第三节 单利与复利
众所周知，同样的货币在不同的时间点上的价值是不等的，即使是在没有风险和通货膨胀的情况下，现在一元钱的价值也要大于以后的一元钱的价值，这就是货币的时间价值.
利息是货币时间价值的一种表现形式，它有两种计算方法：单利和复利，不同计息方式下的利息有关计算分别以等差数列和等比数列原理为基础.
我们应首先弄清楚“现值”和“终值”两个概念，所谓“现值”就是现在的价值，即通常所说的本金；“终值”就是若干时期后包括本金和利息在内的未来价值，通常称本利和.
例如，现在存款1000元，定期一年，期满后银行支付1080元，其中80元是银行使用你的1000元给的报酬，即利息，这里的1000元本金就是现值，1080元本利和就是1000元本金一年后的终值.
一、单利
仅就本金计算利息的方法.单利是“复利”的对称，它是指计算利息时，上期利息并不计入本金之内，仅按本金计算的利息，其计算公式如下：
单利息=本金×利率×期数
假设下列符号分别表示
S —终值（本利和） P —现值（本金） i —利率 I —利息 n —期数（若i 为年利率则n 为年数，若i 为月利率则n 为月数）
则计算利息公式：n i P I ⋅⋅=
第n 期的终值（本利和） )1(in P n i P P S n +=⋅⋅+=
公式)1(in P S +=称为单利终值公式（或本利和公式）.
由)1(in P S +=易得)
1(in S P +=称为单利现值公式，也称为单利折现公式.将终值换算成现值常称为贴现或折现.
例1某人在银行存款5000元，半年利率为3.05%，求一年后5000元存款的终值
解：这里5000=p %05.3=i 2=n
由终值公式，半年后的终值为
5305)2%05.31(5000=⨯+=S （元）
例2 某企业从银行贷款25万元，两年后需要连本带利还银行28.075万元，试计算银行对企业的贷款利率
解：由已知，货款利息为: 075.325075.28=-=-=p S I （万元）
由n i P I ⋅⋅= 得 %15.60615.02
25075.3==⨯==pn I i 即银行对企业的贷款利率为6.15%.
例3 某人准备在银行存一笔款子，以便在5年后得到10万元，若银行利率为
4.75%，问现值应存款多少？
解：该题已知终值10=S 万元 年利率i =4.75% 期数5=n
求现值的问题 )1(in S P +==5
%75.41100000⨯+=80808.08(元) 例4 某人若每月初在银行存款1000元.储蓄利息按年利率2.85%计算，求一年到期的本利和.
解：这种储蓄形式为零存整取，它的本利和就是每个月存款到年底的终值之和
由单利终值公式)1(in P S n +=
第1个月存款的终值为)121(1i P S +==)12
%85.2121(1000⨯
+=1028.5 第2个月存款的终值为)111(2i P S +==)12%85.2111(1000⨯+=1026.13
第12个月存款的终值为)1(12i P S +=)12
%85.21(1000+==1002.37 以上的1221,,,S S S 是一个以iP 为公差的等差数列，由求和公式 一年到期的本利和为 =⨯+=122
121a a S 6×（1028.5+1002.37）=12185.22（元）
例5 某人贷款购买一辆汽车，首付5万元，剩余款分三年付清，每年付款2万元，若银行贷款利率为6.15%，试求车身总成本价为多少？
解：车身价格即是每期付款的现值之和 由单利现值公式)
1(in S P += 第1年付款的现值为26.18841%
15.61200001=+=
P （元） 第2年付款的现值为44.17809%
15.621200002=⨯+=P （元） 第3年付款的现值为76.16884%15.631200003=⨯+=P （元） 车身总成本 =5+53535.46=103535.46（元）
二、复利
1.复利终值
复利不同于单利，它不仅要计算本金上的利息，也要计算利息所产生的利息，即所谓“利上滚利”.按这种计算方法计息，每期末结息一次，然后将利息加入本金作为下一次计息的基础，复利终值的计算公式推导如下：
)1(1i P i P P S +=⋅+=
21112)1()1(i P i S i S S S +=+=⋅+=
21112)1()1(i P i S i S S S +=+=⋅+=
n n n n n i P i S i S S S )1()1(111+=+=⋅+=---
所以n 期复利终值公式为
n i P S )1(+=
其中n i )1(+表示n 期后1元的复利终值，称为复利终值系数，记作n i F ,，n i F ,的值可以查用复利终值系数表（附录一）,因此复利终值公式也可以写成：
n i F P S ,⋅=
例6 设货币的时间价值为5%.求当n=20，30和40时，1000元现值的各期终值？
解： 这里1000=P ，%5=i .由终值公式当n=20，30和40时，各期终值分别为：
2653653.210001000%)51(100020%,52020=⨯=⋅=+⨯=F S （元）
4322322.410001000%)51(100030%,53030=⨯=⋅=+⨯=F S （元）
4.7038653.2653.210001000%)51(100040%,54040=⨯⨯=⋅=+⨯=F S （元） 现若货币时间价值为10%，那么各期终值为：
6727727.610001000%)101(100020%,102020=⨯=⋅=+⨯=F S （元）
17449449.1710001000%)101(100030%,103030=⨯=⋅=+⨯=F S （元）
5.45252727.6727.610001000%)101(100040%,104040=⨯⨯=⋅=+⨯=F S （元） 例7 某公司现从留存盈余中提出24万元进行投资，准备若干年后建造一价值为48万元的职工宿舍，若投资收益率为8%，试确定多少年才能达到造房所需的款项？
解： 由n i P S )1(+=
有n %)81(2448+=, 2%)81(=+n
所以 92log %)81(≈=+n
也可以通过查表求n ，从附表可以看到939.1%)81(=+n ，接近于2的值，因此9=n ， 即大约需要9年可以达到建房所需的款48万元.
在公式的运用中，有时不能在表中得到所需要的数字，但可以由表上提供的数据为基础，采用“线性插值法”进行测算，进而求得所需的数字.
例8 某人选择了一项开放式基金作为投资工具进行长期投资, 他选择一次性投资策略投资20万元,希望3年后能获得30万元，那投资收益率达到多少时才能实现这一目标呢?
解：由n i P S )1(+=
有3)1(200000300000i += 即 5.1)1(3=+i 所以%46.1415.13≈-=i
