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A%
o
R
=
(1,
0.5,
0.8,
0,
0.4,
0.7)
o
⎜ ⎜ ⎜
1 0
0 1
0 0
0⎟ ⎟ = (1, 0.4, 0.7, 0)
0⎟
⎜0 1 0 0⎟ ⎜⎜⎝ 0 0 1 0⎟⎟⎠
⎛1 1 1 0 0 0⎞
f
−1 ( B) %
=
T%R'
(B) %
=
B %
o
R'
=
(1,
0.4,
0.7, 0)
o
⎜ ⎜ ⎜
解：利用波达数的计算方法可知：
a 的波达数为 4 + 2 +1+ 0 + 0 + 2 + 3 + 2 = 14 b 的波达数为 5 + 5 + 0 +1+1+1+1+ 0 = 14 c 的波达数为 2 + 0 + 2 + 3 + 3 + 5 + 2 + 4 = 17 d 的波达数为 3 +1+ 4 + 4 + 5 + 4 + 4 + 5 = 30 e 的波达数为1+ 4 + 5 + 5 + 4 + 0 + 0 +1 = 20
%
x1 x2 x3 x4 x5 x6
⎛1 0 0 0⎞
⎜ ⎜
1
0
0
0 ⎟⎟
⎜1 0 0 0⎟
解法 2，根据模糊映射 f (x) ，可以得到模糊关系矩阵 R = ⎜
⎟
⎜0 1 0 0⎟
⎜0 1 0 0⎟ ⎜⎜⎝ 0 0 1 0⎟⎟⎠
⎛1 0 0 0⎞
⎜ ⎜
1
0
0
0
⎟ ⎟
则 B% =
f
( A% ) = T%R ( A% ) =
1 y2
+
0.7 y3
T%R
(B% )
=
B%
o
R
=
(0.1,
0.6)
o
⎛ ⎜ ⎝
0.1 0.3
0.2 1
0.7 ⎞
0.1
⎟ ⎠
=
(0.3, 0.6, 0.1)
=
0.3 y1
+
0.6 y2
+
0.1 y3
5.
设X
= {x1, x2 , x3, x4 , x5 , x6} ， Y
= {a, b, c, d} 而
o
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
1 0
0 1
0 1
⎟ ⎟⎟⎠
=
(1,
0,1,1)
⎛1 0 1 0⎞
T%R
(B% )
=
B%
o
R
=
(0.7,
0.2,
0)
o
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
1 0
0 1
0 1
⎟ ⎟⎟⎠
=
(0.7,
0.2,
0.7,
0)
⎛1 0 1 0⎞
解法
2，由模糊关系矩阵
R
=
⎜ ⎜
0
1
0
0⎟⎟ 知存在模糊映射 f (x) ，使得
，
Y = {y1, y2 , y3, y4}
，
R
=
⎜ ⎜
0
1
0
0
⎟ ⎟
，
A = {x1, x3}
，
⎜⎝ 0 0 1 1 ⎟⎠
B%
=
0.7 x1
+
0.2 x2
，试求 T%R
(
A)
， T%R
(B% )
解：解法 1，利用第四章模糊线性变换的内容知：
⎛1 0 1 0⎞
T%R ( A)
=
Ao
R
=
(1,
0,1)
% = 2 − y −1, 2 < y ≤ 5
∫ ∫ 所以 f (A) = 1+ [( y −1 −1) / 3] + 2 − y −1
%
[1,2]
y
( 2,5]
y
注：函数
f
(x)
和
A( %
x)
都是连续函数，上式中区间端点
2
处取开还是闭都可以。
7.对某产品质量作综合评价，考虑从 4 种因素来评判产品，即因素集为U = (u1, u2 , u3, u4 ) ，
策，确定 6 位同志的先后排序。
意见
1 2 3 4 5 6 7 8
1(10 分) b b e e d c f d
2(8 分) a e d d e d d c
名次
3(6 分) 4(4 分)
d
c
f
a
f
c
c
f
c
f
f
a
a
c
f
a
5(2 分) f d a b b b b e
6(1 分) e c b a a e e b
f 的波达数为1+ 3 + 3 + 2 + 2 + 3 + 5 + 3 = 22
排序为 d , f , e, c, （ a, b 并列）
考虑了名次的权重
名次
1(10 分)
5
权重
10/31
2(8 分) 4
8/31
3(6 分) 3
6/31
4(4 分) 2
4/31
5(2 分) 1
2/31
6(1 分) 0
1/31
f 的波达数为1× 2 / 31+ 3× 4× 6 / 31+ 2× 2× 4 / 31+ 5×10 / 31 = 140 / 31
加权后的排序为 d , e, c, f , b, a
2.排序
手写英文字母 a, b, c 的模糊识别。设论域 X = {a, b, c} 及待识别图像（ z ）如图所示，为了 方便，设 a, b, c 依次为 x1, x2 , x3 。考察他们与待识别图像（ z ）是否相似。若 a 与 b 比较， a 与（ z ）的相似程度为 0.32，则 b 与（ z ）相似程度为 0.46； b 与 c 比较， b 与（ z ）的 相似程度为 0.4，则 c 与（ z ）相似程度为 0.64；c 与 a 比较，c 与（ z ）的相似程度为 0.46， 则 a 与（ z ）相似程度为 0.54；试用模糊优先关系定序法按与图像（ z ）最相似特性确定 x1, x2 , x3 的次序，从而识别（ z ）是哪个字母
f
(
x)
=
⎧a, ⎪⎨b,
x x
∈{x1, = {x4 ,
x2 , x3} x5}
⎪⎩c, x = x6
A = 1 + 0.5 + 0.8 + 0.4 + 0.7 ，试求 B = f ( A) 及 f −1(B) 。
% x1 x2 x3 x5 x6
%
%
%
解：解法 1.根据第一章的扩张原理知
f f f f
解：用模糊优先关系排序决策来进行排序，首先要建立模糊优先关系矩阵 R 。在计算 rij 时
要求 rij + rji = 1。而根据题目， a 与 b 比较时， a 与（ z ）的相似程度为 0.32，则 b 与（ z ）
相似程度为 0.46，选择 a 对 b 的优先选择比为 0.32 ， b 对 a 的优先选择比为 0.32 + 0.46
因此 f ( A)( y) = {1+ x / 3 | −1 ≤ x ≤ 0}∨ {1+ x / 3 | −2 ≤ x ≤ −1} = {1+ x / 3 | −1 ≤ x ≤ 0} % = 1+[( y −1 −1) / 3],1 ≤ y ≤ 2
2 ≤ f (x) ≤ 5 时 0 ≤ x ≤ 1 或 者 −3 ≤ x ≤ −2 ， 但是 当 0 ≤ x ≤ 1 时 , A% (x) = 1− x 得 的 值 比 −3 ≤ x ≤ −2 时 A% (x) = 1+ x / 3的值大，因此 f ( A)( y) = {1+ x / 3 | −3 ≤ x ≤ −2}∨ {1− x | 0 < x ≤ 1} = {1− x | 0 < x ≤ 1}
( ( ( (
AAAA%%% ))))((((bcad))))
= = = =
∨∨∨0((A%AA%%((x(xx614)))=,, AA%0((.7xx25
), ))
A%=(0x.34))
=
1
%
即 B = (1, 0.4, 0.7, 0) = 1 + 0.4 + 0.7 + 0
%
ab cd
f f f
f ( A)( y1) = A(x1) = 1 f ( A)( y2 ) = A(x2 ) = 0 f ( A)( y3) = ∨( A(x1), A(x3 )) = 1 f ( A)( y4 ) = A(x3) = 1
即T%R ( A) = (1, 0,1,1)
f f f f
((BB% ))(( ((BB%% ))((
⎧1+ x / 3, −3 < x ≤ 0
A% (x)
=
⎪⎨1− x, 0 < ⎪⎩0, others
x
≤
1
试求 f ( A% ) 解：当 −2 < x ≤ 0 时，函数 y = f (x) = 1+ (x +1)2 是偶函数，因此1 ≤ f (x) ≤ 2 时 −1 ≤ x ≤ 0
