心(2,1)M --（？） 如果将这两个结果进行通分整理，所得函数是什么特征？ 答：前者2324x x -=-，后者32x x --=+。
那么，一般的线性分式函数,(0)ax b y c cx d +=≠+是不是由函数b y x =平移过来的？ 问题探讨： 若a b m c d ==，此时,()d y m x c=≠- 若a b c d ≠，112()()a cx d b b b ax b a a c y y y y d dcx d cx d c c c x x c c+++=→=→=+→=+++++ 特征：（1）2b y x =平移的结果；（2）对称中心为(,)d a c c -；（3）过点(0,)b d（若0d ≠） 练习2：设4()2ax f x x +=+， （1）若3a =-，写出()f x 对称中心，作其的简图，并求[3,2)(2,3]x ∈--⋃-时y 的取值范围；（2）若()f x 在区间(1,)-+∞上是增函数，且在该区间恒有()0f x >，求a 的取值范围是。
三、拓展二：幂函数与函数叠加（例5的拓展）导引：课本例5实际上是两个幂函数3y x =和y x =的叠加。
象k y mx =这样的函数我们称为幂函数型函数，我们也能运用ky mx =的叠加得到熟悉的函数。
如：二次函数2()f x ax bx c =++多项式函数2012()...n n f x a a x a x a x =++++ 其他如1()f x x x =+，221()f x x x =+，…，1()n n f x x x =+ 再现： ①判断函数21()2,[,3]2f x x x x =+∈的单调性，并求出它的单调区间（作业册P33第7题）；②设2()2,[2,)f x x x x =+∈+∞，由2()24f x x x =+≥=，可否得到min 4f =？ 这些问题在学习函数基本性质和不等式时已经讨论过，当时我们是运用单调性定义、均值不等式等工具来解决的。
其实，这些问题都是讨论函数2()2f x x x =+的个别性质，如果我们掌握它的图象特征，反过来对函数性质的把握则会更加全面透彻。
问题探讨：讨论(),(,,,0)n f x mx m n R m n x=+∈≠的图象特征。
由于()f x 是奇函数，只需讨论0x >情形即可。
①当,m n 异号时，mx 和n x在0x >时的单调性一致，则()f x 在0x >时是单调函数，通过研究x →+∞和0x →的趋势，可得其图象。
如3()2x f x x =-，在0x >时是增函数，当0x ←时，()f x →-∞，当x →+∞时，()2x f x →，而且在其下方（？），由此可得图象两条渐进线Y 轴和2x y =，再结合单调性和奇偶性可得函数简图。
②当,m n 同号时，由于同正与同负是轴对称关系，只需研究,0m n >情形即可。
顶点：由()n f x mx x =+≥=0x >时的最低点。
渐进线：当0x ←，()f x →+∞，当x →+∞，()f x mx →，且在mx 下方，可得()f x 的两条渐渐进线：y mx =和Y 轴。
单调区间：猜想()f x 在(-∞递减，在)+∞递增，并运用定义证明。
如6()3x f x x =+，顶点F ，渐进线为3x y =和Y 轴，减区间，增区间为)+∞。
从而得其图象。
练习3：（1）求证：函数1()1f x x x =+-的图象是中心对称图形。
（2）设函数)0,0(,11)(>>-=x a xa x f ，若x x f 2)(≤在),0(+∞上恒成立，求a 的取值范围。
第三部分 教学反思：这堂课包含三个环节，第一环节幂函数的图象系，是对幂函数图象的归纳；第二环节讨论y=(ax+b)/(cx+d)的图象特征，是对课本例4的拓展；第三环节讨论函数y=mx+n/x 的图象，是课本例5的拓展。
以下主要反思后面两个拓展的引入、过程及练习的教学。
1、关于y=(ax+b)/(cx+d)的教学反思。
①在引入方面，教学设计时曾考虑先让学生讨论y=(x-1)/(x-2)的图象，再由此引伸到一般情形。
但是觉得这个函数离学生已知的函数类型还有些距离，它的直接出现对学生来说有点突然。
于是设想：以关注问题的发现为出发点，从两简单的幂函数开始，通过平移变换构造新的函数，发现其结果形式类似，进而对其一般形式y=(ax+b)/(cx+d)的图象特征产生猜想。
这是对原有知识进行引伸拓展的一种引入。
②在过程论证方面，教学设计时有三种考虑：一是探究式（学生论证）；二是讲授式（教师分步讲解）；三是阅读理解式（教师作重点解释）。
考虑到学生基础较好，同时也是为了缩短时间，增加容量，选择了第三种。
课后反思时不禁自问：如果让学生进行探究学习，亲历论证过程情况会怎样？从学生的认知过程来看，需要解决两个问题：首先要解决的是：函数f(x)=(ax+b)/(cx+d)的图象是否从y=m/x 平移过来的？有前面的通分变形作铺垫，学生不难得到了f(x)的分离式（通分的逆过程），从而证实f(x)是从y=b 2/x 平移过来的。
在论证过程中，可能忽略b 2=0情形，教师只需提示补充即可。
其次是讨论f(x)的对称中心问题。
学生可能会遇到困难，因为不知道f(x)的具体平移方向（抓住学生可能出现的各种结果）。
这时可以启发观察前面两个具体例子的结果，通过比较，归纳出f(x)的对称中心坐标M(-d/c,a/c)。
这个中心坐标是一般问题的形式化结论，让学生通过一般式和具体形式的比较归纳出来更好理解些。
其实还可以进一步启迪学生，讨论d/c的符号，归纳出不论是左移还是右移，对称中心横坐标的形式都是-d/c，纵坐标同理。
至于图象位置问题。
有了对称中心，两条渐进线也知道了，它们把平面划分为四个区域。
学生不难理解，既然图象是由y=b2/x平移过来的，那么它落在哪个区域当然是由b2的符号来决定。
（在这个环节的教学中不应急于提出由一个定点（0,b/d）可确定位置，可留下一个伏笔。
在练习2(1)时学生可能直接套用上述结论形式，直接写出对称中心，由于还没作分离，不知道b2的符号，作图时可能存在困惑）。
在难度不是很大的情况下，让学生探讨一些一般性问题的形式化结论，对提高其数学思维素养是有意义的。
我想这个过程实际上就是一个“问题解决”的过程。
在今后课题实践中，“问题解决”的设计模式应该成为拓展教学的主要方式之一。
③练习2的设计问题。
考虑构造一个过定点的曲线系（幂函数的图象实际是过定点(1,1)的曲线系，这里上升到一次分式函数），其特征是：图象过一个定点B(m,n)，对称中心M(d,y0)在一条定直线x=d上滑动（m,n,d是常量，y0是参数），这个函数的一般形式是：f(x)=[y0(x-m)+n(m+d)]/(x+d)给常量赋上简单的值：m=0,n=2,d=2后，y0改写为a，得函数f(x)=(ax+4)/(x+2)，此时定点是B(0,2),中心是M(-2,a)。
当渐进线y=a滑动到定点下方时，要求讨论一个具体函数的某些性质，即练习2(1)。
当渐进线y=a滑动到定点上方时，要求讨论曲线系满足某些特征时参数的取值范围，即练习2(2)。
这是一类典型的数形结合问题，曲线特征（几何）与参数范围（代数）的关系是形与数的对应关系。
原先考虑使用多媒体来展示，当参数a变化时图象系的生成过程，使学生能够直观地看到双曲线单调性、相对于渐进线的位置和开口宽阔程度的变化，但没来得及做。
练习2的教学反思与思考。
练习2(1)时，课堂上出现两种解法情形：一部分学生采用分离系数法，画出图象；另部分学生根据上面的形式化结论马上写出对称中心M(-2,-3)，并画出两条渐进线，但往下就卡住了，不知道把图象画在哪个区域。
这时教师强调，可以通过检验一个定点B(0,2)所处的区域来确定图象的位置。
练习2(2)时，教师指导，由于有了对称中心M(-2,a)和定点B(0,2)，只需分析渐进线y=a与定点B(0,2)的位置关系，就知道曲线系的单调性变化情况，然后将曲线特征的限定转化为参数的限定即可。
课后曹土清老师提示：采用分离系数法更具一般性，对不是过定点的曲线系也适合。
我想确实如此，如f(x)=(ax+a2)/(x+2)的图象是不过定点的曲线系，此时应分离系数f(x)=a+(a2-2a)/(x+2),再令(a2-2a)<0，且f(-1)>0，求得其解。
这里出现两种解法，一是运用拓展教学的过程方法（分离系数法），二是运用拓展教学的结论形式（直接写出中心坐标）和题目的特殊性（过定点）。
将这个情形上升到一般，这使我想到基础课程的教学目标与拓展教学的目标问题。
前者的三维目标已经明确，不仅掌握知识与技能，还关注过程与方法等，后者该如何把握呢？拓展教学涉及到两个关键的目标要素：一是过程与方法，二是拓展结论。
如果把对“过程与方法”的掌握程度区分为理解与不理解（或更进一步的亲历与不亲历），在“拓展结论”的掌握程度中区分出掌握结论形式（定量描述）与掌握结论特性（定性描述），则其可组合为四种形式：①理解过程与方法，掌握结论形式；②理解过程与方法，掌握结论特性；③不理解过程与方法，掌握结论形式；④不理解过程与方法，掌握结论特性。
