15届高三区一模数学试卷(理科2014) Microsoft Word 文档

2014—2015学年度高三第二次联考数学（理）试卷命题学校：鄂南高中命题人：王再盛第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若关于x 的不等式2(1)4k x k ++≤的解集是M ，则对任意实数k ，总有（ ） A ．2,0M M ∈∈ B ．2,0M M ∉∉ C ．2,0M M ∈∉ D ．2,0M M ∉∈2．定义运算a b ad bc cd=-，则符合条件12011z i ii+=-+的复数z 为（ ）A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +3．已知点P （2，1）在圆C ：2220x y ax y b ++-+=上，点P 关于直线10x y +-=的对称点也在圆C 上，则实数a, b 的值为（ ） A ．a =-3, b =3 B ．a =0, b =-3 C ．a =-1, b =-1D ．a =-2, b =14．若3nx ⎛+ ⎝的展开式中各项系数之和为1024，则展开式中含x 的整数次幂的项共有（ ）A ．2项B ．3项C ．5项D ．6项 5．五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛完后都回到休息室取外衣. 由于灯光暗淡，看不清自己的外衣，则至少有两人拿对自己的外衣的情况有（ ） A ．30种 B ．31种 C ．35种 D ．40种 6．设p : 1|21|.:0.21x x a q x -+>>-使得p 是q 的必要但不充分条件的实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞B ．(2]-∞-C ．[-2，3]D ．[3,)+∞7．若1,x b a b →=+=则（ ）A ．-2B ．0C ．2D ．48．设函数()sin()0,0.2f x x πωφωφ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭若将f (x )的图象沿x 轴向右平移16个单位湖北省 八校 鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 华师一附中荆州中学 襄樊四中 襄樊五中 孝 感 高 中长度，得到的图象经过坐标原点；若将f (x )的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象经过点1,16⎛⎫⎪⎝⎭，则（ ） A ．,6πωπφ== B ．2,3πωπφ==C ．3,48ππωφ==D ．适合条件的,ωφ不存在9．设f (x )是定义域为R 的奇函数，g (x )是定义域为R 的恒大于零的函数，且当x >0时有()()()().f x g x f x g x ''< 若f (1)=0，则不等式f (x )>0的解集是（ ）A ．(,1)(1,)-∞-+∞B ．(1,0)(0,1)-C ．(,1)(0,1)-∞-D ．(1,0)(1,)-+∞10．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频数成等比数列，设视力在4.6到4.9之间的学生数为a ，最大频率为b ，则a, b 的值分别为（ ） A ．77，0.53 B ．70，0.32 C ．77，5.3 D ．70，3.2第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在题中横线上. 11．函数2log (0)1xy x x =>+的反函数的定义域是____________. 12．抛物线C 的顶点在坐标原点，对称轴为y 轴，若过点M （0，1）任作一条直线交抛物线C 于A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)两点，且x 1·x 2=-2，则抛物线C 的方程为____________. 13．若正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为_________.14．设z =2x+y ，实数x 、y 满足不等式组13525__________x x y ⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤，若当且仅当x =5, y =2时，z 取得最大值，则不等式组中应增加的不等式可以是________________.（只要写出适合条件的一个不等式即可）15．对大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图方式的“分裂”：仿此，62的“分裂”中最大的数是_____________. 若m 3的“分裂”中有一个数是35，则m 的值为_____. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22 321 53 5 742 ……23 33 7 1115 1719 43……16．（本小题满分12分）在△ABC 中，1, 3.AB AC AB BC ==- （1）求AB 边的长度；（2）求sin()sin A B C-的值.17．（本小题满分12分）某智力测试有5道试题. 假定任何智力正常的人答对第i 道题的概率是13（i =1, 2, 3, 4, 5）. （1）求智力正常的人将这5道试题都答错了的概率及至少答对了的4道试题的概率； （2）如果甲将这5道试题都答错了，乙答对了的4道试题，答错了1道试题. 能否判定甲的智力低于正常水平，乙的智力高于正常水平. 请运用所学概率知识表达你的观点.18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥E —ABCD 中，AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，AB=BC=CE=2CD =2，120BCE ∠=. ①求证：平面ADE ⊥平面ABE ；②求点C 到平面ADE 的距离.19．（本小题满分12分）如图，,F F '分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>和双曲线22221x y a b -=的右焦点，A 、B 为椭圆和双曲线的公共顶点. P 、Q 分别为双曲线和椭圆上不同于A 、B 的第一象限内的点，且满足()(),3PA PB QA QB R PF QF λλ'+=+∈=.（1）求出椭圆和双曲线的离心率；（2）设直线P A 、PB 、QA 、QB 的斜率分别是k 1, k 2, k 3, k 4，求证：k 1+k 2+k 3+k 4=0.20．（本小题满分13分）已知数列{a n }满足：111,1(1,2,3).2n n n n a a a n +⎛⎫==+= ⎪⎝⎭（1）求证：1113;2n n n n a a +-+>-≥ （2）设1(1,2,3)n n n b a a n +=-=，求数列{b n }中的项的最大值.21．（本小题满分14分）设x =1是函数()1axx b f x e x -+=+的一个极值点（a >0，e 为自然对数的底）.（1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求f (x )的单调区间； （2）设m >-1，若f (x )在闭区间[m, m +1]上的最小值为0，最大值为12ae -，求m 与a 的值.2006—2007学年度高三第二次联考数学（理）试卷参考答案一.1.A 2.C 3.B 4.B 5.B 6.A 7.C 8.A 9.C 10.B 二.11.()0,∞- 12.y x 22= 13.π36 14. 适合①()25+-≥x k y ②>k 53-的不等式如:2≥y , 012≥--y x 或其它曲线型只要适合即可 15. 11, 6三.16.解:（１）()BC AB AB AC AB +⋅=⋅=+⋅AB AB .132=-=⋅AB BC AB.2=即AB 边的长度为2. …………… …………5分 （２）由已知及（１）有:,1cos 2=A b (),3c o s 2-=-B a π∴A b B a cos 3cos = ……………8分 由正弦定理得: A B B A cos sin 3cos sin = ……………10分 ∴()C B A sin sin -=()()21sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin =+-=+-B A B A B A B A B A B A …………12分 17.解:⑴智力正常的人将这5道试题都答错了的概率为132.024*******0==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P ……………3分答对了的4道试题的概率为041.024310311314454==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=C P 答对了的5道试题的概率为004.024*******5==⎪⎭⎫⎝⎛=C P∴智力正常的人答对了的4道试题以上的概率为045.02431154==+=P P P …7分 ⑵智力正常的人将这5道试题都答错了的概率05.0132.00>=P 因而不能判定甲的智力低于正常水平 ……9分智力正常的人答对了的4道试题以上的概率05.0045.0<=P .根据小概率事件在一次试验中几乎不发生的原理知,假设乙的智力在正常水平, 答对了的4道试题的情况几乎不发生.从而可以认定乙的智力高于正常水平。

闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（理科）（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．本试卷共有23道试题．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．已知集合35|22A x x ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭，U =R ，则U A =ð ． 2．若复数z 满足(2)(1)2z i i ++=（i 为虚数单位），则z = ．3．函数()cos f x x x =,若1()2f a =，则()f a -= ．4．计算 22lim 2nn C n n→∞=+ ．5．设)0(24)(1≥-=+x x f x x ,则=-)0(1f.6．已知2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，sin cos 22θθ-=cos θ= ．7. 若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 .8．已知集合{1,3}M =，在M 中可重复的依次取出三个数,,a b c ，则“以,,a b c 为边长恰好构成三角形”的概率是 ．9．已知等边ABC △的边长为3，M 是ABC △的外接圆上的动点，则AB AM ⋅的最大值为 ．10．函数1122log y =x 的取值范围是 ．11．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12()log g x x =,记函数(),()()()(),()()g x f x g x h x f x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，则函数()()5F x h x x =+-所有零点的和为 .12．已知12F F 、是椭圆22122:14x y m m Γ+=-和双曲线22222:14x y n n Γ-=-的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则mn 的最大值为 . 13．在ABC △中，记角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，设S 是ABC △ 的面积，若2sin ()sin S A BA BC B <⋅，则下列结论中：①222a b c <+； ②222c a b >+；③cos cos sin sin B C B C >； ④ABC △是钝角三角形． 其中正确．．结论的序号是 ． 14．已知数列{}n a 满足：对任意n *∈N 均有133n n a pa p +=+-（p 为常数，0p ≠且1p ≠），若{}2345,,,19,7,3,5,10,29a a a a ∈---，则1a 所有可能值的集合为 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．已知圆22:1O x y +=和直线:l y kx =+1k =是圆O 与直线l 相切的（ ）(A)充要条件. (B)充分不必要条件.(C)必要不充分条件. (D)既不充分也不必要条件.16． 8(2-展开式中各项系数的和为 ( )(A) 1-. (B)1. (C)256. (D)256-. 17．已知)(x f y =是定义在R 上的函数，下列命题正确的是 ( )(A)若()f x 在[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且在(),a b 内有零点，则有()()0f a f b ⋅<.(B)若()f x 在[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅>，则其在(),a b 内没有零点.(C)若()f x 在(),a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅<，则其在(),a b 内有零点.(D)若()f x 在[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线且单调，又()()0f a f b ⋅<成立，则其在(),a b 内有且只有一个零点.18．数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若记数据1232015,,,,a a a a ⋅⋅⋅的方差为1λ，数据3201512,,,,1232015S S S S ⋅⋅⋅的方差为2λ，12k λλ=.则 ( )(A) 4k =. (B) 2k =. (C) 1k =. (D) k 的值与公差d 的大小有关.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，90,2ACB AC BC ∠===，直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为55arctan．求三棱锥11C A BC -的体积.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本．设该公司一年内共生产电饭煲x 万件并全部销售完，每一万件的销售收入为()R x 万元，且2440040000()10100R x x x x=-<<，，该公司在电饭煲的生产中所获年利润为W (万元). （注：利润=销售收入-成本）(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万件)的函数解析式； (2)为了让年利润W 不低于2760万元，求年产量x 的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左右焦点分别为12F F 、，上顶点为A ，已知椭圆Γ过点4(,)33bP ，且220F A F P ⋅=．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C D 、关于点1(1,)2M 对称，求||CD ．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3) 小题满分6分．CB1C 1B1AA已知函数22π()cos 2sin cos 3f x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足2[()]()0f t t m -->，求实数m 的取值范围； （3）对任意的1,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，是否存在唯一的2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使12()()1f x f x ⋅=成立，请说明理由.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．已知数列{}n a 为等差数列，12a =，其前n 和为n S ，数列{}n b 为等比数列， 且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的n *∈N 恒成立. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）是否存在,p q *∈N ，使得222()2020p q a b +-=成立，若存在，求出所有满足条件的,p q ；若不存在，说明理由. （3）是否存在非零整数λ，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<对一切n *∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题 1．[]1,4-； 2．1i -+； 3．12-； 4．14； 5．（理）1，（文）32； 6．54-； 7．33π；8．(理)58，(文)12；9．(理)，(文)4； 10．(理) 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，(文) 1； 11．（理）5，(文) 14x =；12．13．(文理) ④；14．（理）{}1,3,67---，（文）1-或3-或67- 二. 选择题 15． B ； 16． B ； 17．D ； 18． A ． 三. 解答题 19．（文）11111183323A ABC BC V S AA BC AC AA -=⋅=⋅⋅⋅⋅=△A 11822411323AA AA =⋅⋅⋅⋅=⇒= ………………………………4分11//BB CC ， 11A BB ∴∠是直线B A 1与直线1CC 所成的角 ……6分11111tan A B A BB BB ∴∠===………………………10分11arctanA BB ∴∠= 所以直线B A 1与1CC所成的角为 ………………12分 19．（理）法一：1111111A C B C A C CC ⊥⊥，，⊥∴11C A 平面C C BB 11，11BC A ∠∴是直线B A 1与平面C C BB 11所成的角．…………………4分 设1CC y =1BC ==11111tan 4A C A BC y BC ∴∠===⇒=， ……………8分 所以111111111111183323C A BC A C BC C BC V V S A C BC CC A C --==⋅=⋅⋅⋅⋅=△．…12分法二：如图，建立空间直角坐标系，设1CC y =． 得点(020)B ，，1(00)C y ，，，1(20)A y ，，． 则1(22)A B y =--，，，平面C C BB 11的法向量为(100)n =，，． …………………4分 设直线B A 1与平面C C BB 11所成的角为θ，则11sin 48A B ny A B n θ⋅===⇒=⋅，……………8所以11111111111113323C A BC A C BC C BC V V V S A C BC CC A C --===⋅=⋅⋅⋅⋅=△．…12分20． (1) 40000()(1640)164360W xR x x x x=-+=--+10100x <<，……6分 (2) 解400001643602760W x x=--+≥ ………………12分得2(50)0x -≤时， 所以50x =.答：为了让年利润W 不低于2760万元，年产量50x =. …………………14分 21．（文）（1） 2a a =⇒=………………3分将点P 的坐标代入方程22212x y b +=得281199b +=⇒21b = ………6分所以椭圆Γ的方程为2212x y +=．…………………………………7分（2）法一：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、则2222112222,22x y x y +=+=，且12122,1x x y y +=+= ………9分 由2222112222,22x y x y +=+=得：12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-=121212122()2()01y y x x y y x x --+-=⇒=-- ………………12分所以直线CD 的方程为32y x =-+………………14分 法二：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、设直线CD 的方程为1(1)2y k x =-+ ………………9分 将1(1)2y k x =-+代入2222x y +=得22223(21)(42)2202k x k k x k k +--+--= 由212242221k kx x k -+==+得1k =- ………………12分所以直线CD 的方程为32y x =-+………………14分 21．（理）(1)因为椭圆Γ过点4(,)33b P ,所以2161199a+=,解得22a = ……3分又以AP 为直径的圆恰好过右焦点2F ，所以220F A F P ⋅= 又24(,),(,0),(0,)33bP F c A b得2(,)F A c b =-，24(,)33bF P c =-，所以24()033b c c --+=而22222b a c c =-=-，所以2210c c -+=得1c = ………………6分故椭圆Γ的方程是2212x y +=． ………………………………7分（2）法一：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、，则2222112222,22x y x y +=+=，且12122,1x x y y +=+= ………9分 由2222112222,22x y x y +=+=得：12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-=121212122()2()01y y x x y y x x --+-=⇒=--所以CD 所在直线的方程为32y x =-+………………11分 将32y x =-+代入2222x y +=得253602x x -+=12||||CD x x =-=== ………14分 法二：设点C D 、的坐标分别为1111(,)(2,1)x y x y --、，………9分 则2222111122,(2)2(1)2x y x y +=-+-= 两等式相减得1132y x =-+………………11分将32y x =-+代入2222x y +=得253602x x -+=12||||CD x x =-===．……14分22．（1）（文理）221()cos 22sin cos 2f x x x x x =++-1πcos 22cos 2sin 226x x x x ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，……………2分 函数()f x 的最小正周期T π= ………………………………4分（2）当,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，20,62t ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，π()sin 216f t t ⎛⎫⎤=-∈+ ⎪⎦⎝⎭6分[]22()[()]()[()22,1F t f t t f t ⇒=-=--∈-- …………………8分（理）存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()0F t m ->的实数m 的取值范围为(),1-∞-.……10分 （文）存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()0F t m -=的实数m 的取值范围为[]2,1--.……10分 （3）（理）存在唯一的2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使12()()1f x f x ⋅=成立. ………………12分 （文理）当1,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，12,622x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，11π()sin 216f x x ⎛⎫⎤=--+ ⎪⎦⎝⎭2211π()sin 21()6f x x f x ⎛⎫⎤==--+ ⎪⎦⎝⎭[]21π1sin 2=1,16()x f x ⎛⎫⇒--- ⎪⎝⎭ ………………14分设11()a f x -=，则[]1,1a ∈-，由2πsin 2=6x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 得22ππ22arcsin 2=2arcsin ,66x k a x k a k πππ-=+-+-∈Z 或所以2x 的集合为2221π17π|arcsin +arcsin +,212212x x k a x k a k ππ⎧⎫=+⋅=-⋅∈⎨⎬⎩⎭Z 或 ∵1π17π5arcsin +,arcsin +6212332126a a ππππ-≤⋅≤≤-⋅≤∴2x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在唯一的值21πarcsin 212x a =⋅+使12()()1f x f x ⋅=成立. 16分23．（文） （1）法1：由142()n n a a n n *++=+∈N 得12236,10a a a a +=+= 所以31242a a d d -==⇒=，所以12a =故2,n a n = ……………………………2分 因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+ ① 对任意的n *∈N 恒成立则1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+（2n ≥） ② ①-②得12(2)n n n a b n n +=⋅≥又114a b =，也符合上式，所以12()n n n a b n n +*=⋅∈N所以2n n b = ……………………………4分 法2：由于{}n a 为等差数列，令n a kn b =+， 又142()n n a a n n *++=+∈N ，所以(1)2242()kn b k n b kn b k n k *++++=++=+∈N所以24,222,0k k b k b =+=⇒==故2n a n = ………………2分 因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+ ① 对任意的n *∈N 恒成立则1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+（2n ≥） ② ①-②得12(2)n n n a b n n +=⋅≥又114a b =，也符合上式，所以12()n n n a b n n +*=⋅∈N所以2n n b = ……………………………4分 （2）假设存在,p q *∈N 满足条件，则244)2392qp +-=（ 化简得2324472q p p -+-= ……………………………6分由p *∈N 得22447p p +-为奇数，所以32q -为奇数，故3q =得22244712240p p p p +-=⇒+-= ……………………8分 故46()p p ==-或舍去所以存在满足题设的正整数=4,=3p q ． ……………………………10分（3）易得2n S n n =+，则22n nn S n n b +=， ……………………12分 下面考察数列2()2nn nf n +=的单调性， 因为2211(1)1(1)(2)(1)()222n n n n n n n n n f n f n +++++++-+-=-=……………14分 所以3n ≥时，(1)()f n f n +<，又(1)1,f =3(2)(3)2f f ==，5(4),4f =15(5),16f = 21(6),32f =……………………………16分 因为M 中的元素个数为5，所以不等式,nnS n b λ*≥∈N 解的个数为5， 故λ的取值范围是2115,3216⎛⎤⎥⎝⎦. ……………………………18分 23．（理） （1）法1：设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q 。

唐山市2014—2015学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一、选择题：A 卷：CABAB BDCAC DC B 卷：CABCC BDCAB DA 二、填空题：（13）5； （14）6；（15）16π；（16）[4，12]．三、解答题： （17）解：（Ⅰ）当n ＝1时，由(1－q )S 1＋qa 1＝1，a 1＝1．当n ≥2时，由(1－q )S n ＋qa n ＝1，得(1－q )S n －1＋qa n －1＝1，两式相减得 a n ＝qa n －1，又q (q －1)≠0，所以{a n }是以1为首项，q 为公比的等比数列，故a n ＝q n －1． …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知S n ＝1－a n q 1－q ，又S 3＋S 6＝2S 9，得1－a 3q 1－q ＋1－a 6q 1－q ＝2(1－a 9q )1－q，化简得a 3＋a 6＝2a 9，两边同除以q 得a 2＋a 5＝2a 8． 故a 2，a 8，a 5成等差数列． …12分 （18）解：（Ⅰ）设“甲恰得一个红包”为事件A ，P (A )＝C 12× 1 3× 2 3＝ 4 9． …4分（Ⅱ）X 的所有可能值为0，5，10，15，20．P (X ＝0)＝( 23)2× 23＝827， P (X ＝5)＝C 12× 1 3×( 2 3)2＝827， P (X ＝10)＝( 13)2× 2 3＋( 23)2× 13＝627，P (X ＝15)＝C 12×( 13)2× 23＝427，P (X ＝20)＝( 13)3＝127．…10分X 的分布列：E (X )＝0×827＋5×827＋10×627＋15×427＋20×127＝203．…12分（19）解：（Ⅰ）证明：连AC 1，CB 1，则△ACC 1和△B 1CC 1皆为正三角形． 取CC 1中点O ，连OA ，OB 1，则 CC 1⊥OA ，CC 1⊥OB 1，则 CC 1⊥平面OAB 1，则CC 1⊥AB 1． …4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OA ＝OB 1＝3，又AB 1＝6，所以OA ⊥OB 1．如图所示，分别以OB 1，OC 1，OA 为正方向建立空间直角坐标系， 则C (0，－1，0)，B 1(3，0，0)，A (0，0，3)， …6分设平面CAB 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 因为AB 1→＝(3，0，－3)，AC →＝(0，－1，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3×x 1＋0×y 1－3×z 1＝0，0×x 1－1×y 1－3×z 1＝0，取m ＝(1，－3，1)．…8分设平面A 1AB 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 因为AB 1→＝(3，0，－3)，AA 1→＝ (0，2，0)，所以⎩⎨⎧3×x 2＋0×y 2－3×z 2＝0，0×x 1＋2×y 1＋0×z 1＝0，取n ＝(1，0，1)．…10分则cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |＝25×2＝105，因为二面角C -AB 1-A 1为钝角，所以二面角C -AB 1-A 1的余弦值为－105．…12分（20）解：（Ⅰ）设AB 的中点为M ，切点为N ，连OM ，MN ，则 |OM |＋|MN |＝|ON |＝2，取A 关于y 轴的对称点A '， 连A 'B ，故|A 'B |＋|AB |＝2(|OM |＋|MN |)＝4． 所以点B 的轨迹是以A '，A 为焦点，长轴长为4的椭圆． 其中，a ＝2，c ＝3，b ＝1，则曲线Γ的方程为x 24＋y 2＝1． …5分（Ⅱ）因为B 为CD 的中点，所以OB ⊥CD ，则OB →⊥AB →．设B (x 0，y 0)，则x 0(x 0－3)＋y 02＝0． …7分又x 024＋y 02＝1 解得x 0＝23，y 0＝±23． 则k OB ＝±22，k AB ＝2，…10分 则直线AB 的方程为y ＝±2(x －3)，即 2x －y －6＝0或2x ＋y －6＝0．…12分（21）解：（Ⅰ）令p (x )＝f '(x )＝e x －x －1，p '(x )＝e x －1，在(－1，0)内，p '(x )＜0，p (x )单减；在(0，＋∞)内，p '(x ) ＞0，p (x )单增． 所以p (x )的最小值为p (0)＝0，即f '(x )≥0，所以f (x )在(－1，＋∞)内单调递增，即f (x )＞f (－1)＞0． …4分（Ⅱ）令h (x )＝g (x )－(ax ＋1)，则h '(x )＝ 2x ＋1－e －x －a ，令q (x )＝ 2x ＋1－e －x －a ，q '(x )＝ 1e x － 2(x ＋1)2．由（Ⅰ）得q '(x )＜0，则q (x )在(－1，＋∞)上单调递减． …6分 （1）当a ＝1时，q (0)＝h '(0)＝0且h (0)＝0．在(－1，0)上h '(x )＞0，h (x )单调递增，在(0，＋∞)上h '(x )＜0，h (x )单调递减， 所以h (x )的最大值为h (0)，即h (x )≤0恒成立． …7分 （2）当a ＞1时，h '(0)＜0，x ∈(－1，0)时，h '(x )＝ 2x ＋1－e －x －a ＜ 2x ＋1－1－a ＝0，解得x ＝1－a a ＋1∈(－1，0)．即x ∈(1－a a ＋1，0)时h '(x )＜0，h (x )单调递减， 又h (0)＝0，所以此时h (x )＞0，与h (x )≤0恒成立矛盾． …9分 （3）当0＜a ＜1时，h '(0)＞0，x ∈(0，＋∞)时，h '(x )＝ 2x ＋1－e －x －a ＞ 2x ＋1－1－a ＝0，解得x ＝1－a a ＋1∈(0，＋∞)．即x ∈(0，1－aa ＋1)时h '(x )＞0，h (x )单调递增，又h (0)＝0，所以此时h (x )＞0，与h (x )≤0恒成立矛盾．…11分 综上，a 的取值为1． …12分（22）解：（Ⅰ）证明：因为 ∠EDC ＝∠DAC ， ∠DAC ＝∠DAB ， ∠DAB ＝∠DCB ，所以∠EDC ＝∠DCB ， 所以BC ∥DE ． …4分 （Ⅱ）解：因为D ，E ，C ，F 四点共圆，所以∠CF A ＝∠CED ，由（Ⅰ）知∠ACF ＝∠CED ，所以 ∠CF A ＝∠ACF ．设∠DAC ＝∠DAB ＝x ， 因为AC ⌒＝BC ⌒，所以∠CBA ＝∠BAC ＝2x ，所以∠CF A ＝∠FBA ＋∠F AB ＝3x ，在等腰△ACF 中，π＝∠CF A ＋∠ACF ＋∠CAF ＝7x ，则x ＝ π7，所以∠BAC ＝2x ＝2π7． …10分（23）解：（Ⅰ）C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ（θ为参数），l ：x －3y ＋9＝0． …4分（Ⅱ）设P (2cos θ，3sin θ),则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92．由|AP |＝d 得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝ 35，cos θ＝－ 45．故P (－ 8 5， 335)．…10分（24）解：（Ⅰ）因为f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ， x ≤－1；－x ＋2，－1≤x ≤12；3x ， x ≥12且f (1)＝f (－1)＝3，所以，f (x )＜3的解集为{x |－1＜x ＜1}； …4分AD BFCE（Ⅱ）|2x－a|＋|x＋1|＝|x－a2|＋|x＋1|＋|x－a2|≥|1＋a2|＋0＝|1＋a2|当且仅当(x＋1)(x－a2)≤0且x－a2＝0时，取等号．所以|1＋a2|＝1，解得a＝－4或0．…10分。

北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（一）高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）已知全集U =R ，集合{|12}A x x =-≤≤，{|3B x x =<-，或4}x >，那么()U A B =I ð（A ）{|14}x x -≤≤ （B ）{|32}x x -≤≤ （C ）{|12}x x -≤≤ （D ）{|34}x x -≤≤ （2）已知复数i2ia +-为纯虚数，那么实数a = （A ）2-（B ）12-（C ）2（D ）12（3）在区间[0,2]上随机取一个实数x ，若事件“30x m -<”发生的概率为16，则实数m = （A ）1（B ）12 （C ）13（D ）16（4）已知点M 的极坐标为2(5,)3π，那么将点M 的极坐标化成直角坐标为（A ）5()22-- （B ）5()22-（C ）5(,22 （D ）5(,22-（5）“1x <”是“12log 0x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（A ）2465A A ⨯种 （B ）246A 5⨯种 （C ）2465C A ⨯种 （D ）246C 5⨯种（7）一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为 （A ）16 （B）6（C（D ）12（8）已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 （A ）(0,2) （B ）(0,8) （C ）(2,8) （D ）(,0)-∞D第二部分（非选择题 共110分）二、 填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28S =，412S =，则{}n a 的公差d = ． （10）曲线sin (0y x x =≤≤π)与x 轴围成的封闭区域的面积为 ．（11）如图，在△ABC 中，60A ∠=o，28AB AC ==，过C 作△ABC 外接圆的切线CD ，BD CD ⊥于D ，BD 与外接圆交于点E ，则DE = ．（12）已知12,F F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且2PF 垂直于x 轴．若122||2||F F PF =，则该椭圆的离心率为 ．（13）已知函数)(x f 是R 上的减函数，且(2)y f x =-的图象关于点(2,0)成中心对称．若,u v 满足不等式组()(1)0,(1)0,f u f v f u v +-≤⎧⎨--≥⎩则22u v +的最小值为 ． （14）已知x ∈R ，定义：()Ax 表示不小于x 的最小整数．如2A =，( 1.2)1A -=-．若(2+1)3A x =，则x 的取值范围是 ；若0x >且(2())5A x A x ⋅=，则x 的取值范围是 ．频率组距a三、解答题（共6小题，共80分。